Massimizzazione del profitto e offerta concorrenziale

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1 Massmzzazone del roftto e offerta concorrenzale Eserczo Un mresa roduce un bene megando un solo nut. La sua funzone d roduzone è f(x)=4 x dove x è l numero d untà del fattore roduttvo. Una untà del rodotto vene venduta er 100$ ed una untà del fattore costa 50$. a) Scrvere l roftto dell mresa n funzone dell ammontare dell nut. b) Quale lvello dell nut consente all mresa d realzzare l massmo roftto? E quale lvello dell outut? Se l mresa massmzza roftto qual roftt realzza? c) Suonamo che l mresa debba agare una tassa d 0$ su cascuna untà venduta e che rceva un sussdo d 10$ er ogn untà del fattore che acqusta. Qual saranno, n questo caso, lvell dell nut e dell outut che massmzzano l roftto? Quale roftto realzzerà l mresa? Soluzone a) Il roftto dell mresa è dato da: π =RT-CT con RT=*q CT=c*x avendo ndcato con l rezzo d mercato untaro, con c l costo untaro dell nut x e con q la quanttà rodotta ed offerta dall mresa. Nel caso n esame s ha: q=f(x)=4 x ercò l roftto dell mresa sarà: π =*4 x -c*x=

2 =100*4 x -50*x= =400 x -50x Questa esressone raresenta l lvello de roftt consegut dall mresa n corrsondenza d cascun lvello del fattore roduttvo utlzzato. b) Il lvello dell nut che consente all mresa d ottenere l massmo roftto s trova dervando l roftto rsetto a x (l nut) ed uguaglando la dervata a zero. dπ dx 400 = -50=0 x 400 =50 x 400 x= = 8 50 x =4 x=16 Per asscurars che questo sa l lvello d nut che massmzza l roftto è necessaro calcolare la dervata seconda del roftto n corrsondenza del valore d x ottenuto. S ha: d dx π 400 = - = x x d π (x dx = 16) = < Poché la dervata seconda del roftto calcolata n corrsondenza del lvello d nut x=16 è negatva er questo lvello del fattore roduttvo roftt dell mresa sono massm. In corrsondenza d questo lvello dell nut s ottene l outut dato da: q=4 x =4*4=16 Pertanto lvell d nut e d outut che massmzzano l roftto dell mresa sono entramb ar a 16 ed l roftto corrsondente è dato da: π =400 x -50x=

3 =400* 16-50*16= =400*4-50*16= = =800 c) Se l mresa deve agare una tassa ar a 0$ su cascuna untà rodotta l rezzo d vendta d mercato sarà =-0=80$. Inoltre, l nuovo costo del fattore roduttvo è c =c-10=40$ graze alla resenza de sussd. In questo modo la funzone che esrme l roftto corrsondente ad ogn lvello d utlzzo del fattore roduttvo dventa: π = q-c x= =80*4 x -40x= =30 x -40x Il lvello d nut che massmzza l roftto è dato da: dπ dx 30 = -40=0 x x =30/40=8 x =4 x=16 cu corrsonde un lvello dell outut ar a: q=4 x =16 In corrsondenza d quest lvell d nut e d outut l roftto che l mresa ottene è ar a: π =80*16-40*16=40*16=640$ Eserczo Consderamo un ndustra concorrenzale dove oera un grande numero d mrese, tutte con l dentca funzone d costo C(y)=y +1 er y>0 e C(y)=0 er y=0

4 Suonamo che nzalmente la curva d domanda d mercato sa D()=5- a) Qual è la curva d offerta S() d una sngola mresa? Se nell ndustra sono resent n mrese quale sarà la curva d offerta dell ndustra? b) Qual è l rezzo mnmo al quale uò essere venduto l bene rodotto? c) Quale sarà, n equlbro, l numero d mrese resent nell ndustra? d) Quale sarà l rezzo d equlbro? E la quanttà d equlbro rodotta da cascuna mresa? e) Quale sarà l outut d equlbro dell ndustra? Soluzone a) La sngola mresa decde d offrre la quanttà che massmzza l suo roftto, ovvero quella er cu rcav margnal sono ugual a cost margnal. Poché l mercato consderato è n concorrenza rcav margnal dell mresa saranno ar al rezzo d mercato e, qund, la condzone d ottmo dventa: =C I cost margnal er l mresa sono: C =y e, qund, s ha: =y Pertanto la quanttà offerta dall mresa è y = Se nell ndustra sono resent n mrese la quanttà totale y offerta sarà data dalla somma delle offerte delle sngole mrese. S ha ercò: O()=y=n

5 b) Le mrese saranno dsoste ad offrre quanttà non nulle del rodotto er lvell d rezzo non nferor a quello corrsondente al mnmo de cost med varabl. Il unto d mnmo delle curva de cost med varabl dell mresa è anche quello er l quale le curve de cost margnal e de cost med varabl s ntersecano. Pertanto l rezzo mnmo al quale uò essere venduto l bene è quello che soddsfa la seguente relazone: C =CMV In questo caso s ha: CV y + 1 CMV = 1 = =y + y y y Nel caso n esame cost varabl concdono con cost total erché quest ultm sono null se l mresa non roduce: questo sgnfca che non c sono cost da sostenere ndendentemente dalla roduzone e, qund, non c sono cost fss. Se s mone la condzone: C =CMV s ottene: 1 y =y + y y = y 1 y =1 y =1 Il valore d y trovato è quello corrsondente al rezzo mnmo er l quale la sngola mresa è dsosta ad offrre una quanttà non nulla d rodotto. Il rezzo corrsondente è: =y =$

6 Il rezzo mnmo al quale otrà essere venduto l rodotto è mn =$. c) All equlbro n un mercato erfettamente concorrenzale devono essere soddsfatte tre condzon: 1. ogn mresa decde d rodurre la quanttà che massmzza l roro roftto, ossa tale che =C. roftt lucrat dalle mrese sono null 3. la domanda e l offerta d mercato devono essere ugual La condzone 1. è stata verfcata al unto a) dell eserczo ed ha ortato a concludere che cascuna mresa offre una quanttà ar a y =. La seconda condzone è stata verfcata al unto b) dell eserczo ed ha condotto alla determnazone del rezzo mn =$, che o rsulta essere l rezzo d mercato. L ultma condzone rchede che sa verfcata la seguente uguaglanza: D()=O() 5-=n Poché, er la condzone., l mercato deve trovars nel suo rezzo mnmo mn =$ s ha: 5-=n n=50 Sul mercato n condzon d equlbro sono resent 50 mrese. d) Con 50 mrese l rezzo d equlbro d mercato sarà dato da: D()=O() 5-=50 5-=5 6=5

7 *=$ In corrsondenza d questo rezzo la quanttà rodotta da cascuna mresa è: y *= * =1 e) L outut d equlbro dell ndustra è la quanttà offerta da tutte le mrese n equlbro e, ercò, è dato da: y*=n * =50*1=50 Eserczo Un mresa realzza lamadne che vengono utlzzate da roduttor d torce elettrche. Le lamadne vengono vendute a roduttor n confezon contenent ezz. Il mercato de roduttor d lamadne è un mercato altamente concorrenzale non essendo resent elevate barrere all entrata. Il rezzo d vendta d cascuna confezone è d 100$. L mresa roduttrce d lamadne ha stmato un costo totale d roduzone ar a: CT= ,001Q dove Q è la quanttà d confezon da ezz che vengono rodotte n un anno. a) Calcolare la quanttà che massmzza l roftto dell mresa roduttrce d lamadne. Calcolare, noltre, l roftto realzzato dall mresa n questone. b) Analzzare la stuazone dell mresa roduttrce d lamadne relatva al unto a). Qual consgl dareste all mresa nel breve erodo? Soluzone a) Per determnare quale sa la quanttà Q che massmzza l roftto dell mresa è suffcente eguaglare l costo margnale dell mresa stessa al suo rcavo margnale.

8 L mresa roduttrce d lamadne è un mresa rce taker erché oera n un mercato altamente concorrenzale. In questo caso, ercò, l rezzo d ogn lotto d lamadne è dato dal mercato e, ertanto, l rcavo margnale dell mresa è ar esattamente al rezzo d mercato Il costo margnale è, nvece, dato da: S ottene qund: RM= CM=0,001*Q=0,00Q RM=CM P=0,00Q 100=0,00Q Q * 100 = = , 0 La quanttà d lott d lamadne che massmzza l roftto dell mresa è Q*= Il roftto che l mresa consegue n corrsondenza d questo lvello d roduzone è dato da: π = RT-CT con RT=*Q=100*50.000= $ e CT= ,001Q* = = ,001*(50.000) = = ,001* = = = $ Percò l roftto dell mresa è dato da: π = RT-CT= = $ L mresa roduttrce d lamadne sta, qund, erdendo $ all anno.

9 b) Dal momento che l mresa consderata sta realzzando una erdta d $ all anno dovrebbe rendere n consderazone l dea d sosendere la roduzone. Per care se sa oortuno adottare questa soluzone è necessaro confrontare l rezzo d mercato con l costo medo varable dell mresa. Il costo medo varable è dato da: CMV= CTV Q 0,001Q CMV= = 0,001Q Q In corrsondenza del lvello d roduzone Q* che massmzza l roftto l lvello del costo medo varable dell mresa è: CMV=0,001*50.000=50 Il rezzo d mercato è, nvece, ar a =100$. Poché l rezzo d mercato rsulta suerore al costo medo varable dell mresa quest ultma dovrebbe rmanere sul mercato: n queste condzon, nfatt, all mresa convene rodurre Q* uttosto che non rodurre affatto, erché er ogn untà rodotta ottene un rcavo suerore al costo, generando, così, un roftto maggore d quello che avrebbe conseguto decdendo d arrestare l attvtà roduttva.