Molla e legge di Hooke

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1 Molla e legge d Hooke Consderamo un corpo d massa m poggato su una superce prva d attrto ed attaccato all estremtà lbera d una molla e consderamo che la poszone d equlbro (F0) sa n 0 Ø Se la molla vene allungata o compressa d un tratto rspetto alla sua poszone d equlbro essa esercterà una orza proporzonale allo spostamento che s oppone ad esso: legge d Hooke F k a costante d proporzonaltà k è detta costante elastca della molla a orza eserctata dalla molla è sempre dretta n verso opposto a quello dello spostamento dalla poszone d equlbro 0 NB: la nella ormula rappresenta lo spostamento dalla poszone d equlbro, se tale poszone osse stata n un punto o la legge d Hooke sarebbe stata scrtta: F k( ) F kδ 0

2 Moto (oscllatoro) armonco a legge d Hooke c ornsce l andamento della orza d un corpo soggetto ad una orza elastca. equazone del moto s può ora rcavare dalla seconda legge d Newton: Equazone derenzale d secondo grado omogenea F ma k d k d a ω dt m dt ma k Dove: ω k m a soluzone d questa equazone è una unzone trgonometrca che rappresenta una oscllazone: ( t) Acos( ω t +φ) NB: ω k ω m k m è la pulsazone dell oscllazone, che dpende dalla costante elastca della molla e dalla massa ad essa applcata.

3 Moto armonco () ( t) A ( ω t +φ) d dt cos è una soluzone dell equazone derenzale: ω Se natt dervamo due volte (t) ottenamo: Equazon d un moto armonco d ampezza A, requenza angolare ω ed angolo d ase φ (t) A cos ωt +ϕ v(t) d dt d dt d t dt ( ) A cos( t + φ) ωasn ωt +ϕ a(t) d dt ω A cos ωt +ϕ ## "## $ d dt ( ω ) ωasn( ω + φ) d dt ( ) ω A sn( ωt + φ) ω Acos( ωt + φ) d dt ( ) ω

4 Propretà del moto armonco (3) Data l equazone del moto s possono determnare alcune propretà del moto oscllatoro: la pulsazone ω ed l perodo T. Ø Il perodo T e par al tempo mnmo che mpega l oscllazone a tornare alla stessa poszone con la stessa veloctà. Dpende solo da k ed m π m T T π ω k Ø a requenza è l nverso del perodo e dpende solo da k ed m: Ø a requenza angolare : Ø e grandezze A e φ che compaono nella soluzone sono l Ampezza e la costante d ase e dpendono dalle condzon nzal del moto, coè dalla poszone e dalla veloctà nzale. ( ωt +φ ) asedel moto 1 T ω π ω π π T 1 π k m

5 Propretà del moto armonco (4) Poché le unzon seno e coseno oscllano tra +1 e -1: I valor estrem per sono ±A, I valor estrem d v sono ±ωa I valor estrem d a sono ± ω A ma A v ma ωa A k m a ma ω A k m A Acos t ( ω +φ) v ωasn ( ωt +ϕ) a ω A cos( ωt +ϕ)

6 Propretà del moto armonco (5) Esempo 1: se abbamo una molla nzalmente allungata d una quanttà e lascata lbera d oscllare all stante t0, essa comncerà ad oscllare tra ed -. A ( t) Acos ( ω t +φ) ( t 0) qund cos ( ϕ ) 1 ϕ 0 S avrà qund che l equazone del moto armonco sarà: Esempo : Consderamo una molla lascata lbera d oscllare tra ed -. In questo caso prendamo come stante nzale t0, l stante n cu la molla passa per l suo punto d rposo ((0)0) per po mmedatamente allungars(v(0)v ma ). Camberanno qund le condzon nzal rspetto al caso precedente: ( t) A ( ω t +φ) cos t 0 A cos ϕ S avrà qund: ( t ) cos( ωt) e v ( t ) ωsn ( ωt) ( ) 0 e v( t 0) Aω sn(ϕ) v ma ω ( ) 0 e sn(ϕ) 1 ϕ 3 π e equazon del moto armonco con queste condzon nzal saranno qund: ( t ) cos ωt + 3 π sn( ωt) v ( t ) ωsn ωt + 3 π wcos( ωt)

7 Energa e avoro 1. Che cos è l energa. Energa Cnetca 3. avoro d una orza costante 4. avoro d un orza varable 5. Il teorema dell energa cnetca 6. Esempo: l lavoro computo dalla orza peso 7. Esempo: l lavoro computo per sollevare ed abbassare un peso 8. Esempo: lavoro computo dalla orza elastca 9. Esempo: l lavoro computo dalla orza d attrto

8 Ø Denzone d Sstema: Ø Un sstema è un modello semplcato d una pccola porzone d Unverso che vene presa n consderazone. Ø Un sstema può essere composto da: una sola partcella, un nseme d partcelle, una regone d spazo.. Ø Un sstema può cambare d orma e dmensone ( pallna d gomma..) Che cos è l energa- denzone d sstema Il termne energa è un parola comunemente usata nel nostro colloquare quotdano. Conoscamo molt tp d energa e gl nnumerevol camp n cu essa può essere utlzzata, sappamo che qualsas movmento rchede energa, che l controllo d alcune ont d energa è stato ed è tuttora una delle cause d guerre tra stat MA. Cosa sgnca n realtà energa? Ø Dal punto d vsta sco: energa è una grandezza sca scalare assocata allo stato d un corpo o d un sstema d corp. Ø Se una orza ntervene a cambare lo stato d un corpo l valore numerco dell energa che lo rappresenta s modca. Ø a propretà pù mportante del nostro Unverso è che n esso l energa s conserva, s può trasormare, passare da un corpo ad un altro, ma l energa totale s deve conservare. Ø Medante lo studo dell energa è possble rsolvere de problem d dnamca anche senza l utlzzo delle legg d newton e questo approcco è molto convenente soprattutto quando s ha a che are con orze varabl, coè quando l accelerazone non è costante e le equazon del moto possono rsulta molto complcate.

9 Energa Cnetca Energa cnetca d un corpo : energa assocata allo stato d moto del corpo Se ad un certo stante un corpo s muove con una veloctà v, sucentemente nerore alla veloctà della luce, l energa cnetca del corpo n quell stante é T 1 mv Energa Cnetca Ø energa cnetca aumenta quadratcamente all aumentare del modulo della veloctà e se un corpo è ermo la sua energa cnetca è nulla Ø energa cnetca dpende lnearmente dalla massa del corpo Ø untà d msura dell energa è l Joule e s ha che: 1J Kg m s Ø Vedremo che la varazone d energa cnetca s collega strettamente ad un nuovo concetto sco detto avoro ( n sca la parola avoro ha un sgncato dverso da quello comunemente usato).

10 avoro svolto da una orza costante Consderamo una orza costante F che agsca su un punto materale e supponamo per semplctà che l moto avvenga nella drezone della orza. Sa Δr lo spostamento. Denamo avoro della orza l prodotto: Pù n generale se l moto avvene n una drezone dversa rspetto alla orza l lavoro è dento come l prodotto scalare della orza per lo spostamento : F Δr Dove θ è l angolo tra la drezone della orza e quella dello spostamento. Sccome è uno scalare esso può essere postvo, negatvo o nullo: Ø Se θ<π/ ( coè cos θ >0)la orza ha una componente postva nella drezone del F moto >0 ed l lavoro e detto lavoro motore Ø Se π/<θ<π ( coè cos θ <0) la orza ha una componente negatva nella drezone del moto allora <0 ed e detto lavoro resstente. F Ø Se θπ/ ( coè cos θ 0)la orza non ha una componente nella drezone del moto 0 Ø Se θ0 ( coè cos θ 1)la orza e lo spostamento sono parallel nella drezone del moto F Δr FΔr cosθ F Δr avoro ( grandezza scalare) θ F F θ 90 Δr Δr Δr Δr

11 Alcune consderazon sul lavoro d una orza F Δr FΔr cosθ Poché Fcosθ può essere vsta come la proezone della orza sulla drezone dello spostamento Δr, quando orza e spostamento hanno drezon dverse, l lavoro è computo solo dalla componente d F " nella drezone d Δr. Se qund la Forza agente su un corpo è perpendcolare allo spostamento la sua componente lungo Δr è nulla e qund non compe lavoro. F

12 Ø Se la orza agente non è costante ma la traettora è lneare (partcella che s muove lungo l asse ma con orza che vara n unzone della poszone) allora possamo scomporre la traettora stessa n ntervall d sucentemente pccol da poter consderare n ess che la orza sa costante Ø Possamo esprmere l lavoro eettuato dalla orza lungo la traettora come la somma de lavor esegut ne sngol segment d traettora: F 1 Δ + F Δ+ F 3 Δ+. +F N Δ Coè: avoro svolto da una orza varable(1) N n 1 n n 1 Δ Se le dmenson degl ntervall tendono a zero l numero degl ntervall cresce no ad nnto e la somma tende all ntegrale: Δ 0 N n 1 N F lm F Δ n n F d Il lavoro è par all ntegrale dento d F() calcolato tra ed, coè è par all area sottesa dalla curva F () nell ntervallo Δ - NB: Se la orza osse costante, F potrebbe essere estratto dall ntegrale e s otterrebbe d nuovo F Δ

13 avoro svolto da una orza varable() In un sstema costtuto da una partcella su cu agscono pù orze, l lavoro totale computo sul sstema è dato dalla somma de lavor eettuat dalle sngole orze: Consderamo ora un caso pù generale, d una partcella che s muove lungo una traettora trdmensonale mentre è soggetta ad una orza rsultante R F. Il lavoro, che è una grandezza scalare sarà dato dall ntegrale del prodotto scalare tra R ed l percorso nntesmo : tot ( F ) dr F d r d NB la somma d ntegral d unzon è uguale all ntegrale della somma delle unzon Fd ( F ) ntegrale è calcolato lungo l percorso della traettora ( ntegrale d lnea) B: In ogn caso l lavoro è una grandezza scalare e le sue dmenson sche sono: [M][] [T] - unta d msura del lavoro è la stessa dell energa : l Joule 1J N m Kg m s R d r d

14 Anals trdmensonale d F dr Esplctamo: Consderamo una partcella sulla quale agsca una orza : F dove F, F y, F z, dpendono da, y, z rspettvamente (semplcazone) Supponamo che la partcella compa uno spostamento nntesmo dr Il lavoro nntesmo d, svolto dalla orza F mentre la partcella s sposta d sarà: d F dr Il lavoro svolto da F durante lo spostamento dalla poszone nzale alla poszone nale sarà qund: y F ˆ + F ˆj + F kˆ ( d) ˆ + ( dy) ˆj + ( dz)kˆ (, y z ) r, F d + Fydy + z F dz d ( F + + ) + + d Fydy Fzdz Fd Fydy z y y d r r, z z z (, y z ) F dz

15 avoro svolto da una molla(1) Consderamo una orza elastca agente n una dmensone: F k Il segno negatvo sgnca che la orza è sempre rvolta n senso contraro a quello dello spostamento dalla poszone d equlbro 0. a orza tende qund sempre a rportare la molla alla poszone d equlbro e per questo vene chamata Forza d Rchamo Se >0 la orza è negatva, Se <0 la orza è postva, Quando 0 la molla non è deormata e la orza è nulla. Qund se aggancamo un corpo poggato su un pano orzzontale ad una molla e lo spostamo d una dstanza ma esso comncerà ad oscllare tra + ma e ma passando per 0 Il lavoro computo da una molla sarà qund dato dall ntegrale ( poché F vara n unzone d ): 1 F()d k d k d 1 k k 1 k 1 avoro svolto da una molla durante lo spostamento dal punto al punto k 1 k

16 avoro svolto da una molla() 1 1 k k k d F spostamento Forza e spostamento sono entramb rvolt verso l centro d equlbro, sono qund equvers F Forza e spostamento sono n verso opposto ma 0 Se - ma ed 0 0 ma k d 1 k ma > Se 0 ed ma 0 spostamento 0 ma ma 0 k d 1 ma < k 0 Il lavoro computo dalla molla per andare da ma a + ma è qund nullo ma 1 1 k d kma + kma 0 ma

17 avoro svolto da una molla(3) Graco d F-k n unzone d area n gallno è l lavoro della orza d rchamo F della molla durante lo spostamento da ma a + ma. È evdente che le due aree trangolar ( quella corrspondente al lavoro da ma a 0 e quella da 0 a + ma ) s annullano a vcenda, essendo state ottenute moltplcando la base par a ma una volta per k ed un altra per k Poché l lavoro è propro la somma d queste due aree (tenendo conto de segn ) l lavoro è nullo Il lavoro svolto dalla orza d rchamo della molla è nullo quando lo spostamento nzale rspetto all equlbro e quello nale concdano k d 1 k + 1 k 1 1 Se k + k 0

18 Teorema dell energa cnetca Se s può calcolare l lavoro computo dalla orza rsultante agente su una partcella per eettuare un dato spostamento, sarà possble calcolare n manera molto semplce anche la sua varazone d veloctà. Consderamo una partcella che s muove lungo una traettora e scomponamo la sua accelerazone nelle component tangente a t e radale a r rspetto alla traettora stessa. Denamo orza tangenzale F t la componente della orza nella drezone della traettora. Forza tangenzale F t ma t Il lavoro della orza s può scrvere n termn d tale componente: Rcordamo che: a t dv dt E sosttuendo nell espressone del lavoro: F t ma t m dv dt r r F t dr m dv r dt dr m dr v r dt dv m vdv 1 mv v v v v dr dt F t dr 1 mv 1 mv Dove v e v sono le veloctà della partcella nel punto nzale e nale dello spostamento

19 Se 0 ΔT0 l energa cnetca non vara Rcordamo che per denzone l energa cnetca d una partcella che possede una veloctà v è par a: Avremo qund che Teorema dell energa cnetca T 1 mv 1 mv 1 mv ΔT Varazone dell energa cnetca della partcella Possamo qund enuncare l TEOREMA DE ENERGIA CINETICA: Quando è svolto lavoro sul sstema e la sola varazone nel sstema è la varazone del modulo della veloctà, l lavoro computo dalla orza rsultante che agsce sul sstema è par alla varazone dell energa cnetca della partcella che avvene nello spostamento. ΔT 1 mv 1 mv Se >0 ΔT>0 l energa cnetca aumenta andando dal punto nzale al punto nale Se <0 ΔT<0 l energa cnetca dmnusce nello spostamento da ad

20 avoro computo dalla orza gravtazonale Ø Consderamo una pallna d massa m che vene gettata n ara vertcalmente con una veloctà nzale v 0 v 0 T 0 Ø a pallna è soggetta alla orza gravtazone Ø A causa della presenza d tale orza la veloctà della pallna, dmnusce e qund anche l energa cnetca Ø Il lavoro che la orza gravtazonale a sulla pallna durante lo spostamento Δy è: mgδy F g Δycosθ +mgδy T 1 mv 0 F g m g Energa cnetca nzale v v 0 F g F g F g y T 1 mv T 1 mv 0 Mentre la pallna sale ( θ180 perche la orza e lo spostamento hanno vers oppost) Mentre la pallna scende ( θ0 perche la orza e lo spostamento sono equvers ) Il segno postvo sta ad ndcare che la orza gravtazonale trasersce energa mgδy alla partcella sotto orma d energa cnetca

21 Esempo d applcazone del teorema dell energa cnetca(1) B Consderamo due punt A e B post uno sopra all altro a dstanza h ed un corpo d massa m che s muove da A a B con veloctà nzale v A. Tale corpo è soggetto alla sola orza peso F g m g. Determnare la dstanza h se B è la poszone d massma altezza che l h corpo può raggungere Possamo rsolverlo da un punto d vsta puramente energetco (nvece che da un punto d vsta dnamco) unca orza che agsce è la orza peso y A v B F g m g v A Il lavoro sarà scuramente negatvo n quanto lo spostamento da A a B ha verso opposto alla orza peso : F "" g Δr mgδy mgh Per l teorema dell energa cnetca s ha: mgh ΔT T B T A mgh 1 mv A h v A g ( ) 1 mv B 1 mv A Rsultato gà vsto nello studo della caduta del grave 0