PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL

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1 UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA DOTTORATO DI RICERCA IN MECCANICA COMPUTAZIONALE XX CICLO SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE ICAR-8 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Doato Guseppe Dssertazoe presetata per l cosegumeto del ttolo d Dottore d Rcerca Meccaca Computazoale Coseza, Novembre 7

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3 UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA Data: Coseza, Novembre 7 Autore: Ttolo: Dpartmeto: Guseppe Doato Problem vers ella meccaca del daeggameto Strutture Frma dell autore Tutor: Prof. Raffaele Zo Coordatore: Prof. Maurzo Arstodemo

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5 Ch ha da dre qualcosa d uovo e d mportate c tee a fars capre. Farà percò tutto l possble per scrvere modo semplce e compresble. Nete è pù facle dello scrvere dffcle. Karl Ramud Popper.

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7 INDICE Itroduzoe... V Captolo : Sull detfcazoe del daeggameto..... Defzoe d daeggameto..... Metod d detfcazoe del daeggameto Metod d determazoe del daeggameto basat sulle vbrazo Metod basat sul cambameto delle caratterstche modal Cambamet d frequeza Problema dretto Problema verso Metod basat su cambamet delle forme modal Metod basat su cambamet della curvatura e dell eerga d deformazoe delle forme modal Metod basat sulla flessbltà msurata damcamete Comparazoe de cambamet d flessbltà Metodo del cotrollo dell'utà Metodo della matrce d errore d rgdezza Effett della flessbltà resduale Cambamet ella matrce d rgdezza msurata Metod basat sull aggorameto delle matrc Fuzoe obettvo e codzo Metod ottmal per l aggorameto delle matrc Metod d aggorameto basat sulla sestvtà Metod basat sulle Ret Neural Captolo : Modell Matematc ella Damca Strutturale Descrzo della damca d ua struttura Modello ad u solo grado d lbertà SDOF Fuzo d rsposta frequeza per l modello SDOF Modello a pù grad d lbertà MDOF Caso o smorzato: vbrazoe lbera, mod e frequeze propre d vbrazoe Caso o smorzato: rsposta forzata Smorzameto proporzoale Smorzameto d steres: caso geerale Smorzameto vscoso: caso geerale. 39 Captolo 3: Damca Strutturale Spermetale Acquszoe delle FRF Prove spermetal d aals damca Determazoe delle FRF co gresso d tpo geerale Igresso perodco Igresso mpulsvo Igresso radom. 46

8 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Impego d gress dvers Igresso susodale co varazoe dscreta d frequeza Igresso susodale co varazoe cotua d frequeza Igresso perodco Igresso radom Igresso mpulsvo Il sstema d ecctazoe Determazoe de parametr modal dalle FRF: potes d SDOF Fuzo dell'aalzzatore e problem d aals del segale Alasg Leaage (dspersoe) e wdowg Zoom Procedmet d meda Captolo 4: Metod Geeral d Ottmzzazoe Descrzoe del problema d ottmzzazoe Ottmzzazoe vcolata e o vcolata Codzo d ottmaltà Geeraltà sugl algortm d ottmzzazoe Rsoluzoe de problem d ottmzzazoe o vcolata Metod d ottmzzazoe o vcolata moodmesoale Metodo Golde Secto Metodo d Fboacc Metod d ottmzzazoe o vcolata multdmesoale Metodo del gradete Metodo d Newto Metodo quas-newto Algortm geetc Fuzoe Ftess Fuzoameto del metodo Selezoe Crossover Mutazoe Alcue problematche Camp d applcazoe Rsoluzoe Problem d ottmzzazoe vcolata Metodo delle fuzo d pealtà Metodo della fuzoe d pealtà estera Metodo della fuzoe d pealtà tera Captolo 5: Idetfcazoe su trav soggette a dao dffuso Itroduzoe Problema dretto geerale Problema dretto dscrete damaged Problema dretto pseudo cotuo Problema verso Cocluso... 5 II

9 INDICE Captolo 6: Idetfcazoe Del Dao I Tela Pa Itroduzoe Aals modale del modello pseudo-spermetale Aals modale co masse d pao Aals modale co masse d pao ed mpalcato ftamete rgdo, cofroto rsultat otteut Verfca dell ortogoaltà de mod spermetal Verfca della cossteza de vettor modal Cofroto de modell Caso d studo: aals del telao a 3 pa Crter adottat ella spermetazoe Set d prove A : ua varable per pao Istogramm Set d prove B : varabl per pao Istogramm. SET B Commeto rsultat Smulazoe dell errore spermetale Commeto rsultat Cocluso Captolo 7: Idetfcazoe tela pa tampoat Itroduzoe Modellazoe de tela tampoat Comportameto de tela tampoat Il modello del putoe equvalete Costruzoe del modello Calcolo della sezoe del putoe equvalete Calcolo della rgdezza laterale Il problema delle aperture el paello Spermetazoe: detfcazoe tela pa tampoat Set d prove A Istogramm Set d prove B Istogramm Commeto rsultat Iflueza de mod superor sull accuratezza della soluzoe Caso d ua varable per pao Caso d due varabl per pao Commeto rsultat Smulazoe dell errore spermetale Ua varable per pao. SET A Due varabl per pao. SET B Cocluso Captolo 8: Problem d Idetfcazoe d tela 3D Itroduzoe Schematzzazoe tela 3D Ordameto delle varabl cematche III

10 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Pao rgdo Forme modal utlzzate Aals effettuate Processo d detfcazoe Strutture esamate Aals SET A Errore spermetale, SET A Iflueza del umero d mod SET A Aals SET B Errore spermetale SET B Iflueza del umero d mod SET B Cocluso... Cocluso... 3 Bblografa... 9 IV

11 INTRODUZIONE Le strutture cvl ed dustral, cemeto armato, accao o altro materale, possoo raggugere dmeso otevol e rvestre ruol ell area cu sorgoo, tal che la garaza della loro stabltà ed effceza dveta u problema socale volto alla salvaguarda d uom e cose. La ecesstà d u cotrollo strutturale s fa, ache, pù pressate per le seguet rago: la progettazoe delle strutture modere dvee sempre pù sofstcata e porta a sfruttare maggormete le caratterstche de materal l progresso e l ulterore mglorameto de crter d progettazoe e d costruzoe rchedoo che s coosca l comportameto delle strutture e de materal che le costtuscoo modo l pù possble quattatvo la struttura costtusce, utamete a quato le è aesso, u patrmoo che va coservato e mateuto effcete la coservazoe d ua struttura può rchedere, spece per opere d atca costruzoe, tervet d restauro ed questo caso l cotrollo acqusta u partcolare sgfcato d garaza d scurezza e d verfca della valdtà degl tervet. I ultma aals s può affermare che l esgeza d u cotrollo sa dettata prevaletemete da rago d scurezza. La scurezza può essere pesata come ua gradezza legata allo stato d deterorameto della struttura, poché all aumetare d questo aumeta scuramete ache la probabltà d rova. Ua struttura s dce sotto cotrollo quado s possoo forre gl strumet capac d msurare l suo stato d deterorameto. Questa operazoe può essere fatta ad esempo attraverso le msure dello stato tesoale relatvo a carch ed a quell dott da cause atural e o, e o sempre detfcabl. Lo stato tesoale deve essere cofrotato co la ressteza de materal che a sua volta è legata al suo stato d deterorameto. Ma la msura degl sforz o è tra le pù facl ed, oltre, rsete moltssmo delle dsomogeetà local, poché cogle solo l effetto dfferezale delle sollectazo. Quest aspett egatv hao oretato gl studos alla scelta d msurare u altra gradezza, d tpo geometrco, che rsultasse pù faclmete quatfcable ed egualmete correlata al deterorameto e d cosegueza alla dstrbuzoe degl sforz: la deformazoe o lo spostameto o l movmeto. I movmet d ua struttura possoo mafestars temp molto brev oppure temp pù lugh: el prmo caso s parla de movmet damc, el secodo de movmet quas stazoar. S possoo cotrollare gl u o gl altr o etramb movmet. Nel prmo caso s deve dsporre d strumet che cosetao d segure co cotutà l movmeto; el secodo c s lmta a cotrollare gl spostamet (cotrollo statco d ua struttura) che s mafestao lugh perod d tempo, medate operazo d msura tervallate successvamete el tempo e che s svolgoo codzo d temporaea stabltà del maufatto. Il cotrollo statco evdeza tra l altro l resduo permaete d movmet prodott da sollectazo damche e, pertato, s preseta come uo strumeto fodametale per cosetre d esprmere u gudzo sul grado d scurezza d ua struttura.

12 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. L aals spermetale damca permette sa d svelare le caratterstche vbrazoal, sa d formulare gudz base alle varazo rscotrate successve campage spermetal. Pur co lmt prma descrtt, ua modellazoe matematca leare ad elemet ft permette, soprattutto se affacata da prove spermetal su materal e damche sull tera struttura, d coglere alcu aspett global del comportameto strutturale dspesabl per la coosceza complessva del maufatto. Per alcu partcolar costruttv potrebbe essere utle ua mcromodellazoe co fttmeto della mesh e potes d comportameto o leare el materale, ma tal stud approfodt scofao ella rcerca pura e o s rtegoo acora doe per u loro uso d route. Nell ambto delle attvtà d valutazoe della scurezza delle strutture esstet, modell matematc soo dveut strumet fodametal a f della terpretazoe del comportameto delle opere chave dagostca. Tra metod d dage d tpo o dstruttvo assumoo u rlevo sempre maggore quell che abbao la modellazoe umerca e la spermetazoe sul campo basata su prove damche (forzate, se s utlzza u sstema d ecctazoe artfcale, o o forzate, se c s basa sulle vbrazo ambetal) o prove statche. Tal prove cosetoo d otteere le formazo dspesabl per mettere a puto modell che sao grado smulare l reale comportameto delle opere e dervare dcazo che possoo essere utlzzate, attraverso opportu procedmet, co faltà dagostche. Il processo, teso a calbrare modell matematc per rprodurre l comportameto reale delle strutture msurato durate le prove spermetal, è oto co l ome d detfcazoe strutturale. La metodologa s cofgura, qud, come ua tecca dagostca dretta e d tpo o dstruttvo, quato parametr fsc del materale e quell meccac della struttura ( term d rgdezza, massa e smorzameto) soo dedott da mod damc d rsposta msurat sulla struttura esame, seza che l rlevo spermetale arrech dao o modfca alla struttura stessa. Il dvaro tra le caratterstche modal msurate su ua struttura reale durate ua prova d vbrazoe (forzata o o) e quelle smulate umercamete medate u modello agl elemet ft vee rdotto correggedo parametr del materale, oché le codzo d vcolo. Pass da segure el processo detfcatvo della struttura:. aals de segal: estrazoe d modell compless; trattameto d cas d ecctazoe del tutto geeral, cluso quello ambetale, per rdurre l costo delle msure; fltraggo del rumore da dat grezz.. aals modale complessa ad elemet ft: estesoe dell aals modale al campo complesso, al fe d aalzzare comportamet dsspatv delle strutture co accrescuta precsoe rspetto all aals campo reale; 3. modulo d detfcazoe: codce d calcolo che cosete d rdurre, campo reale, l dvaro tra le frequeze e mod msurat e corrspodet valor calcolat e cosete d applcare l procedmeto ad ua qualuque tpologa strutturale; formulare ua fuzoe obettvo basata su gradezze modal complesse; calcolare la matrce d sesbltà (dervate d frequeze e mod rspetto a parametr cogt) campo complesso; esegure l processo detfcatvo su parametr d rgdezza, destà e smorzameto. VI

13 INTRODUZIONE U modello cotuo preseta ft grad d lbertà, utlzzado l FEM s restrge l tutto ad u problema semplfcato, cocetrado le formazo u umero fto d elemet e d od. La scelta è, come sappamo, del tutto arbtrara, s può fttre la mesh oppure dradarla a ostro pacmeto, l tutto ragoado el modello umerco. Ua cosderazoe potrebbe essere quella che sccome fttre la mesh è del tutto gratuto, o quas, ulla veta d utlzzare pù parametr cematc. Allo stesso modo, s ha ua semplfcazoe ache ella modellazoe spermetale, prms o è possble serre u umero fto d sesor, duque ache questo caso c s deve accotetare d avere delle formazo cocetrate alcu put. I pù da questo umero s deve acora scedere perché quado s modella spermetalmete ua struttura, spesso s ha u umero d rsorse lmtate, az, serre pù sesor farà modfcare l tero sstema d detfcazoe e, qud, levtare otevolmete l costo. Ife, spesso co u umero d sesor prefssato, o s rescoo emmeo a rcavare co molta precsoe tutte le formazo che teorcamete s potrebbero determare, allora per queste motvazo, spesso c s deve accotetare, ad esempo solo delle prme forme modale, perché le altre sarebbero affette da error e, qud, o utlzzabl. Nel Model Updatg (MU) c s trova, qud, spesso a lavorare co problem o lear cu l umero d cogte eccede quello delle equazo, qud s tratta d problem mal post. D cosegueza, a secoda del problema, s devoo serre delle restrzo che e lmtao l campo d utlzzo, per esempo s possoo determare le formazo mede global d ua struttura e o quelle local d u sgolo elemeto. Ifatt effett local spesso o vegoo dsttamete rcooscut, ed u certo gruppo d formazo modal può rsultare sesble alla varazoe strutturale d u elemeto. La sesbltà deve essere valutata, volta per volta, altrmet s rscha d otteere ua soluzoe che o possede u reale sgfcato fsco e che, qud, dverge rspetto alla soluzoe reale. Lo scopo della presete rcerca è quella d valutare la metodologa del MU, el caso d edfc telaat c.a. d cvle abtazoe. Le strutture 3D prese esame presetao ache magla o regolare sa pata che elevazoe. Il codce realzzato ambete MATLAB s spge el determare la fuzoe obbettvo mglore per po esamare qualche caso specfco che pù avvca l modello teorco a quello reale. I effett la rcerca del modello aaltco co l quale s possa costrure l problema dretto, rsulta u aspetto mportatssmo. La rcerca è stata focalzzata su dvers obbettv come s seguto elecat: Studo d detfcazoe del dao, va FEM, su ua trave testata spermetalmete. Idetfcazoe strutturale d tela pa. Idetfcazoe strutturale d tela pa co tampoatura e studo delle problematche coesse Idetfcazoe strutturale d tela 3D La seguete dssertazoe è così orgazzata: Idetfcazoe del daeggameto (Captolo ) Test modale spermetale (Captol,3) Ottmzzazoe strutturale (Captolo 4) Idetfcazoe del dao su trav (Captolo 5) Idetfcazoe del dao e tela pa (Captolo 6) Problematche relatve a tela pa co elemet d dsturbo (Captolo 7) Idetfcazoe del dao tela trdmesoal (Captolo 8) VII

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15 CAPITOLO SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO Il captolo preseta ua paoramca geerale su metod per detfcare, localzzare, e caratterzzare l daeggameto e sstem struttural e meccac, esamado e msurado cambamet ella loro rsposta vbrazoale. L'dea che sta alla base d questa tecologa è la seguete: parametr modal (frequeze atural, forme modal e fattore d smorzameto modale) soo fuzo delle caratterstche fsche d ua struttura (la massa, la rgdezza e coeffcet d smorzameto), d cosegueza alterazo tal propretà fsche causerao varazo apprezzabl delle sue caratterstche modal. Nel captolo soo presetate le motvazo dello svluppo d questa tecologa, var metod d detfcazoe del daeggameto e la loro classfcazoe. I metod soo descrtt term geeral e vegoo dscusse la loro affdabltà e le dffcoltà coesse alla loro applcazoe.

16 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO... Defzoe d daeggameto. Per gl scop d questo lavoro, l daeggameto è defto come ua modfcazoe, tezoale o o tezoale, trodotta all'tero d u sstema che determa cosegueze egatve elle performaces preset o future d quel sstema. Gl effett del dao ua struttura possoo essere classfcat come lear o o lear. Uo stato d dao è defto leare el caso cu la struttura zalmete elastca- leare rmaga tale dopo l daeggameto. I tal caso le varazo elle propretà modal sarao l rsultato d cambamet ella geometra e/o elle caratterstche fsche della struttura, ma la rsposta strutturale potrà essere modellata utlzzado equazo del moto d tpo leare. Il dao è defto o leare el caso cu la struttura zalmete elastca-leare s comport maera o leare dopo che sa stato provocato l daeggameto. U tpco esempo d dao o leare è la formazoe d ua fessura per fatca che, d cosegueza, s apre e s chude sotto u regme d vbrazoe. Altr esemp d dao o leare rguardao gut a cotatto che vbrao, altr acora l comportameto o leare d alcu materal come polmer. Fgura.. Comportameto o leare d u elemeto trave co fessura cetrale... Metod d detfcazoe del daeggameto. I metod d detfcazoe del daeggameto possoo essere classfcat metod global e metod local. U metodo s defsce globale quado cosete l dvduazoe del daeggameto ua struttura, dpedetemete dalla sua ettà ed ubcazoe, el caso cotraro l metodo è defto locale. I metod global soo dstt a loro volta metod lear o o lear a secoda del tpo d dao dvduato. I metod lear possoo essere ulterormete classfcat metod modello-dpedet e metod modello-dpedet. I metod modello-dpedet presuppogoo che la struttura esamata rspoda alcu mod predetermat, che possoo essere accuratamete dscretzzat u aals secodo l metodo degl elemet ft (s pes alla rsposta descrtta dalla teora della trave d Eulero- Beroull). Questa tes tratterà de metod global. U dfferete sstema d classfcazoe de metod d dvduazoe del dao defsce seguet quattro lvell d detfcazoe []: Lvello : Determazoe della preseza del dao ella struttura. Lvello : Lvello pù la determazoe dell'ubcazoe geometrca del dao. Lvello 3: Lvello pù quatfcazoe della gravtà del dao.

17 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO Lvello 4: Lvello 3 pù predzoe della vta d servzo rmaete della struttura. I lvell e soo etramb metod d detfcazoe del dao basat sull aals vbrazoale che possoo essere determat seza alcu modello strutturale. Il lvello 3, d detfcazoe del dao, presuppoe che metod vbrazoal vegao accoppat co l utlzzo d u modello strutturale. I tal caso le problematche, come s vedrà seguto, soo pù complesse per cu o sempre è possble otteere tutte le formazo prevste dal lvello. Il lvello 4 è u lvello predttvo assocato co camp d formazoe delle fratture, aals d vta a fatca, o accertameto sul progetto strutturale. I metod global, a cu appartegoo metod vbrazoal, soo almeo d lvello 3. U altro sstema d classfcazoe, per le tecche d detfcazoe del dao, dstgue tra metod usat per l motoraggo cotuo delle capactà struttural e metod usat per la determazoe del daeggameto causato da evet estrem. Per esempo, u sstema che usa msure accelerometrche, cotue o termttet, proveet da sesor permaet motat ad u pote è dverso, term d strumetazoe e requst d acquszoe dat, da u sstema che o acqussce dat modo permaete ma solo durate ed mmedatamete dopo u terremoto o u uragao..3. Metod d determazoe del daeggameto basat sulle vbrazo. Il recete svluppo dell'attvtà d rcerca ell'ambto della determazoe del daeggameto, attraverso metod basat sulle vbrazo, è l rsultato della cocomtaza d molt fattor: dsastr spettacolar che geeralmete hao dato luogo a perdta d vte umae, cosderazo d carattere ecoomco, recet avazamet tecologc. Dsastr come la perdta volo dell'volucro estero d alcu aere, per esempo, hao focalzzato l'attezoe geerale sul bsogo d esamare e motorare, le strutture ed sstem meccac utlzzat dal pubblco per valutare ed asscurare la scurezza. La preoccupazoe pubblca, qud, d tato tato, focalzza l'attezoe degl et ammstratv su questo problema e, egl ultm temp, dustra ed orgasm d cotrollo soo stat spt a provvedere al repermeto delle rsorse ecessare allo svluppo d questa tecologa. Lo stato attuale d vecchameto delle frastrutture e le questo ecoomche assocate al loro rprsto sta producedo lo svluppo d metod che possoo essere usat per scoprre la preseza d dao o d deterorameto l prma possble. S può a gusta ragoe rteere che l'dvduazoe del dao, attraverso l aals de cambamet elle propretà damche o d rsposta de sstem, sa stata messa pratca ua maera qualtatva, attraverso l uso d tecche acustche, f da quado l'uomo modero ha comcato ad usare utesl. Solo d recete, tale ambto d rcerca ha rcevuto attezoe cosderevole ella letteratura tecca, dove c'è stato u sforzo cocetrato a dare fodamet fsc e matematc pù sold a questa tecologa. L'dea d base rmae che parametr modal ormalmete msurat (frequeze prcpal, forme modal e fattore d smorzameto) sao fuzo delle propretà fsche della struttura (massa,rgdezza,smorzameto), percò, varazo elle propretà fsche, come rduzo ella rgdezza dervat dall'sorgere d fessure, dall'alletars d u collegameto, provocherao varazo apprezzabl delle caratterstche modal. Poché cambamet elle caratterstche modal o caratterstche dervate da queste quattà possoo essere usat come dcator d dao, l processo d detfcazoe vbrazoale del daeggameto s rcoduce ella forma d u problema d detfcazoe del modello. La maggor parte degl svlupp moder el campo della determazoe del dao tramte metod vbrazoal, trae orge dagl stud e dalle applcazo comput egl a settata e e prm a ottata sulle pattaforme petrolfere. Buoa parte delle tecche proposte o ebbero però success 3

18 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. sperat. Le codzo ambetal come la crescta mara, che aggugeva massa sgfcatva alla struttura, dsturb provocat da macchar moto e cambamet d massa assocat alla varazoe d lvello de flud e serbato provocavao varazo elle msurazo che o erao l rsultato d u qualche daeggameto. Le prove evdezaroo, qud, problem d uctà assocat alla localzzazoe spazale del dao. Fu trovato solo che msurazo effettuate al d sopra del lvello dell'acqua potevao procurare formazo rguardat la frequeza d rsoaza. A causa dell'successo l'dustra del petrolo abbadoò questa tecologa a metà degl a 8. Svlupp tecologc recet come l mglorameto elle capactà d calcolo, d memora e d veloctà, l'avazameto ella tecologa de sesor, compres sesor o-cotact e d motoraggo a dstaza, lo svluppo del metodo degl elemet ft, hao cotrbuto agl attual mgloramet el campo della rcerca su metod global d detfcazoe del dao. Fattor supplemetar che hao cotrbuto a quest mgloramet soo stat l'mplemetazoe d tecche spermetal come l test modale spermetale (recetemete trodotto ell ambto dell gegera cvle), e lo svluppo d metod d detfcazoe lear e o lear. L'dea che varazo elle caratterstche d vbrazoe possao offrre formazo rguardo al daeggameto d ua struttura è molto tutva per cu rsulterà spotaeo cheders come ma sa passato molto tempo prma che fosse formalzzata e geeralmete adottata dalla modera comutà gegerstca. La rsposta va dvduata el fatto che c soo molt fattor d dsturbo, che fao de metod vbrazoal d detfcazoe del dao u applcazoe dffcle da perfezoare ella pratca. Prmo fattore d dsturbo: le caratterstche modal rappresetao ua forma compressa d dat, esse, fatt, soo stmate spermetalmete attraverso la msura delle store d rsposta temporal (respose-tme hstores) msurate var put e co temp mm d acquszoe. Attraverso procedure d detfcazoe d sstema che comuemete vao sotto l ome d aals modale spermetale questa otevole quattà d dat è rdotta fo ad u umero d frequeze d rsoaza, mod d vbrare e valor d smorzameto modal. S opera questa compressoe affché le quattà modal rsulto pù facl da vsualzzare, terpretare fscamete e trattare term d modell matematc d sstem vbrat, rspetto alle msurazo delle tme-hstores. U altro fattore devate è coesso al fatto che l daeggameto è tpcamete u feomeo locale. La rsposta locale è dvduata da mod co frequeze pù alte, metre mod co frequeze pù basse tedoo a catturare la rsposta globale della struttura e soo meo sesbl alle modfcazo local. Dal puto d vsta spermetale è pù dffcle ecctare la rsposta co frequeza pù alta d ua struttura, quato per produrre delle rsposte msurabl è rchesta ua quattà d eerga, per le alte frequeze, maggore rspetto a quella rchesta da mod co frequeze pù basse. Quest fattor accoppat co la perdta d formazo, che derva dalla ecessara rduzoe delle msurazo delle tme-hstores, agguge ulteror dffcoltà coesse al processo d detfcazoe del daeggameto. Tal dffcoltà hao, per molto tempo, cotrbuto alla lmtazoe d questa tecologa all'ambto della rcerca co lmtate applcazo pratche el modo dell'gegera. Sembra logco cheders perché o s esamo drettamete le tme-hstores per otteere dcazo sul dao. La rsposta è che, oostate le dffcoltà assocate co la determazoe del dao sulla base delle caratterstche modal, rsulta acora pù dffcle detfcare l daeggameto attraverso l'esame delle tme-hstores. E' molto dffcle detfcare quale dao sa corso, sulla base de cambamet delle tme-hstores el modello e mettere relazoe quest cambamet co cambamet delle caratterstche fsche della struttura. Se le fot d ecctazoe cambao, e/o cambao le codzo 4

19 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO ambetal, questo processo s complca maggormete. Solo ua stuazoe dove la rsposta del sstema vara, da leare a o leare, le tme-hstores da sole potrebbero essere suffcet ad detfcare l dao. Ma ache quest cas, l'detfcazoe corretta, rchede che l'ubcazoe del dao sa ota pror. Oltre a queste problematche teorche, molte e dfferet soo ache le dffcoltà tecche e pratche, che ostacolao l successo de sstem vbrazoald dvduazoe del dao, e d health-motorg. Fra quelle pù mportat c soo quelle coesse alla scelta del tpo e dell ubcazoe de sesor, e delle ecctazo. U altra mportate problematca è quella legata all'elaborazoe de segal, basata su metod come aals d Fourer, l'aals d tempo-frequeza e l'aals wavelet. Noostate le dffcoltà sopra dscusse, gl svlupp el campo della determazoe vbrazoale del dao, durate l corso degl ultm -3 a, hao prodotto uov metod per l'aals d dat damc, che forscoo formazo sul daeggameto strutturale. Quest metod stao producedo applcazo molto estese. Uo de pù sgfcatv esemp d queste applcazo è l sstema d spezoe modale dello shuttle Nasa. A causa delle dffcoltà d accesso alla superfce estera determate dal sstema d protezoe termca (scudo termco), è stato svluppato, ad hoc, u sstema vbrazoale d determazoe del dao. Questo sstema ha cosetto d detfcare de daeggamet che avrebbero eluso tradzoal metod d cotrollo o dstruttv a causa della accessbltà delle compoet daeggate, e, per questo, è stato adottato come u metodo d spezoe stadard per tutte le strutture dello Space Shuttle Orbter. Come gà detto prma, l settore dell'detfcazoe del dao è molto esteso ed clude metod local e global. Questa tes s occuperà de metod global. Lo scopo d questo studo sarà lmtato a metod che utlzzao cambamet elle propretà modal (.e. frequeze modal, parametr d smorzameto modal e forme modal) e alle applcazo d quest metod ad alcue problematche dell gegera cvle. Alla luce d quato detto s è rteuto opportuo, esamare alcue delle metodologe d detfcazoe globale del dao strutturale attualmete uso. La paoramca clude sa metod basat solamete su cambamet de dat msurat, che quell che usao modell ad elemet ft (F.E.M.) ella formulazoe..4. Metod basat sul cambameto delle caratterstche modal. I questo cotesto le propretà modal sarao defte come frequeze atural, coeffcete d smorzameto modale, forme modal, curvatura delle forme modal..4.. Cambamet d frequeza. E possble determare la preseza d daeggameto ua struttura attraverso l aals delle varazo elle sue frequeze atural. L'osservazoe che cambamet elle propretà struttural provocao varazo elle frequeze d vbrazoe, ha dato recetemete u mpulso all utlzzo de metod modal d detfcazoe del daeggameto, e d Health Motorg delle strutture. Refereze e bblografe pù complete s trovao [3]. Prma d passare all aals d dettaglo de metod basat sulle varazo d frequeza, vedremo qual soo le prcpal dffcoltà e lmtazo coesse al loro utlzzo. I cambamet d frequeza possoo o essere suffcet per la localzzazoe del daeggameto, fatt, dfett smlar put dvers d ua struttura possoo provocare cambamet d frequeza pratcamete detc. Nelle strutture smmetrche daeggamet localzzat put smmetrc dao orge agl stess cambamet d frequeza. Ioltre u 5

20 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. daeggameto otevole può causare cambamet pressoché mm elle frequeze atural, e cò avvee partcolar modo elle strutture larghe. Se valor delle varazo msurate soo molto pccol quest possoo essere cofus co l errore d msura. La scarsa rcooscbltà de cambamet d frequeza rchede qud o msurazo molto precse o grad lvell d dao. Le frequeze d rsoaza, che, come stud recet hao dmostrato, presetao statstcamete mor varazo provocate da error casual rspetto ad altr parametr modal, rsultado così affdabl. Alcue prove codotte su pot egl U.S.A hao dmostrato che cambamet d frequeza possoo o essere sesbl dcator d daeggameto. I partcolare s è vsto, alcu pot, che rducedo d molto sa la rgdezza trasversale, che quella flessoale d ua trave al cetro dell mpalcato, o s osservava essua rduzoe sgfcatva elle frequeze modal. Attualmete l'uso de cambamet d frequeza per la determazoe del daeggameto sembra essere pù pratcable elle applcazo dove tal cambamet possoo essere msurat co grade precsoe ovvero ambet cotrollat, come quell cu s effettua u processo d cotrollo sulla qualtà della produzoe. I og caso metod, per la determazoe del daeggameto, basat su cambamet d frequeza, vegoo classfcat due categore a secoda che s baso sulla soluzoe de cosddett problem drett o vers. S atcpa f da adesso che el seguto d questa tes verrao mplemetat de metod vers basat ache su cambamet d frequeza (oltre che delle forme modal) per la localzzazoe e quatfcazoe del daeggameto, d questa specfca applcazoe s tratterà e captol successv Problema dretto. Il problema dretto [3], che d solto rcade ella categora del Lvello d detfcazoe del dao, cosste el calcolare cambamet d frequeza partedo dalla coosceza d u dao oto. Tpcamete, l daeggameto è modellato matematcamete, qud le frequeze, msurate spermetalmete, soo comparate co le frequeze, prevste el modello, per otteere l dao. Ua procedura per la determazoe del daeggameto, attraverso la soluzoe del problema dretto, spesso applcata a materal compost è la seguete: s cosdera u seme d possbl localzzazo d dao e s costrusce u terme d errore che mette relazoe valor d frequeza msurat (per og modo cosderato) co quell prevst da u modello basato su ua rduzoe della rgdezza locale e put cosderat. Per og potezale localzzazoe del daeggameto s cosdera u certo umero d coppe d mod, e laddove s ha l'errore pù basso s può rteere localzzato l dao. Tale formulazoe rchede che vega effettuata ua scasoe su tutto l modello e o tee coto d possbl localzzazo multple del daeggameto. Esstoo tuttava altre applcazo del problema dretto, basate sul cofroto delle frequeze d rsoaza, che soo state largamete applcate per la determazoe del daeggameto elle pattaforme petrolfere ed altre basate sull mpego d modell che smulao possbl stat d daeggameto Problema verso. Il problema verso [3], che rguarda tpcamete l lvello, o l lvello 3, d detfcazoe del daeggameto, cosste el calcolare parametr d dao, per esempo lughezza delle fessure e/o loro ubcazoe, a partre da cambamet d frequeza. 6

21 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO Ua procedura d localzzazoe del dao basata sulla soluzoe del problema verso è la seguete:. Idetfcazoe d msure damche che esprmoo l daeggameto a lvello globale.. Modellazoe del daeggameto a lvello locale. 3. Scelta della correlazoe tra le msure global ed l parametr local d daeggameto 4. Calcolo de parametr local del daeggameto attraverso la soluzoe del problema verso. Alcu metod, per l detfcazoe del daeggameto, basat sulla soluzoe del problema verso, mettoo relazoe cambamet elle frequeze d rsoaza co cambamet ella rgdezza de var elemet struttural utlzzado la relazoe d sestvtà. La relazoe tra: { z } = vettore de cambamet e quadrat delle frequeze; { α } = vettore de term d rduzoe d rgdezza ; { β } = vettore de term d rduzoe della massa, { β } è data da: { z} [ F] { α} [ G] { β} = (.) dove : [ F ] = matrce d sestvtà de cambamet d frequeza e cofrot de cambamet d rgdezza G = matrce d sestvtà de cambamet d frequeza rspetto alle masse del sstema. [ ] Le cu espresso per l modo -esmo e per l elemeto j-esmo soo le seguet: T { φ } [ K ] { φ } d F j = ; E j d T { φ } [ M ] { φ } d E j d G j = ; (.) m dove: [ K E ] j è la matrce d rgdezza dell elemeto j ; [ M E ] j è la matrce delle masse dell elemeto j ; Il daeggameto è defto come ua rduzoe della rgdezza d uo degl elemet che compogoo la struttura ed è rappresetato dal parametro α. La rduzoe d rgdezza può essere localzzata rsolvedo l seguete problema verso: [ ] + {} α = [ F] { z } + [ G] { β } j (.3) Nel seguto s rappreseterao le matrc caratter grassetto mauscolo ed vettor caratter grassetto muscolo. 7

22 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. dove s sotttede che { z } e { β } possao essere msurat o assut. Nella relazoe precedete: [ ] + F = matrce d sestvtà pseudo-versa. L uso dell operatore pseudo-verso asscura che l equazoe sopra scrtta sa valda ache quado [ F ] o è ua matrce quadrata, cosa che succede, per esempo, quado l umero de mod msurat o è uguale al umero degl elemet struttural. U aals smlare può essere codotta, cosderado gl effett de cambamet del fattore d smorzameto modale, sulle varazo osservate delle frequeze d rsoaza. A tal proposto s può scrvere la seguete relazoe: {} z [ F] { α } [ G] { β } [ D] { γ } = (.4) dove: [ D ]: è la matrce d sestvtà dello smorzameto che mette relazoe cambamet elle frequeze d rsoaza co cambamet del fattore d smorzameto de var elemet; {} γ : è l vettore delle varazo del fattore d smorzameto de var elemet; I questo caso cambamet ella rgdezza possoo essere rcavat tramte la soluzoe del seguete problema verso: [ ] + {} α = [ F] {} z + [ G] {} β + [ D] {} γ (.5) E stato dmostrato che, metod vers basat sulla sestvtà, presetao alcue dffcoltà quado l umero de mod è molto pù basso del umero de parametr d daeggameto. Tal dffcoltà appaoo perché l sstema è tal caso fortemete determato, per cu o c soo abbastaza equazo dpedet che cosetoo d trovare tutt parametr d rduzoe della rgdezza. I questo caso la soluzoe pseudoversa rsulterà codzoata. Altr metod vers soo basat sulla sestvtà de cambamet delle frequeze modal. I queste mplemetazo s calcola ua fuzoe d errore per l -esmo modo e per l j-esmo elemeto strutturale. La fuzoe d errore è la seguete: e j = z F j M M z F m: m m: mj (.6) dove s assume che u solo elemeto sa daeggato e dove: {} z = vettore delle varazo ormalzzate delle frequeze = matrce d sestvtà de cambamet d frequeza. [ F ] Il dao sarà ubcato corrspodeza de mm della fuzoe d errore. Questo metodo produce rsultat pù accurat, rspetto a quello vsto precedeza, el caso cu l umero degl elemet sa maggore del umero d mod msurat. 8

23 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO S può, oltre, predere a rfermeto l rapporto fra cambamet delle frequeze atural de var mod [4]. Assumedo che la massa o camb (o è qud sede del daeggameto) e che s possao trascurare term del secodo orde, cambamet ell -esma frequeza aturale, prodott da u qualche daeggameto, possoo essere mess relazoe co cambamet d rgdezza globale el seguete modo: dove: T { φ } [ K]{ φ} T { φ } [ M ]{ φ } ω = (.7) ω = cambameto d frequeza ell -esmo modo; K = cambameto della matrce d rgdezza globale; φ = vettore della forma modale relatva al modo esmo. { } Decompoedo la matrce d rgdezza globale [ K ] elle matrc d rgdezza de sgol elemet [ ], e defedo: { ( φ) } = vettore d deformazoe della forma modale relatva al modo -esmo per ε l geerco elemeto, defto a partre dalle forme modal; l cambameto d frequeza dell esmo modo può essere scrtto come: ω { ε ( φ) } T [ ]{ ε φ } N N N = (.8) T { φ } [ M]{ φ } Notado che term della matrce d rgdezza dell elemeto o soo tutt affett dallo stesso daeggameto, l cambameto elle rgdezze de sgol elemet è espresso come: [ ] [ α ] [ ] = (.9) dove [ α ] è la matrce de cambamet rfert a compoet della matrce d rgdezza dell elemeto. Se l daeggameto è lmtato ad u solo compoete della matrce d rgdezza dell elemeto, allora l cambameto ella rgdezza d quel compoete sarà dato dallo scalare : α tale che [ ] [ ] = α. (.) E da otare che, co cò o s vuole affermare che l daeggameto possa essere modellato come ua perdta d rgdezza uforme ell elemeto, ma puttosto che l flueza de cambamet elle frequeze atural è prcpalmete ua fuzoe d uo solo de parametr d rgdezza dell elemeto. Per questa ragoe, a codzoe che l flueza del parametro d rgdezza sa adeguatamete scalata, l cambameto ella frequeza aturale, dovuto al daeggameto del sgolo elemeto, può essere adeguatamete espresso dalla seguete equazoe: 9

24 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. α { ε ( )} T N φ [ ]{ ε Nφ} T { φ } [ M]{ φ } ω = (.) Se s cosdera l rapporto fra cambamet due frequeze atural ω e ω j la dpedeza dal parametro α, che dca la gravtà del dao può essere elmata e gl effett del daeggameto s rducoo ad ua fuzoe della ubcazoe del dao espressa come: T { ε N ( φ )} [ ]{ ε N φ } T { φ } [ M] { φ } ω = (.) ω j T { ε N ( φ j )} [ ] { ε N φ j} T { φ } [ M] { φ } j Tale equazoe mostra l flueza caratterstca d cascu elemeto sulla frequeza aturale della struttura e mostra che questa flueza può essere calcolata a partre dalle propretà modal della struttura stessa prma del daeggameto. A partre da cambamet e rapport d frequeza msurat attraverso metod d correlazoe, s rsale alla ubcazoe del dao. Alcu metod vers [5], presuppogoo che l daeggameto sa lmtato a cambamet ella rgdezza. I partcolare, cooscedo le forme modal e le frequeze, della struttura o daeggata, e le frequeze della struttura dopo l daeggameto s può scrvere u espressoe basata sulle propretà d ortogoaltà della struttura daeggata e o daeggata. L equazoe d sestvtà per cambamet d rgdezza otteuta per cascu modo è: j T T T d u { φ + δφ } [ δk]{ φ + δφ } + { δφ } [ δk] { φ } + { δφ } [ δk] { δφ } = ( ω ) ( ω ) (.3) se s assume che cambamet elle forme modal sao trascurabl, l equazoe d sestvtà s rduce a: T d u { φ } [ δk]{ φ } ( ω ) ( ω ) = (.4) Questa carrellata d metod vers per la determazoe del daeggameto, basat su cambamet delle frequeze, o è certo esaustva, perché esstoo molt alt metod basat su questo approcco..4.. Metod basat su cambamet delle forme modal. Le forme modal, geere, soo maggormete fluezate, rspetto alle frequeze, dal daeggameto locale per cu offroo possbltà decsamete mglor d detfcare e localzzare l dao. Il procedmeto verso d localzzazoe del dao, vsto el paragrafo precedete può essere esteso ache a metod basat sulla varazoe delle forme modal. I cambamet elle forme modal e elle loro dervate rspetto al parametro d spostameto possoo essere computat attraverso le seguet espresso [6]: * { φ } d u { φ } { φ } = d u (.5) ω ω

25 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO Dove al solto s è dcato co: * { φ } d u { φ }' { φ } ' ' = d u (.6) ω ' ω ' {} φ = l vettore dell -esma forma modale; { ω } = la frequeza relatva all -esma forma modale; e co gl apc u e d rspettvamete lo stato o daeggato e quello daeggato. I cambamet quest parametr soo smulat attraverso ua rduzoe della rgdezza cascu elemeto strutturale e, al fe d quatfcare e localzzare l daeggameto, le varazo prevste vegoo comparate, secodo var metod d correlazoe co cambamet msurat. Alcu metod, basat su cambamet delle forme modal [7], operao ua dscretzzazoe della struttura cercado d determare la rduzoe d rgdezza cascu elemeto strutturale. I tal caso s opera uo svluppo sere d Taylor arrestato al prmo orde de parametr modal parametr elemetar. Ua volta localzzato l daeggameto, la sua ettà è determata attraverso ua formulazoe sul cambameto dell eerga d deformazoe provocato dalla preseza della fessura. Ache questo caso s utlzza l metodo d Newto-Rapso per la soluzoe del sstema d equazo che forsce parametr del daeggameto. E stato oltre proposto letteratura la determazoe d u dce d dao globale [8], calcolato a partre da rapport pesat, fra le frequeze atural della struttura daeggata e o. I pes usat esprmoo la sestvtà relatva d cascu modo al daeggameto. Quado s mafesta l daeggameto, vee calcolato u dce d tegrtà locale per determare l area dove è localzzato l dao. Tale dce vee calcolato a partre da quello globale attraverso ulteror pes che tegoo coto del quadrato del rapporto fra l ampezza de mod della struttura daeggata e o daeggata. Ne var metod d determazoe del daeggameto, basat su cambamet delle forme modal, l lvello d correlazoe fra mod della struttura, daeggata e o, è d solto determato attraverso seguet crter: M.A.C. (Modal Assurace Crtero), Co.M.A.C. (Coordate Modal Assurace Crtero), Node Le M.A.C. ed altr basat sul M.A.C., de qual s parlerà pù approfodtamete e prossm captol, e che sarao applcat a var cas d studo e paragraf d questa tes relatve alla spermetazoe Metod basat su cambamet della curvatura e dell eerga d deformazoe delle forme modal. U'alteratva all'utlzzo delle forme modal per otteere formazo spazal crca cambamet ella rsposta vbrazoale, è quella d usare forme modal dervate, come la curvatura. Per le trav, le pastre, gusc, s può scrvere la seguete relazoe dretta tra curvatura e teso d curvatura: dove: y ε = = χ y (.7) R

26 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. ε = deformazoe; R = raggo d curvatura; χ = R = curvatura; E stato dmostrato [9] che cambamet ella curvatura delle forme modal possoo essere buo dcator d daeggameto per modell FEM d strutture composte da trav. I valor della curvatura possoo essere calcolat, a partre da parametr d spostameto delle forme modal, attraverso l seguete crtero approssmato: φ '' q, φ q, φ q, + φ q+, = (.8) h co rfermeto al modo -esmo relatvo al parametro d spostameto q-esmo e dove h è la lughezza d oguo de due elemet compres fra parametr (q-) e (q+). Altre applcazo [] s basao sul decremeto dell eerga d deformazoe tra due grad d lbertà (DOF) della struttura. Tale decremeto è defto attraverso la curvatura della forma modale msurata. Per le strutture composte da trav co comportameto elastco leare, s defsce l parametro β = dce d daeggameto dell -esmo elemeto defto come: d µ j j: β = (.9) u µ j j: dove term µ j assumoo l seguete sgfcato: µ j = alquota d eerga d deformazoe msurata spermetalmete per l modo j tra gl estrem a e b dell elemeto. Per l modello d trave alla Eulero-Beroull le alquote d eerga d deformazoe possoo essere espresse el modo seguete: b l u '' u '' { [ φ (x)] j } dx + { [ φ (x)] j } dx a b = (.) u µ j l u '' { [ φ (x)] j } dx b l d '' d '' { [ φ (x)] j } dx + { [ φ (x)] j } d µ j l a = (.) '' { j }dx d [ φ (x)] L elemeto co l valore d β pù grade sarà quello probablmete daeggato. Nelle probabl zoe daeggate, la severtà del dao sarà valutata attraverso l parametro: α = cambameto ella rgdezza flessoale defto come: dx

27 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO dove: g u j α = (.) d g = j: j: g j u j b u '' { [ φ (x)] j } a dx l u '' { [ φ (x)] j } dx (.3) g d j b d '' { [ φ (x)] j } dx a = (.4) l d '' { [ φ (x)] j } dx I valor pù grad α sarao attt e put ove l daeggameto sarà pù severo. E stato oltre trodotto u parametro basato su cambamet ella deformazoe delle forme modal e ella loro frequeza []. Tale parametro può essere formulato el seguete modo: u * d (ω ) u { φ } = { φ } { φ } d (.5) (ω ) dove { φ } rappreseta la deformazoe dell -esmo modo. Questo parametro è pù sesble al daeggameto strutturale rspetto a tutt gl parametr equvalet computat a partre dagl spostamet Metod basat sulla flessbltà msurata damcamete. U'altra classe d metod d detfcazoe del dao usa la msurazoe damca della matrce d flessbltà per stmare cambamet el comportameto statco della struttura. Dato che la matrce d flessbltà è defta come l'verso della matrce d rgdezza, essa mette relazoe le forze statcamete applcate co l relatvo spostameto strutturale, per cu s può scrvere: u = G F (.6) dove: [ G ] = matrce d flessbltà. { } [ ] { } Og coloa della matrce d flessbltà rappreseta l modello d spostameto della struttura, assocato ad ua forza utara, applcata secodo l corrspodete parametro d spostameto. La matrce d flessbltà msurata può essere valutata attraverso msure ormalzzate rspetto alla massa, delle forme modal e delle frequeze: [ G] [ Φ] [ Λ] [ Φ] T (.7) 3

28 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. ma la sua scrttura attraverso questo metodo è approssmata a causa del fatto che geeralmete vegoo msurat solo prm mod della struttura (tpcamete d quell a frequeze pù basse). La scrttura della matrce d flessbltà completa rchederebbe la msurazoe d tutte le forme d modal e delle relatve frequeze. Tpcamete, l daeggameto, è determato comparado la matrce d flessbltà, determata usado mod della struttura daeggata, co la matrce d flessbltà scrtta usado mod della struttura o daeggata o la matrce d flessbltà d u modello F.E.M. A causa della relazoe d proporzoaltà versa co l quadrato delle frequeze modal, la matrce d flessbltà msurata è molto sesble al cambameto e mod della struttura avet frequeze pù basse. I metod basat sulla flessbltà msurata damcamete s dstguoo : a) Metod basat sulla comparazoe de cambamet d flessbltà; b) Metodo del cotrollo dell utà; c) Metod basat sull errore ella matrce d rgdezza; d) Metod basat sulla flessbltà resduale; e) Metod basat su cambamet msurat ella matrce d rgdezza Comparazoe de cambamet d flessbltà. La flessbltà msurata può essere utlzzata come u dce d codzoe per dcare l'tegrtà relatva d alcue strutture ed partcolare de pot []. Applcado questo approcco possoo essere determate formazo sul daeggameto della struttura comparado la flessbltà prevsta co le deformate statche dotte attraverso prove d carco. I alcue applcazo, msurata la flessbltà della struttura ed esamato l proflo della deformata trasversale, è stato osservato che le aomale el proflo deformato potevao essere buo dcator del daeggameto. Le dcazo delle msure d flessbltà, che gà dao formazo d massma, possoo essere usate come put alcu metod per la determazoe del daeggameto pù accurat Metodo del cotrollo dell'utà. Il metodo d cotrollo dell' utà è basato sulla relazoe pseudoversa fra la matrce d flessbltà msurata damcamete e la matrce d rgdezza della struttura [4-5]. E' defta ua matrce d errore: d u E = G K I (.8) dove al solto: d [ G ] u [ K ] [ ] [ ][ ] [ ] = matrce d flessbltà della struttura daeggata; = matrce d rgdezza della struttura o daeggata; [ I ] = matrce dettà; che msura l grado corrspodeza del quale è soddsfatta questa relazoe pseudoversa. La relazoe utlzzata è pseudo versa puttosto che versa quado la matrce d flessbltà msurata damcamete o ha u rago suffcete. Il metodo d cotrollo d utà è stato proposto per localzzare error d modellazoe. Il cotrollo avvee sulla matrce [ E ], cu term pù grad soo dce d errore e qud dao dcazo sulla evetuale preseza d daeggameto. 4

29 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO Metodo della matrce d errore d rgdezza. Il metodo della matrce d errore d rgdezza è basato sul calcolo d ua matrce d errore che è ua fuzoe della matrce d flessbltà e della matrce d rgdezza della struttura o daeggata. La matrce d errore d rgdezza è defta come [6]: dove u u [ ] [ E ] [ G][ K ] T E = (.9) d u [ G] [ G ] [ G ] = (.3) Per l'detfcazoe del dao, la matrce d rgdezza offre maggor formazo rspetto alla matrce delle masse, per cu geeralmete s usa pù estesamete el metodo che usa la matrce d errore. L esto del metodo dpede dal tpo d matrce d rduzoe utlzzata e dal umero d mod mpegat per assemblare la matrce d flessbltà. S è vsto che la Guyareducto, e le tecche d rduzoe dretta, e dao rsultat accettabl, a dffereza delle tecche d rduzoe per elmazoe [7] Effett della flessbltà resduale. La matrce della flessbltà resduale[ G r ] rappreseta l cotrbuto alla matrce d flessbltà de mod fuor dall ampezza d bada msurat. La matrce d flessbltà esatta può essere rferta a mod msurat e alla flessbltà resdua el seguete modo [8-9]: T G Φ Λ Φ + G (.3) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Esstoo delle tecche per valutare la parte o msurata della matrce d flessbltà queste o aggugoo formazo uove alle flessbltà resdua ma e completao la recproctà cosa che può essere utlzzata el calcolo della matrce d flessbltà msurata. S dmostra che comprededo la flessbltà resduale el calcolo della matrce d flessbltà msurata s produce ua pù stma accurata della matrce d flessbltà stessa [-] Cambamet ella matrce d rgdezza msurata. Ua varate all utlzzo della flessbltà msurata damcamete è l uso della matrce d rgdezza msurata damcamete e defta come la matrce pseudo versa della matrce d flessbltà. Smlmete, s potrebbero mpegare ache la matrce delle masse e dello smorzameto msurate damcamete. S può pervere alla localzzazoe del daeggameto attraverso ua comparazoe fra quest parametr matrcal []. E possble fatt utlzzare le matrc delle masse e delle rgdezze msurate per rsolvere l problema d coettvtà versa che valuta cambamet d mpedeza tra due parametr cematc per valutare l lvello d daeggameto..5. Metod basat sull aggorameto delle matrc. U altra classe d metod d detfcazoe del daeggameto è basata sull aals delle modfche elle matrc, delle masse, delle rgdezze, e de coeffcet d smorzameto del modello strutturale, per rprodurre l pù fedelmete possble la rsposta, statca o damca, msurata a partre da dat spermetal. Quest metod rsolvoo, attraverso le matrc r 5

30 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. aggorate, (varazo del modello attuale che producoo le matrc aggorate), l modello omale, e costtuscoo u problema d ottmzzazoe codzoata, basato sulle equazo del moto. La correlazoe tra le matrc aggorate, e le rspettve matrc orgal, forsce delle dcazo sul daeggameto che possoo essere utlzzate per quatfcare l estesoe e la localzzazoe. Quest metod usao geeralmete u set d equazo comu d base, e pass ell algortmo rsolutvo soo seguet:. Mmzzazoe della fuzoe obettvo;. Poszoe delle codzo del problema; 3. Schema umerco utlzzato per l mplemetazoe dell ottmzzazoe..5.. Fuzoe obettvo e codzo. C soo molte e dfferet equazo, basate su modell fsc, che soo usate sa come fuzo obettvo che come restrzo el problema d aggorameto delle matrc, procededo sull'algortmo d aggorameto. Le equazo del moto della struttura soo la base per l modal force error equato. Sa dato u modello FEM ad grad d lbertà e s abba la seguete equazoe del moto: U U U [ M ] {} x& + [ C ]{} x& + [ K ]{ x} = { f(t) } l equazoe agl autovalor per l equazoe precedete è: u u dove ( λ ) e { } & (.3) u u u u u u ( λ ) [ M ] ( λ ) [ C ] + [ K ] { φ } = {} + (.33) φ soo rspettvamete gl autovalor e gl autovettor del modo -esmo msurat, ella struttura o daeggata. S assume che questa equazoe sa soddsfatta per tutt mod msurat. S cosdero ora gl autovalor ed autovettor, corrspodet ella d d struttura daeggata, ( λ ) e { φ } [3]. Sosttuedo queste quattà ella equazoe agl autovalor scrtta sopra s avrà d u d u u d ( λ ) [ M ] + ( λ )[ C ] + [ K ] { φ } = { E } (.34) Dove {} E è apputo l modal force error (errore d forza modale o forza resduale) per l esmo modo della struttura daeggata. Questo vettore rappreseta la forzate armoca che dovrebbe essere applcata alla struttura o daeggata, cotraddstta dalle matrc: u u u d [ M ] ; [ C ] ;[ K ] alla frequeza ( λ ) modale { φ d }, affché la struttura possa rspodere la forma. C soo molt metod che soo usat per calcolare le matrc del modello u u u aaltco della struttura daeggata: [ M ] ;[ C ] ;[ K ] che soddsfao la rsultate l'equazoe del moto: ( λ d ) [ M d ] ( λ d )[ C d ] [ K d ] { φ d + + } = (.35) dove le matrc del modello daeggato soo defte come le matrc del modello o daeggato a meo d ua perturbazoe. Avremo qud: 6

31 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO d u [ M ] = [ M ] [ M] ; (.36) d u [ C ] [ C ] [ C] ; = (.37) d u [ K ] [ K ] [ K] ; e sosttuedo queste espresso ell equazoe del moto s ha: = (.38) d u d u u d ( λ ) [ M M] + ( λ ) [ C C] + [ K K] { φ } (.39) = ed elmado term che rappresetao la perturbazoe dal prmo membro avremo: d u d u u d d d d ( λ ) [ M ] + ( λ )[ C ] + [ K ]{ φ } = ( λ ) [ M] + ( λ )[ C] + [ K] { φ } (.4) Al prmo membro compaoo quattà ote, prma defte come modal force error. S può qud rscrvere l equazoe fuzoe de term d varazoe delle matrc: d d d ( λ ) [ M] + ( λ ) [ C] + [ K] { φ } = { E} (.4) L errore d forza modale è usato sa come fuzoe obettvo che come codzoe, come è possble capre da metod llustrat el seguto. Il matemeto della propretà d smmetra della matrce è usata come ua codzoe. Tale codzoe può essere scrtta per tutte le matrc essedo queste smmetrche. S avrà duque: [ M ] = [ M] T (.4) [ C ] = [ C] T (.43) [ K ] = [ K] T (.44) Allo stesso modo, l matemeto delle propretà d dspersoe della matrce ( term zero/o-zero che caratterzzao la matrce), s usa come codzoe. Tale codzoe può essere scrtta come u d sparse M = sparse M (.45) ([ ]) ( [ ]) u d ( [ C ]) sparse( [ C ]) sparse = (.46) u d ( [ K ]) sparse( [ K ]) sparse = (.47) Ache la coservazoe delle propretà d postvtà è usata come ua costrzoe. Qud per og matrce s può scrvere: x t M x (.48) { } [ ] { } 7

32 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. dove l terme { x } è u vettore arbtraro. {}[ C] { x} x t (.49) {}[ K] { x}.5.. Metod ottmal per l aggorameto delle matrc. x t (.5) I metod che usao ua forma chusa, ovvero rappresetao ua soluzoe dretta per l calcolo delle matrc del modello daeggato, o delle matrc d perturbazoe, soo comuemete dett metod ottmal d aggorameto della matrce. Il problema, geeralmete formulato come u moltplcatore d Lagrage, o come u problema d ottmzzazoe basato su delle restrzo, può essere scrtto come [4, 5]: m M, C, K { J ( M, C, K ) + λr ( M, C, K )} (.5) dove J è la fuzoe obettvo, R la fuzoe d codzoe, e λ è l moltplcatore d Lagrage o costate d pealtà [6, 7]. Ua formulazoe comue del problema dell aggorameto ottmale, cosste el cosderarlo u problema d ottmzzazoe, della orma d Frobeus, de parametr global delle matrc d perturbazoe, ove s cosder ullo l terme che rappreseta l errore d forza modale, e s sfrutto le propretà d smmetra delle matrc [8, 9]. Ioltre, è stata presetata ua tecca d aggorameto ottmale che formula u sstema perdetermato per u seme d parametr d daeggameto che rappresetao la rduzoe della rgdezza assale cascu elemeto. Per l -esmo elemeto la rgdezza assale può essere scrtta come [3]: ( d ) ( a ) (.5) dove ( a ) è la rgdezza assale d u elemeto della struttura o daeggata. Il valore d d rappreseta la rduzoe d rgdezza ello stesso elemeto. U altra tecca [3] ottmale d aggorameto della matrce, applcata specalmete alle strutture retcolar, s basa sul calcolo de parametr d masse e rgdezza atural degl elemet attraverso la msurazoe d frequeze e forme modal. Questo metodo mmzza la orma dell errore d forza modale (come defto sopra). I tal modo, se soo dspobl suffcet formazo sulle caratterstche modal, le propretà degl elemet possoo essere calcolate utlzzado le frequeze e le forme modal msurate e due matrc che rappresetao l oretazoe degl elemet ello spazo e la coessoe degl elemet retcolar. U altro tpo d approcco al problema dell aggorameto ottmale della matrce [3] comporta la mmzzazoe del rago della matrce delle perturbazo, puttosto che la orma d tale matrce. Questo approcco è motvato dall osservazoe che l daeggameto tederà ad essere cocetrato alcu elemet struttural, puttosto che dstrbuto u grade umero d quest. Qud l rago della matrce delle perturbazo tederà ad essere pccolo. La soluzoe per la matrce delle perturbazo è basata sulla teora che esste ua uca soluzoe d rago mmo per l sstema determato. S abba: 8

33 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO allora [ ]{ X } { Y } A = co [ ] [ A ] [ A ] = { Y}[ H]{ Y} T co [ H] { Y} T { X} A T = (.53) ( ) = (.54) V è oltre la teora M.R.P.T. (Mmum Ra Perturbato Theory) [3] che è costtuta da u algortmo d base che defsce l errore d forza modale { E } ed l vettore d daeggameto {} d per l -esmo modo, così l equazoe d perturbazoe dell errore può essere scrtta come: d d d = Z φ (.55) dove { } [ ] { } d d d [ Z ] ( λ ) [ M] + ( λ ) [ C] + [ K] = (.56) Osservado che l j-esmo elemeto d { d } sarà quado la j-esma rga della matrce della perturbazoe sarà, u terme dverso da { d} sarà terpretato come ua dcazoe d localzzazoe del daeggameto. I cambamet elle matrc delle perturbazo o soo l uca fote della preseza d term dvers da { d }, come s può otare rscrvedo l equazoe precedete per l q-esmo parametro d spostameto el modo seguete: d = z φ = z φ cosθ (.57) q d q d q d q d q q La devazoe dall agolo d 9 s dmostra u mglore dcatore della localzzazoe del daeggameto, rspetto agl gress dvers da { d }, partcolarmete quado la orma d ] d [ Z ha dfferete orde d gradezza. La soluzoe del problema è : [ ] { d} [ ]{ } T H d K = (.58) dove T ( ) T d [ H] {} d { φ } = (.59) La matrce d errore rsultate ha lo stesso rago del umero d mod usat per calcolare l errore d forza modale Metod d aggorameto basat sulla sestvtà. U altra classe d metod per l aggorameto delle matrc, s basa sulla soluzoe dello svluppo sere d Taylor del prmo orde che mmzza ua fuzoe d errore della matrce d perturbazoe. La teora d base cosste ella determazoe d u vettore d parametr modfcat [33]: + p p δp + = + (.6) {} ( ) { } ( ) { } ( ) dove l vettore de parametr d perturbazoe { } ( ) δp + è calcolato attraverso l metodo d Newto - Rapso che mmzza la seguete fuzoe d errore: 9

34 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. J {} ( ( ) { } ( + p δp ) ) J {} p ( + ) j ( ) ({} ( ) p ) { δp} ( + + ) = p (.6) dove J( {} p ) è la fuzoe d errore che deve essere mmzzata. Tpcamete la fuzoe d errore è propro l errore d forza modale defto ella equazoe.34. La prcpale dffereza fra sstem d aggorameto basat sulla sestvtà, cosste el metodo usato per valutare la matrce d sestvtà. Fodametalmete possoo essere utlzzat ella dfferezazoe, sa de valor aaltc che spermetal. Per la sestvtà spermetale le relazo d ortogoaltà: φ T M φ = I (.6) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ K] [ φ] [ Λ] φ T = (.63) ω φ possoo essere utlzzate per calcolare le dervate de seguet parametr modal: e. p p M K I metod basat sulla sestvtà aaltca, rchedoo la valutazoe delle dervate e, p p che rsultao meo sesbl alle perturbazo e dat [34]. Ua metodologa msta basata sull aggorameto delle matrc d sestvtà, prede coto le varazo d massa e rgdezza del sstema, le varazo delle frequeze, delle forme modal e della poszoe del cetro d massa. Il metodo usa la seguete matrce d sestvtà brda, co elemet sa spermetal che aaltc [35]: [ T] ω = K φ K ω M φ M K p M p (.64) dove la sestvtà de parametr modal è calcolata a partre da dat spermetal, e la matrce d sestvtà è calcolata a partre dal modello aaltco..6. Metod basat sulle Ret Neural. Il calcolo basato sulle ret eural artfcal (A.N.N.S.: Artfcal Neural Networ Sstem) [37] è u sstema d determazoe del dao strutturale reso promettete dalla sua forte capactà d rcooscmeto, classfcazoe del modello, terpretazoe de dat, capactà d approssmazoe d fuzo. A.N.N.S. esbsce ache tolleraza cosderevole a rumor d fodo, e capactà d elaborare dat parte complet o dfettos. Questa caratterstca è partcolarmete utle per la determazoe del dao elle grad strutture d gegera cvle dove dat msurat stu soo geeralmete complet e affett da rumor. Nell approcco A.N.N.S., dat rchest per modellare la relazoe versa soo otteut semplcemete come soluzoe del problema dretto. Scambado ruol d put e output ua fase d addestrameto della rete, vee creata ua mappatura fuzoale della relazoe versa, che può essere utlzzata per scop dagostc. Ua volta addestrata la rete, le sue capactà d auto-orgazzazoe e d appredmeto, cosetoo d elmare esplctamete

35 CAPITOLO - SULL IDENTIFICAZIONE DEL DANNEGGIAMENTO l utlzzo della relazoe d causa-effetto tra l tpo d dao ed l modello d rsposta, e d detfcare, per og scearo successvo (aalzzato dalla rete), smultaeamete e u uco passo (sstema oe-stage) l ubcazoe del dao e la sua gravtà [38]. Per quato rguarda l accuratezza ell detfcazoe dell estesoe del dao, lo schema oe-stage rchede che la rete sa addestrata co dfferet lvell d daeggameto per og possble ubcazoe dello stesso. Rcooscedo la mglore abltà d A.N.N.S. ell terpolare pù che ell estrapolare dat, s capsce che l seme degl esemp d addestrameto, deve compredere ache daeggamet pù grad che possoo occorrere. D cosegueza, quado s ha a che fare co strutture d ua certa gradezza, co molte ubcazo possbl d dao, la costruzoe della rete rchede l esame d u umero esorbtate d dat e u processo d addestrameto molto lugo. Tutto cò va a scapto dell effceza d addestrameto e dell'accuratezza della rete eurale. E propro per questo motvo che la rcerca matera è oretata allo svluppo d sstem che evto process d addestrameto molto lugh. A tal proposto s cerca d rsolvere la questoe della localzzazoe e quatfcazoe del daeggameto, ache attraverso l uso d pù ret, ogua delle qual addestrata alla soluzoe uo specfco sottoproblema (procedmet gerarchco o sstema plur-stages o plur-steps). La rete eurale pù comuemete usata è la M.L.P (Mult Layer Percepto) addestrata secodo la bacpropagato detta comuemete bacprop eural etwor La bacprop eural etwor è u sstema d fuzo a cascata dove l output d u passo, moltplcato per alcu pes, è usato come put per l passo successvo. Ua volta scelta u'archtettura per la rete, la fuzoe attuale rappresetata dalla rete eurale, è codfcata attraverso pes e devazo. L algortmo d addestrameto della rete, bacpropagato, rappreseta u modo d adattare e correggere pes e le devazo, mmzzado l errore tra l output prevsto e quello msurato. Geeralmete pes, e le quattà da rettfcare soo pù de dat spermetal a dsposzoe, per cu l seme de dat vee percorso pù volte dall algortmo d addestrameto, fché o s soddsfa u crtero d errore tra dat e la rete eurale. Cascua terazoe geerata dall errore vee detta epoca.

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37 CAPITOLO MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE Nel captolo soo descrtte le caratterstche matematche de modell, utlzzat per rappresetare l comportameto damco d ua struttura. Vegoo propost sa modell mpegat el caso d u sstema S.D.O.F (sstema ad u solo grado d lbertà), che el caso M.D.O.F. (sstema a pù grad d lbertà).

38 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO... Descrzo della damca d ua struttura. Nel caso geerale l modello damco d ua struttura è dato da u sstema a pù grad d lbertà. Questo modello rappreseta comuque ua approssmazoe della stuazoe effettva che è quella d ua struttura cotua e qud caratterzzata da u umero fto d grad d lbertà; per u sstema a pù grad d lbertà s ha [39-4]: M & x + Cx& + Kx = f(t) (.) dove x è u vettore, ad compoet, che comprede grad d lbertà scelt per la rappresetazoe della struttura (dal puto d vsta spermetale possoo essere put d msura), f(t) è l vettore delle forze aget sulla struttura, M è la matrce,, d massa ed aalogamete C e K soo le matrc, sempre, d smorzameto vscoso e d rgdezza. Il modello defto dalla (.) è l modello spazale costtuto dalle matrc d massa, smorzameto e d rgdezza, ed è ormalmete costruto tramte u procedmeto umerco (ad es. co l'mpego del metodo agl elemet ft) e o è qud geeralmete accessble tramte l'approcco spermetale. Dallo studo della vbrazoe lbera, che s può otteere umercamete determado gl autovalor ed autovettor del sstema (.) (co f(t) ullo), o dalla spermetazoe, s possoo otteere pulsazo atural, ω, coeffcet d smorzametoξ, ed deformate modal, () φ ; queste matrc d autovettor che costtuscoo vece l modello modale. S osserva che da u puto d vsta spermetale esstoo fort lmtazo sulla possbltà d otteere u umero elevato d mod fodametal d ua struttura ed ache sulla possbltà d codurre la msura su d u umero molto elevato d put. Dalla determazoe delle fuzo d rsposta frequeza, utl alla rsoluzoe d problem d detfcazoe [4-48], della struttura s determa l modello relatvo; questo vee drettamete rcavato dall'approcco spermetale orama classco ell'aals modale e può comuque essere rcavato ache dall'approcco umerco. I stes qud s possoo defre tre dvers modell per lo studo della damca d ua struttura: spazale; modale; delle fuzo d rsposta frequeza; Ess costtuscoo aturalmete de mod dvers, ma equvalet, per rappresetare l comportameto damco d ua struttura e possoo essere determat va umerca o spermetale. Ache l cofroto tra rsultat umerc e quell otteut dalla spermetazoe può essere codotto sulla base d quest modell... Modello ad u solo grado d lbertà SDOF. Il modello ad u solo grado d lbertà (Sgle Degree Of Freedom) o può rappresetare l comportameto d u elemeto strutturale, ma le sue caratterstche soo mportat poché da esse s svluppao quelle del modello a pù grad d lbertà. S cosder l sstema caratterzzato da ua massa, m, ed ua molla d rgdezza (modello o smorzato). L'equazoe del moto el caso d vbrazoe lbera è: 4

39 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE m & x + x = (.) Se s cosdera l'equazoe caratterstca della precedete, ovvero s cercao soluzo del tpo: st x(t) = x e (.3) s ha: ( s s m + ) = s, = ± j = ± jω (.4) m s t st e s ha allora ua rsposta lbera del tpo x(t) = ce + c e = x cos( ωt) + x& ω s( ω t). Qud l modello modale cosste questo caso u modo d vbrazoe la cu pulsazoe aturale è data da: ω = m (.5) e la deformata modale è data da ua costate. Nel caso d vbrazoe forzata s cosdera ua fuzoe d gresso f(t) d tpo armoco co pulsazoe ω scrtta : jvt f (t) = f e (.6) Se s poe pure per la soluzoe: x(t) jωt = x e (.7) s ha: jωt jωt ( ω m + ) x e = f e (.8) da cu la fuzoe d rsposta frequeza: x f * * = = H( ω) (.9) ω m che può terpretars come l rapporto tra spostameto e forza d gresso d tpo armoco e rappreseta qud ua flessbltà damca dcata ache come recettaza o ammetteza; s ota che la fuzoe d rsposta H( ω ) o dpede realtà dal tpo d fuzoe d gresso e costtusce qud ua caratterstca trseca del sstema. S ottee qud l modulo della H( ω ) : H( ω ) = (.) ω m ( ) jwt S osserva che se pure la (.6) è u'espressoe campo complesso, poché Re( f e ) = f cos( ωt) ed l sstema oggetto è leare, se s cosderasse rspettvamete la parte reale o la parte mmagara dell'uscta * (.7) s otterrebbe rspettvamete la rsposta ( campo reale) a regme permaete all'gresso f cos( ωt) e * all gresso f s( ωt). 5

40 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. S cosdera ora ache la preseza d u terme smorzate d tpo vscoso co coeffcete d smorzameto c. L'equazoe del moto, per la vbrazoe lbera è : s poe per la rcerca degl espoet caratterstc: m & x + cx& + x = (.) x(t) st = x e (.) e s ha: da cu avedo posto s ms + cs + = (.3), = ωζ ± ω ζ (.4) c c ω = ; ζ = = ; (.5) m c m s ottee qud ua soluzoe del tpo: x(t) s t s t σt j ' t s t j ' t ω e ω = c e + c e = ce e + c e (.6) coè u modo d vbrazoe co ua frequeza aturale complessa caratterzzata da ua parte mmagara : ω ' = ω ζ (.7) e da ua parte reale σ = ω ζ (.8) S osserva come, per effetto del terme smorzate, s ha ua pulsazoe ω ' che è dversa da quella ω, del sstema o smorzato ache se, per elemet struttural cvl a pù grad d lbertà la dffereza term umerc è molto lmtata quato valor de coeffcet dmesoal d smorzameto soo molto lmtat, tpcamete dell orde d qualche utà percetuale. Nel caso d vbrazoe forzata d tpo armoco co pulsazoe ω s cosdera acora: f (t) * jωt = f e (.9) e s ha: jωω jωt ( ω m + jωω+ ) x e = f e (.) S ottee cos la fuzoe d rsposta frequeza, flessbltà damca, dalla : 6

41 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE x ( ω) = f H = ω m + jωc (.) S tratta tal caso d ua gradezza complessa, l cu modulo è dato da: H( ω ) = ( ω m) + ( ωc) (.) e la fase da: ωc ta H( ω ) = (.3) ( ω m) U esame del comportameto effettvo delle strutture suggersce ache u modello dverso per rappresetare le caratterstche d smorzameto; partcolare la dpedeza dalla frequeza delle caratterstche struttural può essere rappresetata co uo smorzameto che vara co la frequeza secodo la: c = h (.4) ω S tratta del modello d smorzameto strutturale o d steres che corrspode all equazoe (scrtta ua otazoe msta tempo-frequeza): ( + jh) x f(t) m & x + = (.5) Nel caso d rsposta forzata s ha la fuzoe d rsposta frequeza * x ( ω ) = = * (.6) f ω m + jh H o ache: / H( ω ) = (.7) * ( ω/ ω ) + jh dove h h * = dca l fattore d perdta strutturale. S ha qud per l modulo d H( ω ) : H( ω ) = ω m + h ( ) (.8) Le motvazo legate all troduzoe d questo tpo d smorzameto soo legate al fatto che se s cosdera l eerga dsspata da ua forza d u compoete vscoelastco = cx& u cclo d moto armoco co x( t) = s( ωt) d perodo T = π, s ha: ω f d 7

42 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. T π / ω ( ωt) dt = πcω ε = f x& d d dt = cω cos (.9) ovvero s ottee u eerga dsspata learmete dpedete dalla frequeza del moto, fatto questo che o ha u evdeza spermetale. La caratterzzazoe della forza dsspatrce d tpo steretco come precedetemete trodotta è evdetemete grado d superare questo errore d modellazoe.... Fuzo d rsposta frequeza per l modello SDOF. S è defta ua fuzoe d rsposta frequeza H( ω ) come rapporto tra lo spostameto, * x, e la forza, f *, ma aturalmete è ache possble sceglere per descrvere l sstema ua fuzoe d rsposta frequeza dversa: ad esempo, co rfermeto alla t veloctà v(t) x(t) v * e j ω = & = come gradezza uscta, s può defre ua fuzoe d rsposta frequeza, dcata co mobltà, co la: Se s cosderao allora le relazo: * v Y ( ω ) = (.3) * f x(t) * jωt * jωt * jωt = x e v(t) = x(t) & = v e = jωx e (.3) s ha allora: co le relazo per l modulo: e per la fase: * x ω (.3) f ( ) = jω = jωh( ω) Y * ( ) = ωh( ω) Y ω (.33) o ϑ y = ϑh + 9 (.34) S può ache cosderare uscta l accelerazoe FRF dcata come acceleraza: a(t) = & t a * ω & x(t) = e e s defsce così la * a A( ω ) = = ω H( ω) (.35) * f Come s è detto le FRF soo fuzo complesse e qud o se e può avere ua rappresetazoe dretta su d u pao cartesao, tp classc d rappresetazoe soo: Modulo (espresso ormalmete decbel, db) fuzoe della pulsazoe ( decad logartmche) e fase fuzoe della pulsazoe ( decad logartmche), così co l dagramma d Bode. 8

43 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE Parte reale fuzoe della frequeza (o pulsazoe) e parte mmagara fuzoe della frequeza (o pulsazoe); co rfermeto al caso d smorzameto vscoso s ha: Re ω [ H( ω )] = e Im[ H( )] ( ω m) + ω c m ωc ω = (.36) ( ω m) + ω c co gl adamet rportat fgg.. e.. Parte reale e parte mmagara su d u dagramma polare, co la frequeza come parametro, defto dagramma d Argad o d Nyqust Fgura.. Parte reale d ua FRF d u sstema ad u grado d lbertà Fgura.. Parte mmagara d ua FRF d u sstema ad u grado d lbertà Il dagramma d Argad è molto usato per la sua partcolare effcaca el presetare dettaglo la zoa della FRF ell'toro della frequeza d rsoaza, metre put che soo lota dalla rsoaza soo spostat toro all'orge del dagramma. I partcolare se s cosdera el caso della FRF relatva alla veloctà Y ( ω) l modulo fuzoe della frequeza s vede che, per smorzameto pccolo, s ha u dagramma smmetrco rspetto alla frequeza Y ω el caso d d rsoaza. I dagramm d Argad, sempre relatv alla FRF d veloctà ( ) 9

44 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. smorzameto vscoso, o alla FRF d spostameto ( ω) H el caso d smorzameto strutturale rsultao delle crcofereze: questa caratterstca è molto utle per l procedmeto d curve fttg che può essere utlzzato per la valutazoe de parametr modal..3. Modello a pù grad d lbertà MDOF. S passa ora all'estesoe delle cosderazo vste el caso d u modello ad u solo grado d lbertà, S.D.O.F. (Sgle Degree of Freedom), al caso, d maggore teresse pratco, del modello a pù grad d lbertà, M.D.O.F. (Mult Degree of Freedom)..3.. Caso o smorzato: vbrazoe lbera, mod e frequeze propre d vbrazoe. Per l modello a pù grad d lbertà le equazo del moto, el caso o smorzato, soo: M & x (t) + Kx (t) = f(t) (.37) dove M e K soo le matrc d massa e d rgdezza del sstema d dmeso se soo grad d lbertà che s cosderao ella (.37) ed x(t), f(t) soo vettor degl spostamet e delle forze applcate sempre ad compoet: la matrce d massa è ua matrce defta postva e quella d rgdezza semdefta postva vrtù delle be ote propretà delle eerge omome assocabl a tal matrc: partcolare s osserva che per u geerco vettore u o ullo s ha che: u T M u > u T K u > (.38) E possble assocare a tal matrc l problema d autovalor ( ) ( K λ M) φ (.39) = cu, come d cosueto, gl autovalor soo calcolat rsolvedo l'equazoe caratterstca det ( K λ M) = (.4) e gl autovettor da corrspodet problem omogee dat dalla (.39). Se ora s scrve la (.39) rspetto all'autovalore -esmo ed rspetto a quello m-esmo e s premoltplcao le relazo otteute rspettvamete per T ( m ) φ e T ( ) φ s ha: T T ( m ) ( ) ( m ) ( ) φ Kφ = λ φ Mφ (.4) T T ( ) ( m ) ( ) ( m ) φ Kφ = λ mφ Mφ (.4) le qual, sottratte tra loro ed vrtù della smmetra delle due matrc dao: T ( ) ( m ) ( λ λ ) φ Mφ = (.43) m 3

45 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE e coè, se gl autovalor λ e λ m soo dstt allora deve essere: ( ) T φ M φ ( m ) =, altrmet T ( m ) ( m ) quado soo ugual, l prodotto φ Mφ per la postvtà della matrce darà luogo ad u umero postvo che s dcherà co m. Duque T ( ) ( m ) φ Mφ = δ mm ovvero:.. T Φ M Φ = m.. (.44) dove la Φ è la matrce avete per coloe gl autovettor Se ora vece che la (.39) s cosdera la equvalete λ ( ) φ. ( ) K M φ = (.45) e s retera l ragoameto precedete s ottee la relazoe d ortogoaltà T ( ) ( m ) φ Kφ =δ m ovvero:.. T Φ K Φ =.. (.46) cu le rgdezze geeralzzate sem-postvtà d K. S osserva oltre, dalla (.39) premoltplcata φ K o potrao che essere postve (o ulle) vrtù della T ( ) T che: ( ) ( ) φ Kφ λ = = ω > T (.47) ( ) ( ) φ Mφ e coè che l'autovalore λ è postvo e sarà qud dcato el seguto co ω. ( ) S mostra ora come vettor φ e le costat ω appea defte assumao l sgfcato d mod e frequeze (agolar) propre d vbrazoe. Se così fosse, per defzoe fsca d frequeza e modo propro d vbrazoe, l problema lbero M & x (t) + Kx (t) = (.48) x() dovrebbe forre la soluzoe: (m) = φ e x () = x (t) & (.49) (m) = φ cos(ω t) (.5) T Se s utlzza fatt l cambameto d coordate x = Φq e s premoltplca la (.48) per Φ, s ottegoo ua sere d equazo dfferezal ordare tutte dsaccoppate la cu eesma s preseta come 3

46 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. la cu soluzoe è: q (t) = q m & q + q (.5) = cos( ω q& t) + ω s( ω t) (.5) Essedo x () = Φq e x & () = Φq&. Duque rcostruedo la soluzoe orgara ed base alle codzo zal del problema (.49) s ha propro la (.5). Pertato, el seguto s () detfcherao le ω e φ drettamete come frequeze (agolar) e mod propr della struttura esame (sebbee a rgore ess rappreseterebbero, ell'ambto della dscretzzazoe agl elemet ft della struttura a cu s fa rfermeto, ua dscretzzazoe dell'orgaro cocetto fsco). La soluzoe completa del problema è coteuta elle matrc degl autovalor, dcata co Ω che è ua matrce dagoale che cotee sulla dagoale prcpale le pulsazo atural al quadrato, e degl autovettor, dcata co Φ che cotee, ( ) poszoate per coloe, le deformate modal φ. Co procedmet umerc basat sulla rsoluzoe della (.39) è possble passare dalle matrc spazal, d massa M e d rgdezza K, alle matrc che rappresetao l modello modale, dcate co Ω e Φ. La matrce delle pulsazo atural, Ω, è uvocamete determata metre la matrce delle deformate modal, Φ, o lo è, quato le sgole () deformate φ soo defte a meo d ua costate come autosoluzo del problema omogeeo (.39). S possoo utlzzare dvers procedmet d ormalzzazoe delle deformate modal, l pù sgfcatvo è quello d ormalzzazoe rspetto alla massa; questo caso gl autovettor, * dcat ella matrce Φ, soo deft dalle relazo: Φ * T MΦ * = I (.53) * T * Φ K Φ = Ω (.54) dove I ed Ω dcao rspettvamete la matrce dagoale utara e la matrce dagoale delle pulsazo atural; la relazoe esstete tra l geerco modo ormalzzato ed l corrspodete modo o ormalzzato è data dalla: ( ) ( ) φ = φ (.55) m.3.. Caso o smorzato: rsposta forzata. S cosder ora, sempre per l modello o smorzato, l caso forzato, cu s ha u vettore d forze d gresso caratterzzato da compoet tutte alla stessa pulsazoe ω, ma co dversa ampezza e fase defto dalla: * t f(t) f e j ω = (.56) I questo caso s poe la soluzoe del sstema.37 ella forma: x(t) * t x e j ω = (.57) 3

47 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE dove f * e dvee: * x soo vettor ad compoet d ampezze complesse. L'equazoe del moto.37 * j t * jωt ( K ω M) x e ω = f e (.58) s può così defre ua matrce d flessbltà damca, che costtusce u modello d rsposta el campo delle fuzo d rsposta frequeza, FRF, co la: ( K ω M) H( ω ) = (.59) L'elemeto geerco della matrce d flessbltà damca può essere defto dalla: x H j ( ω ) = (.6) f * j * cu però f * m = per m dverso da. Come rsulta evdete dalla (.59) è possble calcolare valor della matrce d flessbltà damca, H( ω ), per og pulsazoe ω, se soo ote le matrc, M e K, del modello spazale. Questo procedmeto rchede l'versoe d ua matrce, geere d grad dmeso, per og valore d ω cò preseta dverse lmtazo quato dvee computazoalmete costoso se l umero de grad d lbertà è molto alto. Ioltre s deve calcolare tutta la matrce H( ω ) blocco e o s ottegoo formazo sulle propretà delle sgole FRF. S può mpegare, e rsulta geeralmete coveete, u approcco dverso che cosete d calcolare la matrce d flessbltà damca H( ω ) fuzoe del modello modale vece d quello spazale. Dalla (.59) s ha: ( K ω M) = H( ω) (.6) pre-moltplcado per la matrce trasposta degl autovettor, ormalzzat rspetto alla massa, e post-moltplcado per la matrce degl autovettor ormalzzat s ha: Φ * T (K - * ( ω) Φ * * ω M)Φ = Φ T H (.6) Utlzzado le propretà d ortogoaltà.53 e.54 la.6 dvee: * ( ω) Φ * ω T ω = Φ H (.63) da cu vertedo, pre-moltplcado per la matrce * Φ T s ottee: * Φ e post-moltplcado per la matrce 33

48 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. H ( )... * * ω = Φ Φ T (.64) ω ω Dalla (.64) s vede che la matrce d flessbltà damca è ua matrce smmetrca, fatt rsulta dal prodotto d ua matrce, *... Φ, per ua matrce dagoale, ( Ω ω I) per la trasposta della matrce zale, Φ, come d altra parte la matrce H( ω ) deve essere smmetrca base al prcpo d recproctà (teorema d Bett): * T x x H j ( ω ) = = H j( ω) = (.65) f f * j * * * j La (.64) permette d calcolare l sgolo elemeto della matrce d flessbltà damca dalla: ( r ) ( r ) φ φ H ( ω) = (.66) j j r= m r r ω ( ω ) (r) dove l smbolo φ dca la compoete -esma del modo r-esmo; l sgolo elemeto della matrce d flessbltà s può qud ache scrvere stetcamete come: ( r ) A H ( ω) = (.67) j j = ωr ω dove co A s dca la costate modale del modo r- esmo relatva a grad d lbertà j e. (r) j.3.3. Smorzameto proporzoale. S fa ora rfermeto ad u caso partcolare d smorzameto che preseta l vataggo d ua grade semplctà d aals: l puto essezale è che co questo modello d smorzameto mod fodametal da cosderare soo pratcamete ugual a quell del modello o smorzato, fatt le deformate modal soo detche e le frequeze atural soo umercamete molto vce. Qud è possble rcavare le propretà modal d ua struttura rappresetata co uo smorzameto d tpo proporzoale a partre dallo studo del modello o smorzato. L'equazoe geerale del moto preseza d smorzameto rsulta: M & x (t) + Cx& + Kx (t) = f(t) (.68) Se s poe la matrce d smorzameto come proporzoale rspetto alla matrce d rgdezza s ha: C = β K (.69) 34

49 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE se s pre-moltplca la matrce d smorzameto per la matrce, trasposta, degl autovettor del sstema o smorzato e s moltplca per la matrce degl autovettor del sstema o smorzato s ottee: T T Φ CΦ = βφ K Φ = β = c (.7) dove gl elemet c soo gl smorzamet de sgol mod del modello; l fatto che la matrce che s ottee co questa operazoe sa ua matrce dagoale dpede dalla codzoe d proporzoaltà, (.69), ed dca che le deformate modal del sstema o smorzato possoo essere mpegate per l sstema smorzato, co smorzameto proporzoale. Se s cosdera l sstema (.68) el caso d rsposta lbera, premoltplcado per la matrce trasposta degl autovettor del sstema o smorzato s ha: T T T Φ Mx & + Φ Cx& + Φ K x = (.7) Sosttuedo po alle coordate fsche le coordate modal, q co la poszoe: x = Φq (.7) s ottee:... m & q + c q& + q (.73) = cu c = b, e che scrtta per l -esmo modo dvee: m & q + c q& + q (.74) = s tratta dell'equazoe d u sstema ad u solo grado d lbertà che ha ua frequeza aturale complessa co ua parte oscllatora data dalla: ω' ω = ζ (.75) dove ω è la pulsazoe aturale o smorzata del -esmo modo, data dalla ζ è l coeffcete dmesoale d smorzameto del modo ζ, dato dalla co u decadmeto espoezale dato dalla: ζ ω = c = m m e e σ = ζ ω (.76) I aaloga a quato vsto per l caso asseza d smorzameto, el caso d sstema forzato s ottee per la matrce d flessbltà, o matrce delle fuzo d rsposta frequeza, l'espressoe: ( ) [ ω ] K + jωc M H ω = (.77) 35

50 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. e qud l geerco terme della matrce d flessbltà rsulta: H j ( ω) = * ( r) ( r) ( r ) ( r) * φ φ j φ j φ = r= r m rω + jωcr r= ωr ω + jωωrζ r (.78) co ζ = c r rm r, che è del tutto smle alla aaloga espressoe (.66), otteuta per l caso o smorzato, sebbee questo caso l terme ( ω) rsult complesso. S è cosderato u caso partcolare d matrce d smorzameto proporzoale alla matrce d rgdezza, ma realtà ua stuazoe equvalete s ha se la matrce d smorzameto è proporzoale rspetto alla matrce d massa del sstema, secodo la: H j C = αm (.79) Pù geerale el caso d smorzameto proporzoale s cosdera che la matrce d smorzameto possa essere proporzoale rspetto ad ua combazoe leare delle matrc d massa e d rgdezza co la poszoe: da cu: C = βk + αm (.8) c = β + αm (.8) ed l sstema smorzato avrà acora autovalor del tpo (.75) ed autovettor che soo ugual a quell del sstema o smorzato corrspodete. Questo modello d smorzameto proporzoale, oltre al vataggo della semplctà d trattazoe, rsulta d teresse pratco quato meccasm fsc d smorzameto soo effettvamete collegat co le caratterstche d rgdezza della struttura, per quato rguarda lo smorzameto tero del materale, e co le caratterstche d massa, per quato rguarda lo smorzameto d attrto. Delle cosderazo del tutto aaloghe s possoo svluppare per u modello a pù grad d lbertà, ma co smorzameto d steres, l'equazoe geerale del moto rsulta tal caso scrtta (ella forma msta tempo-frequeza): M & x + (K + jh) x = f (.8) Se s poe la matrce d smorzameto d steres H come proporzoale rspetto alle matrc d massa e d rgdezza: H = βk + α M (.83) ache questo caso gl autovettor del sstema smorzato rsultao ugual a quell del sstema o smorzato e gl autovalor, compless, rsultao co quadrato par a: ( + j ) s ω η = (.84) 36

51 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE Dove ω = e per fattor d perdta m ω matrce d flessbltà damca rsulta: α η = β + ; fe, l geerco terme della H j ( ω) = r r= ω φ ( r ) ( r ) j m r φ + jη r r (.85).3.4. Smorzameto d steres: caso geerale. Il modello che cosdera lo smorzameto come proporzoale alla dstrbuzoe d massa e d rgdezza è u caso partcolare, ache se molto mportate dal puto d vsta pratco; bsoga qud cosderare ache l caso pù geerale d smorzameto per poter compredere meglo dat spermetal che s ottegoo dalle prove sulle strutture che, aturalmete, el loro comportameto o seguoo ecessaramete per lo smorzameto l modello d proporzoaltà. Se s fa rfermeto al caso geerale d smorzameto d steres: M & x&+ Kx + jhx = f (.86) co H matrce smmetrca. Nel caso d rsposta lbera (f = ) cu la soluzoe vee posta del tpo µ t x(t) = φ e (.87) s ha u problema d autosoluzo rappresetato da due matrc µ e Φ che cotegoo gl autovalor µ e gl autovettor φ ( ). I questo caso le due matrc soo complesse e le deformate modal soo rappresetate forma complessa; l -esmo autovalore può scrvers ella forma: µ = ω + jη (.88) ( ) dove ω è prossma alla pulsazoe aturale del sstema o smorzato ed η dca l fattore d perdta per l -esmo modo; s osserva che la µ che appare ella (.88) è dversa dalla pulsazoe aturale del modo o smorzato, ache se umercamete valor soo molto vc. () Ache le deformate modal φ soo complesse, questo sgfca che l'ampezza d og grado d lbertà del sstema vee caratterzzata co modulo e fase, metre el caso o smorzato o co smorzameto proporzoale, s ha sempre ua fase che può assumere soltato valor d o d 8 grad. Nel caso pù geerale d smorzameto, e qud co smorzameto o proporzoale, s hao de mod compless cu la fase vara da u grado d lbertà all'altro e può assumere qualsas valore. Nel caso d mod compless s hao acora le propretà d ortogoaltà vste el caso d mod real: 37

52 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO.... T Φ M Φ = m... (.89) Φ T ( K + jh)... Φ =... (.9) la massa e la rgdezza geeralzzate, m, soo aturalmete complesse e dpedoo dal tpo d ormalzzazoe che s è scelta per le deformate modal, metre gl autovalor (v. (.88)) soo correlat co le m e dalla µ = (.9) m j t Nel caso d rsposta forzata, per ecctazoe f = f * e ω j t e rsposta x = x * e ω l'equazoe del moto rsulta: * j t * jω K + jm ω M x e ω = f e (.9) ( ) t Dalla.9 s ottee, per la matrce d flessbltà damca, l'espressoe: ( ) = ( K + M ω M) H ω j (.93) Procededo aaloga a quato vsto el par..3., s può esprmere la matrce d flessbltà damca term delle matrc del modello modale, vece che delle matrc del modello spazale, come ella (.93), e s ottee:... T H( ω ) = Φ Φ (.94) µ ω... e per l sgolo terme della matrce s ha per l caso geerale d masse geeralzzate o utare: ( r ) ( r ) φ j φ H j( ω) = (.95) m ω ω + j ω ( ) r= r r ηr Nella (.95), a dffereza d quato vsto precedetemete, sa l umeratore che l deomatore rsultao compless, perché soo compless gl autovettor ed è apputo questa la dffereza essezale rspetto al caso cu s cosder lo smorzameto come proporzoale alle matrc d massa o d rgdezza. r 38

53 CAPITOLO -MODELLI MATEMATICI NELLA DINAMICA STRUTTURALE.3.5. Smorzameto vscoso: caso geerale. L'equazoe del moto per u sstema a pù grad d lbertà co smorzameto vscoso el caso d vbrazoe lbera rsulta: M & x&+ Cx& + Kx = (.96) co C matrce smmetrca e postva. Se s rcerca le soluzoe sotto la forma: x st ( t) φ e = (.97) la (.95) dvee: ( s M sc + K) φ = + (.98) La soluzoe della (.98) è costtuta dalla soluzoe d u problema d autovalor ella forma ( ) ( s + C + K φ ) = M (.99) s co =,,..., che è dverso rspetto a quello cosderato el caso d smorzameto d steres. Ifatt come mostrato dalla (.99), v soo autovalor, se dca l umero de grad d lbertà el sstema (.96), vece degl N autovalor cosderat el caso d steres; ma quest autovalor soo a coppe compless cougat: aturalmete ad og autovalore corrspode u autovettore ed ache gl autovettor soo compless cougat a coppe. La soluzoe del sstema (.98) è qud data da autovalor e da autovettor compless * ( ) ( * ) cougat dcat co s s e φ, φ, rspettvamete. Gl autovalor s possoo scrvere: dove,, ω dca la pulsazoe aturale e ( ζ j ) s = ω + -ζ (.) ζ lo smorzameto del modo -esmo. Ache questo caso v soo delle propretà d ortogoaltà, ma esse soo dverse da quelle classche; autovalor ed autovettor soddsfao la (.99), se s pre-moltplca questa relazoe T (q) per φ s ottee: ( q) T ( ) ( ) La.99 può essere scrtta per l q-esmo modo: φ s M + s C + K φ = (.) ( q) ( s M s C + K) φ + (.) q q = Se s calcola la trasposta della (.), rcordado che le matrc d massa, M, d rgdezza, K, d smorzameto, C, soo delle matrc smmetrche s ottee: ( )( q s M s C K) T + + = Se s post-moltplca questa espressoe per (.) s ottee: φ (.3) q q () φ e s sottrae la relazoe così otteuta dalla 39

54 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. T T ( q) ( ) ( q) ( ) ( s s ) φ Mφ + ( s s ) φ Cφ = (.4) q Nel caso cu le due radc s e s sao dverse s ottee da questa espressoe ua prma codzoe d ortogoaltà: T T ( q) ( ) ( q) ( ) ( s s ) φ Mφ + φ C φ q + = (.5) q Ua secoda codzoe d ortogoaltà s può otteere dalle (.99) e (.) moltplcado la prma per s φ q (q) T, la secoda per s φ () T e sottraedo s ottee: T T ( q) ( ) ( q) ( ) s s φ Mφ + φ Kφ = (.6) q Le codzo (.5) e (.6) soo le codzo d ortogoaltà el caso geerale d smorzameto vscoso, quado o s fa uso dell'potes d smorzameto proporzoale; come s vede s tratta d codzo meo semplc d quelle classche. Se s cosdera ora l caso cu mod e q costtuscoo ua coppa d mod compless cougat s ha: s ( ζ + j ζ ) sq = ω ( ζ j ζ ) = ω (.7) q) ( ed corrspodet autovettor rsultao compless cougat, φ = φ queste poszo ella prma codzoe d ortogoaltà, (.5), s ottee: *T *T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; cosderado ω ζ φ Mφ + φ Cφ = (.8) da cu s ottee la prma codzoe d ortogoaltà: φ T *T ( ) ( ) Cφ c ω ζ = = * (.9) ( ) ( ) φ Mφ m Procededo maera aaloga ella secoda codzoe d ortogoaltà, s ottee: *T *T ( ) ( ) ( ) ( ) da cu la secoda codzoe d ortogoaltà: ω φ Mφ φ Kφ = (.) φ *T ( ) ( ) Kφ ω = *T (.) ( ) ( ) φ Mφ m Le m,, c, che appaoo elle codzo (.9), (.) vegoo acora dcate come massa, rgdezza e smorzameto modal ache se l loro sgfcato è dverso da quello corrspodete al caso d smorzameto proporzoale. 4

55 CAPITOLO 3 DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE ACQUISIZIONE DELLE FRF Nel captolo s troduce l Aals Damca Spermetale, vee descrtta la sua fase propramete spermetale. S rportao crter d acquszoe de parametr modal (frequeze, forme modal, coeffcet d smorzameto) a partre da dat spermetal acqust (FRF: fuzo d rsposta frequeza) e s evdezao alcue problematche legate a tale acquszoe.

56 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 3.. Prove spermetal d aals damca. Le prove damche spermetal che possoo essere codotte su sgol elemet struttural, s pogoo come obettvo fodametale la valutazoe della rsposta della struttura alle sollectazo d lavoro e la possbltà d verfcare e, se ecessaro, d mettere a puto, u modello umerco d prevsoe del comportameto damco della struttura [49-54]. I geere la spermetazoe vee tuttava codotta co delle sollectazo d gresso che o corrspodoo ad alcua stuazoe tpca d lavoro. Ache se lo scopo fodametale d ua spermetazoe damca è sempre quello d rcavare u modello umerco della struttura v soo delle dffereze, mportat dal puto d vsta spermetale perché determao la precsoe che vee rchesta alla spermetazoe e, qud, la dffcoltà ed deftva l costo, che soo relatve all'mpego che è prevsto per l modello stesso e che s può classfcare come: covalda del modello umerco della struttura: questo caso s deve otteere ua valutazoe, molto precsa, delle frequeze fodametal ed ua descrzoe delle deformate modal che sa suffcete ad detfcare l tpo d modo; per quato rguarda coeffcet d smorzameto geere o è possble u cofroto co valor otteut da ua prevsoe umerca ma soltato co delle stme d massma otteute medate aaloga d valor ot per strutture co caratterstche sml; rcerca delle cause delle dffereze esstet tra modello umerco e dat spermetal: s rchede, pù rspetto al caso precedete, ua valutazoe accurata delle deformate modal ed ache l'acquszoe d u umero pù elevato, d mod fodametal; detfcazoe d u modello umerco da utlzzare ache per tecche d sottostrutturazoe, d modfca strutturale, per l'detfcazoe delle forze che agscoo sulla struttura o per l'detfcazoe d da che s preseto durate la vta operatva: tutt quest cas s rchede u maggore lvello d precsoe elle msure e la determazoe d u umero acora pù elevato d mod fodametal. Nel caso geerale l modello damco d ua struttura è dato da u sstema dscreto a pù grad d lbertà, esso rappreseta ua approssmazoe della stuazoe effettva che è quella d ua struttura cotua e qud caratterzzata da u umero fto d grad d lbertà; l'equazoe del sstema ad grad d lbertà, el caso d smorzameto vscoso, è: ( t) M & x + Cx& + Kx = f (3.) dove x è u vettore, ad compoet, che comprede grad d lbertà scelt per la rappresetazoe della struttura (dal puto d vsta spermetale soo put d msura), f(t) è l vettore delle forze aget sulla struttura, M è la matrce, x, d massa ed aalogamete C e K soo le matrc, sempre x, d smorzameto vscoso e d rgdezza. Nel campo della tecca spermetale d aals damca s farà essezalmete rfermeto ad ua metodologa che rguarda la determazoe delle fuzo d rsposta frequeza, dcate co FRF [55], medate l'ecctazoe della struttura u solo puto e la rlevazoe dell'uscta su d u altro puto d msura (è ache possble ua stuazoe dversa cu sa l'gresso che l'uscta possoo essere relatv a pù put della struttura); la spermetazoe forsce drettamete u modello d rsposta term delle fuzo d rsposta d frequeza. Dalla valutazoe d u umero opportuo d FRF è possble passare al modello modale o a quello spazale. 4

57 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF Il segale d gresso vee applcato attraverso l collegameto della struttura co uo shaer o pù semplcemete co u gresso mpulsvo, geere otteuto co u martello dotato d ua cella d carco, metre l trasduttore geeralmete mpegato per la gradezza uscta è u accelerometro che deve essere coesso co la struttura: esso costtusce qud ua alterazoe della struttura stessa e questa alterazoe della struttura deve essere rdotta al mmo. Qud la massa dell'accelerometro deve essere la pù pccola possble; questa esgeza è compatble co l'mpego d accelerometr pezoelettrc oppure gl ovatv MEMS che o soo altro che u seme d dspostv d vara atura (meccac, elettrc ed elettroc) tegrat forma altamete maturzzata su uo stesso substrato d slco Ache ell'applcazoe delle forze d ecctazoe s ha ua alterazoe della struttura, partcolare el caso dell'mpego d shaer. 3.. Determazoe delle FRF co gresso d tpo geerale. S fa ora rfermeto al caso pù geerale cu l segale d gresso e qud l segale d rsposta o soo armoc semplc Igresso perodco. I questo caso l segale d gresso è d tpo perodco co perodo T e cosderamo per semplctà u sstema co u sgolo gresso ed ua sgola uscta (SISO, Sgle Iput Sgle Output); l segale d gresso s può esprmere co uo svluppo sere d Fourer, fatt ua fuzoe perodca d perodo T s può svluppare ella sere co ua espressoe : f () t + * jω t f e = = (3.) π co ω =. T Il segale d rsposta x(t) s può valutare cosderado l sgfcato stesso delle FRF e qud utlzzado la FRF calcolata corrspodeza delle frequeze che soo preset el segale d gresso, f(t), come dcato ella (3.4): x () t + = * jw t + = * jw t = x e = H( ω )f e (3.5) La (3.) è la forma complessa (espoezale) della sere d Fourer: coeffcet f * soo fort dall espressoe: T t * jω f = f () t e dt T (3.3) Esprmedo l espoezale complesso co la formula d Eulero, s pervee all espressoe della sere d Fourer moolatera: a ft = + [ a ( cosωt) + b ( s ωt) ] (3.4) = 43

58 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Naturalmete l segale d rsposta cotee soltato le frequeze che soo comprese el segale d gresso: qud l segale d rsposta x(t) è perodco, co lo stesso perodo T del segale d gresso, ma ha ua forma dversa perché la FRF ha valor dvers a secodo della frequeza. Per determare la FRF el caso d gresso perodco è qud ecessaro calcolare gl svlupp sere d Fourer de segal d gresso e d uscta: s ottegoo così le compoet delle fuzo d gresso e d uscta per gl stess valor dscret d frequeza che soo π multpl ter d. Da queste compoet s rcavao le FRF corrspodeza delle sole T π frequeze dscrete che soo multple d e s ottee: T x H ( ω ) = (3.6) f dalla (3.6) s possoo rcavare le FRF corrspodeza de valor d frequeza che corrspodoo a multpl del perodo del segale d gresso. Tale procedmeto può aturalmete essere esteso per sstem a put ed output multplo (MIMO, Multple Iput Multple Output), el caso coè s abbao pù put d msura. I tale caso la (3.6) s geeralzza per l terme geerco della matrce delle FRF x H ( ω ) = (3.7) f cu l'gresso perodco deve applcars el puto j - mo e deve essere uguale a zero tutt gl altr put Igresso mpulsvo. Cosderamo acora u sstema ad gresso ed uscta sgol, SISO. Nel caso cu l segale d gresso sa d tpo geerco (al lmte d tpo mpulsvo) s può rteere che vega rspettata la codzoe d Drchelet: j f () t dt < (3.8) ed è qud possble defre e calcolare la trasformata d Fourer d tale segale defta come: (s dcao le gradezze Fourer-trasformate co l soprasego ~): ~ jω t f ( ω) = f ( t) e dt (3.9) corrspodeza d og pulsazoe ω s può scrvere per l segale d rsposta all'gresso la: x~ ω = H ω ~ f ω (3.) ( ) ( ) ( ) 44

59 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF dove ( ω) H dca la FRF; s può qud rcavare l segale d rsposta x(t) dalla trasformata versa d Fourer della relazoe (3.): x π ~ () t H( ω) f ( ω) jωt = e d ω (3.) Qud s possoo otteere le FRF a partre dalle msure otteute da prove d aals damca co ecctazoe d tpo mpulsvo: s tratta fatt d calcolare le trasformate d Fourer de segal d gresso e d uscta ed otteere le FRF come rapporto d queste due fuzo: ( ω) ( ω) Per sstem a pù gress e pù uscte s avrà acora H ( ω) = ~ x~ (3.) f ( ω) ( ω) x~ H j( ω) = ~ (3.3) f j ~ cu l vettore trasformata d Fourer dell'gresso f ( ω ) ( =,,...,) è o ullo el solo puto d msura j -esmo. Da u puto d vsta umerco s procede al calcolo delle trasformate d Fourer de segal d gresso e d rsposta co la valutazoe delle trasformate dscrete d Fourer, co u processo umerco che vee dcato co FFT, Fast Fourer Trasform; questo procedmeto umerco mplca che l segale vega forzatamete trattato come u segale perodco. Il caso dell'ecctazoe mpulsva s può trattare maera dversa valutado la rsposta d u sstema ad u mpulso utaro ( f ( t) = δ(t) ), metodo d Duhamel. Se s dca co h (t τ) la fuzoe d rsposta mpulsva el tempo e s cosdera ua geerca fuzoe d gresso f(t) è possble esprmerla attraverso ua combazoe leare d mpuls f ( τ ) (dτ). La rsposta del sstema è data dalla: ~ x = dτ (3.4) () t h( t τ) f () τ dove h (t τ) = per t < τ. La trasformata d Fourer d u mpulso utaro ell orge de temp δ (t) rsulta: ~ t f jωt jω ( ω) = f ( t) e dt = δ( t) e dt = poedo la (3.5) ella (3.) s ha: (3.5) x ~ jωt δ = π π e d jωt () t h() t = H( ω) f ( ω) e dω = H( ω) ω (3.6) soo ua coppa d trasformate d Fourer; questo sgfca che la rsposta mpulsva del sstema, h(t), s ottee come s vede dalla (3.6) la rsposta mpulsva h(t) e la FRF H( ω) 45

60 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO.. Da questa corrspodeza tra rsposta mpulsva e FRF s vede come rsulta possble esprmere la fuzoe d rsposta mpulsva co uo svluppo sere su base modale, così come avvee per la FRF; fatt dalla: dalla at-trasformata d Fourer della FRF, coè dalla H ( ω) s ha: Igresso radom. r (r) (r) φ φ r j H j( ω) = (3.7) m ω + + jωc h j r r () t h () t r r jt r r = (3.8) I questo caso, che è molto mportate per le possbltà che offre ella spermetazoe, l segale d gresso e qud quello d uscta soo d tpo radom: o vee rspettata la codzoe d Drchlet e qud o è possble applcare la defzoe della trasformata d Fourer per segal d gresso ed uscta. U segale radom è defto co u approcco statstco quato l sgolo segale, a dffereza d quato avvee campo determstco, o è sgfcatvo. Il carattere radom, ell'aals modale, s rfersce al fatto che ua sere d espermet, pur codott maera apparetemete uguale ed ugual crcostaze, porta a rsultat dvers. Qud l rsultato d ua sgola prova o è suffcete a rappresetare la msura, ma s rchede ua descrzoe statstca de rsultat. S devoo mpegare de metod dvers per la descrzoe de segal: cò può essere fatto el domo del tempo attraverso la fuzoe d correlazoe e el domo della frequeza co l'mpego della fuzoe d destà spettrale, PSD (Power Spectral Desty). U segale radom s defsce stazoaro se le sue propretà statstche, partcolare la meda, o cambao el tempo. La meda d u segale radom ergodco, coè co mede temporal ugual alle mede calcolate sull'seme de campo, e qud tale che le sue propretà possoo essere valutate da ua sola regstrazoe d durata suffcetemete grade, vee defta da: T x = lm x () t dt (3.9) T T Il valore quadratco medo del segale radom vee defto da: T x = lm x () t dt (3.) T T Nel caso d segal radom questo valore vee ache dcato come varaza e da ua dcazoe dell ettà della varazoe del segale x(t). Ua gradezza a questa collegata è la radce quadrata della varaza, radce quadrata del valore quadratco medo x (root mea square): rms x rms = x (3.) 46

61 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF U altro dce mportate el campo delle varabl radom è la msura della varazoe el tempo del segale che permette d valutare l'ettà del campoe statstco del segale che s deve raccoglere. La fuzoe d auto correlazoe dcata co ( τ ) è defta dalla: T R xx R xx () τ = lm x () t x ( t + τ) dt (3.) T T essa da, apputo, ua dcazoe sulla veloctà d varazoe del segale x(t) e rsulta fuzoe soltato d τ, dffereza temporale, el caso d segal radom stazoar. La fuzoe d correlazoe tra segal f(t) e g(t) (o d autocorrelazoe se rferta allo stesso segale), ha l sgfcato fsco d valor medo del prodotto della fuzoe f(t) per ua fuzoe g(t) traslata el tempo: f ( t) g( t + τ) ; s tratta sempre d ua fuzoe del tempo che rspode però alle codzo rcheste per defre la sua trasformata d Fourer; ad esempo el caso d auto correlazoe per l segale f(t) s ha: ( τ) = E[ f ( t) f ( t + τ) ] R ff (3.3) cu l smbolo E [... ] sta ad dcare valore atteso della gradezza tra paretes: ell'potes che l segale sa stazoaro da u puto d vsta statstco (coè che tutte le caratterstche d probabltà sao dpedet da traslazo temporal) e sa oltre ergodco e coè che le mede temporal sao ugual alle mede calcolate sull'seme de campo, la (3.3) può esprmers pure: T R ff () τ = E[ f () t f ( t + τ) ] = lm f () t f ( t + τ) dt (3.4) T T e duque og fuzoe stocastca f(t) è completamete rappresetatva del processo radom. La trasformata d Fourer della fuzoe d auto correlazoe dcata dalla (3.3) defsce ua fuzoe d auto-destà spettrale: S ( ω) = R ( τ) e dτ jωτ ff ff (3.5) attraverso questa fuzoe d destà spettrale s ottee ua descrzoe el domo della frequeza della fuzoe del tempo f(t) che per la sua caratterstca d segale radom o permette d applcare drettamete sulla fuzoe stessa la defzoe classca term d trasformata d Fourer. Le defzo rportate elle (3.3), (3.5) s estedoo aturalmete al caso d due fuzo x(t), f(t) per le qual s defsce ua fuzoe d correlazoe o d cross-correlazoe: T R xf () τ = E[ f () t f ( t + τ) ] = lm f () t f ( t + τ) dt (3.6) T T e d cosegueza s defsce ua fuzoe d destà spettrale o d cross-destà spettrale: 47

62 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. S ( ω) = R ( τ) e dτ jωτ xf xf (3.7) S osserva che le fuzo d correlazoe defte dalle (3.3), (3.6) soo delle fuzo real ed ache le fuzo d auto-destà spettrale soo fuzo real metre le fuzo d crossdestà spettrale soo, geerale, fuzo complesse ma tal che sa: ( ω) = ( ω) S (3.8) xf S fx dove co * s dca l complesso cougato. I questo modo s soo defte, attraverso operazo d correlazoe e d trasformate d Fourer sulle fuzo d correlazoe, le fuzo che permettoo d trattare segal radom. S ha po ua relazoe che collega le fuzo d auto-destà spettrale de segal d gresso ed uscta co la FRF del sstema : xx ( ω) = H( ω) S ( ω) S (3.9) Questa relazoe da sola o è suffcete per la valutazoe della FRF del sstema quato forsce soltato delle formazo sul modulo della H (ω), s devoo mpegare qud delle ulteror relazo che fao tervere ache le fuzo d cross-destà spettrale. Come s è detto, le fuzo d cross-destà spettrale soo complesse e permettoo qud d rcavare le H (ω) forma complessa: fx ( ω) = H( ω) S ( ω) ff S (3.3) ff xx ( ω) = H( ω) S ( ω) S (3.3) xf Le relazo (3.3), (3.3) permettoo d rcavare le FRF del sstema a partre da msure spermetal codotte co u segale d gresso d tpo radom; da queste due relazo s ottegoo due stme possbl per la fuzoe H( ω ) ed oltre dal cofroto d queste due stme dverse s può valutare ache la qualtà de dat spermetal otteut 3.3. Impego d gress dvers. Le prove spermetal d aals modale s possoo esegure co dvers tp d segal d gresso; ess presetao alcu vatagg ed alcue lmtazo che vegoo dscusse e sottoparagraf seguet Igresso susodale co varazoe dscreta d frequeza. I questo caso l segale d gresso è d tpo armoco semplce co ampezza e frequeza fssate e s msura la FRF puto per puto per og valore d frequeza che s cosdera. Qud per otteere ua sgola FRF del sstema s deve varare la frequeza del segale d gresso modo dscreto, aturalmete la msura rchede che s raggugao codzo d stazoaretà el passaggo da ua frequeza all'altra e cò può rchedere de temp lugh per 48

63 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF la msura. I pratca questo tempo dvee effettvamete crtco ell'toro d ua frequeza d rsoaza quado l coeffcete d smorzameto modale è molto basso. U vataggo offerto dall'mpego d questo tpo d gresso sta ella possbltà d spazare frequeza ella msura e ella maera che vegoo rteute pù opportue: così s possoo raccoglere poch put d msura frequeza per le frequeze che soo lotae da put d rsoaza del sstema e cocetrare la massma parte de put d msura frequeza ell'toro de put d rsoaza, otteedo così dat pù sgfcatv per la successva valutazoe de parametr modal. Nella msura co questo tpo d gresso s tratta d procedere due fas: ua prma esplorazoe vee codotta co u tervallo grade d frequeza ed ha lo scopo d detfcare put d rsoaza; la secoda fase vee vece codotta ell'toro de pcch d rsoaza co cremet d frequeza molto pccol allo scopo d raccoglere dat pù sgfcatv relatv a sgol mod Igresso susodale co varazoe cotua d frequeza. E' u caso smle al precedete, l segale d gresso è acora d tpo armoco puro, ma la varazoe d frequeza del segale è d tpo cotuo, aturalmete s deve verfcare sempre che questa varazoe d frequeza sa suffcetemete leta modo da mateere le codzo d stazoaretà ella msura. Ifatt ua veloctà d varazoe d frequeza troppo elevata porta a dstorso molto rlevat ella valutazoe delle FRF, la veloctà d varazoe ammssble è codzoata da valor del coeffcete d smorzameto modale apposte orme fssao valor massm della veloctà d varazoe frequeza. Co questo tpo d gresso s ottee uo spazzameto cotuo frequeza da u valore zale ad uo fale d frequeza fssato Igresso perodco. Nel caso d segale d gresso d tpo perodco s ha u seme dscreto d frequeze coteuto el segale stesso, dalla valutazoe delle trasformate d Fourer de segal d gresso ed uscta, che soo perodc, s ottee la FRF del sstema dalle relazo (3.6) e (3.7). Per otteere segal d gresso d tpo perodco s possoo usare segal determstc, come ad esempo ode quadre, o segal d tpo pseudo-radom. U vataggo mportate che vee offerto da questo tpo d gresso, rspetto al caso precedete d gresso armoco semplce, è dato propro dalla sua caratterstca d perodctà el campo d msura che cosete d otteere da ua sgola msura le formazo relatve ad u campo, scelto dall'operatore, d frequeze, co u cremeto d frequeza fssato Igresso radom. Nel caso d gresso d tpo radom s hao, come s è vsto, tre dverse relazo che cosetoo d valutare la FRF del sstema: xx ( ω) = H( ω) S ( ω) S (3.3) fx ff ( ω) = H( ω) S ( ω) S (3.33) ff 49

64 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. xx ( ω) = H( ω) S ( ω) S (3.34) Dove H( ω ) dca la FRF del sstema e le fuzo S( ω ) dcao le fuzo d destà spettrale, PSD, precedetemete defte. Lo strumeto d msura base ell'aals modale è grado d calcolare le dverse fuzo che appaoo elle (3.3), (3.33), (3.34) forma approssmata co dvers procedmet umerc. I tutt cas le fuzo d destà spettrale o possoo essere valutate esattamete se s dspoe, come è ovvamete evtable ella msura, d u blocco d dat d durata temporale fta. Nel caso d segale d gresso radom s possoo valutare le FRF co dverse stme; fatt se s dca co H ( ω) la FRF otteuta dalla (3.33) s ha: xf ( ω) ( ω) Sfx H ( ω) = (3.35) S e se s dca vece co H ( ω ) la FRF otteuta dalla (3.34) s ha: ff ( ω) ( ω) Sxx H ( ω) = (3.36) S xf aturalmete le fuzo H ( ω), H ( ω), che soo calcolate a partre da dvers dat spermetal avrao de valor dvers tra loro e o esattamete egual come dovrebbero avere dal puto d vsta teorco. Qud per valutare l affdabltà del processo d msura s defsce ua fuzoe d coereza, defta dalla: γ = H H ( ϖ) ( ϖ) S = S fx ff ( ω) Sfx ( ω) ( ω) S ( ω) xx (3.37) S può verfcare che questa fuzoe γ deve avere sempre u valore ferore od al massmo uguale ad uo e che questa codzoe lmte d γ = corrspode alle codzo deal d msura cu le fuzo d rsposta frequeza H ( ω ), H ( ω), soo ugual. Naturalmete la preseza del rumore gresso ed uscta dsturba la msura, ell'toro d ua frequeza d rsoaza l'effetto del rumore è molto mportate sul segale d gresso e qud altera maggormete la fuzoe d destà spettrale relatva all'gresso, S ff ( ω), metre e put d atrsoaza, cu l segale d rsposta è rdotto al mmo, l rumore ha u effetto maggore sul segale d rsposta e qud daegga prcpalmete la fuzoe d destà spettrale del segale uscta S xx ( ω). Qud ell'toro de put d rsoaza è probable che la fuzoe H ( ω ) da la stma pù affdable per la msura, metre al cotraro ell'toro de put d atrsoaza è probable che sa la fuzoe H ( ω ) a forre la stma mglore. S osserva che valor molto bass per la fuzoe d coereza γ, che redoo o accettable la msura, possoo essere causat da u comportameto o leare della struttura e qud possoo essere cosderat come u possble dce d comportameto campo o leare; u'altra causa alla base d valor troppo bass per la fuzoe d coereza è collegata co ua 5

65 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF rsoluzoe d frequeza suffcete, che dpede dal processo d dgtalzzazoe e qud da put d msura frequeza che soo dspobl, cò avvee partcolare ell'aals modale d strutture che soo caratterzzate da valor de coeffcet d smorzameto molto pccol. Questa secoda osservazoe suggersce ua rpetzoe della msura co l'mpego d u umero pù alto d put d campoameto frequeza Igresso mpulsvo. I questo caso l segale d gresso può essere otteuto maera dversa, ma fodametalmete co: ua varazoe rapda frequeza d u segale susodale, che vee dcata co l terme chrp; u mpulso rettagolare el tempo; Nel prmo caso, che s ottee co ua ecctazoe armoca a frequeza varable da u valore mmo, f m, ad u valore massmo, f max, s ha la possbltà d otteere u cotrollo molto precso sa su lmt delle frequeze coteute el segale mpulsvo che sulle ampezze del segale ed oltre è possble otteere ua eerga elevata e qud u rapporto segale rumore molto alto. Nel secodo caso l segale mpulsvo vee otteuto co ua ecctazoe d durata lmtata, ad esempo co l'mpego d u martello co ua cella d carco che cosete d msurare la forza che vee trasmessa alla struttura: l cotrollo della bada d frequeza del segale e della sua ampezza è molto meo dretto e precso che el caso del chrp, oltre l'eerga dspoble è lmtata, ma s ha l vataggo d mpegare ua strumetazoe molto semplce. Da questa ecctazoe d tpo mpulsvo, s possoo calcolare, co l mpego della FFT, le trasformate d Fourer per l'gresso e l'uscta e rcavare le FRF dalle (3.) e (3.3) ed è ache possble, come geeralmete vee fatto effettvamete, utlzzare le relazo precedetemete defte, (3.3), (3.3) el caso d gresso radom e qud passare attraverso l calcolo delle fuzo d correlazoe e delle fuzo d destà spettrale. Le prove d aals modale basate sull mpego dell gresso d tpo mpulsvo presetao de vatagg sa per quato rguarda la semplctà e la versatltà della strumetazoe che per quato rguarda la tecca d msura, ma presetao ache dverse lmtazo partcolare per quato rguarda la precsoe, geere ferore a quella otteble co altr tp d gresso, de dat msurat e la dffcoltà d mpego su strutture d grad dmeso Il sstema d ecctazoe. Il sstema d ecctazoe può avere strutture dverse ma fodametalmete s tratta d uo shaer (d tpo elettromagetco o elettrodraulco) o d u martello co cella d carco. Nel caso d mpego dello shaer elettromagetco l segale d ecctazoe può essere d tpo radom, susodale co varazoe cotua frequeza e d molt altr tp. Lo shaer elettromagetco è costtuto da ua boba posta toro ad u albero u campo magetco: applcado ua correte alterata s applca ua forza all'albero dello shaer che a sua volta trasfersce la forza alla struttura. Naturalmete questo sstema d ecctazoe deve essere collegato alla struttura prova e s ha qud u effetto d serzoe che può essere rlevate a secodo delle masse goco. Questo effetto vee rdotto collegado lo shaer co la struttura attraverso uo stger, che è costtuto da u'asta sottle e corta (spesso 5

66 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. costruta d accao o ylo): questa asta sola lo shaer dalla struttura, rduce l'effetto d massa agguta e permette d cotrollare la drezoe d applcazoe della forza. Fgura 3.. Igresso mpulsvo el tempo e sua trasformata d Fourer. L'mpego del martello co cella d carco cosete d evtare problem d massa agguta e cosete ua spermetazoe molto pù rapda. S tratta d u martello co u trasduttore d forza sulla sezoe d mpatto: vee usato per dare alla struttura ua ecctazoe mpulsva a larga bada d frequeza utle che è tato pù grade quato pù è lmtata la durata temporale dell'mpulso. I fg. 3. soo dcat l'adameto el tempo e l'adameto frequeza d u mpulso tpco. Il valore d pcco della forza dpede dalla massa del martello e dalla veloctà d urto: la cella d carco posta sulla testa d mpatto permette d msurare la forza d'urto. La durata dell'mpulso, l suo coteuto frequeza e qud la frequeza massma d ecctazoe, dpedoo dalla massa e dalla rgdezza del martello e della struttura prova. La frequeza massma d ecctazoe dmusce all'aumetare della massa del martello ed aumeta all'aumetare della rgdezza della puta d mpatto del martello. Ache se la semplctà d mpego del martello è evdete, può essere mpossble dare ad ua struttura, partcolare se d grad dmeso, l'eerga suffcete per l'ecctazoe ed ache la drezoe d applcazoe della forza può essere certa Determazoe de parametr modal dalle FRF: potes d SDOF. La determazoe de parametr modal, che soo le frequeze atural, coeffcet d smorzameto modale e le deformate modal, a partre da dat spermetal, che soo le FRF, rchede ua scelta d base tra u approcco semplce, basato sull'dea che sa possble solare Questa affermazoe può essere faclmete provata cosderado u quas mpulso δ b costtuto da u mpulso rettagolare cetrato ell orge de temp co base b e altezza /b modo coè che vega rspettata la codzoe che ach esso abba tegrale par ad uo. La sua trasformata d Fourer è par a : F b b (3.38) b b jωb ωb jωt jωb jωb ( δ ) = e dt = [ e e ] = s ω b La precedete mostra che l mpulso o deale el tempo ha uo spettro che è ua fuzoe tpo x π s tedezalmete costate ell orge e che tede ad atteuars so ad aullars ω = che qud x b defsce la bada passate. 5

67 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF ell'toro della frequeza d rsoaza l sgolo modo e cosderare qud ua rcostruzoe modale fodata sul modello ad u solo grado d lbertà (SDOF) ed u approcco pù geerale, a cu è certamete ecessaro rcorrere el caso d mod accoppat, basato su d ua rcostruzoe modale co u modello a pù grad d lbertà (MDOF). I altr term, se s cosdera l'espressoe d u geerco terme della matrce delle FRF fuzoe de parametr modal e ell'potes d smorzameto vscoso N N mod ( r ) ( r ) φ φ H j( ω) = (3.39) ω + ω + jωω ζ r= s può rteere, u toro d ω prossmo alla rsoaza p-esma, che partecp d fatto la sola frazoe p-esma della (3.39) (potes S.D.O.F.) oppure s debba cosderare l'flueza d tutt gl altr cotrbut. L'potes d poter lavorare su d u modello ad u solo grado d lbertà rchede che mod preset el campo d frequeza che vee presetato elle FRF sao be separat frequeza e o sao fortemete smorzat, perché questo caso s crea u accoppameto ache tra mod che soo relatvamete lota frequeza. Tuttava ache la preseza d coeffcet d smorzameto modale molto bass porta a de problem per la determazoe de parametr modal, perché questo caso s hao poch put sgfcatv ell'toro della frequeza d rsoaza, metre per ua buoa rcostruzoe de parametr modal sarebbe utle la preseza d u umero elevato d put d msura rlevat ell'toro d og frequeza d rsoaza. L'approcco basato sul modello ad u solo grado d lbertà è comuque utle almeo per otteere ua prma stma de parametr modal che s possoo po valutare co maggore precsoe co metod pù sofstcat. S seguoo tal caso le fas fodametal: s dvdua la frequeza propra d vbrazoe corrspodete al puto d massmo locale del dagramma del modulo della FRF fuzoe della frequeza che vee cosderata come la frequeza aturale del modo, f ; s osserva che tale valore s rtrova og elemeto della FRF ed oltre può essere dvduato ache tramte put d attraversameto dell'asse delle frequeze della parte reale delle FRF oppure tramte put cu la parte mmagara ha mm o massm relatv propr. Per quel che cocere la stma dello smorzameto modale s cosdero le seguet cosderazo: se, come supposto per potes cosderamo l sgolo grado d lbertà modale, la poteza meda P m dsspata dalla forza vscosa u cclo d moto armoco f t = F s ωt sarebbe 3 : semplce dotto da ua forzate ( ) ( ) r r r T P m ( ω) = cx& T dt = c c ω F ω ω ζ + 4ζ + ω ω (3.4) 3 I tal caso per l sgfcato stesso d FRF sarebbe: x() t = F H( ω) s( ωt + ψ) ; x& ( t) = F ω H( ω) cos ( ωt + ψ) co H( ω) = ( ω ω ) + ( ω ω ) ζ (3.4) [ ] j H ( ω) = ω ω + 4ζ ω ω (3.4) 53

68 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. ella quale og gradezza damca ha sgfcato modale e c = ζ cc. Tale poteza P ( ) meda è massma, come s può provare cercado la ω per cu m ω =, quado ω = ω cu s ha: P F m max = ccω (3.43) 8 ζ y Se s cercao valor d ω per cu P m sa la metà (da cu la dzoe d put d mezza poteza) del suo valore massmo basterà mporre che la ( ω ) data dalla (3.4) sa P m ω uguale a P m max. Così procededo s ottee: ω ω ω ω 4ζ = ± ζ = (3.44) ω ω ω ω Ora, le quattro radc della precedete sarebbero, corrspodeza alle due dverse scelte per l sego, ω ω, = ζ ± ζ + ω ω 3,4 = +ζ ± ζ + (3.45) Tuttava, dovedo forre cascua equazoe d secodo grado ua radce postva ed ua egatva per la atura de suo coeffcet (che presetao comuque ua varazoe ed ua permaeza d sego), o potrà che elmars per cascu gruppo d soluzo la radce (reale) pù pccola rmaedo allora: ω ω,4 = m ζ + ζ + (3.46) Se s romao allora queste due radc co ω e ω, s ottee faclmete per dffereza 4 ω ω ζ = (3.48) ω che rappreseta ua stma dello smorzameto vscoso sulla base delle frequeze ω e ω : resta ora da dre come valutare ω ed ω base alla coosceza della H ( ω). S presetao el seguto due strade possbl: ua basata sulla coosceza del modulo d 4 S osserv che: ω = ω ω (3.47) 54

69 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF H ( ω) e l'altra sulla coosceza della sua parte reale. Idcado co mp H l valore assuto dal modulo della FRF corrspodeza delle due radc, s ha, cosderado la (3.4) e la prma della (3.44), H mp = = (3.49) ω ω ω 4 8ζ + ζ ω ω ω=ω, ω ω ω=ω, ω Ife osservado che, dalla (3.4), ( ) (3.46): H mp = 8ζ H max 4 = H ω = ζ s ha cosderado la ω = ω H max ( + ζ m ζ ζ + ) (3.5) cu s soo trascurat al deomatore term d smorzameto d orde superore al secodo. Per cu, partre dal valore massmo del modulo della FRF fuzoe della frequeza, H max, s valutao put a mezza poteza, d frequeza f ed f, corrspodet a valor H max a sstra e a destra del valore d pcco; ot put a mezza poteza s può valutare l coeffcete d smorzameto modale utlzzado la (3.48) co le relazo 5 : D f ζ = η (3.5) f dove Df dca la larghezza d bada a mezza poteza: D f = f f (3.53) e dove co η s dca l fattore d perdta che è legato al coeffcete d smorzameto dalla η = ζ. I put d mezza poteza possoo essere determat pure dalla stma de put d massmo e H ω. Ifatt, la parte reale è data da: mmo relatv propr della parte reale d ( ) 5 Se o s cosderassero le approssmazo fatte el cosderare cotrbut d smorzameto d orde pù elevato, s sarebbe otteuto: ( f + f ) ( f f ) ζ = (3.5) 4f 55

70 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Qud mpoedo: s ottee l equazoe Re [ H( )] ( ω + ω ) ( ω ω ) + 4ζ [ ωω ] ω = (3.54) m ( ω) d ReH = (3.55) dω ( ω ω ) ξ = ω (3.56) 4 che è detca alla (3.44) (l che dmostra che le radc trovate soo effettvamete put d mezza poteza) e che ha soluzo ω ed ω. ( ) ω = ω ζ per ω < (3.57) ( ) ω ω = ω ζ per ω > (3.58) Facedo la dffereza tra le precedet s ottee qud: ω ( ω + ω ) + ( ω ω ) ζ = (3.59) 4ω la quale, seguedo l approssmazoe ω = ω + ω forsce acora la stma data dalla (3.48). S agguge fe che se vece della H ( ω) (recettaza) s dspoesse della fuzoe d rsposta term d accelerazoe H a ( ω) (ertaza) come è ella cosuetude delle msure basate sull uso d accelerometr, s avrebbe, ad esempo el caso dell approcco co parte reale: ω ( ω + ω ) Re[ H a ( ω )] = (3.6) mω ω + 4ζ ω ω ( ) cu put d stazoaretà rsulterebbero tal caso = = ω + ζ [ ζ + Ο( ζ )] ω ω (3.6) = = ω ζ [ + ζ + Ο( ζ )] ω ω (3.6) che mostra che, a parte le solte approssmazo sull'orde dello smorzameto, s ottegoo le stesse radc forte dalle (3.57) e (3.58) sulla base de put d stazoaretà della parte reale della recettaza. Per quato rguarda la stma della r-esma deformata modale egl mod N put d msura spermetal ell'ambto delle stesse potes d SDOF, s cosder ota dalle msure ua rga d FRF, ad esempo la prma 56

71 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF ( ω) H ( ω) H ( ω)... ( ω) H (3.63) 3 HN Dalla (3.39), suppoedo ot per l suddetto modo od ω r e ζ r, s ha per ω = ωr H φ ( r) ( r ) φ ζ ω ( r) r ( ωr ) φ H jωrζ r φ r ( ) I( ωr ) r (3.64) ella quale s è utlzzato l fatto che corrspodeza della rsoaza la parte reale delle FRF è ulla. S possoo allora scrvere, applcado aalogo ragoameto sugl elemet della medesma rga della matrce delle FRF, H H φ ( r) ( r ) φ ζ ω ( r ) r ( ωr ) φ H jωrζ r φ φ ( r) ( r ) φ r ( ) I ( ωr ) r Nmod ( r ) ζ rω N ( ωr ) φ mod N mod mod jωrζ r φ r ( ) H IN ( ωr ) r (3.65) (3.66) Pertato, s ottee per le compoet dell r-esmo modo, poedo ( r ) φ φ... φ N ( r ) ( r) Mod = c r H H H I I I N Mod ( ω ) r ( ω ) r ( )... ω r c r = ζ r ω r φ ( r * ) (3.67) la quale mostra come, a parte u fattore c r essezale a f della sua stessa defzoe, le part mmagare relatve ad ua rga della matrce delle FRF valutate corrspodeza della frequeza d rsoaza forscoo ua stma della deformata modale del modo corrspodete alla rsoaza medesma. S agguge oltre che s possoo dedurre le medesme cocluso se s cosderassero FRF co uscta accelerazo, coè se, luogo della (3.39), s cosderasse la ( r) *( r) ω φ φ H ( ω) = (3.68) j N mod * r= ω + ωr + jωωrζ r Rpercorredo dfatt quato mostrato precedeza s perverrebbe aturalmete ad u rsultato aalogo dato dalla (3.67) co la sola dffereza che s sarebbe defta come costate *r la c r = ζ r φ. Naturalmete questo approcco preseta molte lmtazo: è evdete dalla (3.5) che la stma del resduo e del fattore d smorzameto modale dpedoo dalla valutazoe del valore d pcco del modulo della FRF che è stata msurata: partcolare s hao dffcoltà el caso d mod poco smorzat a causa del umero molto lmtato d put che s hao a dsposzoe all'tero della larghezza d bada a mezza poteza. Ache l'potes d base per la quale s cosderao come separat mod preset ella bada 57

72 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. d frequeza scelta per l segale o è corretta perché esste sempre ua certa flueza, sesble almeo per mod pù vc, sul comportameto alla rsoaza del geerco modo d tutt mod fodametal. Dverse tecche soo state proposte per la rcostruzoe de parametr modal, esse soo geeralmete dspobl su tutt software specalstc el campo dell'aals modale, e cosetoo, quado è rteuto ecessaro, d utlzzare per la rcostruzoe de parametr modal u modello a pù mod. S osserva che s possoo otteere delle valutazo mglor de parametr modal dall'esame separato della parte reale e della parte mmagara della FRF ell'toro della rsoaza: ad esempo le frequeze corrspodet a put d massmo della parte reale permettoo d valutare la larghezza d bada a mezza poteza e la frequeza d rsoaza co maggore facltà ache se rmagoo problem legat alla rsoluzoe frequeza ed al umero lmtato d put dspobl ella larghezza d bada a mezza poteza. Dal valore d pcco della parte mmagara fuzoe della frequeza è possble otteere ua stma mglore della ampezza della deformata modale. Come sempre la valutazoe delle frequeze d rsoaza de var mod preset ella bada d frequeza msurata è pù semplce e precsa metre maggor problem soo legat alla determazoe delle deformate modal, che rchedoo u umero elevato d put d msura e/o presetao delle certezze maggor e de coeffcet d smorzameto modale che, geerale, tedoo ad essere sovrastmat. S può valutare ua mprecsoe d qualche per mlle per la msura delle frequeze d rsoaza metre mprecso molto pù grad s hao per la valutazoe de coeffcet d smorzameto Fuzo dell'aalzzatore e problem d aals del segale. Lo strumeto base el campo dell aals modale è l aalzzatore d spettro, ella cofgurazoe pù semplce, che s rfersce ad u sstema SISO (Sgle Iput Sgle Output) ma che può essere a pù caal sa per l segale d gresso che per quello d uscta, quado s rfersce ad u sstema MIMO (Mult Iput Mult Output). Questo strumeto è grado d calcolare dverse caratterstche de segal d gresso e d uscta a partre dal calcolo della trasformata dscreta d Fourer, FFT, da questa è possble calcolare le trasformate d Fourer e le fuzo d destà spettrale che, come s è detto, soo geeralmete mpegate per la valutazoe delle FRF. Il segale d gresso vee dscretzzato co u coverttore aalogco dgtale, A/D, e po regstrato come ua successoe d N valor tervallat da u tempo d campoameto, T s, per u tempo totale d osservazoe, dcato co T dove T = NT s. Se s accetta l potes, sta ell uso della trasformata d Fourer dscreta, che l segale osservato el tempo T sa perodco propro co perodo T s può calcolare la trasformata dscreta d Fourer ed otteere così ua stma della trasformata d Fourer stessa. V soo delle relazo che legao tra loro la durata, T, del tempo d osservazoe del segale, la pulsazoe d campoameto, dcata co ω s, l umero de dat el tempo che vegoo cosderat ella msura, dcato co N, l campo d pulsazoe che s cosdera per lo spettro del segale, determato da ω max e la rsoluzoe pulsazoe usata ell'aals del segale dcata co ω ; partcolare s ha: ωs π fs π N π N ω max = = = = (3.69) T T 58

73 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF ω π.56.8 f = = = (3.7) π πt T elle qual s soo utlzzate la tes del teorema del campoameto ω s = ωmax per evtare l * feomeo dell'alasg, l'espressoe della rsoluzoe (o passo) frequeza ω = ω max N R * cu N R è l umero d rghe spettral e coè campo frequeza della trasformata fort dall'algortmo FFT qual soo ormalmete umero par a N * R = N. 56. Il umero de dat el tempo che è opportuo acqusre ella msura, dcato co N, vee fssato, geere co la possbltà d scelte dverse a secoda delle caratterstche dell'aalzzatore: questo umero s rfersce quas sempre a poteze d due e valor tpc soo 4, 48, 496, 89, 6384, 3768 e qud l campo d frequeza ω max, e la rsoluzoe pulsazoe, ω, ed frequeza, f,soo legat alla durata della msura. Le possbltà offerte da processor moder, cosetoo orma d lavorare co N molto elevat e d otteere, qud, delle rsoluzo frequeza molto pccole. S osserva, dalla (3.7), che tutt cas per otteere de valor molto pccol per la rsoluzoe frequeza bsoga lavorare co temp d osservazoe del segale molto lugh; se s dspoe d u umero molto alto d put d msura, N, s ha l vataggo d acqusre delle msure su d u campo d frequeza molto ampo, ma l tempo d osservazoe ecessaro per otteere la rsoluzoe frequeza fssata è codzoato soltato dalla (3.7) e qud dal tempo d osservazoe T. La ecesstà d mpegare u tempo d osservazoe lugo per otteere ua buoa rsoluzoe frequeza può dvetare u puto crtco ella spermetazoe partcolare el caso d strutture, come quelle tpche el campo delle grad strutture spazal, che soo caratterzzate da frequeze propre molto basse. I questo caso fatt la rsoluzoe frequeza ecessara per la msura dvee molto pccola ed l tempo d osservazoe che e cosegue dveta pratcamete mpossble; l problema è reso acora pù dffcle el caso cu valor de coeffcet d smorzameto modale sao molto bass, a causa del problema del trocameto del segale che è acora rlevate all'tero del tempo d osservazoe. Dvers aspett dell'aals dgtale dao luogo a problem che soo collegat alle approssmazo ste el procedmeto d dscretzzazoe ed alla ecesstà pratca d osservare l segale per u tempo d acquszoe fto e molto lmtato. Le problematche relatve soo legate a problem geeral della trattazoe de segal che vao molto oltre al campo specfco dell'aals modale; quest problem soo d grade mportaza pratca e la loro coosceza può essere ecessara per gugere all'acquszoe e all'mpego d dat spermetal che sao veramete affdabl. Nel seguto s rportao, forma molto semplfcata, alcue d tal problematche Alasg. E u feomeo che è legato al processo d dscretzzazoe del segale cotuo x(t): se la frequeza usata per l campoameto del segale ω è fssata par a: s ω s = ω max (3.7) ma è troppo bassa rspetto alla composzoe effettva frequeza del segale s ha u effetto d dstorsoe che è dovuto alla preseza sgfcatva d frequeze del segale che soo al d 59

74 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. fuor della bada passate prevsta dalla scelta della frequeza d campoameto; questo porta all'troduzoe d compoet false a bassa frequeza che dervao realtà dalle compoet ad alta frequeza fuor bada che vegoo rflesse all'tero della bada passate, come dcato elle fgg. 3. e 3.3. Fgura 3.. Modulo dello spettro teorco d u segale e sua frequeza d campoameto fssata Ifatt la frequeza d campoameto, scelta base alla bada passate desderata, o è grado d rcostrure correttamete segal co ω > ωmax che vegoo erroeamete * terpretat come segal a frequeza ω < ωmax.la dstorsoe ello spettro del segale s può spegare co l fatto che le compoet del segale che soo state taglate, coè che s trovao a frequeze superor alla metà della frequeza d campoameto vegoo ad essere rflesse, da cu l ome alasg, ella bada passate scelta per l segale, compresa tra ed ω s /. Nella fg. 3. vee dcato lo spettro vero del segale ed fg. 3.3 lo spettro dstorto, otteuto dalla somma delle compoet vere e rflesse. La soluzoe a questo problema sta ell mpego d fltr passo basso che hao l compto d taglare e qud d elmare le frequeze preset el segale al d sopra del campo d frequeze che è stato dcato co la scelta della bada passate. I geerale l mpego d fltr at alasg vee dsposto automatcamete co la scelta stessa della bada passate ell aalzzatore quato la preseza d quest fltr è assolutamete ecessara per otteere de dat spermetal che sao effettvamete utlzzabl ell aals modale: questo problema è qud geere trasparete per l operatore che o deve compere essua operazoe per elmare tale effetto Leaage (dspersoe) e wdowg. E u feomeo che è legato alla durata lmtata del tempo d osservazoe del segale ed al fatto che l segale, per la valutazoe umerca delle FRF co l calcolo delle FFT vee cosderato come perodco co u perodo par al tempo d osservazoe T. Se s cosdera u segale armoco semplce e se la durata del tempo d osservazoe è tale da corrspodere esattamete co l perodo del segale o co u multplo tero d perod, s ottee lo spettro effettvo, che ell esempo rportato fg. 3.4 e costtuto da ua sola rga alla frequeza, f, del segale armoco semplce. Se vece l tempo d osservazoe o corrspode al perodo ω s 6

75 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF del segale, come avvee geerale, s ha u dscotutà el segale che vee reso perodco, ma o ha valore ullo alla le del perodo e s ha ua dstorsoe ello spettro. Esso s preseta co pù rghe, vece della sola rga a frequeza f, del segale armoco semplce, che rappreseta lo spettro vero e co ua dffusoe d eerga su altre rghe ello spettro che è provocata dalla dscotutà el tempo dovuta al processo umerco d perodczzazoe forzata. Fgura 3.3. Modulo dello spettro teorco d u segale e quello dello spettro effettvo valutato campoado l segale co frequeza ω. s Fgura 3.4. Segal co relatv spettr dscret: effetto della dspersoe. Co questo procedmeto s modfca l segale d teresse co l'mpego d u altro segale del tempo prma d esegure la trasformata d Fourer modo da rdurre problem d leaage : s tratta sostaza d portare a zero l segale all tero del tempo d osservazoe modo da elmare la dscotutà el tempo che s crea per effetto della perodczzazoe. Se s dca co ( t) aalzzato è dato dal prodotto del segale allo studo, ( t) w la fuzoe del tempo che costtusce la festra l segale che vee w t : x w ( t) x( t) w ( t) w, e della festra temporale ( ) = (3.7) 6

76 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Fgura 3.5. Effetto d dverse festre su u segale armoco el domo del tempo e della frequeza. ovvero, el domo della frequeza () t w ~ ( σ) x~ ( ω σ) dσ x~ = + w (3.73) I u aalzzatore soo sempre dspobl delle fuzo dverse per le festre temporal, che possoo essere d tpo rettagolare, espoezale, d Hag: esse vegoo scelte a secoda del tpo del segale d gresso, alcu sstem d msura è ache possble defre a scelta dell'operatore delle fuzo del tempo da usare come festre per scop partcolar. I fg. 3.5 soo rportate alcue fuzo classche. Le quattro festre pù comuemete mpegate soo defte a partre dalla fuzoe: ω () t = a a cos( ωt) + a cos( ωt) a 3 cos( 3ωt) + a 4 cos( 4ωt) ω () t = t (3.74) S ottee così (fg. 3.5) festra rettagolare: = ; a = a = a = a ; a 3 4 = a = a = ; a = a 3 = a 4 = a = ; a =.98; a =.44; a 3 =.3; = a 4 = a = ; a =.933; a =.86; a 3 =.388; = a 4 = festra d Hag: ; festra d Kaser-Bessel: ; festra Flap top:.3; dove w dca la pulsazoe fodametale ed coeffcet a soo scelt modo che le aree determate dalle dverse festre soo ugual. E ovvo che la festra rettagolare pesa maera uguale tutt dat, metre le altre festre oltre a rportare a zero valor zale e fale dao ache ua mportaza maggore a put che soo al cetro della festra d osservazoe o a valor zal el caso della festra espoezale. Per quato rguarda l mpego delle dverse festre a secoda del segale s hao: Segal perodc: partcolarmete adatta la festra d Hag metre quella d 6

77 CAPITOLO 3-DINAMICA STRUTTURALE SPERIMENTALE. ACQUISIZIONE DELLE FRF Kaser-Bessel è adatta per selettvtà frequeza e quella Flat-Top per ua buoa determazoe ampezza. Segal mpulsv: partcolarmete adatta la festra rettagolare, seme a quella espoezale; alcu cas può essere usata quella d Hag; Segal radom: vee usata prcpalmete la festra Hag ed qualche caso quella d Kaser-Bessel Zoom. Come s è vsto esste u problema legato alla rsoluzoe frequeza, ell aalzzatore s può lavorare co u certo umero d rghe frequeza, tpcamete 4, 8, 6, 3, 64, 8 a secoda del umero d dat che s possoo acqusre ella msura e la rsoluzoe frequeza è legata al valore massmo della frequeza: f max fs N.56.8 f = = = = = = (3.75) N N T N TN T T R R s R dove N R dca l umero d rghe frequeza e T l tempo d osservazoe; qud ua volta fssato N R la rsoluzoe frequeza f s rduce all aumetare della frequeza massma che s cosdera per l segale, coè all aumetare della bada d frequeza. Il umero d rghe N frequeza è legato al umero d dat acqust dalla relazoe: N R =, come gà detto 56 ua rsoluzoe molto elevata frequeza rchede u tempo d osservazoe molto lugo. R Fgura 3.6. Festre rettagolare, Hag, Kaser-Bessel e Flat-Top. Co lo zoom vee offerta la possbltà d traslare la msura ell toro della frequeza d teresse modo da utlzzare le rghe rese dspobl dall algortmo trasformata d Fourer veloce che forsce comuque dat dalla frequeza ulla alla frequeza d teresse ed otteere così ua rsoluzoe molto elevata. Ad esempo se l segale è armoco semplce del tpo: x ( t) As( ωt) = (3.76) 63

78 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. e vee moltplcato per ua fuzoe: s ottee: che dvee: () t cos( ω t) = (3.77) * x * () t x() t x () t = As( ωt) cos( ω t) = (3.78) x z A = (3.79) () t [ s( ω ω ) t] + [ s( ω ω ) t] x z se s elma co u fltraggo l terme a frequeza pù alta s ottee ua traslazoe del segale dalla sua pulsazoe orgara ω verso ua frequeza pù bassa co la pulsazoe ω che s è scelta co la fuzoe x * () t e qud l segale da zoommare, dcato co x z ( t) rsulta traslato sulla pulsazoe ( ω ω ). Esstoo tecche dverse per otteere questo rsultato, ma tutt cas temp ecessar per l osservazoe del segale s allugao proporzoe al fattore d zoom. S osserva che ua rsoluzoe frequeza molto pccola è ecessara el caso d strutture che abbao coeffcet d smorzameto modale molto bass, modo da poter otteere de dat sgfcatv da pù put d msura ed ache el caso cu sao preset de mod strettamete accoppat, e aturalmete per strutture co mod fodametal a frequeze molto basse Procedmet d meda. L effetto del rumore sulla msura vee rdotto co l mpego d u umero, che può essere ache molto elevato, d mede successve per la valutazoe d ua sgola msura; l umero d mede che s scegle è legato al lvello d affdabltà statstca che s vuole otteere e vee lmtato dal tempo dspoble e qud dal costo della msura. Ua dcazoe per la valutazoe del umero d mede ecessare s può avere dalla msura della coereza γ. Nel caso d mpego d gresso radom vee ache utlzzata ua tecca d sovrapposzoe ella valutazoe delle mede cu le msure o vegoo otteute co dat completamete dvers e qud co u tempo d osservazoe totale par ad T, se co T s dca l tempo d osservazoe d ua sgola msura e co l umero delle mede, ma u tempo d molto ferore ad T rcorredo alla sovrapposzoe parzale el tempo della msura. Questo sgfca che og dato comprede ua parte del segale gà utlzzato per la msura precedete rducedo così l tempo totale d msura: l procedmeto è aturalmete vataggoso rspetto alla utlzzazoe sequezale de dat dspobl, e cosete d mpegare u umero d mede molto elevato. 64

79 CAPITOLO 4 METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE Nel captolo soo rchamat alcu cocett rguardat l problema dell ottmzzazoe, sa vcolata che o, soo dscuss alcu metod per la soluzoe del problema d ottmzzazoe co partcolare rfermeto agl algortm che verrao seguto utlzzat per determare l mmo della fuzoe d errore.

80 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 4.. Descrzoe del problema d ottmzzazoe. U problema d ottmzzazoe [56] cosste el determare l valore d u vettore d varabl d decsoe x R che mmzza ua fuzoe obettvo f : R R, quado e' vcolato ad apparteere ad u seme ammssble F R ; coè cosste el problema: m f (x) x F (4.) Osservamo subto che u problema d massmo s può sempre rcodurre a u problema d mmo, cambado d sego la fuzoe obettvo. Ifatt, put d massmo (ove esstao) del problema max f (x) x F (4.) cocdoo co put d mmo del problema: e rsulta max f (x) x F m f (x) x F = m ( f (x)) x F (4.3) (4.4) I base a tale osservazoe c s può rferre esclusvamete, seza perdta d geeraltà, a problem d mmzzazoe. U puto x * F s dce puto d mmo globale (assoluto) d f su F se rsulta: * e tal caso, s dce che ( x ) f ( x ) f ( x) per og x F f è l mmo globale d f su F, ossa f (x ) = f (x) x m F (4.5) (4.6) S dce che x * F è u puto d mmo globale stretto d f su S se rsulta: ( x ) f ( x) per og x F, x x f (4.7) E opportuo mettere evdeza che assegat F ed f : F R potrebbero ache o esstere soluzo ottme. Ua prma possbltà è che l seme ammssble F sa vuoto; tal caso o esstoo put ammssbl e d cosegueza o esstoo soluzo ottme. Se F o è vuoto, possoo verfcars, el caso geerale, le stuazo seguet: La fuzoe obettvo è llmtata ferormete su F ossa: f f (x) = x F (4.8) 66

81 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE ed tal caso o esste u valore mmo d f su F; La fuzoe obettvo è lmtata ferormete su F ossa: f f (x) > x F (4.9) ma tuttava o esstoo put d mmo globale d f su F; Esstoo put d mmo globale d f su F, tal caso la fuzoe obettvo è ecessaramete lmtata ferormete su F e s ha: f f (x) = m f (x) x F x F (4.) Solo ell ultmo caso, ovvamete, c s può porre l problema della rcerca d ua soluzoe ottma. Rsolvere u problema d ottmzzazoe può qud sgfcare, pratca: stablre se l seme ammssble è o vuoto, oppure cocludere che o esstoo soluzo ammssbl; stablre se esstoo soluzo ottme, oppure dmostrare che l problema o ammette soluzo ottme; determare (evetualmete modo approssmato) ua soluzoe ottma. Dal puto d vsta applcatvo è possble dvduare ua vasta gamma d problematche, apparteet a camp d'dage ache molto dvers tra loro, pù o meo teressate da problem d ottmzzazoe. Per esempo l ottmzzazoe strutturale cosete d defre valor da assegare a tutte le varabl d progetto affché s progett u elemeto strutturale resstete allo stato d sollectazoe mposto ed al cotempo co l mor peso o costo rcercato. Lo stesso calcolo del moltplcatore d collasso d ua struttura è u problema d ottmzzazoe vcolata, co vcol deft dalle codzo d equlbro. Le varabl sulle qual ottmzzare soo dverse, ad og problema è possble assocare alcue, come ad esempo le dmeso geometrche ua trave d calcestruzzo, la forma d ua sezoe ua trave d accao, la geometra d ua travatura retcolare o come el caso esame, che o appartee alla categora dell ottmzzazoe strutturale, de parametr meccac potezalmete sed d daeggameto che mmzzao la fuzoe d errore geerata co u qualsas metodo d correlazoe. 4.. Ottmzzazoe vcolata e o vcolata. Le varabl d base che goverao l problema d ottmzzazoe soo: la fuzoe obettvo f(x), che geerale può essere mmzzata o massmzzata; l suo seme d defzoe F; Le varabl { x, x,.., } x = possoo rappresetare: x ua tpologa strutturale; le propretà fsche o meccache della struttura; la dmesoe degl elemet struttural; altro (p.e. el ostro caso de parametr meccac da cu dpede la fuzoe d errore); 67

82 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. All tero de problem d ottmzzazoe due cas soo d partcolare teresse [56]:. Problem d ottmzzazoe o vcolata se: F R, coscché l problema (4.) dvee: m f (x) x R (4,) Pù geerale l problema (4.) è o vcolato se F è u seme aperto R. Le codzo d ottmaltà o cambao se F è u aperto, qud assumeremo F R.. Problem d ottmzzazoe vcolata se: F R, ossa se l seme ammssble è descrtto da vcol d dsuguaglaza e/o vcol d uguaglaza sulle varabl d decsoe: F = { x R : g (x), =,..., p; h (x) =, j =,..., m}; (4.) questo caso l problema 4. dvee: j m f (x) x R g = (x)...p h j(x) = j =...m (4.3) p m co g : R R ed h : R R Questa suddvsoe rappreseta la dstzoe prcpale d tutt problem d ottmzzazoe [57-65]. U problema d ottmzzazoe vcolata, s dce leare, el caso cu tutte le fuzo: f, g, ( =...p), h ( =...m), soo combazoe leare delle varabl d decsoe, coè soo fuzo della forma: v (x) = c x + c x +...c (4.4) x ove c =... soo coeffcet. U problema d ottmzzazoe leare, è ecessaramete vcolato, poché, altrmet s tratterebbe sempre d u problema llmtato. La (4.) è u problema d ottmzzazoe o leare se almeo ua tra le fuzo f, g ( =...p), h ( =...m), del problema vcolato o o vcolato, rsulta essere o leare, rspetto ad almeo ua delle compoet del vettore delle varabl d decsoe x Per l problema vcolato, s assume usualmete che l umero m d vcol d uguaglaza sao maggor del umero d varabl d decsoe, coè s assume m. Altrmet, dovedo le varabl soddsfare m equazo, l seme ammssble potrebbe rsultare vuoto, a meo che alcu vcol o sao tra d loro dpedet, e qud rdodat. Ua lmtazoe aaloga, o vale vece per vcol d dsuguaglaza. A volte, tra vcol d dsuguaglaza, s mettoo esplcta evdeza vcol semplc sulle varabl, vcol che esprmoo lmtazo sul valore mmo m e massmo M che ua varable x può assumere. I questo caso, problema vcolato dvee: 68

83 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE m f (x) x R g (x) =...p (4.5) h j(x) = j =...m m x M I geerale problem d ottmzzazoe o leare, la rcerca d soluzo global, può rsultare dffcle, e può avere teresse ache la rcerca d soluzo d tpo locale. Per poter defre l cocetto d puto d mmo locale occorre trodurre l cocetto d toro * sferco aperto S d u puto. I partcolare dato x, u toro sferco aperto d S d cetro * x e raggo ρ > è defto come: { x R : x x < ρ} S (x, ρ) = * (4.6) Allora u puto x F s dce puto d mmo locale (o relatvo) d f su F se esste u toro S(x, ρ) d x tale che: f ( x ) f ( x) per og x F S( x, ρ) (4.7) ed tal caso, s dce che f (x ) è u mmo locale d f su F. U puto * x tale che: x S è u puto d mmo locale stretto d f su F se esste u toro S (x *, ρ ) d f (x ) f (x) per og x F S(x, ρ) x x (4.8) E mmedato reders coto del fatto che u puto d mmo globale è ache u puto d mmo locale. Il problema d ottmzzazoe può essere acora, a secoda della dmesoe, multdmesoale o moodmesoale. I metod d rsoluzoe del problema multdmesoale soo vald ache per l problema moodmesoale, o vale la relazoe versa, a meo d trasformare l problema da mult a moodmesoale. Dove è possble, questa rduzoe vee realzzata tezoalmete, quato rsulta pù semplce rsolvere u problema multdmesoale se lo s rede moodmesoale. D alcu metod d rsoluzoe s tratterà elle page seguet Codzo d ottmaltà. Ua soluzoe locale x d u problema d ottmzzazoe deve soddsfare ua codzoe ecessara d ottmaltà (C.N.O). Ad esempo, per l problema o vcolato m f (x) x R (4.9) la C.N.O. cosste el fatto che la dervata della fuzoe f s deve aullare 69

84 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. ( x ) ; df x : = dx (4.) I put che soddsfao ua C.N.O. per u problema o soo ecessaramete soluzo del problema stesso: ad esempo put che aullao la dervata d f ella (4.) possoo essere put d massmo, azché d mmo. Comuque, la defzoe d C.N.O. è d fodametale mportaza ell'ottmzzazoe, poché detto Ω l'seme de put che soddsfa la C.N.O., e rsultado evdetemete Ω F, c s può lmtare a cercare la soluzoe ell'seme Ω azché tutto F, che d solto è molto pù grade d Ω. Per u puto ammssble geerco x F, la C.N.O forsce u certfcato d ottmaltà, el seso che se x Ω, x o può essere soluzoe del problema, metre può esserlo (ma può ache o esserlo) se x Ω. Se po u puto x soddsfa ua codzoe suffcete d ottmaltà (C.S.O.) per u problema d ottmzzazoe, s può affermare che x è ua soluzoe locale del problema stesso. Ad esempo, per l problema (4.9), ua codzoe suffcete d ottmaltà è che x s aull df ( x ) df ( x ) la dervata prma e sa postva la dervata secoda: = ; >. S fa otare però dx dx che u puto x che è soluzoe d u problema d ottmzzazoe può o soddsfare la C.S.O. per l problema stesso: ad esempo, l problema f (x) x m F = 4 x (4.) ha come soluzoe x * =, ache se la dervata secoda d x 4 * x = s aulla, azché essere postva. Pertato, se per u problema d ottmzzazoe s è trovato u puto d Ω che o soddsfa la relatva C.S.O., o s può escludere che l puto trovato sa soluzoe del problema. 4.4.Geeraltà sugl algortm d ottmzzazoe. Defto l seme delle soluzo ammssbl, bsoga rcercare al suo tero la soluzoe che soddsfa l problema d mmo. Nel fare cò s cotrao dffcoltà che ascoo sa dalla forma della fuzoe obettvo che dalla preseza delle restrzo. I problem d ottmzzazoe che s presetao ella pratca soo d solto così compless che o è possble determare ua soluzoe per va aaltca. La complesstà è determata az tutto dal umero d varabl e d vcol, che defscoo la dmesoe del problema; e po dalla evetuale preseza d fuzo o lear tra le fuzo f; g ; h j. La soluzoe aaltca è possble solo el caso d poche varabl e d fuzo estremamete semplc. Nella pratca, per rsolvere u problema d ottmzzazoe occorre fare rcorso ad u algortmo teratvo, coè ad u programma d calcolo che, data ua approssmazoe correte x della soluzoe, determa, co ua approprata sequeza d operazo, ua uova approssmazoe x +. A partre da ua approssmazoe zale x s determa così ua successoe { } x. Occorre però a questo puto mettere evdeza ua lmtazoe trseca degl algortm d ottmzzazoe, che cosste el fatto che, per come soo costrut, soo grado d determare solo put che, per u dato problema, e soddsfao le codzo ecessare d ottmaltà: coè solo put dell'seme Ω trodotto el paragrafo precedete. Se s deota 7

85 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE co χ l'seme delle soluzo local del problema, rsulta evdetemete χ Ω F. Le prestazo d u algortmo vao percò valutate relazoe alla sua capactà d determare put d Ω che, questo cotesto, vee detto seme bersaglo, puttosto che relazoe alla capactà d determare put d χ. Per covergeza dell'algortmo s tede apputo la sua capactà d cetrare, co la successoe { x } che geera, l'seme bersaglo Ω. L'algortmo s dce covergete se forsce u puto d Ω dopo u umero fto d terazo, o almeo, al lmte, per. Nel prmo caso s parla d covergeza fta, el secodo d covergeza astotca. La covergeza fta s cosegue solo per problem partcolar e algortm specfc per quest; ad esempo, l'algortmo del smplesso per l ottmzzazoe leare ha covergeza fta. Gl algortm per l ottmzzazoe o leare hao geerale covergeza astotca. Ovvamete, per u algortmo co covergeza astotca, o sarà possble pratca esegure u umero fto d terazo, e occorrerà qud prevedere u crtero d'arresto e coè ua regola che terrompa l'esecuzoe dell'algortmo dopo u umero fto d terazo. Il crtero d'arresto d solto s basa sul rcooscere d avere trovato, se o propro u puto d Ω, almeo ua sua buoa approssmazoe. Ad esempo, per l problema o Ω = ω R : f ω = qud dato u ε suffcetemete pccolo, vcolato, sappamo che ( ( ) ) s può pesare d arrestare l'algortmo al prmo valore d per cu rsult ( x ) < ε f. U'altra caratterzzazoe della covergeza d u algortmo s ha relazoe alla scelta d x. Per alcu algortm, la covergeza ad u puto ω Ω s cosegue qualuque sa x R questo caso s dce che l'algortmo ha covergeza globale. Per altr algortm, la covergeza ad u puto ω Ω è asscurata solo se x S, essedo S u toro sferco aperto d ω; questo caso s dce che l'algortmo ha covergeza locale. Notamo che quado s parla d covergeza globale (locale) d u algortmo, o s tede covergeza ad ua soluzoe globale (locale) del problema. Per molt de problem d ottmzzazoe esstoo dvers algortm d rsoluzoe be ot. Tuttava, la maggor parte d ess, sebbee teorcamete corrett, prevedoo de temp d calcolo assolutamete o pratcabl ache solo per problem d o elevata complesstà Nel paragrafo successvo s cercherà d descrvere le dverse metodologe d ottmzzazoe, del problema, vcolato e o vcolato, leare e o leare, aalzzado co maggor dettaglo solo quelle che sarao utlzzate el prossmo captolo per la mmzzazoe della fuzoe d errore Rsoluzoe de problem d ottmzzazoe o vcolata. Cosderamo l problema d ottmzzazoe o vcolata: (4.), cu s suppoe valda la seguete potes: f : R R (4.) fuzoe cotuamete dfferezable ed esste u x R tale che l seme d lvello L sa compatto. x E oto che, sotto questa potes, la (4.) ammette u puto d mmo globale x L x e che og puto d mmo locale d f L è u puto stazoaro d f, ossa u puto cu s x aulla l gradete. 7

86 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Gl algortm che s prederao cosderazoe cosetoo, geerale, soltato la determazoe d put stazoar d f, ossa d put dell'seme bersaglo ( R Ω = ω : f ( ω) = ). I geerale s resce a garatre che, se x o è gà u puto stazoaro, vegao comuque otteut put stazoar cu la fuzoe obettvo assume u valore ferore al valore assuto el puto zale x e cò cosete d otteere soluzo soddsfacet molte applcazo. Se po la fuzoe obettvo è covessa, la determazoe d u puto stazoaro rsolve completamete l problema, poché, come è oto, og puto stazoaro d ua fuzoe covessa è u puto d mmo globale. Gl algortm che c propoamo d studare possoo essere descrtt per mezzo dello schema cocettuale seguete:. S fssa u puto zale x R e s poe =;. Se x Ω l cclo s coclude; 3. S determa u vettore d R, chamato drezoe d rcerca; 4. S determa uo scalare α R chamato passo; + 5. S produce u uovo puto x = x + α d. S poe =+ e s rtora al passo. Dal puto d vsta geometrco, l'algortmo s può descrvere come ua successoe d spostamet (deft dagl scalar α ) lugo le drezo d rcerca d effettuat a partre da x. Commetado brevemete lo schema cosderato s può dre che:. Scelta del puto zale. Il puto zale dell'algortmo è u dato del problema e deve essere forto relazoe alla partcolare fuzoe che s tede mmzzare. Il puto x dovrebbe essere scelto come la mglore stma dspoble della soluzoe ottma, evetualmete facedo rfermeto a u modello semplfcato della fuzoe obettvo. Nella maggor parte de cas, tuttava, o esstoo crter geeral per effettuare ua buoa scelta d x e qud samo teressat a defre algortm le cu propretà d covergeza sao dpedet dalla scelta del puto zale (algortmo globalmete covergete). Nella soluzoe d problem applcatv può essere coveete rpetere la rcerca a partre da put zal dfferet, ad esempo geerat casualmete, e sceglere po l puto stazoaro mglore tra quell così determat.. Crtero d arresto: La verfca effettuata al Passo sull'apparteeza d x all'seme Ω equvale a cotrollare se f ( x ) =. I pratca, per l'utlzzo su calcolatore co precsoe fta, occorre precsare u crtero d arresto. Ua prma possbltà cosste ell'arrestare l'algortmo quado ( x ) < ε f (4.3) cu ε è u valore suffcetemete pccolo. Dal puto d vsta umerco tale crtero può o essere del tutto soddsfacete perché o fa rfermeto e alla precsoe del mezzo d calcolo, e alla scala co cu è calcolato f. Ne codc d calcolo occorrerà qud defre crter pù sgfcatv, qud accato alla (4.3) s aggugoo 7

87 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE f x + x < ε ( x ) f ( x ) < ε3 + (4.4) realtà poché sa f che x possoo assumere valor grad, è preferble utlzzare la seguete modfca: + x x < ε max x, f { } ( x ) f ( x ) f ( x ), max + (4.5) < ε { } Tal codzo soo cooscute come crtero d Hmmelblau. Valor tpc per ε, ε, ε3 soo 3 ; 5 ; 3. Scelta della drezoe. I crter segut ella scelta della drezoe d rcerca d dvduao l partcolare metodo d ottmzzazoe utlzzato. Tra metod esstet, ua delle dstzo pù sgfcatve è quella che fa rfermeto alle formazo dspobl sulla fuzoe da ottmzzare a f del calcolo d d. I partcolare, possamo dstguere: metod che utlzzao soltato le dervate prme (metodo del gradete, metod delle drezo cougate, metod Quas-Newto); metod che utlzzao la coosceza delle dervate prme e delle dervate secode (Metodo d Newto e relatve modfche); metod seza dervate, che s basao esclusvamete sulla valutazoe della fuzoe obettvo lugo drezo d rcerca prefssate (come, ad esempo, gl ass coordat) o defte base a valor della fuzoe obettvo e put precedet. Nel seguto cosdereremo prevaletemete metod che verrao utlzzat per gl scop d questa tes. 4. Calcolo del passo. Il calcolo dello scalare α costtusce la cosddetta rcerca u-dmesoale o rcerca d lea (le search) e vee effettuato valutado la fuzoe obettvo (ed evetualmete le dervate prme) lugo la drezoe d. Nel caso cu la drezoe d rcerca sa ua drezoe d dscesa, e partcolare che soddsf la codzoe T ( x ) d < f, potremo lmtarc a cosderare valor d α >. Nell ambto della rcerca del mmo, s possoo avere delle complcazo el caso cu esstao de mm relatv. I quest cas la rcerca del mmo assoluto ralleta Metod d ottmzzazoe o vcolata moodmesoale. Molt problem matematc possoo essere espress da ua sola varable, altr vece ecesstao d pù varabl. I u problema d ottmzzazoe multdmesoale, spesso, c s vuole rcodurre a rsolvere pù problem moodmesoal, su qual possoo essere 3 73

88 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. applcat crter cocettualmete dvers. I metod prcpal soo l metodo a scasoe che è molto semplce da mplemetare, e altr crter che soo certo qual modo ottmzzat, tra quest pù classc soo l metodo della Golde Secto e l metodo d Fboacc Metodo Golde Secto Se s cosdera ua fuzoe umodale d ua varable ell tervallo [a,b] e se s valuta la fuzoe f solo el puto termedo dell tervallo, o s resce a restrgere l domo, a pror o s sa dove questo sa localzzato l mmo. E ecessaro valutare la fuzoe pù put termed come ella fgura seguete f(x) a b ao bo Fgura 4.. Domo d rcerca Se s scelgoo due put equdstat dal cetro, a ed b, è possble, dopo aver valutato la fuzoe tal poszo, restrgere l tervallo d rcerca. I questo modo s ottee: Se l ( a ) f ( b ) Se l ( a ) f ( ) a ( b ) a = b b = ρ a (4.6) f allora l mmo s deve trovare el uovo rage [a,b ] f > b allora l mmo s deve trovare el uovo rage [a,b ] Nel passo successvo, l tervallo preseta ua lughezza pù pccola del precedete ( ρ) ( ) b a ρ < (4.7) L obettvo è quello d mmzzare l umero d valutazo della fuzoe e cotemporaeamete rdurre l tervallo d certezza. Se s suppoe, per esempo, che la fuzoe obettvo a sa more d quella b, allora uovo tervallo, per quato detto precedetemete sarà [a,b ], questo tervallo s coosce gà l valore della fuzoe obettvo a. Se s fa cocdere la poszoe d a co quella d b, questo modo sarà ecessaro valutare ua sola volta la fuzoe obettvo, e precsamete el puto a, rmasto scoperto. Se mmagamo che l orgale rage sa [a, b ] e che questo sa utaro, per avere ua sola valutazoe d f è ecessaro sceglere ρ tale che ( b a ) = b a ρ (4.8) 74

89 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE e sapedo che b a = ρ (4.9) b b = ρ (4.3) Dopo qualche operazoe s ottee 3 5 ρ = =.38 (4.3) Per l valore così determato s dmostra che è valda la seguete equazoe ρ ρ ρ = (4.3) I pratca el metodo della Golde Secto rapport degl tervall mategoo sempre la stessa legge b b a a = a b a b (4.33) L uso della regola Golde Secto rduce ad og passo e maera costate l rage d certezza, la fuzoe deve essere valutata solo solo puto. L tervallo d certezza, come s è vsto, s rduce del coeffcete ρ, al geerco passo N s otterrà: b ( b a ) ( ρ) N N a N = (4.34) Resta qud da stablre quale sa l mometo opportuo d arresto, ad esempo s può utlzzare u tervallo d cofdeza Metodo d Fboacc. Il metodo del Golde Secto usa lo stesso valore d ρ ad og passo. Se s suppoe d utlzzare, u valore d ρ varable, al geerco passo d terazoe la rduzoe dell tervallo avrà l valore ρ, metre s dcherà l valore del passo successvo co ρ. + Come el Golde Secto l obettvo è d selezoare successv valor d ρ, compres ρ è tale che vega rchesta ua sola valutazoe della fuzoe obettvo per og passo. 75

90 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. dopo qualche operazoe s ottee Fgura 4.. Rduzoe del domo d rcerca ( ρ ) = ( ρ ) ρ + (4.35) ρ ρ + = (4.36) ρ C soo molte sequeze che soddsfao l equazoe precedete e quella che < ρ </, ad esempo la sequeza 3 5 ρ = ρ = ρ3 = (4.37) le soddsfa etrambe, tale valore rappreseta l valore della Golde Secto. Se s prede ua successoe, che soddsfa le equazo precedet, allora all -esma terazoe l rage sarà rdotto a b ( b a ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) N a N = K (4.38) E a secoda della sequeza de ρ s otterrao vare rduzo. Nasce l esgeza d trovare quella successoe tale da mmzzare pù rapdamete l rage. S tratta d u problema d mmzzazoe che formalmete può essere scrtto N m b N a ρ N + = ( b a ) ( ρ ) ( ρ ) K ( ρ ) ρ = ρ =..N N (4.39) Se s troduce la sequeza d Fboacc, F F F + = = = F + F (4.4) 76

91 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE e se s utlzza questa sere allora alla -esma terazoe s avrà che F ρ N = (4.4) F Metre F N + ρ = (4.4) FN + Il metodo d Fboacc utlzza valor ottmal per otteere l mglor decremeto del rage. Esste u aomala el metodo, quato, l terazoe fale del metodo d rcerca ha l seguete problema ρ N = (4.43) Nell ultma terazoe due put cocdoo ella metà dell tervallo, geerale s geera u umero ε pccolo da sottrarre a ρ N 4.5. Metod d ottmzzazoe o vcolata multdmesoale. E mportate otare come e problem fsc, dffclmete c s trova d frote ad u problema o vcolato, è ecessaro affrotare tale problematca perché spesso: vcol o hao u flueza sul problema d ottmzzazoe e qud soo superflu, molt potet metod d ottmzzazoe s rcoducoo a problem d ottmzzazoe o vcolata. Le codzo ecessare per determare u puto d mmo d ua fuzoe f ( X) soo le eseguet: f ( X = X * ) = =,,..., (4.44) x l gradete della fuzoe s deve aullare, se però la matrce Hessaa è defta postva * el puto X f * H = ( X ) (4.45) x x j allora tale puto vee garatto come mmo relatvo. Le codzo elle (4.44) (4.45) possoo essere usate per detfcare la poszoe del mmo durate u processo computazoale. Spesso, però, le fuzo co cu s ha a che fare o soo dfferezabl e duque o è possble applcare le espresso precedet. Esstoo dvers metod per rsolvere u problema d mmzzazoe o vcolata. Tal metod possoo essere classfcat due grad categore: metod drett, e metod cosddett d dscesa. 77

92 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Metod drett Metod d dscesa Rcerca Radom Scasoe Rosebroc Smplesso.. Massma dscesa Fletcher-Reeves Newto Quas Newto.. Fgura 4.3. Schema rassutvo metod d ottmzzazoe I prm o rchedoo l calcolo della dervata della fuzoe, per gl altr vece è rchesta, duque soo esplcte le rcheste de var metod. I prm rchedoo solo che essta la fuzoe obbettvo ma o rchedoo la sua dervabltà, vego dett ogradet methods. Quest metod soo spesso utlzzat problem semplc e co u umero d varabl rdotto, esstoo alcu cas, però, per qual o s coosce la fuzoe obbettvo e emmeo la sua forma, ess l uso del metodo d scasoe o l metodo d rcerca radom e sez altro utle. I metod d dscesa rchedoo, oltre all essteza della fuzoe, la dervabltà prma della fuzoe e alcu cas ache la secoda, el prmo caso soo chamat frst-order method el secodo vece s usa l terme secod-order method. Le rcheste soo pagate dall effceza, fatt quest metod soo spesso pù effcet d quell drett. La covergeza degl algortm possedoo dverse veloctà d covergeza. I geerale, u metodo d ottmzzazoe ha la seguete struttura d rcerca: I crter d arresto soo dvers, ad esempo el metodo a scasoe, che cosste ella valutazoe della fuzoe tutt put d ua magla geerata a pror, s devoo semplcemete cofrotare valor e la rcerca terma solo quado tutt put soo stat esamat, per altr, vece, è coveete fssare ua tolleraza e defre u crtero d arresto. Tra var metod s esamrao quell che soo stat usat el corso della seguete dssertazoe Metodo del gradete Il metodo del gradete (o metodo della dscesa pù rpda) è uo de prm metod propost per la mmzzazoe o vcolata. Esso è applcable tutt que cas cu s ha ua geerca fuzoe: per la quale esstoo le dervate f ( x) / x rcerca d f ( x ) atgradete d ( x ) og puto, e s basa sull uso della drezoe d =, ossa della drezoe opposta a quella del gradete, o detto f. ( x), co x { x, x,.., } f = (4.46) x 78

93 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE T T Osservamo che questo caso rsulta f ( x ) d = f ( x ) e qud se f ( x ) drezoe dell'atgradete è sempre d dscesa. L'teresse della drezoe f ( x ) rsede propro el fatto che, se l gradete è cotuo, come s è potzzato, essa costtusce ua drezoe d dscesa cotua rspetto a x, che s aulla se e solo se x è u puto stazoaro. Questa propretà asscura che co ua scelta opportua del passo α sa possble stablre faclmete u rsultato d covergeza globale. Il metodo del gradete costtusce qud l modello pù sgfcatvo d algortmo globalmete covergete. La codzoe d dervabltà rede possble rcavare l gradete d f(x) u qualsas puto. Questa dveta ua potes molto mportate, fatt, ad og passo, come s vedrà, bsoga calcolare l gradete o aaltcamete oppure umercamete, co u grade oere d tempo maccha. I pass da effettuare ell uso del metodo del gradete soo seguet:. Scelta del puto zale x R e s poe =;. Determazoe d u vettore d R, chamato drezoe d rcerca; 3. Determazoe d uo scalare α R chamato passo; 4. Produzoe d u uovo puto x + = x + α d Il prmo passo è scuramete l pù semplce, essedo l problema d ottmzzazoe o vcolato, og puto è u puto ammssble, per cotro esso è ache l pù delcato perché quato pù c s allotaa dal puto d mmo esatto tato pù pass dovrà effettuare la maccha. No solo, se s parte da u puto d mmo relatvo l procedmeto o è capace d procedere perché o resce a dstguere u puto d mmo relatvo da quello assoluto. Nel secodo passo s calcolerà l vettore spostameto assumedolo par a:, la f f d = ± f = ±,.., (4.47) x x Il vettore così determato produrrà la drezoe d massma pedeza postva, ovvamete se s rcerca l mmo della fuzoe obettvo la drezoe d spostameto sarà opposta al gradete, se vceversa s rcerca l massmo della fuzoe obettvo l vettore spostameto sarà propro l gradete. Determata la drezoe d rcerca s determa l passo α della stratega teratva, l passo può essere defto, assumedo che la massma varazoe delle varabl sa par alla varazoe tecologca ammssble d og varable. Ife s calcola l uovo puto x + e coseguetemete f(x + ) e s valuta la dffereza: ( x ) f ( x ) = δf f + (4.48) Se la dffereza δf rsulta postva e samo alla rcerca d u mmo, s deve acora terare co l uovo vettore d parteza x + ; se vceversa δf rsulta egatva s coclude che l mmo è rappresetato dal vettore x. Ua varate al metodo è quella d cosderare due ottmzzazo accoppate, ua globale e l altra locale. I pratca s procede ell ottmzzare la fuzoe d ua sola varable otteuta dalla proezoe della fuzoe obbettvo lugo l gradete. Il puto che mmzza la fuzoe a sgola varable dveta l uovo puto d parteza per la successva terazoe. 79

94 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Metodo d Newto Fgura 4.4. Esempo d pass dscedet per fuzoe a due varabl. Il metodo della massma dscesa usa solamete la dervata prma (l gradete) ella selezoe della drezoe d rcerca. Questa stratega o è sempre la pù effcete. Se vceversa vegoo usate le altre dervate, l processo teratvo può essere pù performate del metodo del gradete. Il metodo d Newto (chamato Newto-Rapso) usa le dervate prme e secode, geerale l processo teratvo rsulta essere mglore. L dea è la seguete, s costrusce u approssmazoe quadratca della fuzoe obbettvo utlzzado le dervate prme e secode, successvamete s mmzza la uova fuzoe. Il puto che mmzza la fuzoe vee utlzzato el passo successvo e così va tutta la procedure teratva. Ovvamete, se la fuzoe obbettvo è quadratca, la sua approssmazoe sarà esatta, tale metodo determa l mmo el prmo passo. Se vceversa la fuzoe o è quadratca, la fuzoe approssmata, determa ua stma del mmo. m f * (x) m f(x) x Fgura 4.5. Approssmazoe quadratca fuzoe obettvo S può otteere u approssmazoe quadratca se la fuzoe preseta cotutà ella dervata prma e secoda. Usado l approsmazoe d Taylor applcata alla fuzoe. 8

95 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE cu f * ( ) ( x) f x f : R R T g + x x ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) + ( x x ) ( ) F( x )( x x ) ( ) ( ) g = f ( x ) ( ) ( ) ( x ) H( f ( x ) F = (4.49) (4.5) dalla (4.49) è possble rsalre alla seguete espressoe x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g + = x F x (4.5) questa espressoe dveta la base del processo teratvo. Ache questo caso, come el metodo del gradete, s prefersce lavorare maera dversa, s esplora l tera drezoe che coguge l puto x () co la possble soluzoe x (+). L espressoe (4.5) s modfca ella seguete S tratta d determare lo scalare che mmzza la fuzoe proettata sulla lea d rcerca data dal metodo d Newto. Questo tpo d modfca s effettua que cas quado la fuzoe obbettvo ha ua forma molto dstate da quella quadratca, questo s cosete al processo teratvo d valutare la fuzoe pù put ed evetualmete d determare u mmo dverso da quello ella (4.5) (Newto classco). Esstoo crter mst e qual s prefersce utlzzare, el processo d ottmzzazoe, la seguete espressoe: Lo scalare α è l passo, e M defta el seguete modo: ( ) M = I Metodo del Gradete; ( ) ( ) M = F x Metodo d Newto; M ( ) [ η I + β F( x ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) = Metodo msto Metodo quas-newto x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g + = x α F x (4.5) ( x ) x + = x α M f (4.5) Il metodo d Newto, rappreseta u processo teratvo molto effcete. Il geerco processo d ottmzzazoe geerato co tale metodo ha covergeza quadratca. Però, è da sottoleare come, per u geerco problema d ottmzzazoe applcato ad ua fuzoe o leare la covergeza può ache o essere garatta, fatt la covergeza dpede da molt aspett e prcpalmete dal puto zale scelto. Il metodo d Newto modfcato supera questo tpo d problema. ( ) Altra dffcoltà del metodo d Newto è quella che è ecessaro determare la matrce F ( x ) e successvamete la sua versa. 8

96 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. L dea del metodo cosddetto quas-newto o metrca varable, è quella d approssmare la matrce hessaa co la sua stma x ( + ) ( ) ( ) = x H F α H ( ) ( x ) g (4.53) La stma vara da passo a passo H (4.54), H,, H I letteratura esstoo var crter tra qual: DAVIDN FLETCHER POWELL O FLETCHER-POWELL (DFP) BROYDEN-FLERCHER-GOLDFARD-SHANNO (BFGS) S procede secodo lo schema seguete: s fssao zalmete le seguet quattà: x, H e s avrà: post : x = x α H f ( x ) + ( α le search) (4.55) s = x + x ed y = f ( x + ) f ( x ) (4.56) s avrà allora : H y ( y ) T ( y ) s T s ( s ) T ( s ) H s T H H + = H + (BFGS) (4.57) La matrce H vee posta par alla matrce dettà, coscché, al prmo cclo l crtero della metrca varable cocde co quello del gradete. 4.6 Algortm geetc. Gl algortm geetc (d ora po G.A.: Geetc Algorthms) [66] soo metod adattatv che possoo essere usat per rsolvere problem d rcerca e ottmzzazoe, ess soo basat su process geetc degl orgasm bologc regolat da prcp d Darw (Darw, 859). Imtado quest process, G.A. soo grado d evolvere soluzo per problem del modo reale, se codfcat opportuamete. I prcp d base de G.A. soo stat deft per la prma volta da Hollad: l aaloga co quello che accade atura è espressa dalla capactà del sgolo dvduo d ruscre a competere per la propra sopravvveza. 8

97 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE I atura gl dvdu mglor hao la possbltà d rprodurs crocados co altr dvdu della popolazoe: questo geera uov dvdu dscedet che codvdoo alcue caratterstche d cascu getore. Gl dvdu meo adatt hao meo probabltà d rprodurs e qud s estguoo, metre gl dvdu mglor, accoppados dao orge a ua uova tera popolazoe. La uova geerazoe cotee ua proporzoe pù alta delle caratterstche possedute dagl dvdu buo della precedete geerazoe: questo modo, dopo molte geerazo, le buoe caratterstche vegoo propagate a tutta la popolazoe, essedo combate e scambate co altre buoe caratterstche. Allo stesso modo operao G.A. Data, fatt, ua popolazoe d possbl soluzo d u certo problema, l'dea d base de G.A. è quella d selezoare le soluzo mglor e d rcombarle qualche modo fra loro maera tale che esse evolvao verso u puto d ottmo. A og dvduo è assocato u puteggo d adattameto ftess score a secoda d quato sa buoa la soluzoe al problema. Gl dvdu mglor hao la possbltà d rprodurs crocados co altr dvdu della popolazoe. Questo produce uov dvdu dscedet che codvdoo alcue caratterstche d cascu getore. Gl dvdu meo adattat hao meo probabltà d rprodurs e qud s estguoo. L evoluzoe è realzzata usado u seme d operator geetc, che mapolao l codce geetco. La maggor parte degl algortm geetc cludoo operator che selezoao gl dvdu per la rproduzoe, producoo uov dvdu basados su quell selezoat, e determao la composzoe della popolazoe per la geerazoe seguete. Il Crossover e la Mutazoe soo due d quest operator. I G.A. o garatscoo d trovare ua soluzoe ottma per u problema, ma geeralmete trovao ua soluzoe suffcetemete buoa e temp suffcetemete rapd. Dove esstoo tecche specalzzate per rsolvere partcolar problem queste hao spesso prestazo mglor de G.A. sa term d accuratezza che d veloctà. Il terreo mglore de G.A. è rappresetato, duque, dalle aree dove o esstoo tecche specalzzate. Dove esstoo tecche che fuzoao bee, s possoo avere mgloramet brdzzadole co G.A. Geerazoe zale Popolazoe Valutazoe fuzoe obbettvo Crtero d arresto x x x 3 N Selezoe Eltsmo Rcombazoe Mutazoe s o Mglor dvduo Fgura 4.6. Flow.chart. Schematzzazoe d u algortmo geetco stadard. 83

98 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Fuzoe Ftess. L'dea che sta alla base de G.A. è qud quella d selezoare le soluzo mglor e d rcombarle qualche modo fra loro maera tale che esse evolvao verso u puto d ottmo. Nel lguaggo degl G.A. la fuzoe da massmzzare prede l ome d ftess. No esste u terme talao che resca a redere la varetà d sgfcat espress da quello glese: a secoda del cotesto può sgfcare adattameto, adattabltà, successo bologco, doetà, compettvtà. S prefersce qud usare l terme glese orma largamete dffuso. S suppoga che la fuzoe d ftess dpeda da varabl: F = f (x, x,, x ) che d solto possoo predere valor all'tero d determat tervall umerc (x, x,, x appartegoo a X ). U set d valor x, x,, x, co le caratterstche sopra dcate, sarà allora ua possble soluzoe. Come qualsas geere d formazoe essa può essere codfcata ed espressa buvocamete codce baro. Ua soluzoe potrà qud essere rappresetata medate ua successoe (detta strga) d e, ad es.. Questo sstema d rappresetazoe è partcolarmete dcato quado s tratterà d rcombare fra loro le dverse soluzo, ache se o è l'uco. U seme d soluzo forma ua popolazoe. Ua popolazoe d m dvdu sarà qud u seme d m strghe bare a cascua delle qual è assocato u valore d ftess. Cotuado co l'aaloga geetca, la specfca sequeza d e che costtuscoo u dvduo (soluzoe) è detta cromosoma. Ua volta dvduato l problema, ua possble soluzoe vee rappresetata come u seme d coeffcet dett ge, qual soo ut seme per formare ua strga d valor, l cromosoma, che costtusce u dvduo della popolazoe. L seme de parametr rappresetat da u partcolare cromosoma è chamato geotpo. Il geotpo cotee le formazo rcheste per formare u orgasmo che vee chamato feotpo. I atura gl dvdu s rproducoo combado questo modo propr patrmo geetc, coè loro cromosom: uov dvdu geerat avrao pertato u patrmoo geetco dervato parte dal padre e parte dalla madre. La selezoe aturale fa sì che rescao a sopravvvere e qud a rprodurs solo gl dvdu pù fort, pù adatt, coè quell co la ftess pù elevata; la ftess meda della popolazoe tederà qud ad aumetare co le geerazo, portado così la spece ad evolvers el tempo. Dato u partcolare cromosoma, la fuzoe ftess resttusce u sgolo valore umerco ftess, che s suppoe sa proporzoale alla utltà o abltà dell'dvduo che l cromosoma rappreseta. La stma d fuzo approssmate è ua tecca che può qualche volta essere usata se la fuzoe ftess è troppo complessa o leta da valutare. Se può essere creata ua fuzoe pù veloce che approssmatvamete dà l valore della fuzoe ftess vera, l G.A. può trovare, u dato tempo d CPU, u cromosoma mglore d quello che avrebbe trovato usado la vera fuzoe ftess Fuzoameto del metodo. Il fuzoameto degl algortm geetc s basa su quattro procedmet prcpal:. Selezoe: La selezoe aturale favorsce, attraverso la rproduzoe degl dvdu mglor (coè quell co u mglore valore d ftess), quelle partcolar combazo geetche che dao vta ad u orgasmo pù effcete. 84

99 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE. Crossover: Il Crossover è l procedmeto medate l quale vee eseguta ua rcombazoe geetca tra due dvdu, questo modo cascuo de fgl eredterà alcu ge da etramb getor. 3. Mutazoe: Attraverso la mutazoe vee alterato modo casuale (seguedo ua dstrbuzoe d probabltà uforme) og gee. L utlzzo d tale metodo aumeta la probabltà d esplorare u umero maggore d cofgurazo. 4. Eltsmo: Quado s crea ua uova popolazoe co crossover e mutazoe, s ha u alta probabltà d perdere l mglor cromosoma della popolazoe precedete. L eltsmo è u metodo che copa l mglor cromosoma della popolazoe precedete ella uova. Questo può far crescere rapdamete le performace del GA perché evta la perdta della mglore soluzoe trovata. I G.A. possoo essere classfcat base alla atura de coeffcet che compogoo le strghe : Bar: coeffcet che formao l cromosoma soo codfcat modo baro. Real: coeffcet che formao l cromosoma o soo codfcat Selezoe. La selezoe de getor ha l compto d allocare opportutà rproduttve a cascu dvduo. I prcpo gl dvdu mglor soo copat dalla popolazoe zale ua area d accoppameto (matg pool), dove gl dvdu mglor hao molta probabltà d essere copat pù volte, metre peggor potrebbero o essere copat affatto. Dopo d cò, coppe d dvdu vegoo trat fuor dall area e fatt accoppare. Questo vee rpetuto fché l area rmae vuota, la sua dmesoe è par a quella della popolazoe. Il comportameto d u G.A. dpede molto da come gl dvdu vegoo scelt per adare el matg pool. Esstoo dvers metod, quello pù usato è chamato Roulette wheel Selecto. Gl dvdu soo selezoat base al loro ftess: mglor dvdu hao maggore probabltà d essere selezoat, s può mmagare ua roulette dove vegoo pazzat tutt cromosom, oguo de qual occupa uo spazo proporzoale alla sua ftess. Po s laca la palla e s selezoa l cromosoma. Fgura 4.7. Schematzzazoe dell algortmo d selezoe. 85

100 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Ua volta selezoat due dvdu loro cromosom vegoo mschat usado due tecche, quella del crossover (CO) e quella della mutazoe Crossover. La pù semplce tecca d crossover è quella detta oe pot: dat due dvdu, le strghe de loro due cromosom soo taglate qualche poszoe scelta a caso, per produrre due segmet testa (head) e due segmet coda (tal). I segmet coda soo po scambat per produrre due uov cromosom d lughezza completa. Cascuo de fgl eredta alcu ge da og getore. getor fgl Fgura 4.8. Schematzzazoe del fuzoameto del Crossover. La probabltà che s verfch l crossover è geere abbastaza alta, ma può essere more d. Quado o s verfca fgl sarao la copa esatta de getor. U'altra tecca molto utlzzata è quella del two pots crossover: questo caso gl dvdu o soo rappresetat come strghe lear ma come crcol, per cu s può sostture ua porzoe d crcolo d u dvduo co quella d u altro selezoado due put d crossover. Se le porzo da sostture soo pù d due, ad esempo, s dovrao determare put d taglo (tale tecca è qud detta mult pot ved fg. 4.9). getor Fgura 4.9. Schematzzazoe del fuzoameto del two pots crossover. Ua terza tecca ampamete mplemetata è quella del crossover uforme: per og coppa d getor s geera ua strga bara della stessa lughezza chamata maschera. Il fglo vee geerato copado l bt del padre o quello della madre a secoda che ella corrspodete poszoe ella maschera v sa uo od u. fgl 86

101 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE getor maschera Fgura 4.. Schematzzazoe del fuzoameto del crossover uforme. Queste tre soo le tecche pù utlzzate, ma molte altre e soo state suggerte e l dbattto sul quale sa la mglore è aperto. Co og probabltà o e esste ua seso assoluto, ma la pù adatta è dversa a secoda del tpo d problema da rsolvere Mutazoe. La mutazoe cosste vece el cambare cascu bt d ua strga co ua certa probabltà, tpcamete molto bassa. Così come atura, questo feomeo agguge u rumore o ua certa casualtà all'tera procedura, asscurado al cotempo che partedo da ua popolazoe geerata casualmete o v sao put dello spazo delle soluzo che abbao probabltà ulla d essere esplorat. La mutazoe è applcata a og fglo sgolarmete dopo l crossover. Vee alterato a caso og gee co ua data probabltà. Gl operator base soo chamat Bary Mutato e Real Valued Mutato rspettvamete. Il prmo operatore, che può essere usato el caso d ua codfca geetca bara, scamba l gee o vceversa. Per quato rguarda l secodo operatore l problema è dato dalla scelta del rage d mutazoe. Lo step ottmo dpede ovvamete dal problema che s affrota. I alcu cas è cosglable uo step d mutazoe basso, altr è preferble uo pù grade. La teora tradzoale rtee che l crossover sa pù mportate della mutazoe per quato rguarda la rapdtà ell esplorare lo spazo d rcerca. La mutazoe porta casualtà ella rcerca ed asscura che essu puto ello spazo abba probabltà ulla d essere esamato, oltre prevee la derva geetca ovvero l covergere de membr della popolazoe verso qualche puto dello spazo d rcerca. Questo è dovuto al fatto che u gee predomate s può propagare a tutta la popolazoe. Ua volta che u gee coverge questa maera l crossover o può trodurre uov valor. Da questo s evce che metre la popolazoe s avvca alla covergeza la mutazoe dveta pù produttva del crossover. Dopo che fgl soo stat prodott attraverso la selezoe, l crossover e la mutazoe degl dvdu della veccha geerazoe, bsoga calcolare l loro ftess e reserrl ella popolazoe. A questo puto s hao due possbltà Global reserto: Esstoo dfferet schem: - la veccha popolazoe vee sosttuta tegralmete (pure reserto). - vegoo prodott fgl umero ferore a getor che vegoo rmpazzat maera uforme e casuale (uform reserto). - vegoo rmpazzat getor peggor (eltst reserto). - vee geerata ua prole maggore d quella rchesta e vegoo resert solo mglor dvdu della prole (ftess-based reserto). fgl 87

102 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Local reserto Nella local selecto gl dvdu vegoo selezoat da u seme lmtato e cotguo. La reserzoe avvee esattamete ello stesso seme, questo modo vee preservata la localtà dell formazoe. Per la selezoe d u getore da rmpazzare e per quella d u fglo da serre vee seguto uo d quest schem: - Tutt fgl vegoo sert ell seme e gl dvdu vegoo rmpazzat modo casuale. - Tutt fgl vegoo sert ell seme e gl dvdu peggor vegoo rmpazzat. - I fgl mglor vao a sostture gl dvdu peggor ell seme. - I fgl mglor predoo l posto de getor ell seme. - I fgl mglor vao a sostture dvdu scelt a caso ell seme. - I getor vegoo rmpazzat da fgl mglor Alcue problematche. All zo d u esecuzoe, valor per cascu gee de dvers membr della popolazoe soo casualmete dstrbut. Coseguetemete, c è ua grade propagazoe d ftess dvdual. Come l algortmo progredsce partcolar valor per og gee comcao a predomare. Metre la popolazoe coverge, l rage del ftess s rduce. La varazoe el rage del ftess spesso porta a problem d covergeza prematura o fe leta. Se l GA è correttamete mplemetato, la popolazoe evolverà molte geerazo modo che l ftess del mglor dvduo e la meda og geerazoe cresca verso l'ottmo globale. La covergeza è la progressoe verso la crescete uformtà. U gee coverge quado l 95% della popolazoe codvde lo stesso valore. La popolazoe coverge quado tutt ge covergoo. U classco problema co GA è che ge proveet da poch dvdu co ua ftess comparablmete alto (ma o ottmale) possoo rapdamete domare la popolazoe, causado la covergeza a u massmo locale. Ua volta che la popolazoe coverge, l abltà del GA d cotuare la rcerca per ua soluzoe mglore è effettvamete elmata: l crossover d dvdu quas detc può portare be poch mgloramet. Solo la mutazoe rmae per poter esplorare uove zoe, e questo semplcemete porta a ua rcerca leta e casuale. Per far lavorare bee l GA su ua popolazoe fta, dobbamo modfcare la maera co cu vegoo scelt gl dvdu per la rproduzoe. Dopo molte geerazo, la popolazoe sarà covergete, ma o avrà localzzato precsamete l massmo locale. Il ftess medo sarà alto, ma c sarà poca dffereza tra la meda e l mglor dvduo. Le stesse tecche usate per combattere la covergeza prematura combattoo ache questo problema Camp d applcazoe. Il fatto che gl Algortm Geetc sao per loro atura molto flessbl e allo stesso tempo robust ha permesso l loro utlzzo camp dvers: uo de prcpal è aturalmete quello dell'ottmzzazoe d fuzo umerche complcate. I questo caso la ftess è be defta perché è propro la fuzoe stessa, e molt cas G.A. s soo dmostrat pù effcac d altre tecche come ad esempo quella del gradete, perché la cotua rmescolaza de ge medate cross over e mutazoe mpedsce che c s ferm su u massmo (o mmo) locale I camp d applcazoe che ogg vedoo u masscco mpego de G.A. soo: 88

103 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE Image processg: questo caso l problema è quello d alleare mmag (a ragg X, da satellte ecc.) d ua stessa zoa prese temp dvers, e a tal scopo G.A. trovao u sstema d equazo per far corrspodere a put della prma quell della secoda modo da poterl tegrare u'uca mmage. U'altra applcazoe d questo tpo è la creazoe d dett d persoe sospette a partre dalla descrzoe d u testmoe: vegoo geerate all'zo delle facce casual, e quelle pù somglat vegoo rcombate fra loro fo ad otteere ua descrzoe l pù possble cocdete. I questo caso la fuzoe d ftess o è così be defta come precedeza perché aturalmete o e esste ua forma "aaltca", ma è l testmoe stesso che selezoa tratt somatc pù somglat ( forma del aso, colore degl occh e così va) e scarta gl altr, coè fa s che ge mglor sopravvvao e compaao elle geerazo future. Ottmzzazoe combatora: rguarda problem cu bsoga trovare la dsposzoe sequezale ottma d ua sera d oggett. B Pacg: soo problem rguardat la dsposzoe ottma d oggett uo spazo lmtato. Questo aspetto è partcolarmete mportate el campo dustrale, per l'mballaggo e lo stoccaggo della merce, al fe d mmzzare lo spazo utlzzato. Correlat a quest v soo problem d allocazoe ottma d rsorse lmtate per la massmzzazoe del redmeto o la produzoe. Mache learg: el campo dell'tellgeza artfcale gl AG soo spesso usat per strure le macche determat problem. Il metodo usato è quello de sstem classfcator(ved descrzoe del metodo): la maccha, l cu compto è quello d gestre maera ottmale u determato sstema, rceve ua sere d struzo del tpo f the, l testa sul sstema esame e a secoda delle performace msurate (che rappresetao pertato la ftess dell'seme d regole adottato), decde se tale sstema è approprato o meo. U tpco esempo è la gestoe d process chmc compless, cu vegoo motorat costatemete alcu parametr, che costtuscoo dat d put, dall'aals de qual la maccha forsce delle dcazo per mateere l sstema elle codzo pù effcet Rsoluzoe Problem d ottmzzazoe vcolata. Cosderamo l problema d ottmzzazoe o vcolata: m (max)f (x) X R (4.58) cu la fuzoe scopo defsce la seguete trasformazoe: e dove soo oltre preset le restrzo: h (x) =.. h f : R R (4.59) g (x) j =.. (4.6) = j g Ne cosegue che la rsoluzoe d u problema del geere preseta u grado d dffcoltà maggore del caso o vcolato, cò cosste el seguete seme d operazo: Determazoe de put ammssbl. Mmzzazoe della fuzoe obettvo. 89

104 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Tal operazo devoo essere rsolte cotemporaeamete, qud ogua d esse occorre determare l puto mglore per la fuzoe obettvo e cotrollare l ammssbltà. I problem d ottmzzazoe vcolat soo a loro volta suddvs due dverse categore: Problem d ottmzzazoe vcolat lear: sa la fuzoe obettvo che vcol assumoo caratterstche lear. Problem d ottmzzazoe vcolat o lear: la fuzoe obettvo o le restrzo soo o lear. La secoda d queste tpologe è pù complessa della prma, fatt ella prma l seme delle varabl ammssbl assume forma poledrca e percò l mmo s dovrà trovare e vertc del poledro, questa categora, fe, esstoo solo put d mmo assoluto. Nella secoda l mmo s può trovare qualsas puto all tero della regoe ammssble ed è possble che la rcerca dvet pù complcata perché possoo esstere put d mmo relatvo qual ostacolao la rcerca del mmo assoluto, come succede per l ottmzzazoe o vcolata. La determazoe d u puto d mmo assoluto passa attraverso la defzoe seguete: x Ω x f (x) f (x) (4.6) La determazoe d u puto d mmo relatvo vece passa attraverso la seguete defzoe: x Ω x ε(x) f (x) f (x) (4.6) Le codzo che defscoo l essteza d u mmo relatvo soo quelle d Kuh-Tucer per le qual la fuzoe obettvo e le restrzo devoo essere dfferezabl. Per defre queste codzoe s utlzza la fuzoe d Lagrage valda per vcol d uguaglaza: h, x,.., x, λ, λ,.., λ ) = f (x λ h, x,..x ) h (x, x,..x ) = L (x (4.6) Le codzo d K-T dvetao: L x M L x L λ M L λ h = f λ h x x = M = h f h λ x x = = h(x, x,.., x ) = M = h (x, x,.., x ) = h h = = (4.6) Quado al posto delle costrzo d uguaglaza esstoo le dsuguaglaze la fuzoe lagragaa vee defta dopo avere trasformato vcol el seguete modo: g (x) j =.. h = g + s (4.63) j g j j j = 9

105 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE 9 E qud: = + λ = λ λ g g g j j j j ) s (g ),..x x, f (x,),..,s,s,..,, x,.., (x L (4.64) Le codzo dvetao: λ λ = + = + = λ = λ = = = λ = λ = = = = g g g g g g g s s s g s g x g x f x g x f s L s L L L x L x L g M M M M M M (4.65) Tralascado l sgfcato matematco d queste equazo e cosderado l seso grafco, l soddsfacmeto delle codzo Kuh-Tucer è descrtto attraverso le fgure 4., 4.. Fgura 4.. Codzo d Kuh-Tucer o soddsfatte Fgura 4.. Codzo d Kuh-Tucer soddsfatte Nella fgura 4., le codzo d Kuh-Tucer o soo soddsfatte perché l gradete della fuzoe obettvo o è compreso el coo costruto da gradete delle costrzo, metre ella fgura 4., le codzo d Kuh-Tucer soo soddsfatte. I metod classc per la rsoluzoe de problem d ottmzzazoe vcolat lear soo:

106 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Metodo del smplesso. Metodo duale. I metod classc per la rsoluzoe de problem d ottmzzazoe vcolat o lear soo: Metod drett cu l problema vee trasformato u caso d ottmzzazoe o vcolato. Metodo della fuzoe d pealtà tera ed estera.. Metodo delle fuzo lagragae aumetate Metod drett cu l problema vee affrotato drettamete.. Metodo delle drezo ammssbl.. Proezoe della drezoe d rcerca. Rassumedo quato detto, el seguete schema avremo: OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA: NON LINEARE LINEARE Metodo del smplesso METODI DI RISOLUZIONE Metodo duale METODI DI RISOLUZIONE INDIRETTI DIRETTI Fuzoe d pealtà tera ed estera Drezo ammssbl Fuzo lagragae aumetate Proezoe della drezoe d rcerca Fgura 4.3. Schema rassutvo metod d ottmzzazoe vcolata Metodo delle fuzo d pealtà. I metod d pealtà soo deft metod d trasformazoe, fatt, ess combao la fuzoe obettvo ed relatv vcol mod dvers e tal da poter utlzzare classc metod d ottmzzazoe o vcolata. Tal metod o soo stat utlzzat questa tes, ma s rportao comuque per completezza. 9

107 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE Metodo della fuzoe d pealtà estera. S cosdera u geerco problema d ottmzzazoe o leare cu: co le seguet restrzo: f ( x) m (4.66) g (x) j =.. (4.67) j g L dea de metod della fuzoe d pealtà estera è semplce. Puttosto che tetare d rsolvere l problema vcolato, s agguge alla fuzoe obettvo u teme d pealtà quado vcol o soo soddsfatt (esteramete), l problema dveta quello d determare l mmo della seguete fuzoe: g (,r) = f ( x) + r Ψ x (4.68) j= g j I cu: g j se g j > g j = (4.69) se g j Il fattore r chamato parametro d pealtà o fattore d rsposta rappreseta l peso delle fuzo d pealtà. Se al posto delle dsuguaglaze (4.67) c fossero stat vcol d Ψ x,r dveterebbe: uguaglaza la fuzoe ( ) Ψ x (4.7) g h (,r) = f ( x) + r g + j h j= = I cu: h se h <> h = (4.7) se h = I questa trasformazoe è subetrato l parametro d pealtà, per la sua determazoe tutva s utlzza la seguete fgura: 93

108 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Fgura 4.4. Comportameto grafco fuzoe d pealtà estera. Nella fgura 4.4 s tusce come l valore doeo al valore d pealtà sa: r (4.7) I realtà per avere u buo rsultato e per o correre ad u umero d terazo elevato s defsce l seguete crtero d terazoe: S defsce a pror l coeffcete r d parteza Ψ S crea la fuzoe g h ( x, r) = f ( x) + r + g j h j= = S determa l mmo della fuzoe S valuta la covergeza Verfca egatva Verfca postva Icremeto d r (reterazoe) Trovato mmo (uscta) Fgura 4.5. Flow-chart descrttvo de pass da effettuare el metodo della pealtà estera. Resta da defre l crtero d covergeza, l quale può essere defto o term d fuzoe obbettvo: 94

109 CAPITOLO 4-METODI GENERALI DI OTTIMIZZAZIONE ( r ) f m ( r ) f ( r ) f m εf = < toll (4.73) m o term d varable: * ( r ) x ( r ) toll * ε x = x < (4.74) Metodo della fuzoe d pealtà tera. S cosdera u geerco problema d ottmzzazoe o leare cu: f ( x) m g (x) j =.. j g (4.75) Ache questo caso l problema vee trasformato ma questa volta el seguete modo: Ψ g x (4.76) g (,r) = f ( x) r Il fattore r chamato parametro d pealtà o fattore d rsposta rappreseta l peso delle fuzo d pealtà. Se al posto delle dsuguaglaze (4.76) c fossero stat vcol d uguaglaza o s potrebbe usare tale metodo. I questa trasformazoe è subetrato l parametro d pealtà, per la sua determazoe tutva s utlzza la seguete fgura: j= j Fgura 4.6. Comportameto grafco fuzoe d pealtà tera. Il valore doeo d pealtà è: r (4.77) 95

110 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. I realtà per avere u buo rsultato e per o correre ad u umero d terazo elevato s defsce l seguete crtero d terazoe: S defsce a pror l coeffcete r d parteza S crea la fuzoe g Ψ( x,r) = f ( x) r j= g j S determa l mmo della fuzoe Verfca egatva decremeto d r (reterazoe) S valuta la covergeza Verfca postva Trovato mmo (uscta) Fgura 4.7. Flow-chart descrttvo de pass da effettuare el metodo della pealtà tera Resta da defre l crtero d covergeza, l quale può essere defto come per la fuzoe d pealtà estera, term d fuzoe obettvo: ε f = ( r ) f m ( r ) f ( r ) m f < m toll (4.78) o term d varable: * ( r ) x ( r ) toll * ε x = x < (4.79) 96

111 CAPITOLO 5 IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO I questo captolo s rsolve l problema dell detfcazoe del daeggameto ua trave cotua. A partre dalle msure d frequeza s può determare lo stato d ua trave, defedo l grado, l estesoe e la poszoe d u evetuale daeggameto. Allo scopo vee utlzzato l approcco verso basato sulle dffereze otteuta tra frequeze real (pulsazo), msurate ad esempo laboratoro, e quelle otteute medate FEM. S utlzzao due dfferet tpologe d daeggameto: daeggameto dscreto e daeggameto cotuo.

112 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 5. Itroduzoe Molte strutture vegoo sottoposte ad dag per verfcare la loro tegrtà. I metod dstruttv soo spesso utlzzat, ma per o pregudcare l tegrtà della struttura soo stat studat, da molt a a questa parte, metod ovatv o dstruttv [67-74]. L uso della metodologa versa legata a msure o dstruttve è, questo caso, approprata. I questo modo s garatsce l tegrtà del maufatto ed oltre co semplc prove d laboratoro, esegute evetualmete ache loco, s possoo abbassare cost delle prove e d cosegueza estedere la metodologa a pù strutture, le prove pù usate per questo tpo d dage soo quelle damche. Dvers stud soo stat codott per determare lo stato d daeggameto su ua trave [75-83] sottoforma d crac o d dffused damage, alcu medate l uso delle equazo caratterstche che goverao l problema, altr medate FEM per determare l dao. I questo captolo la determazoe de parametr d daeggameto è eseguta medate FEM. Tale metodo è molto approprato per rsolvere tutt que cas cu o è possble determare ua soluzoe forma chusa de parametr modal (esempo geometre complesse). L applcazoe del FEM produce ua dscretzzazoe delle varabl d daeggameto che parteza soo cotue, sarà qud presetato u metodo alteratvo che defsce l daeggameto maera pseudo cotua. L uso del FEM porta co se la semplctà della soluzoe e ache gl evetual error che ascoo dalla trasformazoe d u elemeto cotuo ad u seme d elemet dscret, ache se pccol quest tp d error possoo flure molto sulla stma de parametr d dao, specalmete quado s mmzza l errore tra frequeze msurate e quelle otteute medate FEM. La mmzzazoe vee effettuata co l uso degl algortm geetc e co l metodo a scasoe classco. S studa u caso oto per po passare a cas trovat letteratura. Per quello oto vee effettuata u aals alla Motecarlo [84] per defre l comportameto del metodo a varazo e dat gresso (ll-codtog). I base ad alcu rfermet bblografc [77], vegoo utlzzate, per la soluzoe del problema verso, solo le prme forme modal, per la precsoe s utlzzao solamete le formazo rguardat le frequeze propre. Il problema che verrà rappresetato è smmetrco ella poszoe del daeggameto, questo rappreseta ua lmtazoe, effett le formazo d base per l detfcazoe strutturale soo suffcet. Per rsolvere questo problema basterebbe acqusre ache le formazo sulle forme modal, ma questo caso, trattados d u problema reale, o è stato possble e qud s è esamato l problema ella cosapevolezza d questo lmte. La soluzoe del problema verso è otteuta tramte ottmzzazoe della fuzoe d errore legata alle dffereze tra frequeze msurate e teorche. Per l ottmzzazoe s usao gl algortm geetc, che presetao molt lmt ma rescoo a determare buoe soluzo. 5. Problema dretto geerale La trave esamata questa rcerca preseta due zoe tegre e ua zoa daeggata tera, fg. 5. è rappresetata la struttura aalzzata: B β L/ X L/ Fgura 5.. Trave daeggata. 98

113 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO cu β rappreseta l grado d daeggameto metre B e X rappresetao rspettvamete la base del daeggameto e la sua poszoe. Co questa schematzzazoe vegoo determat seguet lmt: U D EJ EJ β = β (5.) U EJ B B L b = b ; (5.) L L B X X x = x b ; (5.3) L / S può otare comeβ è ua varable dpedete, metre le altre due b, x soo legate tra d loro. La trave è successvamete dscretzzata e su d essa vee applcato l FEM basato sul modello d Eulero Beroull. La metodologa vee svluppata due dfferet approcc uo dscreto e u altro pseudo-cotuo. Nel prmo approcco l grado d daeggameto è cotuo metre le altre due varabl soo dscrete (dscrete damaged) e qud dpederao dalla dscretzzazoe fatta, el secodo tutte le varabl soo cotue (cotuos damaged). Vee qud aalzzato l problema dretto per etramb cas 5.. Problema dretto dscrete damaged. L dea prcpale alla base d questa metodologa cosste el fatto che u elemeto può essere o teramete daeggato o completamete tegro. Esste ua grossa lmtazoe sulla tpologa d dao, fatt l dao è uco e o possoo coesstere pù zoe daeggate. S prede cosderazoe l seguete elemeto strutturale che possede 4 parametr cematc. φ z j φj w l wj Fgura 5.. Rfermeto de parametr cematc sul sgolo elemeto fto. Le equazo delle forme d terpolazo (5.4) soo le stesse, sa el caso d elemet completamete daeggat e sa per quell tegr: Nella costruzoe della matrce delle rgdezze local compare la varable β, metre la matrce delle masse rmae la stessa per etramb cas. S procede po all assemblaggo della matrce delle masse e quelle delle rgdezze global teedo cosderazoe l daeggameto. Il daeggameto vee cosderato co tre varabl delle quale solo beta è cotua, metre le altre due soo dscrete, elle seguet mmag s possoo valutare le possbl combazo, che può assumere l tratto daeggato, term d estesoe e poszoe: 99

114 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. + = = + = + = l x l z N l x l z 3 N l x l z z N l x l z 3 N (5.4) AN N dz m m dz z N z N EJ dz z N z N EJ l z j D j U j l z j D j l z j U j = = = ρ = = β = = (5.5) ) ) 3) 4) 5) zoa daeggata zoa tegra Fgura 5.3. Esemp d daeggameto dscreto la base del daeggameto può assumere solo alcu valor che vegoo sert u vettore, allo stesso modo, ache la poszoe può assumere valor dscotu rassumbl

115 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO u vettore, che dpede oltre che dalla dscretzzazoe fatta, ache dalla dmesoe che assume l estesoe del dao. I quest cas sapedo che è l umero d elemet preset ua dscretzzazoe uforme s ha: ) ) 3) 4) 5) b = ; x =,.., ; b = ; x =,,.., ; 3 3 b = ; x =,.., ; b = ; x = ; b = ; x = ; (5.6) I pratca: b = ( b,..,b,..,b ) x = x(b ); ; (5.7) Defto l problema s procede all assemblaggo della matrce delle masse e quella delle rgdezze D Mu & + K u = (5.8) S tratta adesso d rsolvere l seguete problema agl autovalor e qud d trovare le soluzo: D D ω β,b, x,.. ω β,b, x N (5.9) ( ) ( ) DOF N = I cu N rappreseta l umero d grad d lberta dell tera struttura 5.. Problema dretto pseudo cotuo. I questo caso s cosete al daeggameto d teressare u tratto dpedetemete dalla dscretzzazoe utlzzata B β L/ X L/ Fgura 5.4. Modello pseudo spermetale d trave dscretzzata =. I u smle approcco vegoo cosderate tutte le possbl combazo che può assumere u elemeto fto apparteete ad ua trave daeggata, ed partcolare s posso dstguere 5 cas:

116 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. la lb la lb lc j j ) ) la lb l j j 3) l 4) j zoa daeggata zoa tegra 5) Fgura 5.5. Cas d studo el cotuos damage. Per ogua delle seguet tpologe d dao s scrvoo le legg delle hermtae su var tratt: 3 w a = a + a z + a 3z + a 4z z < la ) 8 cogte 3 w b = b + b z + b3z + b 4z z < lb ) w w w a b c = a = b = c + a z + a z + b z + b z + c z + c z a + b + c z z z z < l z < l z < l c a b cogte (5.) 3) w w a b = a = b + a z + a z + b z + b z a 4 + b 4 z z 3 3 z < l a z < l b 8 cogte 4) 5) 3 { w = a + a z + a z + a z 4 cogte a 3 3 { w = a + a z + a z + a z 4 cogte a Per la determazoe delle costat s mpogoo, per og caso, le relatve codzo al cotoro (cogrueza ed equlbro), per og puto estero e 4 per og puto tero. w a (z = la) = w w' a (z = la) = w' b (z = ); Caso ) β EJ w'' (z = la) = EJw'' a β EJ w''' a b (z = ); (z = la) = EJw''' b (z = ); b (z = ); w w' w w' a b (z = ) = w a (z = ) = ϕ ; (z = lb) = w b (z = lb) = ϕ ; ; j j ; (5..a)

117 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO w w' EJ w'' EJ w''' a (z = la) = β EJw''' Caso ) w (z = lb) = w (z = ); w' a b (z = la) = w a b (z = la) = w' a (z = lb) = w' (z = ); β EJ w'' β EJ w''' w a (z = ); (z = ); (z = la) = β EJw'' b (z = ); (z = ); (z = lb) = β EJw'' (z = ); b b c (z = la) = w b c (z = lb) = β EJw''' (z = ); w' a (z = la) = w' b (z = ); Caso 3) EJ w'' (z = la) = β EJw'' a EJ w''' a b (z = ); (z = la) = β EJw''' w b b b c c (z = ); b (z = ); w' a (z = ) = ϕ; Caso 4) w (z = lb) = w ; w' a b (z = ) = w b (z = lb) = ϕ ; ; j w w w w' a (z = ) = w (z = ) = ϕ ; w (z = lc) = w ; c a w' (z = lc) = ϕ ; w' w' a b c (z = ) = w a (z = ) = ϕ ; (z = lb) = w b (z = lb) = ϕ ; ; j j ; ; j j (5..b) (5..c) (5..d) S rsolvoo sgol sstem e s determao le legg degl spostamet. Dagl spostamet, mpoedo le equazo d cogrueza agl estrem, s determao le espresso delle forme d terpolazoe. N N N N 3 4 = w w = w w = w w = w w =, ϕ =, ϕ =, ϕ =, ϕ =, w =, w j =, w j =, w j j =, ϕ =, ϕ =, ϕ =, ϕ = ; = ; = ; = ; (5.) Le forme soo, geerale, dverse per tutt cas trae che egl gl ultm due, e qual le espresso che s determao soo ugual a quelle vste per l caso d daeggameto dscreto ell equazoe (5.4). I term delle matrc delle rgdezze e delle masse per relatv schem dvetao, percò, seguet: caso N m D j N = N D j = = la z= la a b z= () z () z N βej z ρan z < l z l a N a ja a b N z dz + ja lb z= dz + ρan lb z= b N N EJ z jb dz b N z jb dz, j =,..4 (5.3.a) 3

118 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. caso N m D j N = N N D j = = la z= la a b c z= () z () z () z N EJ z ρan z < l z < l z l a a N ja a b c N z dz + ja dz + lb z= lb z= ρan b N βej z N jb dz + b lc z= N z ρan jb c dz + N jc dz lc z= N EJ z c, j =,..4 N z jc dz (5.3.b) Caso 3 N m D j N = N D j = = la z= la a b z= () z () z N EJ z ρan z < l z l a a N ja a b N z dz + ja dz + lb z= lb z= ρan b N βej z N jb dz b N z jb dz, j =,..4 (5.3.c) Caso 4 m D j D j = β = m U j U j (5.3.d) Defte le matrc delle masse e quelle delle rgdezze per tutt sgol elemet, s passa all assemblaggo delle matrc global co lo stesso procedmeto valdo per l caso dscreto, dal quale s ottee l seguete problema agl autovalor M D D & u + K u = (5.4) term della matrce delle masse soo dvers dal caso dscreto, ma l tpo d problema rmae lo stesso determado le seguet soluzo: 5.3 Problema verso D ( β,b, x),.. ω ( β,b, x) N DOF ω (5.5) D N = Per la soluzoe del problema s cosdera ua fuzoe che lega l errore commesso sulle msure real a quelle determate per va umerca mpoedo uo stato d daeggameto, la procedura vee spesso defta respose quattes procedure [77]. P ω err = = C ( β,b, x) ω U ω D P N (5.6) E mportate dre che ua modellazoe FEM porta co se evtabl error d dscretzzazoe, qud ache se s dscretzza la trave a passo ftto, o s ruscrebbe ad raggugere valor otteut dalla soluzoe teorca classca per l caso o daeggato d trave cotua appoggata-appoggata. Duque tutt que cas cu è possble farlo è 4

119 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO buoa orma cofrotare la modellazoe co dat teorc. Nel caso specfco esste ua soluzoe forma chusa per le frequeze che valgoo: π EJ ω T = =,.., L ρa (5.7) Prma d procedere el rsolvere l problema verso e mmzzare la fuzoe (5.6) è opportuo far tedere l errore dato dalla seguete equazoe (5.8) a zero o ad u valore accettable P T FEM ω ω e = (5.8) T = ω Se così o fosse, l errore commesso per la stma delle pulsazo propre potrebbe essere pù fluete d quello dovuto allo stato d dao, falsado percò l processo d mmzzazoe. La mmzzazoe può essere effettuata dvers mod, però le procedure devoo essere adatte alla tpologa d fuzoe da mmzzare. Per lo studo della stessa s prede a rfermeto ua trave d ote caratterstche geometrche sulla quale sste uo stato d daeggameto oto a pror. La trave preseta u modulo d Youg E= 6 N/cm, ua sezoe mm, ua destà ρ=784 Kg/m 3 ed ua lughezza L= mm. I questo caso le prme tre pulsazo teorche, per lo stato o daeggato, soo par a: ω ω ω T T T 3 rad = ; s rad = ; s rad = ; s (5.9) Quest valor vegoo utlzzat per defre l errore commesso ella dscretzzazoe. Errore al varare della dscretzzazoe e Fgura 5.6. Errore dovuto alla dscretzzazoe Dal quale s ota come ua dscretzzazoe co = sa pù che buoa, per essa s ottee u errore d

120 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Stablta la dscretzzazoe s esama u caso d daeggameto oto, cu X=8mm, B=6mm e β=.57; per caso s calcolao le pulsazo propre per va aaltca (quest dat sarao cosderat come dat pseudo spermetal) D rad ω = 9.46 ; s D rad ω = ; (5.) s D rad ω 3 = ; s Il processo d mmzzazoe dell errore dovrà portare a defre le varabl d daeggameto vce a quelle mposte per l calcolo delle frequeze pseudo spermetal. S esama l errore per alcu valor d beta e per tutt valor d X e B. err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 6

121 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 err fuzoe d errore per β= x b=.5 b=. b=.5 b=. b=.5 b=.3 b=.35 b=.4 b=.45 b=.5 b=.55 b=.6 b=.65 Fgura 5.7. Fuzoe obbettvo al varare d β, b e x. Og grafco possede u mmo e per og mmo vegoo defte le varabl geometrche del dao. β = mβ ( B,X) (5.) Dagrammado l errore rspetto a mm d beta e cosderado dverse dscretzzazo s ottee: Fuzoe d errore = Fuzoe d errore = err. err β β 7

122 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Fuzoe d errore =4 Fuzoe d errore = = = err. err β β Fgura 5.8. Fuzoe obettvo al varare del umero d elemet e d beta. Dalle fgure 5.8 s può otare come la dscretzzazoe pù ftta, coè quella ella quale l errore zale era basso, sta sempre al d sotto delle altre. La soluzoe mglore per = è quella d beta=.6 e co b=.4 e x=.35, metre per =4 beta=.6 co b=.4 e x=.35, el caso = la soluzoe mglore è beta=.5, b=. e x=.4. Il procedmeto appea effettuato è l cosddetto metodo a scasoe su tutte le possbl combazo geometrche e su ua dscretzzazoe del grado d dao. Per avere la certezza d otteere u errore par a zero deve ecessaramete verfcars che la dscretzzazoe della trave s sovrappoga completamete al tratto daeggato. I questo caso, come s può otare dalla fgura 5.9, utlzzado =4 o s ruscrebbe a far sovrapporre la magla al tratto daeggato Fgura 5.9. Test pseudo spermetale e dscretzzazoe della trave co =4. Esste u elemeto che è parte daeggato ed parte o. Il secodo metodo, applcato al caso precedete, potrebbe dare ua stma mglore del dao, sul secodo, po, s potrebbero fttre a pacmeto put d scasoe sulle cogte geometrche. Il processo d scasoe su tutt put garatsce ua rcerca completa su tutto l domo. Icremetado la dscretzzazoe l umero d put su cu effettuare la scasoe cresce rapdamete, per tale motvo s è decso d rsolvere l uovo problema utlzzado u algortmo d ottmzzazoe. Nel caso esame soo preset molt put d mmo relatvo, s è pesato d lavorare co gl algortm geetc che vegoo utlzzat molt lavor d damage detecto [85 86]. Ess o garatscoo d trovare ua soluzoe ottma per u problema, ma geeralmete trovao ua soluzoe suffcetemete buoa e temp rapd. Per meglo compredere pass esegut ell detfcazoe, per etramb cas soo presetat, ella fgura 5., flow chart del processo d mmzzazoe. S è decso oltre d cofrotare l algortmo e due cas, per l caso dscreto, l algortmo d ottmzzazoe è pù macchoso a dffereza d quello cotuo, ell ultmo d deve lavorare cotemporaeamete co varabl sa dscrete che cotue. I questo caso s utlzza ua popolazoe par a 9, ua probabltà d croco p=.5 e ua probabltà d mutazoe par a.3. 8

123 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO err Fuzoe d errore geerazo err Fuzoe d errore geerazo a) b) Fgura 5.. Fuzoe obettvo al varare del umero d geerazo: a) dscrete damaged, b) cotuos damaged. Da dagramm precedet s può come l metodo cotuo approssm meglo la soluzoe determado ua soluzoe mglore rspetto al caso dscreto. Creazoe della popolazoe d cromosom radom Scorrmeto su tutt cromosom Determazoe d beta Determazoe d b Determazoe d x Scorrmeto su tutt gl elemet Kd Damage, udamage Ku Assemblaggo K Calcolo frequeze E det della ftess Eltsmo, Icroco(crossover) Mutazoe Close geerato The err s accetable soluto a) 9

124 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Creazoe della popolazoe d cromosom radom Scorrmeto su tutt cromosom Determazoe d beta Determazoe d b Determazoe d x Scorrmeto su tutt gl elemet Case:,,3,4,5 K, M;.K5, M5; Calcolo frequeze E det della ftess Assemblaggo K, Eltsmo, Icroco(crossover) Mutazoe Close geerato The err s accetable soluto b) Fgura 5.. Flow-chart: a) dscrete damaged, b) cotuos damaged. β b x err Soluzoe esatta Metodo dscreto Metodo cotuo Tabella 5.. Soluzo otteute per l caso pseudo spermetale S è, però, otato che l umero d geerazo ecessaro per l raggugmeto della soluzoe è per l metodo cotuo maggore d quello dscreto. Questo valore o è oto a pror, duque, è ecessaro stablre u valore d err per l quale ua soluzoe possa essere defta accettable. Ne due cas s è preso a rfermeto l valore del %. Le frequeze vegoo determate medate test spermetal, ach ess soo affett da evtabl error, è buoa orma valutare la soluzoe (beta, b, x) varado dat gresso. S parte facedo varare dat (5.) u rage del %, prededo a rfermeto l caso vsto precedete.

125 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO ω, = ω, = 8.5 ω, 3 = 9.46 ω, 4 = 9.79 ω, 5 = Fgura 5.. Soluzoe al varare d ω. I fgura 5. soo dagrammate le soluzo rspetto al varare del parametro ω e all aumetare d questo, la varable x cresce dal u valore d crca.34 a.38, metre la varable assocata alla base cresce d poco da.5 a.6 e β passa da.57 a.55 ω, = ω, = 54.9 ω, 3 = ω, 4 = ω, 5 = 53. Fgura 5.3. Soluzoe al varare d ω. I fgura 5.3 al crescere d ω la poszoe x decresce da.38 a.34, la base cresce da.5 a.7 metre β decresce passado da.59 a.56 ω3, = ω3, = ω3, 3 = ω3, 4 = ω3, 5 = Fgura 5.4. Soluzoe al varare d ω3.

126 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. I fg. 5.4 la varazoe d ω3 porta alla defzoe d superfc poco regolar, questo caso la x rmae costate al valore.36, la base passa da.85 a.3 e beta da.44 a.6. U ragoameto sffatto serve a defre la sesbltà d u parametro che s vuole determare rspetto ad ua varazoe d u dato gresso. Però gl put possoo varare cotemporaeamete modo radom, s è, qud, proceduto co l smulare 5 valor radom d frequeze uformemete dstrbut rspetto a valor cetral sert (5.) e fssado u rage d varazoe del 5%, cetrato rspetto a valore pseudo spermetale. ω max ω ω D D D ω ω m =.5% ; =.5% D ω (5.) I tabella vegoo rappresetat valor massm e mm detro qual vegoo geerat valor radom. Omega m Omega ce Omega max Tabella 5.. Dat modello pseudo spermetale Fgura 5.5. Dat radom d ω,ω,ω3. Grafcamete è possble valutare le soluzo otteute per etramb cas.

127 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO a) b) c) d) Fgura 5.6. Soluzo el dscrete damaged a b) 3

128 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. c) d) Fgura 5.7. Soluzo el cotuos damaged. S può valutare, dalle fgure 5.6, 5.7, come l problema esame sa mal codzoato, le soluzo el caso dscreto che cotuo o soo cocetrate u rage, duque, a pccole varazo delle msure delle pulsazo otteamo grad varazo sulle soluzo. S può otare come le soluzo otteute medate FEMc abbao u valore err pù basso rspetto al caso dscreto. Soo stat utlzzat per u cofroto altr dat dspobl bblografa [77], che s rferscoo ad ua trave appoggata appoggata co valor detc a quell usat el caso pseudo spermetale case umber damage posto x Natural frequeces (rad/s) ω ω ω 3 Udamaged varatos of atural frequeces (rad/s) damage exteso β damage coeffcet b ω ω ω Tabella 5.3. Dat spermetal utlzzat S soo esamat var cas co dfferet dscretzzazo ed rsultat soo rappresetat dalle seguet tabelle e successv stogramm. AG dscotuo = err β b x caso caso caso AG cotuo = err β b x caso

129 CAPITOLO 5- IDENTIFICAZIONE SU TRAVI SOGGETTE A DANNO DIFFUSO caso caso AG dscotuo = err β b x caso caso caso AG cotuo = err β b x caso caso caso Tabella 5.4. Rsultat otteut al varare del metodo ed al varare della dscretzzazoe CASO CASO β b x CASO 3 AG dsc = AG dsc = AG co = AG co = esatto β b x AG dsc = AG dsc = AG co = AG co = esatto β b x AG dsc = AG dsc = AG co = AG co = esatto Fgure 5.8. Soluzo al varare della dscretzzazoe e al metodo utlzzato. La defzoe de parametr del daeggameto forsce ache questo caso rsultat soddsfacet, s è costatato che co u umero d elemet par a dec, l metodo basato sul cotuos damage offre rsultat brllat co error abbastaza bass, quest s abbassao ulterormete cremetado la mesh sa el caso dscreto che el cotuo, s è po vsto come gl error del cotuo soo stat sempre feror al quell el dscreto. 5.4 Cocluso Due modell d daeggameto d trave soo stat usat per determare l dao ua zoa medate FEM e soo l dscrete damage e cotuos damage. A partre da dat msurat 5

130 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. laboratoro s resce a determare la poszoe l grado d dao e la sua gradezza, foredo rsultat pù che soddsfacet. S è proceduto a valutare la fuzoe d errore tra dat gresso e quell calcolat, e mmzzare la stessa graze all uso degl algortm geetc, che però o dao ua soluzoe esatta, ma s è vsto che co poche geerazo ess forscoo delle buoe soluzo. Ua soluzoe buoa co l metodo dscreto s ottee, solamete, cremetado la mesh co aggravo term computazoal, metre l metodo cotuo e è dpedete, l cotuo offre, po, buo rsultat seza cremetare la mesh ache quado la base del dao è otevolmete pccola. Il FEM è però u metodo approssmato e prma d procedere alla mmzzazoe, è ecessaro rdurre gl error ter dovut alla dscretzzazoe per o falsare l aals. Il tpo d problema rsulta mal codzoato, e a pccole varazo de dat gresso s hao grad varazo de dat uscta, s è vsto che le varazo soo pù o meo cotue per varazo pccole de dat gresso, metre s soo verfcat gross salt per grad varazo. Se s volesse determare l dao utlzzado questa tecca sarebbe ecessaro utlzzare u umero maggore d formazo, ad esempo aumetado l umero d pulsazo da cofrotare oppure, tutt que cas cu è cosetto farlo, cofrotare ache le formazo rguardat le forme modal ache se queste soo pù dffcl da determare. 6

131 CAPITOLO 6 IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI L obettvo del presete captolo è quello d mplemetare alcu crter d cofroto delle caratterstche modal, per rsolvere, attraverso l metodo verso, l problema dell dvduazoe e quatfcazoe del daeggameto e tela pa, sulla base de dat del modello pseudo-spermetale. Sarao utlzzat dvers crter d cofroto delle caratterstche modal, applcat ad altrettato dfferet tela pa, l mmo della fuzoe d errore, sarà determato attraverso l utlzzo d procedmet d ottmzzazoe, che sostturao l troppo oeroso procedmeto d scasoe e cosetrao l aals d strutture pù complesse. I metod d ottmzzazoe utlzzat sarao: metrca varable, metodo del gradete, algortm geetc.

132 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 6.. Itroduzoe. La possbltà d effettuare ua detfcazoe damca del daeggameto ua struttura è subordata alla codzoe che questa possa essere sottoposta alla aals modale spermetale, dove co tale espressoe s tede l processo spermetale che ha come scopo quello d acqusre de dat che cosetoo d determare ua descrzoe umerca del comportameto damco della struttura. I dat acqust vegoo po elaborat a secoda del metodo scelto per l dvduazoe del daeggameto. L obettvo del seguete captolo è quello d defre, tutt gl aspett, l problema dell detfcazoe strutturale [87-97] applcata a tela pa operado u cofroto umerco fra var metod d detfcazoe del dao u telao pao, per valutare effceza ed applcabltà. No avedo, però, la possbltà d sottoporre la struttura oggetto d studo ad aals modale spermetale, l cofroto è stato codotto co l auslo d u modello pseudo-spermetale. Per modello pseudo-spermetale, s tede ua struttura caratterzzata damcamete attraverso l aals modale teorca. A tal proposto, fssata la geometra del modello pseudo-spermetale è stato mplemetato u apposto programma d calcolo per determare le caratterstche damche (frequeze e forme modal). Il processo d aals versa rmae lo stesso d quello aalzzato el captolo precedete, vegoo però trodott uov crter d cofroto al fe d detfcare ua metodologa stable ache preseza d evetual error. 6.. Aals modale del modello pseudo-spermetale. E stato mplemetato u programma d calcolo per effettuare l aals modale d u telao pao. Il programma è realzzato co l lguaggo Matlab. Il programma, letto l fle d put, assega valor alle relatve varabl, per tutt od e gl elemet, calcola le propretà geometrche d quest (area, mometo d erza) ed assembla le matrc, delle masse e delle rgdezze, del sgolo elemeto strutturale el sstema d rfermeto locale. Defta ua matrce d rotazoe, questa vee applcata alle matrc d rgdezza de var elemet per rportare l tutto el sstema d rfermeto globale. Calcolate le dmeso della matrce d rgdezza dell tera struttura (K globale ), è possble procedere sa all assemblaggo d questa che della matrce delle masse della struttura (M globale ). A questo puto è stato possble effettuare l aals modale e calcolare frequeze e forme modal. Il calcolo è stato codotto tramte l metodo delle poteze verse. Per verfcare la botà de rsultat otteut, s è pesato d cofrotarl co parametr modal (frequeze e forme modal) fort dall aals damca, dello stesso modello, codotta co l auslo d u programma d calcolo agl elemet ft, el caso specfco l SAP. Il cofroto ha evdezato ua dscordaza d rsultat, ascrvble al fatto che l codce d calcolo commercale utlzzato, effettua l aals modale cocetrado le masse dstrbute d cascu elemeto strutturale e od, a dffereza del programma che vece tratta le masse modo dffuso. Il SAP segue questa flosofa d calcolo, perché d solto e od soo assegate masse aggutve dovute a carch che soo molto pù grad del cotrbuto delle masse dffuse de sgol elemet, per cu l approssmazoe che s geera el rsultato fale è pratcamete rrlevate. S deduce che l cofroto a questo lvello o ha molto sgfcato, per cu s è cocluso che l procedmeto d verfca s sarebbe dovuto codurre, ua volta che l programma avesse teuto coto del cotrbuto dervate dalle masse d pao applcate e od e della rgdezza d pao. 8

133 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI 6... Aals modale co masse d pao. S è passato qud ad mplemetare ua secoda versoe del programma che teesse coto del cotrbuto delle masse d pao. A questo proposto l fle d put è stato modfcato, facedo modo che coteesse ache l formazoe sull ettà della massa d pao. S è fatto modo che quest ultma gradezza el programma vesse ugualmete rpartta su od d pao. Co queste formazo è stato possble rassemblare la matrce delle masse M tot, e mateedo lo stesso procedmeto d assemblaggo della K tot, della versoe precedete è stata uovamete codotta l aals modale. Il problema è acora cotuo per cu per l geerco telao pao, le forme modal sarao fte. Il programma cosete d fssare l umero d forme modal che s vogloo calcolare. La rgdezza assale EA d tutte le aste è stata sempre assuta dversa dal valore fto. E stata mplemetata ua proceduta per la rappresetazoe grafca delle forme modal della struttura. D seguto s rportao alcue deformate modal otteute co l programma: Fgura 6.. Deformate modal telao ad pa Aals modale co masse d pao ed mpalcato ftamete rgdo, cofroto rsultat otteut. Lo stesso problema è stato rvsto mpoedo che gl mpalcat fossero ftamete rgd. Tale modfca è stata otteuta sommado u uco terme, cotrbut d rgdezza delle aste ella drezoe orzzotale. Il umero d forme modal, ora, dpede da grad d lbertà del pao e o da quell del odo. A questo puto è stato possble cofrotare rsultat otteut, co questa ultma versoe del programma, co quell fort dal programma d calcolo S.A.P. Per rdurre al mmo le dffereze d mpostazoe fra due programm, o s è teuto coto etramb del cotrbuto delle masse dffuse. I rsultat otteut soo stat cofrotat term d perod d vbrazoe. A meo de mot rotazoal, de qual S.A.P o tee coto (perché la massa è cocetrata e od), gl altr mod traslazoal soo rsultat pratcamete cocdet. D cosegueza l esto del cotrollo del programma può rteers postvo. Nelle page seguet verrao presetat rsultat otteut dall applcazoe de var crter d cofroto a applcato ad u telao a 3 pa. 9

134 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Verfca dell ortogoaltà de mod spermetal. S dca co Φsp la matrce de mod otteut dalle prove spermetal e co M um la matrce d massa relatva al modello umerco ad elemet ft e s calcola l prodotto: Φ M Φ = I (6.) T sp um sp sp dove la matrce I sp deve essere ua matrce utara se mod spermetal soo ormalzzat a massa geeralzzata utara e se soo ortogoal rspetto alla matrce d massa del modello umerco. I geere è ecessaro fare rfermeto ad u modello rdotto, modo che l umero de grad d lbertà sa compatble co quello de mod msurat dalla spermetazoe; se s dca co M R la matrce d massa rdotta, coè la matrce d massa relatva a grad d lbertà che vegoo msurat spermetalmete, s ha: T Φ spm RΦsp = Isp (6.) dove la matrce I sp è dealmete ua matrce utara; pratca s tratta d verfcare delle codzo approssmate, ad esempo co valor: I >.95 (6.3) I j <.5 (6.4) U altro metodo per l cotrollo d ortogoaltà fa tervere ache la matrce d rgdezza del modello umerco, fatt a partre dalla relazoe: ( ) ( r K - ω M ) = φ (6.5) ( r) se s cosderao le matrc K, M ed l vettore φ partzoat grad d lbertà prcpal, p, e secodar, s, cu grad d lbertà prcpal corrspodoo a quell d msura s ottee la relazoe: ( r ) K pp K ps M M pp ps φ p ωr ( ) = {} r K sp K ss M sp M (6.6) ss φs dalla (6.6) cosderata ella sua partzoe ferore s ottee: φ ( r ) ( ) ( ) ( r ) ( r ) s = K ss ω r M ss K sp ω r M sp φ p = S φ r p (6.7) e qud l'autovettore del modo r-esmo è dato dalla: ( r ) φ ( r ) I φ ( r ) ( r) = T φ p φ = ( r ) = p r p (6.8) φ S s r e s ha qud la codzoe relatva al cotrollo d ortogoaltà:

135 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI co: dvee: T ( r ) ( q) φ M φ = δ (6.9) um rq δ rq = se r = q (6.) δ rq se r q (6.) T ( r ) T ( r ) φ T M T φ = δ (6.) p r um q p rq dove elle matrc d trasformazoe T r e T q tervee ache la matrce d rgdezza del modello umerco. Naturalmete ua volta che s sa eseguto l cotrollo d ortogoaltà de mod, l che permette d stablre se la stuazoe spermetale è accettable, è possble operare per otteere u mglorameto delle deformate modal Verfca della cossteza de vettor modal. U metodo molto semplce per l cofroto degl autovettor spermetal co quell umerc è basato sull'dea che se due autovettor descrvoo la stessa deformata modale allora devoo essere proporzoal tra loro. Questo permette d defre u fattore d proporzoaltà, partcolare è stato defto u fattore d scala modale, MSF (Modal Scale Factor), co la relazoe : () MSF T () () ( φ um Wφsp ) T () () ( φsp Wφ sp ) = (6.4) dove φ um dca u modo otteuto per va umerca, φ sp dca l modo corrspodete otteuto spermetalmete e W dca ua matrce defta postva da utlzzare come peso ella msura del fattore d scala, se o s hao motv per dfferezare l peso delle compoet degl autovettor s può usare la matrce utara; alcu cas s possoo utlzzare come peso le matrc d massa o rgdezza. I modo aalogo s può defre u fattore d correlazoe dcato co l terme crtero d correlazoe modale, M.A.C (Modal Assurace Crtero), co la relazoe : ( ) S osserva che se soo dat due vettor parallel coé u = α v, proettado la precedete relazoe sul vettore v, s puo otteere la costate α come u v u = (6.3) v v S osserva acora che se s dca co β l'agolo compreso tra due vettor u e v ello spazo, dalla u v = u v cos β, può esprmers l quadrato del coseo d tale agolo come cos che qud forsce u terpretazoe della (6.5). ( u v) β = (6.7) v u

136 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. MAC T () () ( φumφsp ) T T () () () () ( φumφumφsp φsp ) = (6.5) questo fattore può assumere valor compres tra zero ed uo; l valore zero dca che o v è essua relazoe d leartà tra l vettore spermetale e quello umerco, metre l valore uo dca la perfetta proporzoaltà de due vettor. S ota che, oltre vatagg della semplctà d valutazoe degl dc del tpo MSF e MAC, per otteere queste dcazo o è ecessaro utlzzare le matrc d massa e d rgdezza della struttura ed è ache possble cofrotare solo delle sottocompoet de vettor modal. Pù geerale s può defre u M.A.C geeralzzato cu s utlzza ache la matrce peso, W, e s ha: MAC T () () ( φ um Wφ sp ) T T () () () () ( φ um Wφ umφ sp Wφ sp ) = (6.6) U ulterore espressoe del fattore d correlazoe otteuta a partre dal M.A.C. da Lever ed Ews (988) è l cosddetto Co.M.A.C [87] la cu espressoe è la seguete: 6.5. Cofroto de modell. L φ () () φ um sp r= CO.MAC = L (6.8) L () () ( φum ) ( φsp ) r= r= Il umero d mod fodametal che s può otteere dall'aals spermetale d ua struttura è, geere, assa lmtato e certamete molto pù pccolo del umero de grad d lbertà del modello umerco metre l umero delle compoet msurate sul sgolo modo può essere ache par al umero de grad d lbertà o, almeo, co procedmet llustrat e paragraf precedet, s può rportare al umero de grad d lbertà del modello umerco o vceversa. Il cofroto tra dat spermetal e corrspodet dat umerc s può codurre co l'mpego d alcu dc d errore. Per l cofroto sulla base delle frequeze atural s può mpegare u dce relatvo alla sgola frequeza: ω ω um ω sp um (6.9) Per l cofroto sulle deformate modal s può usare u dce basato sulla defzoe precedetemete rchamata del crtero d fduca modale, M AC, dato da: T () () [ φum φsp ] T T () () () () ( φum φum ) φsp φsp ( ) (6.)

137 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI A questo puto l dea per effettuare l cofroto fra var metod d correlazoe è la seguete: S mplemeta u programma che forsca le caratterstche damche della struttura al varare d uo o pù parametr pres come potezal sed del daeggameto (per esempo l modulo d elastctà delle trav o de plastr, rspettvamete E t ed E p ). S effettua ua scasoe su tutta la struttura, facedo varare dett parametr u cogruo rage, e secodo u passo stablto. Per og valore de parametr, s determao le caratterstche modal della struttura. S fssa u crtero d cofroto (M.A.C, CO.M.A.C, crtero del cofroto delle frequeze o dell eerga d deformazoe, ecc.). S cofrotao le caratterstche modal della struttura teorca, co dat dervat dall aals modale del modello pseudo-spermetale al varare de parametr. Il crtero d cofroto determa ua fuzoe d errore, che corrspodeza del mmo forsce valor de parametr che maggormete approssmao le caratterstche damche del modello pseudo-spermetale. S estrapolao valor de parametr corrspodeza del mmo e s valuta base al cofroto fra l loro valore umerco ed u valore d rfermeto degl stess (per 6 esempo E = 3 N / cm ) se quest soo compatbl co l tegrtà o co l daeggameto della struttura. S tera l procedmeto per og crtero d cofroto, che s vuole aalzzare, e s cofrotao rsultat fort da cascuo d quest. La scelta delle strutture aalzzate questa fase, è stata effettuata modo tale che parametr varabl fossero sempre due, modo tale che la fuzoe d errore geerata fosse sempre vsualzzable geometrcamete. Cos facedo s è potuto valutare la forma della fuzoe d errore, l evetuale preseza d pù mm relatv, l codzoameto della soluzoe, e qud la valutazoe relatva de var metod d cofroto è rsultata pù mmedata. I partcolare le strutture aalzzate secodo l procedmeto prma esposto, soo state: telao d 3 pa, cu soo stat assut come parametr varabl E ed E3, rspettvamete modulo d elastctà d tutte le aste (trave e plastr) al pao ed al pao 3. Il modulo elastco E del pao è stato vece teuto fsso. S precsa che la procedura mplemetata, affersce al lvello 3 d detfcazoe del dao, (ache se el caso del telao ad u pao, v è ua lmtazoe dovuta alla smmetra) e che l tero procedmeto può cosderars u procedmeto verso d soluzoe, basato sull terazoe d tat problem drett quat soo pass d scasoe. E evdete che l oere computazoale d questo procedmeto geerale sarebbe elevato, ma cosderate le strutture aalzzate questa fase esso rsulta accettable, ache alla luce degl scop del captolo. E da precsare che valor esatt de parametr cogt che mmzzao la fuzoe d errore (p.e. E p, E t, el caso del telao ad u pao) soo realtà ot a pror perché assegat per produrre dat pseudo-spermetal, ma cò ulla togle alla logca del problema az rsulta essere u mplcto cotrollo sulla botà del valore d mmo del crtero d errore utlzzato. (se l crtero è esatto deve forre, a meo dell errore maccha e dell errore dervate dal passo della scasoe, gl stess valor de parametr cogt fssat ella creazoe del modello pseudo-spermetale). A tal proposto s rmarca altresì, che ache el caso d acquszoe spermetale de dat damc, la creazoe del modello pseudospermetale è utle per effettuare l cotrollo sulla botà delle quattà damche acquste. 3

138 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Caso d studo: aals del telao a 3 pa. I metod d correlazoe MAC e COMAC soo stat applcat ad u telao multpao pur mateedo par a l umero d varabl da cu dpede la fuzoe d errore. I partcolare è stata codotta la scasoe su u telao a tre pa, caratterzzato da ua varable per pao. Fssata ua delle tre varabl, è stato possble effettuare la scasoe, vsualzzare la fuzoe d mmo e verfcare l esattezza de rsultat ed l codzoameto. Gl altr crter, o basat sulle forme modal restao comuque applcabl ache a questo caso. D seguto s rporta la geometra del telao aalzzato, ed rsultat otteut co cascu crtero d cofroto per la valutazoe della fuzoe d errore: Fgura 6.. Modello pseudo-spermetale telao 3 pa. Caratterstche meccache del modello pseudo spermetale: 6 N E : modulo elastctà aste pao =,5 cm ; 6 N E : modulo elastctà aste pao =,7 cm ; 6 N E 3 : modulo elastctà aste pao 3 =, cm ; ρ : destà d massa per utà d volume = 5 Kg,4 3 cm ; M : massa applcata sulle trav= 3 Kg ; Varable fssata: E ; D seguto (fgg ) s rportao rsultat delle prove codotte sul telao a 3 pa utlzzado var crter d cofroto. La forma delle fuzo d errore el caso del MAC e del COMAC soo pressoché sml, metre cambao le forme egl altr cas. Tutt crter hao dato rsultat soddsfacet, prms è possble otare la preseza d u solo mmo, pù la soluzoe o rsulta mal codzoata. 4

139 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Fgura 6.3. Fuzoe d errore basata sul MAC Fgura 6.4. Fuzoe d errore basata sul COMAC Fgura 6.5. Fuzoe d errore basata valor assolut frequeze Fgura 6.6. Fuzoe d errore basata su quadrat delle frequeze Fgura 6.7. Fuzoe d errore basata sull eerga d deformazoe 6.6. Crter adottat ella spermetazoe Fgura 6.8. Fuzoe d errore basata sull ortogoaltà autovettor A partre da dat pseudo-spermetal e attraverso l mplemetazoe d u metodo verso, l ettà e l ubcazoe del daeggameto soo stat determat el seguete modo: 5

140 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO.. S mplemeta u programma che forsca le caratterstche damche della struttura oggetto d studo al varare d uo o pù parametr pres come potezal sed del daeggameto, el caso specfco, l modulo d elastctà delle trav e de plastr, (rspettvamete E t ed E p ) o dsttamete d tutt gl elemet apparteet ad u pao (E pao ). Il valore d parteza de parametr è fssato modo radom.. S fssa u crtero d cofroto (M.A.C, CO.M.A.C, crtero del cofroto delle frequeze o dell eerga d deformazoe, ecc..,) fra le caratterstche damche del modello pseudo-spermetale, e quelle otteute a partre da parametr radom e s determa u certo valore dell errore. 3. S scegle u crtero d ottmzzazoe della fuzoe d errore. I partcolare, questo studo soo stat utlzzat seguet crter: Metrca Varable, Metodo del Gradete, Algortm Geetc [89-9]. 4. S applca l crtero d ottmzzazoe. 5. Il valore de parametr meccac che s ha corrspodeza del mmo assoluto della fuzoe d errore, è quello che maggormete s avvca (al lmte è uguale) al valore de corrspodet parametr del modello pseudo-spermetale. S vsualzza tale valore e s stablsce se, ed che msura, l parametro dca u potezale daeggameto. 6. Gacché og parametro è assocato ad u elemeto, o a tutt gl elemet d u pao, la coosceza del valore del parametro rsolve mplctamete ache l problema dell ubcazoe del dao. Nel seguto s rportao rsultat delle prove codotte, su alcu tela pa, due set d prove caratterzzat el seguete modo: set d prove A: a tutt gl elemet d pao (trav e plastr) sarà assocato u valore uco del modulo elastco E, detto E pao, s avrà tal modo ua varable per pao. set d prove B: per og pao sarao dvduat due dvers valor de modul elastc, uo per plastr ed uo per le trav d pao, rspettvamete E p ed E t. S avrao tal modo due varabl per pao. State l mpossbltà d ecctare la struttura secodo tutt suo grad d lbertà (che gà a pror s cosderao ft) e data la ecesstà d poszoare put d msura modo ottmale per otteere de dat spermetal sgfcatv per tp d mod specfc (per esempo u modo d vbrazoe locale che teressa solo ua parte della struttura) è evdete come assuma u ruolo crucale la scelta de grad d lbertà secodo cu ecctare la struttura. Nell ambto d tale problematca u ragoevole crtero d scelta, potrebbe essere quello d cosderare come prcpal que grad d lbertà cu le forze d erza soo grad rspetto alle forze elastche e aturalmete d cosderare come secodar que grad d lbertà cu avvee l cotraro. Tale crtero è per l apputo alla base della cosddetta rduzoe d Guya (el seguto R.G.). La R.G. è u metodo che permette d rdurre grad d lbertà prcpal (che soo quell che devoo rmaere dopo l processo d rduzoe) grad d lbertà secodar (che vece o rmagoo dopo l processo d rduzoe ma vegoo espress fuzoe de grad d lbertà prcpal). Questa scelta può essere computa per va umerca valutado, per l -esmo grado d lbertà, l rapporto K M delle compoet delle matrc d rgdezza e d massa e cosderado come prcpal grad d lbertà per qual questo rapporto è pù pccolo (fatt cò dca che le forze d erza soo grad rspetto le forze elastche). Co questo processo d rduzoe s ottee u uovo modello agl elemet ft co dmeso che possoo essere ache molto rdotte rspetto al modello orgale e co caratterstche damche, almeo per mod fodametal e frequeze pù basse, molto vce a quelle del modello d parteza. Questo crtero per la scelta de grad d lbertà prcpal 6

141 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI ella rduzoe d Guya può essere seguto ache per la scelta de put d msura spermetal. Qud a partre dal modello ad elemet ft d grad dmeso s procede ua prma fase ad elmare tutt grad d lbertà che presetao delle dffcoltà per la msura spermetale (come ad esempo per grad d lbertà d rotazoe o dffclmete accessbl) e po ua secoda fase ua scelta, alla Guya, de grad d lbertà prcpal da cosderare come put d msura spermetal. No avedo partcolar lmtazo, e cas esamat el seguto, la R.G è stata mplemetata per rdurre grad d lbertà del modello umerco solo a quell traslazoal, che geeralmete per motv espost sopra soo quell pù sgfcatv e faclmete msurabl Set d prove A : ua varable per pao. I questo prmo set d prove s è scelto d fssare, el modello pseudo-spermetale,u parametro meccaco per pao, ovvero tutte le aste che appartegoo ad u pao soo state caratterzzate da u uco valore del modulo elastco E pao. D seguto s rportao gl schem geometrc delle strutture aalzzate, ovvero 5 tela pa moocampata da a 5 pa, e tela pa b-campata, d 3 e 5 pa. Sa gl schem geometrc che le dmeso degl elemet struttural, soo state assegat modo qualtatvo secodo crter d buo seso. Per og telao aalzzato, è stato creato ed aalzzato u modello pseudo-spermetale, cu l valore del modulo elastco d pao E pao è stato geerato modo radom per og pao d cascua struttura. La spermetazoe è stata codotta geerado ua fuzoe d errore a partre da seguet metod d cofroto delle caratterstche modal (frequeza e vettor delle forme modal): d s L ω ω Frequeze: Err = ; (6.) ω s : d s L ω ω Frequeze: err = (6.) s : ω Forme modal: M.A.C : se = se j err = j err = L ( M.A.C.(, j) ) : L ( M.A.C.(, j) ) : (6.3) Forme modal: Co.M.A.C: L err. = ( CO.M.A.C. ) (6.4) L d T s Ortogoaltà de vettor delle forme modal : = { φ } [ K] [ M]{ φ } : ( ) err (6.5) Oltre a quest metod basat sulle caratterstche modal è stato utlzzato, altresì, u crtero d cofroto basato sulla valutazoe dell eerga d deformazoe: : 7

142 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. s T s d T d { φ } [ K]{ φ } { φ } [ K]{ φ } L err = (6.6) : Tal crter soo stat ache combat e sommat fra d loro, el tetatvo d otteere, valor del mmo e umero d terazo mor possbl. Seguoo po gl stogramm de rsultat otteut dalla spermetazoe. Fssato oltre l crtero d cofroto delle caratterstche damche, l mmo della fuzoe d errore sarà determato og volta attraverso, gà ctat metod d ottmzzazoe: Metrca Varable, Metodo del Gradete ed Algortm Geetc. I tal modo per og crtero s avrao tre dvers rsultat, per cu oltre a testare l effcaca del metodo d cofroto, s effettuerà u cotemporaeo cotrollo sul metodo d ottmzzazoe. Fgura 6.9. Telao Fgura 6.. Telao Fgura 6.. Telao 3 Fgura 6.. Telao 4 Fgura 6.3. Telao 5 8

143 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Fgura 6.4. Telao 3. Fgura 6.5. Telao Istogramm. Valore assoluto Frequeze Telao Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E Fgura 6.6. Valore assoluto frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.7. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 9

144 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. M.A.C. Co.M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E Fgura 6.8. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà Fgura 6.9. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga deformazoe N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E Fgura 6.. Ortogoaltà autovettor. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+ Quadrato Frequeze Fgura 6.. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+ Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E Fgura 6.. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.3. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 3

145 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Eerga+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E Fgura 6.4. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.5. Eerga e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Telao Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ E E N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ E E Fgura 6.6. Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura 6.7. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E.E+ E E Fgura 6.8. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.9. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 3

146 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Ortogoaltà Eerga deformazoe 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E.E+ E E Fgura 6.3. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.3. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E.E+ E E Fgura 6.3. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura 6.3. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E.E+ E E Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Eerga e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 3

147 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Valore assoluto Frequeze Telao 3 Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga deformazoe N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura 6.4. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.4. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 33

148 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. M.A.C.+Quadrato Frequeze Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura 6.4. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Eerga e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Valore assoluto Frequeze Telao 4 Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4.E+ E E E3 E4 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 34

149 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI M.A.C. Co.M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4.E+ E E E3 E4 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga deformazoe N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4.E+ E E E3 E4 Fgura 6.5. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.5. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4.E+ E E E3 E4 Fgura 6.5. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 35

150 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Eerga+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4.E+ E E E3 E4 Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Eerga e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Valore assoluto Frequeze Telao 5 Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 36

151 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà Eerga deformazoe 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 6.6. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 6.6. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Eerga d deformazoe e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 37

152 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Valore assoluto Frequeze Telao 3. Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga deformazoe N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura 6.7. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.7. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 38

153 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI M.A.C.+Quadrato Frequeze Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura 6.7. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Valore assoluto Frequeze Telao 5. Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 39

154 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. M.A.C. Co.M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Eerga deformazoe N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 6.8. Ortogoaltà. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.8. Eerga d deformazoe. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 6.8. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 4

155 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Eerga+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Eerga d deformazoe e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 6.6. Set d prove B : varabl per pao. Nel secodo set d prove s è scelto d fssare, el modello pseudo-spermetale, due parametr meccac per pao: E p ed E t, rspettvamete modulo elastco de plastr d pao e modulo elastco delle trav d pao. Etramb modul elastc soo stat pres come varable d cofroto per l detfcazoe del daeggameto. Le strutture aalzzate, soo le stesse del set d prove A,ovvero 5 tela pa moocampata da a 5 pa, e tela pa b-campata, d 3 e 5 pa, cu schem geometrc soo rportat el par. 8.. Soo stat mateut gl stess crter d cofroto del set d prove A a meo delle seguet varazo: Elmazoe del crtero d cofroto basato ucamete sul cotrollo dell ortogoaltà degl autovettor modal, (mateuto solo accoppameto ad altr crter) Elmazoe del crtero d cofroto basato sull eerga d deformazoe sa ell utlzzo sgolo che accoppameto ad atr crter. Utlzzo d u uovo crtero, basato sulla valutazoe cotemporaea del M.A.C, dell ortogoaltà de vettor modal e delle frequeze. Le prme due scelte soo state dettate dal fatto che, relatv crter d cofroto, o avevao, essu caso, el set d prove precedet, forto rsultat quatomeo accettabl, la terza scelta, è stata effettuata per verfcare che l crtero forsse buo rsultat term d valore dell errore e d umero d terazo. Al solto l ottmzzazoe della fuzoe d errore, è stata perseguta co tutt e tre metod f qu utlzzat ovvero Metrca Varable, Gradete e G.A. Nel seguto s rportao rsultat delle prove otteute, term d E p ed E t per og pao. 4

156 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Istogramm Telao Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET.E+ EP ET Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET.E+ EP ET Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe M.A.C.+Quadrato Frequeze Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET.E+ EP ET Fgura 6.9. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.9. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 4

157 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Ortogoaltà+Quadrato Frequeze+M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET.E+ EP ET Fgura 6.9. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Telao Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET.E+ EP ET EP ET Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET.E+ EP ET EP ET Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 43

158 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. M.A.C.+Quadrato Frequeze Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET.E+ EP ET EP ET Fgura MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Orogoaltà+Quadrato Frequeze+M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET.E+ EP ET EP ET Fgura 6.. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Telao 3 Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.. Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.3. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 44

159 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI M.A.C. Co.M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.4. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.5. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.6. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura 6.7. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà+Quadrato Frequeze+MAC N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.8. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.9. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 45

160 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Telao 4 Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 Fgura 6.. Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura 6.. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 Fgura 6.. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.3. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 Fgura 6.4. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.5. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 46

161 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Ortogoaltà+Quadrato Frequeze+MAC 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 Fgura 6.6. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.7. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Telao 5 Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura 6.8. Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura 6.9. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura 6.. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 47

162 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. M.A.C.+Quadrato Frequeze Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura 6.. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura 6.3. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà+Quadrato Frequeze+M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura 6.4. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.5. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Telao 3. Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.6. Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.7. Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 48

163 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI M.A.C. Co.M.A.C. 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.8. MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura 6.9. COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.3. MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Fgura 6.3. COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Ortogoaltà+Quadrato Frequeze+M.A.C. N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Fgura 6.3. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura Ortogoaltà e quadrato delle frequeze e MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 49

164 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Telao 5. Valore assoluto Frequeze Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura Valore assoluto delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C. Fgura Quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura MAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 M.A.C.+Quadrato Frequeze Fgura COMAC. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5.E+6 4.E+6 Co.M.A.C.+Quadrato Frequeze N/cm 3.E+6.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura MAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura COMAC e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe 5

165 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI Ortogoaltà.+Quadrato Frequeze Eerga+Quadrato Frequeze 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura 6.4. Ortogoaltà e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Fgura 6.4. Eerga d deformazoe e quadrato delle frequeze. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co dvers crter d ottmzzazoe Commeto rsultat. Co rfermeto a metod d ottmzzazoe Metrca Varable e Gradete, da set d spermetazo codotte s possoo trarre le seguet cocluso rguardo a var crter d cofroto: Crter: Frequeze e quadrato delle frequeze: Set A: I metod basat sul cofroto delle frequeze hao dato rsultat relatvamete buo. La comparazoe de quadrat delle frequeze ha forto rsultat geere pù accurat, rspetto alla valutazoe de valor assolut. Per cotro quest ultmo crtero trova la soluzoe d mmo co u umero d terazo geerale pù basso. L accuratezza della soluzoe decade all aumetare del umero d varabl ambo metod. Ma ache el caso del telao 5 e 5. rsultat otteut possoo drs accettabl per l metodo frequeze (Fre). e buo per l metodo del Quadrato delle frequeze. U problema rlevate è dato dal fatto che, la soluzoe d mmo per ambo metod, se determata co l crtero della Metrca Varable, o è uca, cò sgfca che l programma può trovare ua soluzoe d mmo cogruete, che forsce coè le stesse caratterstche damche del modello pseudo-spermetale, ma che realtà o è quella esatta. Per cotro, l ottemeto d rsultat dfferet, ad og terazoe dello stesso metodo, mette lo spermetatore subto guarda dalla o uvoctà della soluzoe. Il problema della o uvoctà o s è ma mafestato se la soluzoe d mmo veva determata tramte l metodo del Gradete. Set B: L accuratezza della soluzoe è adata dmuedo rspetto al set d prove precedet: crter basat ucamete sulla frequeza, hao dato rsultat accettabl el caso cu la fuzoe d errore era ottmzzata co l metodo della metrca varable, rsultat meo accurat el caso d mpego del metodo del gradete. I rsultat otteut soo accettabl per l crtero frequeze (Fre). fo al telao e per l Quadrato delle frequeze fo al telao 4. I etramb cas l accuratezza della soluzoe decade all aumetare del umero d pa, veedo meo partcolare sul valore delle varabl dell ultmo pao. 5

166 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Etramb crter se utlzzat accoppameto alla Metrca Varable o rspettao l uctà della soluzoe, ma valor trovat oscllao toro ad u valore cetrale. La soluzoe otteuta ottmzzado co l metodo del gradete è sempre uvoca. Crter: M.A.C e Co.M.A.C: I metod basat sul cofroto delle caratterstche modal, o soo applcabl, al caso del telao ad u pao Per le strutture a pù grad d lbertà, s è vsto che: Set A: M.A.C. Co.M.A.C, utlzzat sgolarmete, presetao dffcoltà ell avvameto, spesso alle prme terazo l crtero s arresta corrspodeza de valor estrem del domo spece el caso d ottmzzazoe co l metodo del gradete. Nel caso cu la procedura s avva foredo rsultat dvers da valor estrem del domo, le soluzo otteute o rspecchao valor d rfermeto term d valore assoluto, ma mategoo molto fedelmete valor de loro rapport. Set B: M.A.C e Co.M.A.C, valutat sgolarmete ed accoppat al crtero della M.V. mafestao ache questo caso dffcoltà ell avvameto e ua volta avvat le soluzo otteute o rspecchao valor d rfermeto term d valore assoluto, ma solo term de loro rapport. L accuratezza della soluzoe, term d rapport fra le varabl d cofroto, è questo appea accettable ed oltre sa M.A.C che Co.M.A.C o rspettao l uctà della soluzoe che osclla toro ad u valore cetrale. M.A.C e Co.M.A.C accoppat al crtero del Gradete essu caso dao rsultat accettabl, ma valor che cocdoo o s avvcao agl estrem d defzoe del domo d essteza delle varabl d cofroto. Crter: ortogoaltà de vettor modal - eerga d deformazoe: Set A: I metod basat sulla valutazoe dell ortogoaltà de vettor modal, e sulla valutazoe dell eerga d deformazoe, forscoo costatemete rsultat o soddsfacet, che l pù delle volte corrspodoo a valor estrem del domo d defzoe della varable d cofroto. Set B: Vst rsultat poco soddsfacet otteut el set A, crter d cu sopra, o soo stat mpegat el set d prove B. Crter mst: M.A.C + Quadrato delle frequeze + Co.M.A.C L utlzzo coguto de due crter d cofroto s è dmostrato sempre postvo sa orde all accuratezza de rsultat che rguardo alla dmuzoe del umero d terazo. partcolare: Set A: Co rfermeto ad etramb metod mst s può dre che: 5

167 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI I rsultat otteut, soo molto pù accurat d quell fort da cascu metodo valutato sgolarmete e forscoo pratcamete l valore esatto della varable d cofroto (E pao ). Vee mplctamete superata, la lmtazoe de crter M.A.C e Co.M.A.C. relatva al valore assoluto del parametro d cofroto forto. La soluzoe otteuta è sempre uvoca, s supera tal modo la lmtazoe del crtero frequeze(fre. ) accoppato alla Metrca varable. Set B: Dall mplemetazoe de crter basat sulla cotemporaea valutazoe del M.A.C e del Quadrato delle frequeze mmzzado la fuzoe d errore co la M.V. s soo otteut ottm rsultat, sa term d accuratezza che d umero d terazo. L accuratezza del rsultato s è mateuta sempre buoa ache all aumetare del umero d varabl. Lo stesso crtero accoppato alla mmzzazoe co l metodo del gradete ha forto rsultat leggermete meo accurat, spece e problem a pù d 6 varabl. Il Co.M.A.C assocato al Quadrato delle frequeze, s è dmostrato crtero meo robusto d quello precedete. Ifatt forsce buo rsultat fo a problem co tre varabl, per problem a pù varabl mafesta ua perdta d accuratezza, specal modo per le varabl degl ultm pa. Ache questo caso, l ottmzzazoe della fuzoe co l metodo della M.V. porta l crtero a forre rsultat pù accurat d quell otteut se s mmzza la fuzoe co l metodo del Gradete. E da rlevare che rsultat otteut, og caso, soo molto pù accurat d quell fort da cascu metodo preso sgolarmete. Se l ottmzzazoe vee effettuata co l crtero della M.V. sa l M.A.C + Quadrato delle frequeze che l Co.M.A.C. + Quadrato delle frequeze o rspettao l uctà della soluzoe, ma og caso rsultat otteut oscllao u tervallo abbastaza coteuto da varare d molto l accuratezza della soluzoe. Co la sovrapposzoe d M.A.C e Co.M.A.C, sa co la M.V. che co l metodo del Gradete, o s resce essu caso a determare l mmo della fuzoe d errore. Etramb crter d mmo, s arrestao agl estrem del domo d defzoe della varable d cofroto. Crter mst: Orto + Quadrato delle frequeze Ache questo caso rsultat otteut soo molto pù accurat d quell fort da cascu metodo preso sgolarmete e forscoo u ottma stma del valore della varable d cofroto partcolare: Set A: Il umero d terazo s rduce otevolmete se cofrotato co qualsas altro crtero. L accuratezza della soluzoe è ottma ache el caso de tela a 5 varabl ed è dpedete dal crtero d ottmzzazoe utlzzato. Set B: La sovrapposzoe d Orto + Quadrato delle frequeze, forsce rsultat accettabl, per problem co u umero d varabl feror a 6. Fo a questo lmte, s ottegoo rsultat pù accurat co la M.V. rspetto al gradete, e s mafesta ua certa perdta d accuratezza sulle varabl d cofroto degl ultm pa. Oltre le se varabl, la perdta d accuratezza, sa co la M.V. che co l gradete è otevole e tale da o redere utl rsultat otteut. Ache questo caso, l utlzzo della M.V. o garatsce l uctà della soluzoe, ma la sua oscllazoe, attoro ad u valore cetrale. La soluzoe è sempre uvoca allorquado s utlzz l metodo del gradete. 53

168 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. La sovrapposzoe d 3 crter ovvero M.A.C + Ortogoaltà+ Quadrato delle frequeze ha forto, rsultat sempre accettabl ma scuramete meo accurat d quell fort dal crtero M.A.C + Quadrato delle frequeze. I tutte le prove è stata mafestata ua perdta d accuratezza sstematca sul valore della varable d cofroto dell ultmo pao. Ache questo caso, la M.V. ha forto rsultat pù accurat rspetto al gradete, ma al solto metre quest ultmo soluzo oscllao toro ad u valore cetrale. I deftva l crtero pù affdable ed accurato rsulta essere M.A.C+ Quadrato delle frequeze accoppato alla M.V. Dscorso a parte mertao rsultat otteut co G.A. Come gà acceato gl G.A. o garatscoo d trovare ua soluzoe ottma per u problema, ma geeralmete trovao ua soluzoe suffcetemete buoa e temp suffcetemete rapd. Nel caso specfco della spermetazoe codotta, gl A.G., partedo da ua pop-sze d 5 utà dopo 5 geerazo, hao sempre trovato ua soluzoe, dpedetemete dal crtero d cofroto utlzzato e seza mafestare problem ell avvameto. Tuttava la soluzoe trovata s è dmostrata quas sempre molto approssmata, rspetto a valor d rfermeto della varable d cofroto el modello pseudo-spermetale. Ioltre, coformtà co la flosofa evolutva de G.A. s è vsto l terazoe d pù ccl, d u umero fssato d geerazo, sullo stesso problema, forva rsultat sempre dvers. Ache aumetado, el set d prove B, Pc e Pm (rspettvamete probabltà d crossover e d mutazoe) fo a,7 cos come le terazo fo a, o s è otata alcua varazoe sesble ella qualtà de rsultat otteut. Ne cosegue che u utlzzo de G.A. può avere sgfcato solo per otteere valor oretatv delle varabl d cofroto Smulazoe dell errore spermetale. Da set d prove precedet è emerso che l crtero pù effcace, per trovare la ua buoa approssmazoe della soluzoe d mmo della fuzoe d errore, ache el caso cu questa dpeda da due varabl per pao, è la valutazoe combata del M.A.C e del quadrato delle frequeze. Se s ottmzza la fuzoe attraverso l metodo della Metrca Varable, azché co l metodo del Gradete, le soluzo trovate, term d varabl meccache, pratcamete cocdoo, co quelle del modello pseudo-spermetale. E da drs, che la fuzoaltà d questo sstema (M.A.C+ Quadrato delle frequeze + Metrca Varable), s foda ache sulla esattezza de dat pseudo-spermetal, che gacché geerat modo umerco, o soo affett dalle certezze d cu rsetrebbero scuramete se fossero de dat acqust spermetalmete, a causa della evtable mprecsoe delle msure spermetal e dalla mpossbltà d elmare completamete rumor. Alla luce d queste cosderazo, l crtero suddetto (M.A.C + Quadrato delle frequeze +Metrca Varable), è stato messo alla prova, troducedo tezoalmete degl error, el modello modale pseudo-spermetale, per smulare le evtabl mprecso d cu sopra, modo tale da poter esprmere u gudzo pù realstco sulla sua accuratezza. Gacché dat dspobl letteratura, covegoo el fssare toro al 5% l rage etro cu vara l errore su dat damc acqust attraverso l test modale spermetale, le caratterstche modal del modello pseudo-spermetale, soo state varate, maera radom ello stesso rage co ua dstrbuzoe d errore uforme e sulla base d quest dat alterat s soo cercate le soluzo d mmo. I partcolare s è scelto d mplemetare la procedura sul telao 4, cosderado sa l caso d arable per pao, che d, varabl per pao. Geerat dvers modell pseudospermetal alterat s è determata tutt cas la soluzoe. Nelle tabelle e e dagramm che seguoo s rportao rsultat otteut. 54

169 CAPITOLO 6: IDENTIFICAZIONE DEL DANNO IN TELAI PIANI N/cm 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Errore E E E3 E4 Fgura 6.4. Telao 4, ua varable per pao. MAC e quadrato delle frequeze. Rage delle soluzo su dat affett da errore N/cm 5.E+6 4.E+6 3.E+6.E+6.E+6 Errore.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 Fgura Telao 4, ua varable per pao. MAC e quadrato delle frequeze. Rage delle soluzo su dat affett da errore Commeto rsultat. Da rsultat delle prove codotte, s ota che l errore sulle soluzo otteute, osclla modo uforme u rage compreso tra lo e crca l 8%, rspetto al valore esatto, per l caso del telao caratterzzato da varable per pao. Per l caso del telao co varabl meccache per pao (E plastr ed E trav ), l errore osclla u rage compreso tra lo ed l 3% crca, della soluzoe esatta, per etrambe le varabl de prm 3 pa, e per la varable. E plastr dell ultmo pao, metre aumeta otevolmete arrvado fo a pute che sforao l 4% del valore esatto per la varable E trav dell ultmo pao. Quest ultmo dato coferma l fatto che ache metod pù robust, perdoo accuratezza spece sul valore delle varabl degl ultm pa (probablmete perchè le caratterstche damche degl ultm pa, cdoo d meo sulla soluzoe modale globale). I calcol preset, og caso, dmostrao che ache troducedo tezoalmete su dat modal del modello pseudo-spermetale, u errore radom, co dstrbuzoe uforme, more del 5% l sstema svluppato cotua a forre rsultat utl, e suggerscoo, così come gl altr stud umerc codott, che l massmo errore ammssble ell acquszoe de dat damc è pccolo, per cu u mpego utle, della spermetazoe damca o può prescdere dalla ecesstà d rdurre al mmo l errore sulle msure spermetal Cocluso Questo captolo ha esamato l problema dell detfcazoe del daeggameto strutturale, basata su cambamet delle caratterstche damche della struttura. Tale metodo è fodato sull dea che parametr modal soo ua fuzoe delle caratterstche fsche della struttura e per questo l aals de loro cambamet rappreseta u metodo globale d valutazoe della codzoe strutturale. Su questa base, soo state svluppate alcue metodologe d detfcazoe del dao e propost alcu crter co le relatve applcazo umerche al caso de tela pa. I crter propost soo basat sulla valutazoe del: M.A.C. Co.M.A.C, del valore assoluto e del quadrato delle frequeze, dell ortogoaltà de vettor modal, dell eerga d deformazoe e d alcue loro combazo. La spermetazoe ha dmostrato che, fra tutt quest parametr, la comparazoe delle frequeze atural, de vettor de mod d vbrare può essere u sgfcatvo dce d dvduazoe e quatfcazoe del daeggameto strutturale, a tal proposto s è vsto che l utlzzo cotemporaeo d pù crter d cofroto forsce, almeo spermetalmete 55

170 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. rsultat molto cofortat spece se l crtero d cofroto è l M.A.C + Quadrato delle frequeze e la fuzoe d errore è ottmzzata attraverso metrca varable. S è vsto oltre che troducedo, tezoalmete u errore <5% dstrbuto modo uforme su dat modal del modello pseudo-spermetale, l sstema svluppato cotua a forre rsultat utl. Le metodologe d determazoe del daeggameto proposte questa tes, soo state aalzzate lmtatamete agl aspett aaltco e umerco. E evdete che le loro performaces dovrebbero essere studate applcazo su strutture realmete esstet modo da valutare, l affdabltà ed l costo. Per quato rguarda l costo del collaudo damco, è oto che questo sa acora elevato, per quato rguarda l affdabltà delle prove, ache se, come s è vsto, molto dpede dalla precsoe delle msure spermetal, e dalla possbltà d rdurre al mmo rumor, adrebbero cosderat altr effett fodametal legat per esempo all terazoe suolo struttura, all flueza delle murature, alla possbltà d valutare u modello trdmesoale della struttura teedo coto ache l potes d deformabltà a taglo e quella d od rgd. La valutazoe della rsposta del terreo e dell effettva azoe delle murature, che fluscoo sulle deformate modal, è essezale per la defzoe del modello umerco d ua struttura che s avvc l pù possble a quella reale. 56

171 CAPITOLO 7 IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI L flueza d elemet o struttural può codzoare maera ache pesate rsultat dell aals. Il modello teorco dovrà essere quato pù vco a rappresetare l reale comportameto della struttura, cogledo ache le flueze che part o struttural hao sulla sua rsposta. Il presete captolo s propoe, partcolare, d testare l effcaca d metod vers el caso s cosder, ella rsposta strutturale d tela pa, l flueza de paell d tampoameto. Quest ultm costtuscoo u mportate elemeto d dsturbo, spece ella rsposta d strutture sotto ssma. L dea è qud quella d arrcchre l modello d telao pao cosderado l flueza del paello d tampoameto e valutare l flueza ua procedura d detfcazoe strutturale.

172 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 7.. Itroduzoe. La pù dffusa tpologa costruttva, el ostro paese, è rappresetata da edfc co struttura portate telaata calcestruzzo armato, ella quale s mpegao paell d muratura costtut da elemet d laterzo, per lo pù forat, e malta cemetza, per chudere la costruzoe (tampoature) e dvdere gl ambet ter (dvsor). Per semplctà ed ecooma d costruzoe, è pratca comue costrure quest paell a dretto cotatto co l ossatura portate, seza terporre essu tpo d guto che e asscur la separazoe, ma seza peraltro predsporre alcu meccasmo d coessoe che asscur u completo ed effcace collegameto de due sstem. I ambto progettuale, l cotrbuto d queste part o struttural alla statca dell tero edfco, è comuemete trascurato. S è vece vsto come, evet ssmc verfcats passato, l cotrbuto delle tampoature sa stato fodametale per la ressteza d alcu edfc covolt [98]. Ne segue che la rsposta ssmca de tela tampoat è fortemete codzoata dalle tampoature. Ache semplc paell d laterzo forato, o armat, soo grado d rrgdre otevolmete la struttura, oltre ad aumetare la duttltà e le capactà dsspatve, adado po a compesare, co la propra ressteza, l coseguete aumeto delle forze d erza. Il cotrbuto delle tampoature s rvela po fodametale quegl edfc che o vegoo progettat per resstere ad evet ssmc, arrvado, alcu cas, perfo a scogurare l crollo. Per cotro, la preseza delle tampoature, e la loro elevata rgdezza partcolare, troduce rregolartà che possoo essere ache rlevat, pregudcado ua cofgurazoe strutturale altrmet corretta. S pes prmo luogo alla dstrbuzoe delle rgdezze el pao: la preseza d elemet estremamete rgd qual soo tompag, può far spostare l cetro delle rgdezze, co coseguet stuazo d torsoe pata. Altro problema è rappresetato, altezza, dalla formazoe del pao soffce, stuazoe che può escare u percoloso meccasmo d collasso. Tra l altro, queste stuazo possoo verfcars ache se v è ua dstrbuzoe regolare de paell, a seguto della crs d solo alcu d ess, essedo l loro collasso caratterzzato da marcate caratterstche d fragltà, sa per le propretà trseche del materale che lo costtusce, sa per evetual collass fuor pao, dovut a collegamet effcac co l ossatura portate, oppure a feome d stabltà, vsto l esguo spessore del paello relazoe alle altre dmeso. Trascurado l cotrbuto delle tampoature sede d progetto s rscha, oltre, d valdare l aals delle sollectazo e, d cosegueza, l dmesoameto degl elemet resstet. Esempo pù comue è la rottura a taglo del tratto d plastro che rmae scoperto per ua tampoatura parzale altezza. Da queste cosderazo segue che è essezale cosderare l cotrbuto della muratura ella verfca delle strutture che o preseto u adeguata ressteza d progetto. Per quato rguarda vece la progettazoe d edfc uov, s rscotrao due corret d pesero. La prma fa prevalere gl effett egatv delle tampoature, vsto che queste costtuscoo comuque u fattore d grade certezza ella rsposta ssmca e rschao d redere va tutt quegl accorgmet progettual e costruttv che vegoo mpegat per ottmzzare la rsposta della struttura. S prevede qud d cosderare l paello d tampoatura completamete scoesso dall ossatura, modo che la sua preseza o e modfch l prevsto comportameto. La secoda tedeza è vece quella d cosderare sempre collaborate la tampoatura co l ossatura resstete, cò sa per motv d ecooma della costruzoe, sa per l certezza sull effettvo mpego rchesto da u eveto ssmco alla struttura. I questa ottca, covee 58

173 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. trarre beefco da tutt gl elemet, struttural e o struttural, che possoo dare cotrbuto alla stabltà della costruzoe. Da cò derva che la tampoatura dovrebbe essere sempre resa collaborate co l ossatura, costtuedo così ua rserva d ressteza cotro evet ssmc sever, adado però a mmzzare potezal effett egatv sopra ctat, co u adeguata modellazoe fase d aals. 7.. Modellazoe de tela tampoat. Come è stato gà detto, la preseza, all tero della magla d telao, d u paello d tampoatura, e modfca sostazalmete l comportameto, sa per quato rguarda la rgdezza, sa per quato rguarda la ressteza ultma dell orgasmo strutturale. Questa stuazoe è stata, egl ultm cquata a, oggetto d umeros stud spermetal, volt ad otteere ua descrzoe aaltca rgorosa del comportameto del telao tampoato. Tale comportameto è, tuttava, fluezato da ua sere umerosa d parametr per qual è molto dffcle, se o mpossble, valutare l flueza ua stuazoe reale. A tal proposto, s pes aztutto alle propretà meccache delle tampoature, su cu fluscoo sa la dspersoe delle caratterstche de matto e della malta, sa la capactà e la cura el costrure da parte delle maestraze. S pes ache all'flueza delle aperture sulla rgdezza e sulla ressteza del paello, alle dverse codzo del cotatto fra l telao ed l muro fuzoe del rtro della malta, all'terazoe del comportameto el pao e fuor del pao, all'mportaza de feome del secodo orde prossmtà della rottura d u elemeto sello e fragle. Le dag spermetal forscoo, pertato, rsultat fortemete fluezat dal tpo d prova, dal tpo d materale costtuete l paello, dal fattore d scala usato per prov (fattore, quest ultmo, a cu l comportameto della tampoatura rsulta partcolarmete sesble). Tal prove hao cosetto d dedurre cosderazo qualtatvamete sgfcatve su comportamet rlevat, seza tuttava permettere d geeralzzare le relazo emprche dedotte per la valutazoe della rgdezza laterale complessva e della ressteza ultma del sstema telao-paello a f delle pratche applcazo. S soo rscotrate, egl stud pres esame, sostazalmete due tpologe d rcerca, ogua volta a meglo detfcare u partcolare aspetto del comportameto della tampoatura all tero della magla d telao. Il prmo aspetto rguarda l detfcazoe della ressteza ultma del paello e qud de possbl meccasm d rottura, estededo l aals, co l auslo d modell ad elemet ft, a sgol elemet d laterzo e malta, opportuamete omogeezzat. Il secodo aspetto s cocetra sulle modfche che la preseza della tampoatura duce el comportameto del telao. La ostra attezoe sarà cocetrata su quest ultmo aspetto, per l quale le umerose dag codotte, sa a lvello d modellazoe aaltca che d prove laboratoro, cocordao ad adottare quale modello pù effcace ello schematzzare la tampoatura, quello d rappresetare quest ultma co u putoe equvalete Comportameto de tela tampoat Come gà rbadto, umeros stud codott hao mostrato come l comportameto d u telao tampoato sa fortemete fluezato dall terazoe del paello d tampoatura co l crcostate telao. S è vsto come, umeros cas, o sa valdo calcolare la ressteza laterale del telao tampoato come semplce somma de due cotrbut del telao e del paello d tampoameto, poché meccasm resstet de sgol compoet possoo essere otevolmete alterat dall terazoe telao-paello. 59

174 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Ad u lvello d carco laterale basso, l telao tampoato s comporta come u meccasmo resstete mooltco. Al crescere del carco, la tampoatura tede parzalmete a separars dal telao crcostate, formado l meccasmo resstete d putoe compresso. Tale meccasmo può o o può evolvere u meccasmo resstete prmaro della struttura, base alla sua dpedeza dalle propretà d rgdezza e ressteza del tampoameto rspetto a quelle del telao. Cò è sostazalmete dovuto al meccasmo d rottura che tervee el paello d tampoatura. Sulla base d osservazo spermetal, s possoo osservare sostazalmete cque prcpal meccasm d collasso per tela tampoat[99] (fg. 7.): Fgura 7.. Tpche modaltà d rottura e tampoamet Il prmo meccasmo d collasso (meccasmo A) è puramete flessoale. I questo meccasmo, tampoatura e telao s comportao come u uco elemeto co prevalete comportameto flessoale. Tale comportameto s verfca geeralmete bass lvell d carco, quado o sa acora terveuto l dstacco della tampoatura dal telao,ma raramete evolve u meccasmo d collasso prmaro, eccetto che per tela sell e alt, cu s hao plastr armat molto debolmete a flessoe. Il secodo meccasmo (meccasmo B), s preseta co uo scorrmeto orzzotale del guto d malta della tampoatura posto a metà altezza. Cò porta ad avere ua stuazoe strutturale co plastr tozz, che può portare alla rottura a taglo de medesm, rottura co spccate caratterstche d fragltà, e qud da evtare. I questo meccasmo s può avere la formazoe d cerere plastche alla mezzera de plastr. Il terzo meccasmo (meccasmo C) preseta delle fessure dagoal che s propagao da u agolo all altro, a volte ute da ua fessura orzzotale a mezza altezza. I questo caso può svluppars u meccasmo d putoe equvalete, che può evetualmete codurre allo schaccameto degl agol ed alla formazoe d cerere plastche elle poszo dcate fgura, oppure alla rottura a taglo de plastr. 6

175 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. Il quarto meccasmo (meccasmo D) è caratterzzato dallo scorrmeto multplo de lett d malta el tampoameto. I geere questo s verfca paell co guture d malta molto debol e può dare luogo ad u comportameto molto duttle, purché vega scogurata la rottura fragle a taglo e plastr. Il quto meccasmo (meccasmo E) s ota l realzzars d u dverso meccasmo d putoe equvalete, caratterzzato da due fratture parallele. Questo è spesso accompagato dallo schaccameto degl agol. Lo schaccameto può, a volte, verfcars al cetro del paello. Ne var stud su tela tampoat rvestoo partcolare mportaza quell codott da Klger & Bertero[-] e da Bertero & Broe [], che hao codotto dag, su modell scala :3, d tela pa tampoat co paell calcestruzzo, quest ultm co rforz sa orzzotal che vertcal. I paell soo po stat saldamete collegat al telao crcostate. I rsultat d queste prove mostrao come tela tampoat possao offrre maggor prestazo term d rgdezza, ressteza e dsspazoe d eerga, rspetto ad u telao udo. Tuttava, l mpego d paell d tampoameto rforzat o è molto comue. U tampoameto sovra rforzato può comportare rsch d rottura fragle a taglo per plastr. A tal proposto, ulteror stud hao dmostrato come gà ua tampoatura d muratura debole, o rforzata, comport sgfcatv vatagg a lvello d ressteza e rgdezza per l telao calcestruzzo armato, seza mettere percolo la duttltà. I coclusoe s può dre che l meccasmo d collasso e la ressteza d u telao tampoato dpedoo otevolmete dalla ressteza e dalla rgdezza del paello d tampoameto rapportate a quelle del telao crcostate. Altro fattore determate è la ressteza de lett d malta. È preferble l mpego d paell debol, qual s soo dmostrat effcac el mglorare le prestazo del telao, a patto che vegao scogurat feome d plastro tozzo e rottura a taglo de plastr. La modellazoe quas uamemete mpegata, rsulta comuque quella del putoe compresso equvalete Il modello del putoe equvalete S basa sull assuto d sostture l paello d tampoatura co u putoe equvalete serto ella magla del telao, corrspodete alla dagoale compressa del paello stesso. Assumedo per l putoe lo stesso modulo elastco e lo stesso spessore della tampoatura e, quale lughezza, quella della dagoale, l problema s rduce el calcolare la larghezza. Il paello d tampoatura tede a staccars dal telao crcostate per lvell d carco laterale relatvamete basso, dopodché le zoe d cotatto soo lmtate a due agol oppost della dagoale compressa. I questo modo s forma u meccasmo resstete smle a quello d u putoe dagoale. Ua delle prme proposte per determare la larghezza del putoe equvalete è stata quella che tale larghezza dpeda prcpalmete dallo spessore del paello e dalle sue caratterstche meccache. Stafford Smth[3] ha usato ua teora elastca per dmostrare che la larghezza del putoe dovrebbe essere fuzoe della rgdezza della tampoatura, rapportata co la rgdezza flessoale de plastr. Dall aaloga co l modello d trave elastca su suolo elastco, Stafford Smth ha defto u parametro d rgdezza relatvo admesoale, da utlzzare come rfermeto per determare l grado d terazoe tra telao e tampoatura e, d cosegueza, la larghezza effettva del putoe equvalete. Questo parametro è defto come segue: 6

176 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. E t s θ 4 E I h λ = 4 (7.) c c Dove E e t soo l modulo elastco e lo spessore del tampoameto, Ec Ic è la rgdezza flessoale de plastr e h e θ soo, rspettvamete, l'altezza e l'agolo tra la dagoale del paello d tampoameto e l orzzotale. È stata po svluppata ua relazoe teorca tra l parametro d rgdezza relatvo e la lughezza d cotatto tra l tampoameto ed l telao crcostate, medate l uso d u set d curve teorche, per mettere relazoe le gradezze sopra ctate co la larghezza effettva del putoe equvalete. Tuttava, questo modello teorco, s ottee ua sovrastma della larghezza effettva. Il set d curve teorche è stato allora sosttuto co u set d curve emprche che mettoo relazoe l parametro d rgdezza λ co la larghezza effettva del putoe equvalete. Queste curve hao presetato correlazo mglor co dat spermetal, rspetto a rsultat teorc. Il lmte d questo modello è rappresetato dal fatto d essere basato sulle osservazo spermetal d tela accao, co paello d tampoameto cosderato come costtuto da materale omogeeo e sotropo, seza ulteror test che adassero a cosderare l effettvo comportameto asotropo della muratura, co umeros pa d scorrmeto rappresetat da lett d malta. A tal proposto tervee uo studo codotto da Mastoe & Wees [4], che propogoo ua relazoe emprca tra l ampezza effettva del putoe equvalete ed l parametro d rgdezza d Stafford Smth, el caso d paello muratura. Da tale relazoe scatursce u valore pù basso della larghezza effettva del putoe equvalete rspetto a quella determata col modello d Stafford Smth. Numeros altr stud hao forto rsultat pù var relazoe alla modfca de dvers parametr che etrao goco. Pertato, o s è gut a essua coclusoe sgfcatva su ua modellazoe geerale del comportameto de tela tampoat, vst rsultat, a volte otevolmete dvers tra loro, de var stud. Tuttava, l modello proposto da Stafford Smth sembra essere l uco a presetare ua certa cossteza all tero d tutt gl stud att a valutare ua stma della larghezza effettva del putoe. Cò porta alla formulazoe d due problem. Il prmo rguarda la corretta defzoe della rgdezza laterale zale del telao tampoato che sa rflessva del suo complessvo comportameto prma del collasso. L altro è la scelta del modulo elastco della muratura che dovrebbe essere utlzzato all tero del modello. Prma d prosegure bsoga dre che la scelta d modellare la tampoatura co l sermeto del putoe equvalete, porta evtablmete alla ruca d coglere umeros aspett del comportameto della tampoatura, come l flueza del guto d cotatto telao-tampoatura, feome local d schaccameto che possoo verfcars prossmtà degl agol e che possoo portare all escars d meccasm d collasso dovut alla crs de plastr per sollectazoe taglate. Tuttava, tale modellazoe, per va della versatltà e della semplctà computazoale, sembra acora essere la pù adeguata. Ne dvers stud oretat a forre ua stma accettable della rgdezza laterale del telao tampoato, l puto d maggore certezza è rappresetato da u adeguata modellazoe del paello d tampoameto e del guto d collegameto paello-telao. I dvers modell s dfferezao a secoda degl aspett che vogloo essere colt ell aals. Modell att ad aalzzare l evolvers del comportameto della muratura fo al suo evetuale collasso, rappresetao l tampoameto medate l mpego d elemet ft trdmesoal 6

177 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. che globao l comportameto del sgolo mattoe compresvo del letto d malta, opportuamete omogeezzato. Sgh, Paul & Sastry [5], propogoo u modello ad elemet ft bdmesoal per la tampoatura, collegat al crcostate telao medate l mpego d elemet d collegamet che schematzzao gut (fg. 7.). Notevol dffcoltà s cotrao el modellare l elemeto d terfacca. Per tale motvo Asters [6] propoe u partcolare modello, per stmare la rgdezza laterale del telao tampoato, el quale l tampoameto è dscretzzato co elemet ft bdmesoal e el quale vee trodotto u crtero d dstacco della tampoatura dal telao. Il metodo d aals s basa sulle due cosderazo che seguoo: Il telao e l paello d tampoameto o possoo compeetrars. Le sole codzo atural accettabl soo l cotatto o l dstacco. Il telao, metre porta drettamete carch ester, e trasfersce ua parte alla tampoatura. La rgdezza laterale del sstema telao-paello dpede, maera cosderevole, dal modo cu l telao trasmette carch al paello. Cotemporaeamete, l cotrbuto del telao alla rgdezza dpede dall flueza del tampoameto sul modo d deformars del telao stesso. Fgura 7.. Elemet d collegameto per la schematzzazoe de gut Il paello, modellato agl elemet ft, s cosdera collegato al telao soltato e due put d agolo, rappresetat dagl estrem della dagoale compressa (fg. 7.3). S calcolao le forze e gl spostamet odal e le teso e put d Gauss degl elemet e s verfca se put del modello del tampoameto s sovrappogoo al telao crcostate. Quado put del paello s sovrappogoo al telao, put vc al precedete puto collegato, sarao collegat (fg. 7.4 b). S cotrolla se le teso e put d cotatto soo d trazoe o d compressoe, se d compressoe la procedura s arresta, se, vece, d trazoe, put verrao scollegat. Ua modellazoe teressate è stata proposta da Papa [7 8], che calcola la rgdezza del telao tampoato, mpegado elemet d cotoro per rappresetare l paello d tampoatura. Lo scopo dell aals è sempre quello d determare la larghezza effettva del putoe equvalete, mettedo relazoe la rgdezza del telao tampoato co quella del telao udo. Su queste bas, l cotrbuto d rgdezza del putoe equvalete dovrà essere 63

178 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. data dalla dffereza tra la rgdezza e la rgdezza del telao udo. Da qu s adrà po a determare l valore dell ampezza effettva del putoe. Quest ultm modell sarao pù avat approfodt relazoe alle aals codotte per la determazoe delle dmeso del putoe equvalete. Fgura 7.3. Semplfcazoe strutturale tampoatura Costruzoe del modello. Fgura 7.4. Collegameto tampoatura telao L approcco pù effcace ella rappresetazoe del comportameto d u telao tampoato soggetto ad azo orzzotal è rsultato quello d modellare l paello d tampoameto co u putoe equvalete. Lo spessore del putoe sarà assuto par allo spessore del paello, metre la sua lughezza sarà par alla lughezza della dagoale della magla d telao cosderata. L uca gradezza da valutare rmae la larghezza della sezoe del putoe. A tal scopo, come gà detto, soo stat affrotat dvers stud e formulate umerose potes. Per gl scop d questo lavoro s è rteuto che modell co le caratterstche pù soddsfacet fossero quello svluppato da Asters[6], co l metodo de put d cotatto, e quello d Papa[7 8], che prevede d modellare l paello d tampoatura co l mpego d elemet d cotoro S passa qud a descrvere pù dettaglo l modello svluppato. La prma osservazoe da fare è che l modello s caratterzza essezalmete per l fatto che l proporzoameto del putoe rsulta dpedete, oltre che dalla rgdezza laterale del telao o cotrovetato, ache dalla rgdezza assale de suo elemet (de plastr partcolare), chamata evtablmete causa dallo schema a od fss che s realzza per la preseza del putoe stesso. I rsultat d dag codotte su dvers tela, accao e calcestruzzo, co l mpego d paell d tampoameto d dversa composzoe, hao mostrato che, tutt cas, le 64

179 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. rgdezze flessoal delle trav della geerca magla del telao hao u flueza trascurable sulla rgdezza laterale complessva del sstema telao-paello. Questa osservazoe permette d rcercare la larghezza della sezoe del putoe equvalete facedo rfermeto allo schema rportato fg. 7.5 a), dove s cosdera u semplce portale tampoato, avete rtt castrat al pede ad ua trave rgda d fodazoe. L azoe ssmca trasmessa dall mpalcato è rappresetata come ua forza orzzotale uformemete dstrbuta lugo l asse barcetrco della trave d pao. Nella fg. 7.5 b) è vece rportato l modello d calcolo semplfcato che s tede utlzzare per valutare la rsposta strutturale del sstema, teedo coto che due sottosstem s separao asseza d azo mutue d compressoe. Fgura 7.5. Modello putoe equvalete Essedo ota la forza estera, l uca cogta ello schema proposto è, come detto, la larghezza da assegare al putoe, per l quale s assumoo lo stesso spessore e modulo elastco del paello. La rgdezza laterale del sstema rappresetato fg. 7.5 b) può essere otteuta co buoa approssmazoe sommado le rgdezze lateral degl schem a) e b) d fg. 7.6: la rgdezza dello schema a), che d seguto dcheremo co D d, forsce l cotrbuto offerto dal putoe dagoale, che s cosdera dpedete dalla rgdezza assale degl elemet del telao, oltre che da quella del putoe stesso; la rgdezza dello schema b), d seguto dcata co D f, rappreseta l cotrbuto d rgdezza del telao cosderato seza tampoameto. Fgura 7.6. Schematzzazoe del calcolo della rgdezza laterale Icludedo la deformabltà assale della trave, la rgdezza del putoe D d può essere calcolata dallo schema a) d fg. 7.6, valutado lo spostameto orzzotale del puto P, per la quale s ottee: 65

180 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. δ P, d + s α c = + cos α d 4 t (7.) I cu s ha: E dsw E f A c E f A t = ; c = ; t (7.3) d h' l' d = La rgdezza laterale offerta dal putoe vale pertato: D d = δ P, = + d c d s cos α α + 4 d c cos α (7.4) Lo schema b) d fgura 7.6 forsce, per la rgdezza laterale del telao udo: E f Ic.5 D f = 4 3 I h' (7.5) h' t 3 + Ic l' Le espresso (7.4) e (7.5) s prestao ad ovve semplfcazo el caso cu la trave s suppoga assalmete e/o flessoalmete deformable. I og caso o appare accettable trascurare la rgdezza assale de plastr el calcolo d D d, teedo coto d tutt possbl valor del rapporto /. d c Calcolo della sezoe del putoe equvalete. Se s dca co D la rgdezza laterale del telao tampoato, valutata co l metodo esatto, coè cosderado l paello come ua lastra stato pao d tesoe e teedo coto della preseza d scoesso al cotoro, elle rego lugo le qual o s eserctao azo ormal mutue d compressoe, perché rsult effcace l modello proposto e rappresetato ella fgura. b), s dovrà porre: D = D + D (7.6) d f Per og schema cosderato, assumedo oto l valore d D, calcolato tramte la procedura che verrà descrtta seguto, ed essedo ote tutte le quattà a secodo membro della (7.5) che cosetoo qud l calcolo d D f, la (7.6) può essere rsolta rspetto a D d. Teedo coto delle (7.3) e (7.4), la larghezza della sezoe del putoe equvalete, ormalzzata rspetto alla lughezza del putoe stesso, verrà valutata attraverso l espressoe: 66

181 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. w d = D d c h' l' + 4 c t Dd E ds cos α (7.7) Rmae, a questo puto, da defre ua procedura d rsoluzoe per determare la soluzoe esatta del sstema telao-paello, e qud per calcolare l valore d D Calcolo della rgdezza laterale. La modellazoe effettuata per l calcolo della rgdezza laterale esatta del sstema telaopaello, prevede la dscretzzazoe de due sottosstem secodo quato prevsto el metodo degl elemet ft [9 ]. I partcolare, gl elemet del telao verrao modellat secodo lo schema d trave d Eulero- Beroull. Il sstema è dscretzzato medate l mpego d elemet ft moodmesoal, co terpolazoe leare degl spostamet assal ed terpolazoe hermtaa per quel che rguarda gl spostamet flessoal. Per l paello d tampoameto s adotta ua modellazoe secodo lo schema d lastra stato pao d tesoe, costtuta da materale elastco, omogeeo e sotropo. Cosderado lo stato pao d tesoe etra goco, oltre al modulo elastco del materale, ache l coeffcete d Posso. La dscretzzazoe vee effettuata co l utlzzo d elemet ft bdmesoal. S mpega u elemeto master d forma rettagolare, a quattro od, sul quale s ha qud u terpolazoe bleare degl spostamet. Su queste bas è stato mplemetato u codce d calcolo MATLAB, adottado ua mesh opportuamete ftta, al fe d mmzzare gl evtabl error d cogrueza che s mafestao all terfacca tra telao e paello. L aals è stata codotta po su tutte le tpologe d telao preset ella successva spermetazoe. I partcolare s è cosderato l semplce schema d portale, carcato orzzotalmete co u sstema d forze co rsultate par all utà, el quale soo state fatte opportuamete varare le dmeso degl elemet (fg. 7.7). Il procedmeto d calcolo è stato po codotto secodo quato proposto [6]: al prmo passo soo stat cosderat collegat al telao soltato due od d agolo del paello, corrspodet a due estrem della dagoale compressa; s cotrolla se put apparteet al tampoameto s sovrappogoo al crcostate telao; se la stuazoe descrtta al passo precedete rsulta verfcata, put vc al precedete puto collegato verrao a loro volta collegat e s rpete l aals; se essu puto del paello rsulta sovrapposto al telao, s passa a cotrollare lo stato tesoale e put collegat. Se la tesoe rsulta d compressoe, l aals s cosdera termata; se la tesoe rsulta vece d trazoe, l corrspodete puto vee scollegato e s rpete l aals. d 67

182 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Put d cotatto telao-paello Telao Paello d tampoameto Fgura 7.7. Modellazoe telao tampoato Termata l aals e oto l valore dello spostameto orzzotale del telao, s è grado d calcolare l valore della rgdezza esatta del telao tampoato e qud la dmesoe del putoe equvalete medate la relazoe (7.7). L aals è stata eseguta su se dvers modell d portale, e qual, come detto, varao le dmeso degl elemet. D seguto s rportao le fgure che mostrao l evolvers della procedura, co l progressvo collegameto de put del paello che s sovrappogoo al telao. Fgura 7.8. Deformata telao tampoato fuzoe delle coesso 68

183 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI Il problema delle aperture el paello. Altro odo fodametale da scoglere rguarda l comportameto del telao tampoato quado sa presete u apertura all tero del paello d tampoameto. Come detto precedeza, la preseza d aperture per la realzzazoe d va porta o festra all tero del paello d tampoameto, può determare sgfcatve perdte d rgdezza locale, co coseguete sovraccarco de plastr del pao cosderato e varazo dell eccetrctà strutturale d pao, relatvamete all edfco el suo complesso. È mmedato collegare la perdta d rgdezza del paello alle dmeso del vao esso presete, ed è ragoevole supporre che ad ua rduzoe della rgdezza del paello corrspoda ua coseguete dmuzoe della larghezza della sezoe del putoe equvalete. La secoda parte d questa spermetazoe è volta ad applcare l modello svluppato al caso d tela tampoat co apertura el paello. I rsultat otteut hao mostrato tutt la valdtà delle potes d parteza, trovado tutt cas maggor valor dello spostameto orzzotale e, d cosegueza, mor valor della rgdezza e della larghezza della sezoe trasversale del putoe equvalete. L aals è stata codotta sugl stess modell esamat el precedete caso. D seguto s rporta, a ttolo esemplfcatvo, l evolvers dell aals su uo de sette schem oggetto d dage. S rporta oltre la tabella co rsultat d tutte le aals codotte (tab. 7.). Fgura 7.9. Deformata telao tampoato forato elle vare terazo 69

184 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Dmeso putoe equvalete Telao Dm. Trave (cm) Dm. Plastro (cm) Tamp. Pea (cm) Co Apertura (cm) 3x5 3x x5 3x x5 3x x5 3x x5 3x x55 4x Tabella 7.. Dmeso elemet struttural, e putoe equvalete. 7.6 Spermetazoe: detfcazoe tela pa tampoat. Le precedet spermetazo soo state svolte ell ambto dell detfcazoe del dao tela pa, seza teere coto l flueza che part o struttural, come paell d tampoameto, possoo avere ella determazoe delle caratterstche modal della struttura. Come vsto, è orma assodato che l cotrbuto della tampoatura goch u ruolo fodametale el comportameto della struttura sottoposta ad azo damche, sa per quato rguarda le caratterstche d ressteza che per quelle d rgdezza. Ne cosegue che ache l acquszoe delle caratterstche modal della struttura verrà fluezata dalla preseza d part o struttural. Il lavoro svolto ella presete tes è oretato a studare se e come l detfcazoe del dao tela pa è fluezata dalle modfche, dovute alla preseza d paell d tampoameto, elle caratterstche modal. Ne precedet lavor soo stat aalzzat dvers metod d detfcazoe del dao tela pa, combado var metod d ottmzzazoe co altrettat metod d cofroto delle caratterstche modal. I metod d ottmzzazoe testat soo seguet: Metodo del gradete; Metodo della metrca varable; Metodo degl algortm geetc. I crter d cofroto delle caratterstche modal testat soo vece: Crter d cofroto delle frequeze (valore assoluto delle frequeze, quadrato delle frequeze); Crter d cofroto delle forme modal (M.A.C., C.O.M.A.C., ortogoaltà delle forme modal); Crter basat sulla valutazoe dell eerga d deformazoe. Il processo d detfcazoe del dao avvee dalla combazoe d u metodo d ottmzzazoe co uo o pù metod d cofroto delle caratterstche modal. I pratca, medate crter d cofroto delle caratterstche modal s defsce ua fuzoe d errore, otteuta dalla dffereza tra le caratterstche modal msurate spermetalmete e quelle del modello. La fuzoe d errore così otteuta verrà mmzzata co uo de metod d ottmzzazoe. Il puto d mmo della fuzoe d errore dovrebbe dvduare l dao strutturale. Uo de pass prcpal ella defzoe del modello pseudo-spermetale è la scelta de grad d lbertà da cosderare el modello stesso. Cosapevol dell mpossbltà d poter ecctare la struttura secodo tutt suo grad d lbertà e data la ecesstà d poszoare put 7

185 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. d msura modo da otteere dat spermetal sgfcatv, tale scelta rveste u mportaza fodametale. L dea è quella d cosderare come prcpal que grad d lbertà rspetto a qual le forze d erza soo grad rspetto alle forze elastche e secodar quell per cu avvee l cotraro. Tale crtero va sotto l ome d rduzoe d Guya. La rduzoe d Guya è u processo che permette d rdurre grad d lbertà prcpal grad d lbertà secodar. Per lo scopo d questo lavoro, la rduzoe d Guya è stata mplemetata modo da cosderare come prcpal grad d lbertà corrspodet alle traslazo d pao, che geeralmete rsultao essere pù sgfcatv e pù faclmete accessbl. Le aals precedet [] soo state volte a testare l effcaca de var metod d ottmzzazoe combat opportuamete co uo o pù crter d cofroto delle caratterstche modal. Dalle prove è emerso che rsultat mglor soo fort dal metodo della metrca varable, assocato alla combazoe de crter d cofroto del quadrato delle frequeza e del M.A.C. per determare la fuzoe d errore. S parte da questa base per codurre le successve aals atte a verfcare l flueza della tampoatura el comportameto de tela pa. I paell d tampoameto, come vsto precedeza, soo stat rappresetat secodo l modello del putoe equvalete ed opportuamete mplemetat e codc d calcolo per l detfcazoe strutturale. Le prove effettuate soo state suddvse due sere co le seguet caratterstche: Set d prove A : a tutt gl elemet d uo stesso pao vee assocato l medesmo valore del modulo elastco, deomato Epao. Il problema preseta qud ua varable per pao. Set d prove B : a cascu pao vee assegato u dverso valore a modul elastc d trav d pao e plastr, rspettvamete Et ed Ep. Il problema preseta due varabl per pao. Gl schem d tela pa soo gl stess del captolo precedete (fgg ). D seguto s rportao rsultat otteut dalle prove, suddvs secodo le due tpologe rportate sopra Set d prove A. Come acceato precedeza, questo prmo set d prove s cosdera u uca varable per og pao. Tale varable è rappresetata dal modulo elastco d plastr e trav, cosderato apputo uguale per tutt gl elemet d uo stesso pao. È stato qud costruto u modello pseudo-spermetale d og telao aalzzato, el quale valor delle varabl d pao, Epao, soo stat geerat maera radom. Tale modello è stato sottoposto ad aals modale teorca, allo scopo d rcavare parametr modal da utlzzare el processo d detfcazoe del dao. Sembrerà paradossale l fatto d cooscere gà parteza valor d tutte le varabl d pao che, teora, dovrebbero essere rcavate dall detfcazoe. I realtà questo fatto costtusce u ottmo cotrollo del fuzoameto e dell effcaca del metodo, avedo u dretto rscotro tra rsultat otteut e quell attes. La spermetazoe è stata codotta geerado la fuzoe d errore medate l uso del crtero del quadrato delle frequeze, per cofrotare apputo valor delle frequeze otteut da due modell, e del M.A.C. per l cofroto delle forme modal. Tale fuzoe è stata po mmzzata applcado l metodo della metrca varable. 7

186 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. La matrce del M.A.C. è stata costruta facedo rfermeto solo alle forme modal sml, otteedo questo modo ua matrce dagoale. Allo scopo d studare l flueza de paell d tampoameto el processo d detfcazoe del dao, soo stat cosderat, ell aals, seguet tre cas: Il caso d telao udo; Il caso d telao tampoato, co tampoatura pea; Il caso d telao tampoato, co la preseza d u apertura el paello. Come gà detto precedeza, l paello d tampoameto è stato modellato medate l sermeto d u putoe equvalete ella magla del telao. La modellazoe ad mpalcat rgd per tela e l potes che l putoe equvalete sa costtuto da materale elastco, omogeeo ed sotropo, hao cosetto d redere rsultat dpedet dalla drezoe del putoe all tero della magla, rspetto alla drezoe dello spostameto d pao. D seguto s rportao le tabelle co rsultat otteut per dvers tela aalzzat. I og tabella sarà dcato l tpo d telao aalzzato ed rsultat otteut per tre cas descrtt sopra. Vegoo oltre rportat valor della varable d pao del modello pseudospermetale, utlzzat come valor d cofroto. Al fe d redere pù evdete l cofroto de valor otteut e dvers cas, s rportao d seguto gl stogramm co raffrot delle varabl d pao Istogramm. Cofroto modul elastc Cofroto modul elastc 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E esatto Telao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro.E+ E E Esatto Telao udo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.. Telao, Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc Fgura 7.. Telao, Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 Esatto Telao Nudo Telao Tamp. Tamp. Foro.E+ E E E3 E4 Esatto Telao Nudo Tamp. Foro Tamp. Foro Fgura 7.. Telao 3, Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Fgura 7.3. Telao 4, Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 7

187 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. Cofroto modul elastc Cofroto modul elastc 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5 esatto Teao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro.E+ E E E3 Esatto Telao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.4. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Fgura 7.5. Telao 3., Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Cofroto modul elastc 5.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5 esatto Teao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.6. Telao 5., Set A. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Set d prove B. Gl stess crter utlzzat el caso d ua varable per pao, soo ora mpegat el secodo set d prove, che prevede d cosderare due varabl per pao. Le strutture aalzzate soo le stesse cosderate el set d prove A, salvo che per l fatto d cosderare due valor dstt per l modulo elastco d plastr e trav d pao. Le varabl sarao, qud, l modulo elastco de plastr Ep, ed l modulo elastco delle trav d pao Et. È teressate, questo secodo set d prove, osservare che modo l aumeto del umero d varabl flueza rsultat dell detfcazoe. S rportao pertato, come el caso precedete, le tabelle e gl stogramm d cofroto de rsultat otteut. 73

188 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Istogramm. Cofroto modul elastc Cofroto modul elastc 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET esatto Telao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro.E+ EP ET EP ET Esatto Telao udo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.7. Telao, Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc Fgura 7.8. Telao, Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Esatto Telao Nudo Telao Tamp. Tamp. Foro.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 Esatto Telao Nudo Tamp. Foro Tamp. Foro Fgura 7.9. Telao 3, Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc Fgura 7.. Telao 4, Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 5.E+6 4.E+6 Cofroto modul elastc N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 esatto Teao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 Esatto Telao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.. Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Fgura 7.. Telao 3., Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro 74

189 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. Cofroto modul elastc 5.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 esatto Teao Nudo Tamp. Pea Tamp. Foro Fgura 7.3. Telao 5., Set B. Idetfcazoe telao al varare delle codzo al cotoro Commeto rsultat. Alla luce delle prove effettuate possamo trarre le seguet cocluso: Set d prove A : per og tpologa d prove, l metodo utlzzato d combare quadrato delle frequeze e M.A.C. co la metrca varable ha forto rsultat soddsfacet. I tutt cas aalzzat s è trovato u rsultato buoo, co lvell d errore che s mategoo bass (dell orde d 9- %). I u prmo tempo le prove soo state effettuate cosderado la matrce del M.A.C. completa, assemblata el modo seguete: se j se = j err = = L err = = L ( M.A.C. (, j) ) M.A.C. (, j) ( ) (7.8) I questo caso l aals forsce valor della varable d pao che rsultao accettabl fo al telao a tre pa, ma che, per tela a quattro e cque pa, o trova ua soluzoe coerete, spece e valor delle varabl corrspodet agl ultm due pa, che alcu cas s spgoo al lmte superore del campo d varazoe della varable. S rscotra oltre che l errore s matee molto alto (dell orde d - %), sempre per quel che rguarda tela a quattro e cque pa. Lo stesso rscotro s ha e tela 3. e 5.. I seguto s è pesato d dsporre puto secodo lo schema d croce d Sat Adrea dmezzadoe la rgdezza. I questo caso valor delle varabl hao subto u ralleameto, ache se l orde d gradezza dell errore è rmasto varato. Per tela fo a tre pa, per qual prma s soo trovat rsultat buo, s ota, co questo secodo schema, u cremeto dell errore o dfferete ed u maggore scostameto da valor attes, che per l caso precedete rsultava rrsoro. S è qud operata la scelta d rdurre, ell ambto del M.A.C., term d cofroto alle sole forme modal sml, adado così ad otteere ua matrce d M.A.C. dagoale e mglorado sesblmete l effcaca del metodo. Set d prove B : questo caso è stato utlzzato drettamete l crtero del M.A.C. modfcato. Per quato rguarda tela ad ua sola campata, s soo otteut buo rsultat, co lvell d errore che rmagoo bass. Come per l caso precedete, 75

190 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. l aumetare del umero d varabl rapporto al umero d pa provoca, e pa superor, scostamet ache sesbl de valor otteut rspetto a quell attes. Questa tedeza s ota maera pù spccata el caso d tela ud, metre dmusce co la preseza d tampoature fo quas a sparre el caso d tela tampoat co paello peo. Il fatto d cosderare la preseza d ua tampoatura suffcetemete rgda cotrbusce qud a stablzzare l metodo. La tedeza va va va scemado co l dmure della rgdezza del putoe equvalete, dovuta alla preseza d aperture, fo a sparre el caso d telao udo. Da questo comportameto s può potzzare come l flueza de tampoamet dpeda ache dal modulo elastco del materale d cu soo costtut e qud dal maggore o more cotrbuto alla rgdezza laterale complessva del sstema. Per cotro c è da dre che ell aals de tela a due campate questa tedeza o s è verfcata, ache se s soo otteut tutt cas rsultat buo co lvell d errore bass. Ioltre, tutto l set d prove, s è rscotrata la o uvoctà della soluzoe, otteedo valor delle varabl cogruet co le caratterstche modal del sstema, ma sesblmete dvers da valor attes Iflueza de mod superor sull accuratezza della soluzoe. È u fatto assodato che s possa descrvere la damca d ua struttura cosderado soltato prm mod d vbrazoe e le rspettve frequeze. Co l aumeto del umero delle varabl, però, s trascurerebbero formazo sull effettvo comportameto damco della struttura, tal da flure sull accuratezza della soluzoe cercata e da mpedre d coglere comportamet, a volte molto mportat a lvello locale, che o possoo essere descrtt co le sole formazo forte da prm mod d vbrazoe. L accuratezza della soluzoe dpede, duque, dal umero d parametr modal cosderat ell aals. Può costture, qud, u grave errore trascurare mod superor u aals della struttura, spece ell mpego d metod, come quell per l detfcazoe strutturale, che rsultao avere ua forte sesbltà rspetto a dat put. Per tutt quest motv s è decso d aalzzare l flueza de mod superor ell accuratezza della soluzoe forta da metod utlzzat ella presete tes. È stato scelto l telao a cque pa come base per uov test, cosderado tre cas d telao udo, telao tampoato co paello d tampoatura peo e telao tampoato, co la preseza d aperture el paello. Naturalmete l aals è stata codotta per l caso d ua varable per pao e per l caso d due varabl per pao. Ua volta otteut valor delle dverse varabl, è stato calcolato l errore medo su og varable, rferedos al valore esatto assegato al modello pseudo-spermetale. 76

191 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI Caso d ua varable per pao. 5 pa telao udo 3.5E+6 3.E+6.5E+6 N/cm.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Esatto Fgura 7.4. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao al varare del umero d formazo modal N/cm 5 pa tampoatura pea 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Esatto Fgura 7.5. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao co tampoatura pea al varare del umero d formazo modal 5 pa co apertura 3.5E+6 3.E+6.5E+6 N/cm.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Esatto Fgura 7.6. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao co tampoatura forata al varare del umero d formazo modal Dall aals degl stogramm d cofroto delle varabl, o è mmedato coglere l flueza de mod superor sull accuratezza della soluzoe. S propoe, d seguto, l cofroto dell errore medo 77

192 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 3.E+3.5E+3 Varazoe errore medo fuzoe del umero d mod.e+3 N/cm.5E+3.E+3 5.E+.E+ 5 mod 4 mod 3 mod mod mod telao udo tampoatura pea tampoatura co apertura Fgura 7.7. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao co tampoatura forata al varare del umero d formazo modal e al varare delle codzo al cotoro Caso d due varabl per pao. 5 pa telao udo N/cm 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5 Esatto Fgura 7.8. Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao al varare del umero d formazo modal 5 pa Tampoatura pea 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6 N/cm.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5 Esatto Fgura 7.9. Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao co tampoatura pea al varare del umero d formazo modal 78

193 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. 5 pa tampoatura co apertura 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6 N/cm.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5 Esatto Fgura 7.3. Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao co tampoatura forata al varare del umero d formazo modal Ache questo caso s rportao gl stogramm d cofroto dell errore medo tra soluzoe e rsultat per og prova Commeto rsultat. Ua varable per pao. Osservado grafc d raffroto de modul elastc, s può otare come, questo caso, gà co l prmo modo d vbrazoe s ottegao buo rsultat per tutt e tre cas aalzzat. Come c s aspettava, dal raffroto degl error med come degl error percetual, s ota come l errore vada a decrescere ma mao che s cosderao mod d vbrazoe pù alt. L errore s matee comuque ferore allo,%, attgedo l suo massmo valore el caso d telao tampoato co apertura el paello, quado s cosdera solo l prmo modo d vbrazoe. Due varabl per pao. I questo caso, s può otare come l aumeto delle varabl goco reda l metodo molto pù sesble all flueza de mod superor. S ha fatt u decso cremeto dell errore rspetto al caso precedete. Le maggor varazo e valor delle varabl s hao e plastr dell ultmo pao e pratcamete tutte le trav. Nel caso d tela tampoat s ota uo scostameto more de rsultat otteut cosderado soltato l flueza del prmo modo d vbrazoe, corrspodeza de plastr de pa feror. Computado però l errore medo, s ota come questo sa pù basso el caso d telao udo. Osservado grafc dell errore s ota po come, corrspodeza de mod termed, questo subsca ua leggera flessoe verso valor pù alt, fatto che può mputars alla perdta dell uctà della soluzoe rscotrata el set d prove B. L errore percetuale s matee comuque basso. Il valore massmo è d poco superore al,5% e s ha, come el caso precedete, per l telao tampoato co apertura, cosderado l flueza soltato del prmo modo d vbrazoe. 79

194 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Smulazoe dell errore spermetale. Il fatto d defre a pror valor delle varabl el modello pseudo-spermetale e d rcavare, da questo, parametr modal secodo u procedmeto aaltco, fa s che l effcaca del metodo o possa essere testata maera completa. I dat acqust spermetalmete soo, fatt, evtablmete affett da error d msurazoe. Le fot dspobl letteratura cocordao el fssare l rage etro cu vara l errore d msurazoe toro al 5%. Per tale motvo, l metodo d detfcazoe f qu testato, è stato ulterormete messo alla prova, troducedo e dat pseudo-spermetal u errore uforme, geerato modo radom all tero del rage d cu sopra. Il caso d telao udo è gà stato aalzzato u precedete lavoro. Le prove soo state codotte sul Telao 4, aalzzato sa per l caso d ua varable per pao che el caso d due varabl per pao. Nel prmo caso (ua varable per pao) s è vsto che l errore osclla tra lo % e l 8%. Nel secodo caso (due varabl per pao) l errore s matee toro al 3% per prm tre pa e per la varable de plastr del quarto pao. Per la trave, vece, l errore tocca pute del 4%. I questa sede è stato aalzzato l Telao 5, rpetedo l aals co dec dverse dstrbuzo d errore, sa per l caso d ua varable per pao che per l caso d due varabl per pao. Al caso d telao udo soo stat affacat due cas d telao tampoato, co paello peo e co la preseza d apertura el paello. D seguto verrao rportat rsultat otteut dall aals Ua varable per pao. SET A Telao udo Errore 3.5E+6 3.E+6.5E+6 N/cm.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 7.3. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao fuzoe dell errore spermetale 8

195 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. Telao co paello d tampoatura peo: Errore 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura 7.3. Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao co tampoatura pea fuzoe dell errore spermetale N/cm Telao tampoato co apertura el paello: N/cm Errore 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Fgura Telao 5, Set A. Idetfcazoe telao co tampoatura forata fuzoe dell errore spermetale Due varabl per pao. SET B Telao udo: N/cm Errore 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao fuzoe dell errore spermetale 8

196 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. Telao co paello d tampoatura peo: N/cm Errore 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao co tampoatura pea fuzoe dell errore spermetale Telao tampoato co apertura el paello. N/cm 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Errore EP ET EP ET EP3 ET3 EP4 ET4 EP5 ET5 Fgura Telao 5, Set B. Idetfcazoe telao co tampoatura forata fuzoe dell errore spermetale Da rsultat otteut dalle prove codotte, s osserva che, per l caso d ua varable per pao, l errore massmo è d crca l 6% el caso d telao udo, metre sale al 6% per l caso d telao tampoato, co la preseza d aperture el paello, ed arrva a pute del 5% el caso d paello d tampoatura peo. Nel caso s cosdero due varabl per pao, vece, corrspodeza d quegl stess elemet per cu l calcolo della varable presetava gl scostamet maggor (le trav d pao), s rscotrao valor d errore che superao l % el caso d paello d tampoatura co aperture, metre raggugoo addrttura l 5% ella trave del secodo pao, el caso d paello d tampoatura peo. U dscorso a parte merta l caso del telao udo, per l quale s hao lvell d errore feror al 3% per tutte le varabl, eccetto che per la varable corrspodete alla trave dell ultmo pao, per la quale l errore arrva a toccare pute d crca l 5%. Alla luce d quest ultm rsultat s può affermare che l metodo rsulta abbastaza stable quado comca a crescere l umero d varabl. Gl scostamet maggor s rlevao per le varabl d quas tutte le trav e per plastr dell ultmo pao. 8

197 CAPITOLO 7- IDENTIFICAZIONE IN TELAI PIANI TAMPONATI. S ota oltre ua spccata sesbltà agl error d msurazoe delle caratterstche modal, ache se, per ua buoa parte delle varabl cotuao ad otteers comuque buo rsultat. S può cocludere dcedo che l buo fuzoameto del metodo o può prescdere dalla precsoe ell acquszoe de parametr damc della struttura, rchededo marg d errore estremamete rdott Cocluso. Nel presete captolo è stata esamata l flueza de paell d tampoatura el problema dell detfcazoe strutturale tela pa. Nella prma parte del lavoro s è cercato d defre u modello per la rappresetazoe dscreta del comportameto del paello d tampoameto all tero della magla del telao. La rappresetazoe pù effcace s è rvelata essere quella che prevede l sermeto d u putoe equvalete che sosttusca la tampoatura e che forsca rsultat che sao quato pù vc possble al reale comportameto del telao tampoato. S è qud costruto u modello agl elemet ft che coseta d determare, var cas, le dmeso del putoe equvalete; partcolare, assumedo la lughezza del putoe par a quella della dagoale della magla del telao e lo spessore della sua sezoe trasversale par allo spessore del paello, l uca gradezza da determare rmae la larghezza della sezoe trasversale del putoe. Coclusa questa prma parte d aals co la determazoe de puto da serre e dvers tela oggetto d dage, s è passat alla spermetazoe del metodo d detfcazoe del dao, el caso cu parametr modal acqust vegao alterat dall flueza d part o struttural, qual paell d tampoameto, sulla rsposta della struttura. Il metodo testato, come gà detto, asce dalla combazoe de crter d cofroto del quadrato delle frequeze e del M.A.C., per quel che rguarda la costruzoe della fuzoe d errore, co l metodo della metrca varable per rcercare l mmo d tale fuzoe. Da rsultat dell aals è emerso che, el caso d modellazoe de tela co ua varable per pao, s soo otteut, tutt cas, rsultat ottm, co lvell d errore molto bass. Cosderado vece due varabl per pao, s soo acora otteut buo rsultat, ma co lvell d errore leggermete pù alt e co la perdta dell uctà della soluzoe, dovuta all aumeto delle varabl goco. S è po dagata l flueza de mod d vbrazoe superor sull accuratezza della soluzoe, trovado, come c s attedeva, ua progressva dmuzoe dell errore ma mao che vevao covolte le forme modal pù alte. Ne dscede che, per ua soluzoe che sa l pù possble accurata, sarebbe dcato l mpego del pù alto umero possble d dat gresso e qud d msurazo sulla struttura che rlevo quate pù formazo possbl sul suo comportameto. Ife s è trodotto tezoalmete u errore more del 5%, uformemete dstrbuto su dat gresso, per smulare l errore strumetale da cu soo evtablmete affette le msurazo. S è rscotrato che, per l caso d ua varable per pao, l errore strumetale ha u flueza rrsora, aumetado ma mao che s fa pù pesate l flueza del paello d tampoameto. Nel caso d due varabl per pao vece le cose s complcao: s perde l uctà della soluzoe e, molt cas, l metodo o resce a trovare valor vc a quell esatt, per le varabl delle trav e per alcu plastr. 83

198 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. S può cocludere dcedo che, l metodo d detfcazoe testato cotua a forre rsultat utl oostate le perturbazo e dat gresso dovute all flueza de paell d tampoameto. All aumetare del umero d varabl, l accuratezza della soluzoe dmusce, spece relazoe all errore elle rlevazo delle caratterstche modal della struttura esame. S auspca qud ua pù alta precsoe elle msurazo e la costruzoe d u modello strutturale che s avvc l pù possble al reale comportameto della struttura. 84

199 CAPITOLO 8 PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. I questo captolo vee aalzzato l problema dell detfcazoe su ua struttura telaata 3D. Il problema, per alcu aspett, rsulta essere molto dverso da quello pao, come la defzoe del problema dretto, per altr vece, molto smle, come per esempo l approcco ella fase versa. La sostazale dffereza rspetto al caso pao, è che el test modale spermetale è possble otteere geerale, tre forme modal per og pao rgdo; tale umero d formazo rsultao essere maggor rspetto al caso pao. Lo studo s è cocetrato qud, ell aalzzare questo problema tal codzo, per verfcare se esstoo problem ella determazoe d alcue caratterstche e el valutare l umero mmo d forme modal capac d detfcare la struttura. Ache el presete studo soo state codotte alcue semplfcazo, aspetto che s rede ecessaro quas tutt problem d detfcazoe, modo da rdurre le varabl da determare. Soo duque stat svluppat due set d prove, uo che cosdera ua sgola varable per pao, l altra, vece, che cosdera due varabl per pao; ulla veta però d cosderare altr tp d semplfcazo o schematzzazo.

200 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 8.. Itroduzoe. Il lavoro d rcerca svolto questo captolo tede ad avvcare l modello dretto che vee costruto alla stuazoe reale. Le strutture spesso vegoo schematzzate come strutture pae, magar fase d progettazoe, allo scopo d semplfcare l problema e ello stesso tempo per effettuare tutte le procedure, progettazoe e verfca, maera rapda. I u problema d detfcazoe [-3], l modello dretto che s deve costrure deve essere ecessaramete pù vco alla realtà, aspetto ecessaro perché, dovedo procedere co u ottmzzazoe basata sugl error che s ottegoo dal cofroto de dat spermetal [4] co quell teorc, avedo po a che fare co problem geeralmete mal codzoat è facle capre come l modello dretto sa decsvo. La struttura dealzzata preseta qud u seme d formazo che geeralmete, u edfco classco, è facle da trovare, come ad esempo trav ad asse clato; o soo state cosderate però, pastre elevazoe e fodazoe. La fodazoe è stata semplcemete schematzzata mpoedo spostamet ull alla base de plastr. 8. Schematzzazoe tela 3d Le fas che s devoo segure per poter descrvere, maera computazoale, ua struttura 3D soo le stesse vste el caso pao. S tratta d u seme d strutture elemetar che devoo essere assemblate modo da rspettare le coesso. L elemeto vee così, ad essere modellato maera dpedete utlzzado u sstema d rfermeto locale, fg. 8. l rfermeto locale è rappresetato dagl ass --3. Dal sstema d rfermeto locale è ecessaro rferrs a quello globale, utlzzato el successve aals. Per poter fare cò, metre el caso pao era ecessara ua sgola matrce d rotazoe (la rotazoe, questo caso, è uca e relatva all asse ortogoale al pao che cotee la struttura), el caso 3D s tratta d ua matrce d rotazoe che rappreseta la composzoe ordata d tre matrc d rotazoe, ogua rspetto al propro asse globale. R = R R R (8.) x y z a) b) 86

201 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. c) d) Fgura 8.. a)elemeto d rfermeto, b) Rotazoe asse x, c) Rotazoe asse y, d) Rotazoe asse z. Il prodotto delle tre matrc d rotazoe o è uco; cambado fatt l orde d rotazoe s ottegoo matrc dverse. 8.. Ordameto delle varabl cematche Il processo fodametale da affrotare è quello dell ordameto del vettore cematco coesso alla struttura. La struttura possede parametr cematc odal, quest vegoo deft rspetto ad ua tera destrogra co l prmo asse parallelo all asse della trave. I parametr cematc vegoo ordat el modo seguete: u t ( u, v, w, ϕ, ϕ, ϕ, u, v, w, ϕ, ϕ, ϕ ) = (8.) x y z Dove u, v e w rappresetao, rspettvamete, gl spostamet lugo x, y, z. La costruzoe della matrce delle rgdezze è stata determata utlzzado la schematzzazoe de se mod deformatv atural ed mpegado la matrce d trasfermeto A: j j j xj yj zj K e T = A A (8.3) cu EA L 4EJ L EJ = L 4EJ (8.4) L EJ L GJ t L 87

202 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 88 = L L L L L L L L A (8.5) Dalle matrc d rfermeto globale d og elemeto, s determa, co u processo d assemblaggo, la matrce dell tera struttura. Nell assemblaggo s cosderao tutt vcol preset, ordado parametr cematc varabl attve e vcolate Pao rgdo Gl edfc geere presetao mpalcat orzzotal rgd el loro pao. Questo tpo d vcolo semplfca d molto l problema; fatt le varabl cematche de od apparteet allo stesso pao rsultao tra loro legate. E possble dvduare per og pao rgdo u odo d rfermeto, odo master, al quale gl altr od, che appartegoo allo stesso seme d vcolo, soo legat. Le espresso d pao rgdo che legao gl spostamet d u qualsas odo ad u altro soo: ur x y ϕzr vr r r Fgura 8.. Moto rgdo d pao = ϕ ϕ ϕ + = ϕ = z r z z r r z r r x v v y u u (8.6) Per poter esamare ua struttura che possede pa rgd s può procedere dvers mod: o seredo degl elemet fttz ftamete rgd che legao var put del pao, oppure creare ua ulterore matrce d cogrueza ( P ) che legh parametr cematc de od del pao co quell master.

203 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. Da questa matrce è possble rsalre alla matrce d rgdezza globale semplcemete pre e post moltplcado la matrce d rgdezza precedete. K rg T = P K P (8.7) TOT cu le varabl soo così ordate. ( u, v, ϕ,...,u, v, ϕ, w, ϕ, ϕ, w, ϕ, ϕ,...) t u TOT p P zp pn PN zpn x y x y = (8.8) Lo stesso procedmeto seguto per la matrce delle rgdezze vee utlzzato ache per quella delle masse. I questo modo s ottegoo le quattà matrcal utl alla soluzoe del problema dretto ovvero del problema verso. Attraverso l aals modale è possble determare tutte quelle forme modal utl al processo verso. struttura ª forma ª forma 3ª forma Fgura 8.3. Struttura deformata e prme forme modal 8..4 Forme modal utlzzate. Le forme modal che s utlzzao soo quelle relatve a parametr cematc d pao [9-3]. I geerale s rescoo a determare faclmete solo le forme modal traslazoal. I questo captolo è stata fatta u aals atta a defre le forme ecessare ad detfcare le caratterstche degl elemet struttural della struttura. Nel caso D, essedo l umero d pa, s possoo aspettare geeralmete forme modal, ache se alcu cas è possble determare altre forme poszoado alcu trasduttor put dfferet o dspoedol maera dversa. Ugualmete c s trova a lavorare co poche formazo rspetto a parametr che s vogloo determare [4]. Nel caso 3D le cose cambao, perché è possble poszoare pù sesor per determare pù quattà, dato che parametr cematc, questo caso, soo par al umero d pa rgd moltplcato per tre. I questo captolo s tratta la stessa problematca vsta el captolo 6, ma s vuol verfcare se l problema verso coesso all detfcazoe strutturale d ua struttura 3D sa meo mal codzoato rspetto a quello D. 8.3 Aals effettuate Le aals svolte soo del tutto teorche e c s è affdat solo a dat pseudo spermetal. Il procedmeto svolto cosete d testare l metodo su dat che soo, d scuro, o affett da error e d aalzzare l problema geerado u seme d valor che vece e è affetto. S 89

204 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. parte co alcu dat, che soo quell che s vogloo determare, s effettua u aals dretta e s ottegoo de valor uscta che dveterao dat gresso del problema verso. La procedura testa la capactà d u problema del geere el valutare dat ed estrapolare esse la soluzoe. dat gresso Rsultat Test del Metodo Aals dretta Aals versa Forme modal Frequeze Dat gresso Fgura 8.4. Flow chart. Schema rassutvo procedura d detfcazoe Nello svluppare l problema verso, è ecessaro effettuare alcue semplfcazo. Il umero d parametr dspoble per questo tpo d aals è geeralmete rdotto. Se geerale s assoca la caratterstca che s vuole determare ad og elemeto sgolo, c s trova subto co varabl cu è par al umero d elemet. I altr cas s vuole determare l dao localmete, qud u asta che s trova a fare parte d ua struttura, può essere suddvsa pù part. Ad esempo se s ha d frote u edfco d 5 pa che ha aste, l dea d assocare la caratterstca al umero d elemet fa dvetare l umero d varabl uguale ad, metre se s dscretezza ulterormete l elemeto strutturale, e o sapedo a pror dove sa poszoato l evetuale dao, fa s che og elemeto deve essere sezoato pù part facedo così crescere l umero d varabl. Come è stato evdezato e captol precedet, s è decso d semplfcare l problema rducedo l umero d varabl, lavorado co due set d prove dfferet. Nel prmo s è utlzzata ua sola varable d pao, s soo globat l modulo E delle trav e de plastr d pao u uco valore. Nel secodo set vece, s è raddoppato l umero d varabl, ello stesso tempo è aumetato l oere computazoale, dfferezado l modulo delle trav da quello de plastr. 9

205 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. Fgura 8.5. Strutture esamate Set A e Set B. E possble fare molte altre schematzzazo; l dea sarebbe quella d effettuare quella che s avvca alla realtà, ma lavorado maera dscreta co u umero fto d elemet [5 6] cò s può dffclmete realzzare. Il tpo d problema è strettamete basato a dat spermetal, le msure che s effettuao, soo affett da ua sere d error, che parte possoo essere elmat o rdott, facedo effettuare le letture automatcamete (tetado d elmare gl error accdetal), altr vece o possoo essere rmoss perché soo st alla struttura del sesore che s utlzza. Alcu error possoo rdurs, operado co opportu sesor, oppure cremetadoe l umero. Gl error commess fase d acquszoe ed elaborazoe de dat porta evtablmete al propagars degl stess fo a rsultat, che qud devoo essere lett u ottca pù ampa. È ecessaro pors prma l problema d quato u dato, che s determerà, possa essere pù o meo valdo. S è valutato l comportameto delle varabl allorquado, a dat gresso s agguge u errore casuale del 5%. dat gresso Sesbltà de rsultat Test del Metodo Aals dretta Aals versa Errore 5% Forme modal Frequeze Dat gresso Fgura 8.6. Flow chart. Schema rassutvo procedura d detfcazoe co errore I problem mal codzoat soffroo molto, a pccole varazo e corrspodoo altre che vece soo grad, teso co grad quelle varazo che o soo accettabl e che qud o o hao u peso oppure che o corrspode u sgfcato fsco, ma spesso questo o 9

206 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. succede perché s tratta d ottmzzare rspetto ad u domo vcolato e lmt fsc d ua varable. E stata codotta u aals a rguardo sa el set A che quello B valutado la propagazoe degl error su rsultat otteut. I parametr cematc soo stat rdott a quell strettamete ecessar all mpletazoe della procedura d detfcazoe, codesado alla Guya l tutto a sol parametr cematc traslazoal d pao. 8.4 Processo d detfcazoe. Le dffereze sostazal rspetto al caso pao soo be poche. Ache questo caso s tratta d ottmzzare u problema vcolato, cu vcol rappresetao modul elastc degl elemet struttural. L approcco d detfcazoe utlzza l cosddetto respose quattes procedure, co l quale s cofrotao le quattà modal, specfcatamete forme modal, e frequeze propre; s determa ua fuzoe d errore composta dalla dffereza delle letture delle frequeze e delle forme modal rspetto a quelle spermetal utlzzado le equazo vste precedetemete: T ( φ(t) φ(sp) ) T T ( φ φ ) ( φ φ ) L ϖ (T) ϖ(sp) Err = + (8.9) : (T) (T) (sp) (sp) ϖ (sp) L ottmzzazoe della fuzoe d errore utlzzado la relazoe (8.9), è svolta utlzzado l metodo della metrca varable affacato alla le search svluppata co l metodo d Fboacc. La le search opera su u domo rettagolare trodotto dalle lmtazo elle varabl Fgura 8.7. Schema d proezoe lugo ua lea Il metodo d Fboacc è valdo per fuzo moodmesoal e umodal. No sapedo a pror se la fuzoe d errore, proettata sulla drezoe d rcerca, rsulta umodale, s è decso d effettuare ua scasoe prma d poter applcare l metodo 8.5 Strutture esamate Le strutture prese esame soo state dverse, per poter valutare l flueza delle formazo sull detfcazoe var cas è stato ecessaro aalzzare tela a pù pa cos come schematzzato fgura. La pata degl edfc esamat rmae la stessa per tutt cas; camba effett solo l umero d pa. 9

207 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D Fgura 8.8. Pata edfco esamato (msure cm) Fgura 8.9. Prospetto struttura esamata a 6 pa (msure cm). Sulla struttura è presete ua scala co trav a goccho che rrgdsce l tutto. I pa a var lvell soo cosderat ftamete rgd e su d ess soo stat serte le relatve masse, che fase d spermetazoe rappresetao le masse preset sulla struttura, seza evetual decremet mpost dalle ormatve vget. Sulle trav, per teer coto della preseza d tampoature, soo stat cosderat gl effett solo term d masse, che l tampoameto produce sulle quattà modal Aals Set prove A L aals d detfcazoe basate su strutture 3D, utlzza dat spermetal e precsamete vegoo usate le formazo sulle forme modal par al umero d parametr cematc relatv a pa. 93

208 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. I rsultat otteut, vegoo stetzzat co stogramm cu la prma coloa rappreseta l valore esatto metre gl altr soo rsultat otteut. Nella prma prova o vee trodotto essu errore e l detfcazoe utlzza tutte le quattà modal rferte a parametr cematc de pa rgd. pao pa 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E.E+ E E Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.. Set A. pao. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 3 pa Fgura 8.. Set A. pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 4 pa 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3.E+ E E E3 E4 Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.. Set A. 3 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 5 pa Fgura 8.3. Set A. 4 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 6 pa 5.E+6 5.E+6 4.E+6 4.E+6 N/cm 3.E+6.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6.E+6.E+ E E E3 E4 E5.E+ E E E3 E4 E5 E6 Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.4. Set A. 5 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso Fgura 8.5. Set A. 6 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso Come s può otare da rsultat otteut, utlzzado u umero d formazo suffcet s rescoo a determare parametr struttural che s volevao trovare. Nel caso d u solo pao e qud d ua sola varable l metodo fuzoa meglo rspetto al caso d 5 e 6 pa, e qual s rscotrao delle mprecso, ache se valor soo sml alla soluzoe cercata. S può rassumere l tutto valutado valor cromatc otteut e quell mpost per var cas: 94

209 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. Soluzoe Rsultat Fgura 8.6. Rsultat grafc replogatv aals Set A. S può valutare come l metodo resca a determare ua buoa soluzoe per tutt pa. 95

210 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO Errore spermetale. SET A Per l caso a 4 pa s sersce e dat u errore casuale del 5%, vegoo così geerat ua sere d valor maera radom e uformemete dstrbut rspetto a valor esatt. L aals vuole valutare la sesbltà del metodo e qud de valor delle varabl rspetto a delle msure o esatte. Gl stogramm seguet e rassumoo rsultat: N/cm 5.E+6 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ 4 pa E E E3 E4 Esatto Fgura 8.7. Set A, 4 pa. Cofroto dat otteut co smulazoe dell errore spermetale N/cm 5.E+6 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ 4 pa E E E3 E4 Fgura 8.8. Set A, 4 pa. Valor massm, mm e med aals errore Sulla prma varable l errore massmo è del %, sulla secoda del 6%, sulla terza del % metre sull ultma del 8%; cò effett sottolea l comportameto del metodo quado vegoo utlzzat dat che soo affett da error. Valutado altresì valor med s ottegoo error decsamete pù bass, che soo dell orde del % Iflueza del umero d mod. Set A Vee adesso valutata su u telao a 5 pa, l flueza che l umero d mod ha sulla soluzoe cercata. Per og caso s vara la fuzoe d errore; essa dpederà ache dal 96

211 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. umero d mod utlzzat e s vuole valutare l varare della soluzoe rspetto al umero d formazo. I dat gresso soo fort seza error. 5 pa N/cm 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ E E E3 E4 E5 Esatto Fgura 8.9. Set A, 5 pa. Soluzoe al varare del umero d formazo modal S può vedere come, utlzzado formazo complete, s resca ad otteere la soluzoe esatta, lo stesso succede utlzzado formazo d poco rdotte. L utlzzo delle formazo relatve a e a 9 forme modal forscoo rsultat ottm metre al dmure delle formazo l errore ell detfcazoe cresce. Nel determare parametr vbrazoal d ua struttura, spesso, c s accoteta d determare solo alcu mod che presetao ua bassa frequeza, qud mod al alta frequeza o vegoo trascurat o dffclmete s rescoo a determare co buoa precsoe, ad esempo perché la strumetazoe o resce a coglere alcu dat. L aals fatta dmostra come, alcu cas, le formazo rdotte producoo buo rsultat Aals SET B I questo set d prove vegoo rprodotte le aals fatte el set A. Questo tpo d problema, per quato vsto e captol precedet, dovrebbe essere pù sesble e le aals svolte vogloo determare se cooscedo le forme modal s rescoo a determare tutte le formazo volute. pao pa 3.E+6 5.E+6 N/cm.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et N/cm 4.E+6 3.E+6.E+6.E+6.E+ Ep Et Ep Et Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.. Set B. pao. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso Fgura 8.. Set B. pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 97

212 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 3 pa 4 pa 4.E+6 5.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6 N/cm 4.E+6 3.E+6.E+6.E+6.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.. Set B. 3 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 5 pa Fgura 8.3. Set B. 4 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso 6 pa 4.E+6 5.E+6 N/cm 3.E+6.E+6.E+6 N/cm 4.E+6 3.E+6.E+6.E+6.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5 Ep6 Et6 Esatto Ide. Esatto Ide. Fgura 8.4. Set B. 5 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso Fgura 8.5. Set B. 6 pa. Cofroto tra la soluzoe esatta e quelle otteute co l processo verso Come s vede da rsultat, utlzzado u umero d formazo suffcet s rescoo a determare parametr struttural che s cercavao. Nel caso d u solo pao, qud d ua sola varable l metodo fuzoa meglo del caso d 5 e 6 pa, e qual s rscotrao delle mprecso, ache se valor soo sml alla soluzoe cercata. S rassume fg. 8.6 l tutto valutado valor cromatc otteut e quell mpost per var cas: Errore spermetale. SET B Per l caso a 4 pa s sersce, e dat gresso, u errore casuale del 5%, geerato volte maera radom e uformemete dstrbuto rspetto al valore esatto. L aals vuole valutare la sesbltà del metodo e qud de valor delle varabl, rspetto a delle msure o esatte. S resce a valutare dalle fgg come valor massm e mm, per og varable, s dscostao dalla soluzoe. La varable E t4 preseta u errore massmo del 77%, metre tutte le altre varabl assumoo error decsamete pù bass. Se però, s valuta la meda d tutt rsultat, s ottegoo valor prossm alla soluzoe, otteedo ad esempo, u errore medo su E t4 del %. L'aals modale spermetale (Modal Testg), o potedo prescdere da rsultat avut dal metodo, deve ecessaramete rcollegars ad ess; duque, l'aals che deve essere svolta per la determazoe de dat vbrazoal deve essere molto precsa. S ota, oltre, a pccole varazo corrspodoo gross scostamet ella soluzoe dmostrado che ache u problema semplfcato co ua sgola varable per pao è mal codzoato. 98

213 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. Soluzoe Rsultat Fgura 8.6. Rsultat grafc replogatv aals Set B. 99

214 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. 4 pa N/cm 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Esatto Fgura 8.7. Set B, 4 pa. Cofroto dat otteut co smulazoe dell errore spermetale 4 pa 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6 N/cm.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Fgura 8.8. Set B, 4 pa. Valor massm, mm, e med aals errore Iflueza del umero d mod. SET B. Vee adesso valutata, su u telao a 5 pa, l flueza che l umero d mod sulla soluzoe cercata per poter valutare se le alte frequeze possoo essere utl ad u problema d detfcazoe del geere. I cas esamat soo seguet: 5 5 forme utlzzate forme utlzzate. forma utlzzata

215 CAPITOLO 8- PROBLEMI DI IDENTIFICAZIONE DI TELAI 3D. 5 pa N/cm 4.5E+6 4.E+6 3.5E+6 3.E+6.5E+6.E+6.5E+6.E+6 5.E+5.E+ Ep Et Ep Et Ep3 Et3 Ep4 Et4 Ep5 Et5 Esatto Fgura 8.9. Set B, 5 pa. Soluzoe al varare del umero d formazo modal Utlzzado formazo complete s resce ad otteere la soluzoe; lo stesso succede utlzzado formazo d poco rdotte. I cas, 9 forscoo rsultat ottm metre al dmure delle formazo l errore ell detfcazoe cresce. Nel determare parametr vbrazoal d ua struttura, spesso, c s accoteta d determare solo alcu mod che presetao ua bassa frequeza, qud mod al alta frequeza o vegoo trascurat o dffclmete s determao co buoa precsoe, magar perché la strumetazoe o resce a coglere alcu dat. L aals codotta dmostra come, alcu cas, le formazo rdotte producoo buo rsultat. 8.6 Cocluso. Nel presete captolo soo state aalzzate dverse strutture trdmesoal; l aals è stata svolta per verfcare le vare problematche coesse all detfcazo strutturale delle stesse. La prma fase è stata quella d creare l modello matematco che meglo rspoda a tutte quelle problematche che s possoo trovare. Soo state serte aste geercamete poszoate ed è stata studata la relatva problematca ella descrzoe sa della matrce delle rgdezze che quella delle masse. E stato ecessaro serre vcol ter, qual pa rgd, che molto spesso s trovao egl edfc; tal tp d vcol soo stat pres cosderazoe utlzzado ua opportua matrce d cogrueza, capace d ordare le varabl cematche e oltre d creare le opportue relazo. Il problema verso è stato rsolto utlzzado le tecche vste e captol precedet; s utlzza fatt la procedura della metrca varable assocata alla fuzoe d errore che tee cotemporaeamete cosderazoe sa le dscrepaze delle frequeze msurate che quelle delle forme modal. Soo state svolte dverse prove, ua rguardate l cosddetto SET A, e l altra l SET B. Il caso d ua sola varable d pao, s dmostra essere l crtero pù affdable. Cò dpede dal fatto che o s creao quelle codzo d multsoluzoe e l crtero adottato forsce rsultat pù che soddsfacet; s ota ua leggera flessoe per pa alt, dove l umero d varabl cematche rede l problema molto complesso e qud molto leto ella sua rsoluzoe. L troduzoe dell errore fttzo del 5 % produce, el caso esamato d 4 pa, error ragoevol che però superao quell gresso. S è valutato ello specfco che

216 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. l troduzoe dell errore del 5% produce error che vao dal 8% fo al %, l che fa codurre a terme che s tratta sempre d problem malcodzoat. E stata oltre aalzzata la dpedeza del umero d forme modal ell detfcazoe; s è vsto che el caso d 5 pa, come, solamete 9 forme modal vece d 5, forscao rsultat ottm. La secoda tpologa d problema è assa pù delcata, sa el caso pao che el caso 3D. S è otato prcpalmete che l problema d detfcazoe resta poco sesble alle varabl assocate alle trav, gl error maggor vegoo attt propro a tutt gl elemet orzzotal. La preseza dell errore spermetale coduce ad soluzo affette da error maggor rspetto a quell gresso. Ife è stata cosderata, ache per questo caso, la dpedeza rspetto alla quattà d mod acqust; utlzzare formazo rdotte è suffcete ad quadrare bee l problema, poché effettvamete el caso d 5 pa soo ecessare 9 forme modal.

217 CONCLUSIONI La seguete tes d dottorato s è occupata dell dvduazoe del dao su strutture d teresse cvle. Molte soo le prove che s possoo codurre per determare lo stato d salute delle costruzo ma spesso s prvlega l uso d quelle tecche che soo dstruttve e local. Esstoo letteratura dverse metodologe che cosetoo d determare lo stato d salute dell tera struttura, e qud, la preseza d u evetuale dao a partre da dat spermetal. Tal tecche soo fase d svluppo e molt, acora, soo gl aspett che devoo essere aalzzat. Il vataggo prcpale d questa metodologa è essezalmete che è possble determare lo stato d salute globale della struttura esame realzzado prove o dstruttve e che, qud o alterao lo stato della struttura. La metodologa s svluppa due step successv: l prmo è la prova spermetale che s realzza per estrarre dat ecessar, l secodo è quello d rsolvere l problema d detfcazoe del dao (problema verso). Nella prma parte della tes s soo studate le vare tecche d detfcazoe del dao, ogua delle qual basata su dverse metodologe d dage. Alcu metod rescoo a rsalre allo stato d dao utlzzado procedure drette. I vatagg soo la veloctà d detfcazoe, metre lo svataggo prcpale è quello che og caso rsulta matematcamete dverso rspetto ad u altro. Il metodo basato sulla dffereza, damca o statca, tra msure real otteute a seguto d prove spermetal e quelle teorche che dervao da modell drett che utlzzao l FEM, rsulta pù semplce ell applcazoe e pù flessble ella modfca della struttura da detfcare e el cambameto delle varabl da detfcare. Questo tpo d metodo è stato quello svluppato tutta la tes. S tratta d mmzzare fuzo d dscrepaza tra msure real e msure teorche, le prme soo fuzo dpedet dal dao della struttura metre le secode dpedoo dalle varabl assocate al problema dretto. È d fodametale mportaza che qualsas metodo, effett, trattados d mmzzazo d fuzo d errore, se s commette u errore ella defzoe del problema dretto, s otterrà u errore acora pù grade della dffereza de dat spermetal teorc; qud, la mmzzazoe della dscrepaza produrrà, per le varabl, come rsultato ua sere d umer che o soo vald e che, pertato, o forrao ua reale coosceza della struttura. Le prove spermetal codotte su ua geerca struttura, che soo alla base d tutta la problematca d detfcazoe del dao, soo essezalmete d due tp: prove statche e prove damche. Etramb metod cosetoo d determare parametr utl al processo d detfcazoe. Soo geerale prove molto complesse ell attuazoe, fatt, deformare ua grossa struttura a seguto d carch o è ua operazoe semplce da realzzare. Per tale motvo soo state svluppate procedure damche che cosetoo geerale d determare, maera relatvamete semplce, parametr utl al processo d detfcazoe. È stato ecessaro studare dverse metodologe d ottmzzazoe da applcare alla mmzzazoe della fuzoe d dscrepaza. Questa fuzoe s è presetata modo dverso a secoda del caso aalzzato (trave, telao, telao co tampoatura, telao 3D), percò, s soo vst dvers metod d ottmzzazoe: gl algortm geetc, l metodo del gradete e l metodo della metrca varable. Gl algortm geetc soo metod che utlzzao l aaloga della evoluzoe delle spece. Soo metod semplc da applcare e cosetoo d determare ua soluzoe del problema, però, per come soo costrut, o garatscoo d trovare la soluzoe esatta al problema ma

218 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. quas sempre ua buoa soluzoe. Soo metod che s adattao ad og problema, ad esempo, quado o è possble dare ua espressoe matematca. Ioltre soo però metod sesbl rspetto ad alcu parametr come la probabltà d combazoe e mutazoe; quest devoo essere determat applcado l metodo pù volte e valutado l comportameto dell algortmo rspetto a valor scelt. Spesso fatt, s può mafestare ua stablzzazoe ella rcerca della soluzoe, quest cas per poter otteere ua buoa soluzoe è ecessaro procedere co u umero elevato d geerazo. Il metodo del gradete e quello della metrca varable rchedoo, vece, che la fuzoe obettvo sa dfferezable, rspettvamete ua e due volte, è ecessaro, fatt, el metodo d Newto determare la matrce hessaa della fuzoe. La metrca varable è defta spesso metodo quas Newto, perché utlzzado alcu crter, resce a stmare e o determare la matrce hessaa. Nel caso del lavoro d tes, cu s aveva la dfferezabltà della fuzoe obettvo, soo stat utlzzat etramb crter. I cas aalzzat soo stat caratterzzat da avere pù mm relatv, per cu s è decso d affacare alla rcerca multdmesoale del gradete e della metrca varable, quella della rcerca moodmesoale co l crtero d Fboacc. I questo modo, s è vsto che è possble rdurre rsch d cocludere l aals determado u solo mmo relatvo. Il metodo del gradete preseta come svataggo ua stablzzazoe delle drezo d rcerca, provocado, duque, ua lmtata scurezza del domo d rcerca perché o s resce a spazzare per bee l domo. Per gl stess cas aalzzat l metodo della metrca varable, che s può cosderare u metodo adattvo, ella stma della matrce hessaa rcorda le drezo spazzate precedetemete e e determa altre dverse, asscurado ua dstrbuzoe uforme delle drezo d rcerca e mostrado così ua rapdtà maggore ella covergeza alla soluzoe esatta. La rcerca s è focalzzata su dvers aspett e tpologe struttural: Trav co dao dffuso Tela Pa co qualche elemeto daeggato (trave o plastro) Tela Pa co elemet d dsturbo Tela 3D Trav co dao dffuso Soo stat usat due modell d daeggameto per determare l dao ua trave soggetta ad u crac dffuso. S è utlzzato l FEM due dverse forme: dscrete damaged e cotuos damaged. S è proceduto a valutare la fuzoe d errore tra dat gresso e quell calcolat, e mmzzare la stessa graze all uso degl algortm geetc. La fuzoe da mmzzare è dpedete dalla poszoe del dao, dalla gradezza e dalla sua testà. Le varabl el dscrete damaged soo varabl dscrete, metre soo cotue el cotuos damaged. L algortmo geetco, s è adattato bee etramb cas. L detfcazoe del dao ha dato buo rsultat etramb cas; el modello dscreto s è otteuta ua buoa soluzoe cremetao la mesh, co u aggravo term computazoal, metre l modello cotuo è rsultato dpedete da cò. La tecca d detfcazoe s è dmostrata suffcete all dvduazoe del dao, ma per quest tp d problem è cosglable utlzzare u umero d formazo maggore rspetto a quato fatto questa sede. Soo state, fatt, cofrotate solo le prme frequeze d 4

219 CONCLUSIONI vbrazoe, questo modo s va a dscapto della precsoe e e problem smmetrc, come el caso esamato, o è possble dstguere maera uvoca la localzzazoe del dao (a destra o a sstra dell asse d smmetra). I quest cas, ma è sempre opportuo farlo, è cosglable l uso delle forme modal, che va spermetale s determao pù dffclmete rspetto alle frequeze, ma dao formazo mglor. Utlzzado el cofroto ache le forme modal, è possble determare maera uvoca ache la localzzazoe del dao. Tela Pa S è esamato l problema dell detfcazoe del daeggameto strutturale, basato su cambamet delle caratterstche damche della struttura. Tale metodo s foda sull dea che parametr modal soo ua fuzoe delle caratterstche fsche della struttura e, per questo, l aals de loro cambamet rappreseta u metodo globale d valutazoe della codzoe fsca della struttura. Soo state svluppate alcue metodologe d detfcazoe del dao e propost alcu crter co le relatve applcazo umerche al caso de tela pa. I crter propost soo basat sulla valutazoe del: M.A.C., Co.M.A.C, del valore assoluto e del quadrato delle frequeze, dell ortogoaltà de vettor modal, dell eerga d deformazoe e d alcue loro combazo. S soo utlzzat seguet metod d mmzzazoe: algortm geetc, metodo del gradete e metrca varable. La spermetazoe ha dmostrato che, fra tutt quest parametr, la comparazoe delle frequeze atural, co mod d vbrare può essere u sgfcatvo dce d dvduazoe e quatfcazoe del daeggameto strutturale; a tal proposto s è vsto che l utlzzo cotemporaeo d pù crter d cofroto forsce, almeo spermetalmete, rsultat molto cofortat spece se l crtero d cofroto è l M.A.C + quadrato delle frequeze e la fuzoe d errore è ottmzzata attraverso la metrca varable. S è vsto oltre, che troducedo, tezoalmete u errore del 5% dstrbuto modo uforme su dat modal del modello pseudo-spermetale, l sstema svluppato cotua a forre rsultat utl. Tela Pa co elemet d dsturbo S è esamata l flueza de paell d tampoatura el problema dell detfcazoe strutturale tela pa. Nella prma parte del lavoro s è defto u modello dretto per la rappresetazoe dscreta del comportameto del paello d tampoameto all tero della magla del telao. La rappresetazoe pù effcace s è rvelata essere quella che prevede l sermeto d u putoe equvalete che vada a sostture la tampoatura e che forsca rsultat che sao quato pù vc possble al reale comportameto del telao tampoato. Ua volta determata la dmesoe de puto da serre e dvers tela oggetto d dage, s è passat alla spermetazoe del metodo d detfcazoe del dao. Il metodo testato, come gà detto, asce dalla combazoe de crter d cofroto del quadrato delle frequeze e del M.A.C., utlzzado l metodo della metrca varable per rcercare l mmo d tale fuzoe. Da rsultat dell aals, el caso d modellazoe de tela co ua varable per pao, s soo otteut rsultat ottm, co lvell d errore molto bass. Se s utlzzao due varabl per pao dao su trave e plastro, s soo otteut rsultat acora buo, ma co lvell d errore leggermete pù alt e co la perdta dell uctà della soluzoe. S è dagata l flueza che hao mod d vbrazoe superor sull accuratezza della soluzoe, trovado, come c s attedeva, ua progressva dmuzoe dell errore ma mao 5

220 PROBLEMI INVERSI NELLA MECCANICA DEL DANNEGGIAMENTO. che vevao covolte le forme modal pù alte. S è trodotto tezoalmete u errore more del 5%, uformemete dstrbuto su dat gresso, per smulare l errore strumetale da cu soo evtablmete affette le msure. Per l caso d ua varable per pao, l errore strumetale ha u flueza rrsora asseza d tampoatura, aumeta ma mao che s fa pù pesate l flueza del paello d tampoameto. Nel caso d due varabl per pao s perde l uctà della soluzoe e, molt cas, l metodo o resce a trovare valor vc a quell esatt. Tela 3D Per affrotare le problematche relatve all detfcazoe dello stato d daeggameto d strutture trdmesoal è stata svolta l aals su tela 3D. Il problema verso è stato rsolto utlzzado la procedura della metrca varable assocata al quadrato delle frequeze e del M.A.C. Il crtero d ottmzzazoe (ovvero d mmzzazoe) è rsultato affdable solo el caso d ua sola varable per pao, cò dpede dal fatto che o s creao quelle codzo d multsoluzoe e qud, rsultat otteut soo pù che soddsfacet. S è osservato che egl edfc co umero d pa elevato la soluzoe coverge pù letamete ed è affetta da ua leggera mprecsoe; questo perché l grade umero d varabl cematche rede l problema molto complesso e leto ella sua rsoluzoe. L troduzoe dell errore fttzo produce, error ragoevol ache se superao quell gresso. E stata, oltre, aalzzata la dpedeza della soluzoe dal umero d forme modal prese cosderazoe ell detfcazoe. Utlzzado solo le formazo su prm mod s soo otteut comuque, buo rsultat. Nell affrotare la secoda tpologa d problema, ovvero, l troduzoe d due varabl d daeggameto per pao s è otato, prcpalmete, che l problema d detfcazoe resta poco sesble alle varabl assocate alle trav, gl error maggor vegoo attt propro corrspodeza degl elemet orzzotal. L troduzoe d u errore spermetale coduce a soluzo affette da error maggor rspetto a quell gresso. Ife, s può cocludere che per quadrare bee l problema d detfcazoe dello stato d salute d u edfco c.a. è suffcete utlzzare formazo rdotte. Cocluso comu Il crtero basato sul cofroto tra dat spermetal e quell smulat cosete, co u adeguata procedura d mmzzazoe, d determare ua mappa delle caratterstche meccache espresse term d modello elastco dell tera struttura e, qud, d rlevare l evetuale preseza del dao (espressa term d rduzoe del modulo elastco). Il processo verso s traduce ua sere d operazo drette, volte a mmzzare la fuzoe d dscrepaza tra dat che s utlzzao. Se s vuole che rsultat dell aals teorca sao d supporto ad dag d tpo locale da codurre su sgol elemet (trave e/o plastro), sarebbe ecessaro, però, dscretzzare l sgolo elemeto strutturale tat elemet la cu gradezza, a meo d o utlzzare la procedura vsta el cotuos damaged, è tato pù pccola quato pù è cocetrato l dao che s vuole rlevare. La soluzoe fale dpede sa dal modello dretto scelto che dal crtero d ottmzzazoe, la mmzzazoe svolge, questa ottca, u ruolo fodametale. Le fuzo d errore, essedo espresso che dervao da problem malcodzoat, presetao mm che soo dffcl da localzzare. E ecessaro, percò, capre che tpo d fuzoe s è geerata e 6

221 CONCLUSIONI successvamete mporre l mglor metodo, adado semma a correggere la fuzoe, regolarzzarla oppure studadoe ua pù opportua. Negl ultm cas esamat, la fuzoe d errore basata sul cofroto tra le frequeze e quelle delle forme rsulta essere la mglore. S è po vsto come la mmzzazoe della dscrepaza valutata sulle sole frequeze o sulle sole forme modal o da, geerale, buoe soluzo, metre l uoe d queste formazo forsce rsultat ettamete mglor. Ife, o tutte le forme e frequeze modal soo ecessare per l detfcazoe strutturale, alcue d esse hao u peso maggore rspetto ad altre. Le prme forme modal e pulsazo, fatt, dao formazo global mglor rspetto a quelle co frequeza maggore, e qud possble rdurre l aals d detfcazoe alle sole forme modal zal; è, però, da stablre volta per volta quale sa l umero strettamete ecessaro per otteere u buo rsultato. L aals spermetale d detfcazoe modale, o può prescdere dal tpo d utlzzo che su rsultat avrao, c s aspetta, qud, ua grossa precsoe, specalmete e prm dat, che, come s è vsto, soo pù mportat. A partre dall detfcazoe del dao sulla trave fo ad arrvare al caso del telao trdmesoale, la caratterstca traate tutt gl stud è la semplfcazoe da adottare e problem d detfcazoe strutturale. Nel caso della trave, l tratto daeggato deve essere uco, el caso de tela pa e trdmesoal, s suppoe che parametr che detfcao l dao sao gl stess per gl elemet vertcal e per quell orzzotal apparteet allo stesso pao. E da sottoleare come l dao sa ua fuzoe d pù varabl: la poszoe, l ettà, ma ache la dstrbuzoe. La dstrbuzoe dveta superflua quado è possble dscretzzare la struttura co u umero elevato d elemet, ma quado s utlzzao crter che compoo u umero otevole d terazo, s capsce come sa mportate rdurre l umero d grad d lbertà usado ua dscretzzazoe pù rada. Per dvduare u dao localzzato u elemeto è ecessaro suddvderlo pù part, o sapedo però quale sa l elemeto daeggato, sarà ecessaro suddvdere ache gl altr elemet, cremetado così l umero d varabl da determare e rededo l problema maggormete malcodzoato. Nel caso della trave daeggata, fatt, è possble determare uo stato della trave co due tratt daeggat che producoo gl stess effett del caso vsto, questo modo esstoo pù soluzo. Allo stesso modo, su tela pa che quell 3D, esste ua dstrbuzoe del dao su plastr tale da produrre le stesse frequeze e le stesse forme modal, prodotte da u dao dstrbuto su tutt plastr. I questo modo ell detfcazoe del dao elle strutture tra le fte dstrbuzo del dao se e scegle ua o ua sere fta. L ultmo aspetto da sottoleare è quello relatvo agl error sulle soluzo otteute. S tratta d problem vers malcodzoat e la soluzoe può rsultare affetta da error, ache se s parte da dat precs. I dat, per loro atura, però, soo affett da error, che se da u lato s possoo rdurre, dall altro o s possoo elmare; quest, ache se mm, s propagao fo a rsultat fal. Per og caso d detfcazoe, duque, è ecessaro defre l loro peso sulla soluzoe fale. La scelta delle fuzo obettvo da mmzzare, l umero d dat da usare e l crtero d ottmzzazoe soo legat a tale problematca e devoo essere tal da rdurre gl effett degl error sulla soluzoe fale. Per tutt cas esamat s è valutata la propagazoe degl error su rsultat fal, geerado maera radom dat rspetto a quell gresso. I alcu cas l errore fale è paragoable a quello zale e quell co molte varabl l errore fale cresce otteedo soluzo o valde. 7

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234

235 Rgrazamet Alla fe d u vaggo, dove og ua cosa fsce ma tate uove hao zo, c'è sempre u attmo teso dove t volt e rvv stataeamete og cosa sa essa buoa, sa essa egatva, vssuta e provata, dal gesto pù semplce all'auto pù grade, dall'coraggameto goralero al sorrso d og goro, a quat hao collaborato drettamete ed drettamete affché o potess raggugere questo rsultato. Ache se l terme rsulta rduttvo, rgrazo prma d tutto la ma GRANDE FAMIGLIA ella quale s trovao gl affett pù rcch, gl stmol per prosegure el cammo e mglor segamet della vta. Rgrazo ma Mamma Atoa smbolo d saggezza e sprto da mtare, ma Sorella Lberata e Fratell Ncola e Domeco, le gude cotue ella strada che è stata e che verrà. I momet tes che soo trascors hao lascato tracce delebl su temp che verrao, hao prma d tutto lascato le grad amcze. A Roberto rvolgo l mo pù affettuoso rgrazameto, per og fratero muto passato seme e per og pccola grade crescta fatta. Rgrazo Pasquale per la sua sapete e dsarmate umatà. Loro soo le esseze delle rspettve famgle, d ogua vado fero d averle cooscute. Loro da cu ho mparato e da cu mparerò. Rgrazo gl amc d casa, molt soo acora qu, alcu d loro soo partt, rgrazo Soy, Smoe, Fracesco Orolo, Atoo Motalbao, FracescoAtoo e se la porta del mo appartameto è sempre aperta come o rgrazare quat l'hao varcata passado momet d seretà co me. Rgrazo l Prof. Raffaele Zo, persoa d grade umatà e smsurato mpego, per averm caparbamete covolto el progetto d rcerca f qu svluppato, affacadom e offredom pea fduca og passo d questo percorso. Rgrazo Govaa grade e valorosa compaga d questo vaggo; o solo abbamo codvso lo spazo el ostro ambete d lavoro ma og mometo d dffcoltà e d grade soddsfazoe, d certo umeros ed tes. Rgrazo tutt membr del collego de docet del dottorato d Meccaca Computazoale che m soo stat vc quest a, offredom prezos suggermet. Rgrazo oltre Vcezo, Mauela, Guseppe Fortuato ed Eugea sosttubl amc. Come o rvolgere u setto pesero d grattude verso tecc d laboratoro e o: g. Sposato, g. Cro, dott.sa Maro, g. Fuoco, co loro ho assaporato la bellezza della spermetazoe e ho, vece, superato gl ostacol. Rgrazo fe la vera amcza, quella SINCERA, rgrazo quella vca e quella lotaa, rgrazo quella veccha che è durata alterata, az, sempre crescta tutt quest a, quella uova cosapevole che ella scertà cu è ata maturerà e dveterà acora pù forte. GRAZIE.