Sul Modello di Leontief

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1 Sul Modello d Leotef Maro Nocera - Roberto Raucc - Lug Taddeo Suto: I questo lavoro presetamo l modello put-output d Leotef. La dmostrazoe del teorema d essteza, uctà e o egatvtà e altr rsultat presetat questo artcolo o soo coteut ella trattazoe stadard. Tale modello potrebbe essere presetato a studet d ua scuola superore dopo la trattazoe delle matrc e de sstem lear mostrado, così, ua stuazoe o matematca cu quest cocett gocao u ruolo cetrale. Abstract: The preset paper cocers wth the put-output model by Leotef. The proof of the estece, sgleess ad o-egatvty theorem as well as the other results preset ths artcle wll ot be foud a stadard treatmet. The aforesad model could be taught hgh school studets who have studed the matres ad the lear systems by showg, thus, the cetral role these cocepts have a omathematcal stuato. Parole chave: Matrc, Sstem Lear, Be. Isttuto D Arte S. Leuco, Va Tega, Caserta - maro.ocera@struzoe.t Dpartmeto d Sceze Ecoomche e Statstche, Uverstà degl Stud d Salero, Va Pote Do Melllo , Fscao (Salero) - rraucc@usa.t Lceo Scetfco L.Garofao, Va Napol, Capua (Ce) - lugtaddeo@wd.t

2 . INTRODUZIONE Cosderamo be, co N, e coveamo d msurare le quattà usado per tutt la stessa utà d msura: l valore, mglaa d euro, su u fssato mercato el quale cascuo de be ha u precso valore. I altr term, per esempo, se u bee è rappresetato dalle patate, per o la quattà par a d patate o vorrà dre ua patata o u kg d patate, ma quella quattà d patate che sul ostro mercato vale esattamete u mglao d euro. Notamo che co questa covezoe possamo usare la stessa utà d msura per be completamete o cofrotabl dal puto d vsta delle utà d msura stadard ; per esempo, patate e automobl! Per produrre quattà d og bee abbamo a dsposzoe ua tecologa che lo cosete usado quattà d altr be e del bee stesso. Per redere l modello pù semplce da trattare potzzamo: se per produrre u utà d u certo bee ho bsogo d u dato vettore v le cu compoet soo le quattà de dvers be (cluso l bee stesso) allora per produre ua quattà par a k (umero reale o egatvo) avrò bsogo del vettore kv. Deotamo co a la quattà del bee -esmo ecessaro alla tecologa per produrre u utà del bee -esmo e sa A la matrce, quadrata e d orde, detta matrce tecologca, costtuta dagl elemet a così deft. Notamo che: a! 0 ",#,..., ) { } #, = ) a <! " {,...,} fatt la somma degl elemet della coloa -esma rappreseta l costo d produzoe del bee -esmo e qud tale bee sarà serto el processo dustrale d produzoe solo se l costo per produre ua fssata quattà è ferore al valore della quattà prodotta ( altrmet quel bee o sarà prodotto ma, evetualmete, solo acqustato). Deotamo co c = ( c,..., c ) l vettore d R che forsce la quat- c! 0 " #,..., ), co tà degl be destat a cosum (e qud { }

3 = (,..., ) l vettore d R che forsce la quattà degl be complessvamete prodott; quattà delle qual ua parte è, geerale, destata alla produzoe de be stess, u altra a cosum. Per og bee vale: =! a + c da cu s ottee l sstema = leare (d equazo cogte), che dremo sstema leare d Leotef, ( I! A) = c, dove I deota la matrce utara d orde, è l vettore de be prodott (ovvamete 0 {,...,}! " # ). Il seguete esempo (vedere [4]), per rago d semplctà, cosdera u sstema ecoomco co due sol compart: prodott dustral e quell agrcol. Cò vuol dre che aggreghamo dvers prodott dustral pesadol come se fossero u uco bee e così pure per quell agrcol. Esempo. Suppoamo che per og arbtrara quattà da produrre d prodott dustral e serva l 40% d prodott dustral e l 40% d quell agrcol; vece per produrla d prodott agrcol e bastao l,5% d prodott dustral e l 0% d quell agrcol. Sao 0 e 60 le quattà rcheste per cosum ( rspettvamete dustral e agrcol). S 5 0 ha: A =! " ; c = (0;60). Il sstema d Leotef è % 40 0&! " = 0 # 5 0 $ da cu la soluzoe (400;00). # 7 " + = 60 #% 40 0 Le questo matematche che s pogoo soo: Il sstema ha soluzo? Se sì, quate e ha?! 0 " #,...,? Le soluzo soo accettabl, coè { } A queste questo e ad altre collegate rspodamo co coteut o cotemplat ella trattazoe stadard.

4 . ESISTENZA, UNICITÀ E NON NEGATIVITÀ DELLA SOLUZIONE I questo paragrafo dmostreremo l essteza, l uctà e la o egatvtà della soluzoe del sstema leare d Leotef. Proposzoe. Ipotes: ) A è ua matrce quadrata d orde, N, tale che a! 0 e Tes: #, = ) a <! " {,...,} ) c è u vettore d orde a coordate o egatve. ) l sstema ( I! A) = c ammette u uca soluzoe = (,..., ) ) c {,...,}! " # ( e qud, partcolare, s ha che la soluzoe ha coordate o egatve). Dmostrazoe Procedamo per duzoe sull orde della matrce A. Se = l (! a ) = c co a " 0; e qud sstema s rduce all equazoe [ [ s verfca la tes. Suppoamo adesso che la tes sa soddsfatta per tutt sstem lear d Leotef co matrce A d orde - e provamo allora che essa vale ache per quell d orde. Provamo che: ) se y = ( y,..., y ) è ua soluzoe d u sffatto sstema allora y! 0 " #{,...,} Procedamo per assurdo e qud suppoamo che c sa almeo ua coordata egatva. Allora, teuto coto d cò e della seguete uguaglaza (otteuta sommado membro a membro tutte le equazo del sstema): = = = "(!" a ) = " c s deduce che almeo ua coordata della soluzoe y = ( y,..., y ) deve essere postva. Suppoamo, per fssare le dee, che essa sa y. 4

5 Cosderamo l seguete sstema: " (! a, )! a, +..! a,!! = c + a, y # $... # %! a!,! a!, (! a!,! )! = c! + a!, y Questo sstema ha soluzoe ( y,..., y! ); d altra parte essedo questo u sstema leare d Leotef ( cò è vero per le potes fatte e perché y > 0 ) la cu matrce tecologca ha orde - per l potes d duzoe, avrà u uca soluzoe e tale soluzoe avrà coordate o egatve e cò è assurdo. Duque la soluzoe y = ( y,..., y ) ha coordate tutte o egatve. ) Il sstema o potrà avere due soluzo dstte. Ifatt se = (,..., ) e y = ( y,..., y ) fossero due soluzo dstte e, per esempo, > y allora y! = ( y!,.., y! ) sarebbe ua soluzoe del sstema omogeeo assocato ( che è acora u sstema leare del modello d Leotef) e a- vrebbe almeo ua coordata egatva, cotro quato dmostrato ). ) Dmostramo adesso che esste ua soluzoe. Ifatt se cò o fosse vero allora l sstema omogeeo assocato avrebbe fte soluzo e cò o è possble per quato dmostrato ) ) Dmostramo adesso che l uca soluzoe = (,..., ) del sstema è tale che c {,...,}! " #. c + a a Ifatt, per esempo, =! a { } e teuto coto che a! 0,! 0 ", #,.., e! a > 0 s ottee che! c. Allo stesso modo s ragoa co le altre coordate. Osservazoe. C chedamo rspetto alla prma coordata della soluzoe = (,..., ), per esempo, quado accade che > c e quado = c. 5

6 A tale proposto s ha: = c se e solo se a = 0! "{,.., } o, modo equvalete, > c se e solo se esste!{,.., } tale che a! 0. Provamo! c + a a Da =! a se c! a... a c c + + +! segue che, = allora a =.. = a = 0 e, oltre, deve valere almeo ua tra c = 0 e - a = da cu a = 0. Così è provata l mplcazoe. Provamo! Per provare l verso suppoamo che a = 0! "{,.., }. Allora a =.. = a = 0 e, oltre, tra a = 0 e = 0 deve valere almeo ua. Nel caso d a = 0 s ha: a a c = a a + c = + c =! a ; se = 0, allora, poché c! 0 e! c, e segue che = c. Ragoado allo stesso modo co le altre coordate s ha: c a = 0! ",.., o, modo equvalete, = se e solo se { } > c se e solo se esste {,.., }! tale che a! 0.. OSSERVAZIONI CONCLUSIVE ED ESEMPI Osservazoe. Il fatto che la soluzoe = (,..., ) del sstema è tale che {,...,}! c " #, dal puto d vsta ecoomco, sgfca che la quattà prodotta d u bee o potrà essere ferore a quella rchesta per l cosumo. Il coteuto ecoomco dell osservazoe. s può rassumere come segue: U bee è prodotto msura maggore a quella rchesta per l cosumo se, e solo se, esso serve per produrre qualche bee che sarà prodotto. 6

7 Osservazoe. L seme de be che sarao prodott e coè, deotata come al solto co = (,..., ) la soluzoe, l seme degl!{,...,} tal che! 0 s può stablre seza rsolvere l sstema d Leotef el seguete modo. Sa B la parte d {,..., } costtuta dagl dc tal che c! 0. Se B =! allora B =! è l seme de be che sarao prodott. Se B! " allora cosderamo l seme B costtuto dagl dc o apparteet a B e per qual esste! B tal che a! 0. Se B =! allora B è l seme de be che sarao prodott. Se B! " allora cosderamo l seme B costtuto dagl dc o apparteet a B! B e per qual esste! B co a! 0. Se B =! allora B! B è l seme de be che sarao prodott. Se B! " s tera e poché l seme {,..., } è fto s può affermare che esste u umero aturale k tale che B k =! ; l seme de be che sarao prodott è k! U B. = L seme de be che o sarao prodott e coè l seme de! tal che = 0 può essere determato seza rsolvere be {,...,} l sstema d Leotef el modo seguete. Sa costtuta dagl dc tal che c = 0. Se C = { } C { } C la parte d {,..., } C = {,..., } allora,..., è l seme de be che o sarao prodott. Se!,..., sa C la parte d C costtuta dagl dc tal che esste! C tale che a! 0. Se C =! allora C è l seme cercato. Se C! " allora sa C la parte d C! C costtuta dagl dc tal che esste! C " C tale che a! 0. Se C! " s tera e poché l seme {,..., } è fto s può affermare che esste u umero aturale k tale che C k =! ; l seme C! C!...! C k! è l seme de be che o sarao prodott. 7

8 I altre parole s può affermare che be che sarao prodott s determao come segue tra d loro, evdetemete, v soo quell rchest per cosum; a quest vao aggut quell che servoo per produrre precedet e così s tera fo a quado o s aggugoo pù altr be. Aalogamete, per be che o sarao prodott s può procedere così: evdetemete ess vao cercat tra quell o rchest per cosum; fra quest elmamo quell che servoo per produrre rchest per cosum; proseguedo, vao elmat quell che servoo per produrre gl elmat el passo precedete e così s tera fo a quado o s elmao pù altr be. Cocludamo l osservazoe dmostrado che valgoo le procedure esposte. Per quato cocere quella dell seme de be che sarao prodott, evetualmete cambado om alle varabl, possamo supporre che B v sao be da fo ad u certo h ( se B =! s coclude baalmete che o sarà prodotto essu bee); B quell da h + fo ad h,., B k! quell da h k! + fo ad h k! e po, fuor dell uoe B " B "..." B k!, quell ( evetual) fo a. Cosderamo u bee! B ; s ha! c > 0. Sa ora! B allora esste! B tale che a > 0 e, qud, poché da! B segue > 0, s ha a > 0 e, cò, dall osservazoe. garatsce che > c! 0. I modo aalogo s completa la prova del fatto che se " B # B #...# B k! allora > 0. Cosderamo ora be fuor dell seme B " B "..." B k! ; per ess s ha c = 0 e a = 0 per og " B # B #...# B k!. Se e deduce che le (evetual) equazo corrspodet ( coè le equazo d posto successvo ad h k! ) del sstema d Leotef costtuscoo, a loro volta, u sstema d Leotef. A questo puto la tes segue dal fatto che quest ultmo sstema d Leotef è omogeeo e qud ha solo la soluzoe co tutte le coordate ulle. La prova, vece, della valdtà del procedmeto esposto per dvduare be che o sarao prodott s ottee, teedo coto d quato appea dmostrato per be che sarao prodott, otado le seguet uguaglaze semstche: 8

9 C = {,...,}! B e C = B per og!{,...,} {,..., } ( B... Bk! ) C C... Ck!. Ifatt, dopo cò, s ha:! " " =!!! (basta usare le defzo d operazoe tra sem che fgurao ell uguaglaza). Esempo.! "! " Sa A 4 = la matrce tecologca e c = # $ # 0 $ % & % 0& l vettore delle quattà de be destate al cosumo. S ha: B = {,,4}, B = { } duque B =! e qud { } B! B =,,,4 sarà l seme de be che sarao prodott, coè tutt. Verfchamo che l seme de be che o sarao prodott è vuoto. Ifatt C = { }, C = C, duque C = C! C = " e qud l seme de be che o sarao prodott è C! C = ". Pù velocemete l uco bee che potrebbe o essere prodotto,! c " #,...,, è l terzo poché c = 0, ma teuto coto che { } esso sarà prodotto perché serve a produrre be rchest per cosum. Esempo.! "! " A 0 =, c =. # $ # 0 $ % & % 5& S ha: B = {,,4}, B =!, duque l seme de be che sarao prodott è B = {,,4}. Verfchamo che l seme d quell che o sarao prodott è C = { }, fatt C = { } e C =!. Ache questo esempo l uco bee che potrebbe o essere prodotto è l terzo e effett o sarà prodotto sa perché o rchesto dal mercato sa perché o serve a produrre gl altr ( gl elemet della terza rga, escluso a, soo tutt ull). 9

10 Esempo.! " # $ Sa A = # $ e # $ % & S ha: {, 4,5} { } B =, B = { }, {}! 0 " # 0 $ c = # 0 $. 5 # 5 $ % & B = e, poché B! B! B =,,, 4,5, e segue che tutt be sarao prodott. Rguardo quell che o sarao prodott s ha: { }, C =, C = {}, C 4 =!, duque l seme d quell che o sarao prodott C =, { } è C! C! C = ". Ragoado come egl esemp precedet s ha che ache se l prmo e l terzo bee o soo rchest dal mercato, sarao prodott perché l terzo serve a produrre gl altr che soo prodott e l prmo a produrre l terzo. BIBLIOGRAFIA [] CASTAGNOLI E., PECCATI L., Matematca per l Aals ecoomca, Ed. Etas lbr, 979. [] CHIANG A.C., Itroduzoe all ecooma matematca, Ed. Bollat Borgher, 978. [] GIORGI G., Elemet d Algebra leare, Ed. Gappchell, 998. [4] GUERREGGIO A. Matematca, Ed. Bruo Modador, 004. [5] PECCATI L., SALSA S., SQUILLATI A., Matematca per l Ecooma e l Azeda, Ed. Egea, 00. [6] SCAGLIANTI L., TORRIERO A., Matematca, metod e applcazo, Ed. Cedam, 00. [7] SIMON C.P., BLUME L.E. Matematca per l ecooma e le sceze socal, Ed. Uverstà Bocco, 00. 0