Teoria economica della produzione e dei costi. (a cura del prof. Mario C. Sportelli)

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1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Va E Orabona, Bar Materale ddattco per gl student del Corso d Laurea Magstrale n Matematca Teora economca della produzone e de cost (a cura del prof Maro C Sportell) (ottobre 009)

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3 La funzone d produzone monoprodotto Defnzone Dces pano d produzone (o nseme d produzone) l nseme degl output nett Y d ben o servz Formalmente l nseme d produzone s denota con l vettore n Y = ( y, y,, y n ) R Gl output nett sono le dverse quanttà d bene ottenute attraverso un processo d produzone Il processo d produzone è rreversble Defnzone Dces tecnologa l nseme delle conoscenze tecnche applcate ad un processo produttvo Defnzone 3 S dcono nput que ben o servz utlzzat n un processo d produzone Gl nput, trasformat attraverso l processo d produzone, generano l output Defnzone 4 Dces tecnca d produzone ogn combnazone d nput dvers Formalmente una tecnca d produzone s denota con l vettore x = ( x, x,, x ) R Gl nput non sono lberamente dsponbl (devono essere acqustat) L mpresa, pertanto, è nteressata solo alla frontera dell nseme d produzone Sa X l nseme delle tecnche d produzone dsponbl data la tecnologa Defnzone 5 Dces funzone d produzone l applcazone f : X Y che ad ogn x X assoca un solo y Y e tale che y sa sulla frontera d Y In manera alternatva s dce che la funzone d produzone è la relazone tecnca tra la massma quanttà d output e le dverse combnazon d nput L operatore funzonale f sntetzza la tecnologa Assumeremo qu che la tecnologa sa data e nvarante (assenza d progresso tecnco) Una tecnca d produzone è tecncamente effcente se utlzzata per produrre la quanttà massma d output consentta dalla tecnologa Per semplctà, assumeremo contnua e dervable la funzone d produzone Una tale funzone s dce caratterzzata da coeffcent flessbl Sa y = f( x) una funzone d produzone Per la tecnologa f valgono seguent postulat: ) Monotonctà Se x x, allora f( x) f ( x ) xx, X f( x) = f( x ) ) Convesstà - : z = αx+ ( α) x f( z) f( x) = f( x ) α [ 0, ] 3

4 Defnzone6 Dces produttvtà margnale del fattore x l tasso al quale vara l output al varare della quanttà utlzzata del solo fattore -esmo: y MP = = f > 0 x La produttvtà margnale d un fattore è sempre postva per l prmo postulato della tecnologa Osservazone Dal punto d vsta dell mpresa è mportante msurare rendment del fattore, ossa le varazon che la produttvtà margnale subsce n conseguenza d successve varazon della quanttà utlzzata del fattore I rendment d un fattore produttvo sono msurat dalla dervata MP y y = = = f x x x x Dal segno d tale dervata deducamo che: a) I rendment del fattore sono crescent se f > 0, ossa se l output cresce a tass crescent al crescere dell nput x b) I rendment del fattore sono costant se f = 0, ossa se l output cresce proporzonalmente al crescere dell nput x c) I rendment del fattore sono decrescent se f < 0, ossa se l output cresce a tass decrescent al crescere dell nput x La produttvtà margnale d un fattore può varare anche n conseguenza delle varazon d un altro fattore Tale varazone è sempre non negatva, ossa, MP y = = f 0 x x x Quando la produttvtà margnale d x è caratterzzata da tutt e tre tp d rendment, la funzone d produttvtà totale relatva a tale fattore assume la forma llustrata nel grafco n alto della fg Nel tratto n cu la curva è convessa, rendment d x sono crescent Dvengono decrescent nel tratto n cu la curva è concava I rendment costant sono, n tal caso, rdott al solo punto d flesso Defnzone 7 Dces produttvtà meda del fattore x l rapporto tra l output totale e la quanttà utlzzata d x : AP = f ( x) x Per capre come vara la produttvtà meda al varare del- la quanttà utlzzata del fattore x, calcolamo: Tale funzone s deduce da f(x), assumendo costant tutt gl x x 4

5 AP x f f ( x) f ( x) = = f x x x x Poché f = MP e f ( x ) x = AP, possamo faclmente capre che: ( AP x > 0) la produttvtà meda è crescente fnché la produttvtà margnale è maggore della produttvtà meda; ( AP x < 0) la produttvtà meda è decrescente quando la produttvtà margnale è mnore della produttvtà meda S veda l grafco n basso della fg Proposzone Quando AP x = 0, la produttvtà meda raggunge l suo punto d massmo relatvo AP f ( x) Dmostrazone La condzone necessara per l massmo rchede che = 0 f = x x ossa MP = AP La condzone suffcente rchede, nvece, che AP x < 0 nel punto che annulla la dervata prma Poché AP f ( x) x f f ( x) = f + f, x x x x x AP nel punto n cu AP x = 0, rsulta = ( f ) < 0 se la produttvtà margnale è de- x x crescente, ossa se f < 0 Cò mplca che la curva del prodotto margnale tagla dall alto la curva del prodotto medo Osservazone Normalmente s assume che l mpresa oper sempre nella zona n cu rendment de fattor sono costant o decrescent La zona n cu rendment sono crescent non garantsce, d regola, lvell sgnfcatv d produzone Defnzone 8 Data una funzone d produzone, dces soquanto l nseme delle tecnche alle qual s assoca un medesmo lvello d output: Q( y) = x X: y = f( x ) { } Osservazone 3 Per l secondo postulato della tecnologa, l soquanto è una funzone convessa Cò sgnfca che f ( z ) come defnto n precedenza appartene al contorno superore dell soquanto y = f ( x) = f ( x ) Osservazone 4 L soquanto non è ma un nseme vuoto Esso nclude almeno un elemento, ossa una tecnca d produzone Cò accade nel caso estremo n cu la tecnologa, caratterzzata da coeffcent fss, mplca un unco lvello d produzone per cascuna tecnca Osservazone 5 Quando la funzone d produzone è a coeffcent flessbl (funzone contnua), l soquanto è sempre una funzone contnua, convessa e dervable Defnzone 9 Dces Saggo margnale tecnco d sosttuzone (TRS) l tasso al quale l utlzzo d un fattore deve varare al varare della quanttà utlzzata d un altro fattore, affnché l lvello d produzone rest costante 5

6 Per determnare TRS fra due fattor qualunque, dfferenzamo l soquanto: dy= fdx = 0 Assumendo varabl soltanto fattor x e x, la precedente dvene dy= fdx + f dx = 0, da dx f MP cu = TRS = = < 0, essendo le produttvtà margnal postve dx f MP = Osservazone 6 Se x R, l soquanto è una curva convessa e decrescente e TRS è decrescente n valore assoluto S veda la fg Defnzone 0 S defnscono rendment d scala le varazon dell output dervant da varazon della scala d produzone I rendment d scala msurano la reattvtà dell output a varazon equproporzonal d tutt gl nput Quando gl nput varano tutt nella stessa proporzone, s dce che è varata la scala d produzone Per determnare rendment d scala, fssamo una tecnca d produzone x, coscché y = f( x ) Se gl nput varano tutt nella stessa proporzone, le nuove tecnche d produzone sono determnabl moltplcando l vettore x per uno scalare s defnto parametro d scala Al varare d s, successv lvell d output sono determnat come y = f( sx ) Calcolamo, qund, l rapporto tra la varazone relatva o percentuale dell output e la varazone relatva o percentuale del parametro d scala Tale rapporto s defnsce elastctà d produzone e s ndca con E p : Δy% Δy Δs Δy s E p = = : = Δs% y s Δs y dy s Quando s è una varable contnua, E p = Poché E p (per defnzone) è l rsultato d un ds y rapporto, se nessuna varazone è nulla, sarà sempre E p : E p > Δ y% >Δ s% S dce, n tal caso, che la funzone d produzone è caratterzzata da rendment crescent d scala, perché l output vara pù che proporzonalmente rspetto agl nput E p = Δ y% =Δ s% S dce, n tal caso, che la funzone d produzone è caratterzzata da rendment costant d scala, perché l output vara nella stessa proporzone degl nput E p < Δ y% <Δ s% S dce, n tal caso, che la funzone d produzone è caratterzzata da rendment decrescent d scala, perché l output vara meno che proporzonalmente rspetto agl nput 6

7 Proposzone Una funzone d produzone postvamente omogenea d grado α genera sempre un elastctà d produzone par ad α Dmostrazone Sa y = f( x ) omogenea d grado α > 0 Cò mplca che f ( sx) = s α f( x ) e, dy s α s pertanto, = αs f( x) = α = E α p ds y s f ( x) La massmzzazone del proftto Defnzone Il proftto (Π) è la dfferenza tra rcav (R) e cost (C) I rcav dervano dalla vendta dell output realzzato e dpendono dal prezzo (p) e dalla quanttà venduta: R = py I cost sono rappresentat dalla spesa che l mpresa sostene per acqustare fattor produttv Dato l nseme de prezz de fattor utlzzat w = ( w, w,, w ), l costo rsulta C = wx = = wx = La massmzzazone del proftto è soggetta sa a vncol d mercato che a vncol tecnologc I vncol d mercato condzonano l prezzo al quale l output può essere venduto I vncol tecnologc condzonano lvell d produzone realzzabl In questa sede assumeremo per semplctà che l mpresa oper n concorrenza e, pertanto, sa costretta a vendere al prezzo prevalente d mercato Il prezzo p è, qund, a pror determnato I vncol tecnologc non solo dervano dal grado d effcenza della tecnologa utlzzata, ma anche dalla presenza d fattor la cu dotazone non può varare stantaneamente a seconda delle esgenze d produzone, ma soltanto ad ntervall temporal dscret, la cu lunghezza dpende dal processo produttvo d rfermento A fn della massmzzazone del proftto, occorre, pertanto, dstnguere tra breve perodo e lungo perodo Il breve perodo è un ntervallo temporale entro cu solo la dotazone d alcun fattor può varare Tal fattor s dcono varabl; gl altr, la cu dotazone non vara, s dcono fattor fss Il lungo perodo è un ntervallo temporale entro cu tutt fattor possono varare Quando n una funzone d produzone s dstnguono fattor varabl da quell fss, s pone y = f( xz, ) dove x è l vettore de fattor varabl e z l vettore de fattor fss Una tale funzone s defnsce: funzone d produzone d breve perodo Con rfermento al breve perodo, l problema d massmzzazone del proftto s pone nel modo seguente: Π ( p, wz, ) = max pf( xz, ) ( wx+ ω z ), dove l vettore ω z denota prezz d uso de fattor fss La condzone necessara per l massmo Π rchede che x [ ] z 7

8 Π = pf w = 0 [, ], x da cu deducamo pf = w pmp = w La condzone del secondo ordne (o suffcente) rchede che l Hessano f f f f f f H = f f f sa semdefnto negatvo Cò accade quando f < 0 ( ), ossa quando la funzone d produzone è localmente concava (le produttvtà margnal sono decrescent) n corrspondenza del vettore x (scelta ottma) In conclusone, dremo che l mpresa operante n concorrenza massmzza l proftto quando d cascun fattore è utlzzata una quanttà tale da uguaglare l valore della produttvtà margnale al prezzo del fattore stesso Poché la produttvtà margnale d cascun fattore è funzone della quanttà utlzzata dello stesso fattore, rsolvendo per x cascuna delle equazon pmp = w, otterremo l vettore x delle quanttà ottme da utlzzare d tutt fattor varabl Essendo ogn x vncolata a prezz p e w ed alla quanttà de fattor fss z, convenzonalmente s pone x ( p, w, z) Tale vettore è defnto nseme delle funzon d domanda de fattor varabl Quando s fa rfermento al lungo perodo, tutt fattor sono varabl ed l problema d massmzzazone del proftto è posto nel modo seguente: Π ( p, w) = max pf( x) wx x [ ] Formalmente la soluzone è dentca a quella gà vsta per l breve perodo: cascun fattore deve essere utlzzato nella msura n cu pf = w [,, ], per cu x = x( p, w) La condzone del secondo ordne rchede sempre che H sa semdefnto negatvo Osservazone Nel problema d massmzzazone del proftto possono sorgere delle dffcoltà: a) Quando la tecnologa non è descrvble con una funzone d produzone contnua e dervable Cò accade se s opera con tecnche d produzone a coeffcent fss In tal stuazon occorre avvalers d strument analtc dvers qual la programmazone lneare e non per determnare le funzon d domanda de fattor b) Quando la funzone d produzone è caratterzzata da rendment d scala costant (o crescent) non esste un pano d produzone che massmzza Π S supponga d voler determnare l pano d produzone che garantsca l proftto massmo Π > 0, ossa: pf ( x) wx =Π > 0 Se f ( x ) ha rendment costant d scala (E p =, qund, f ( sx) = sf( x )), allora, per s > : pf ( sx) wsx = ps f ( x) swx = sπ >Π Cò mplca che se Π > 0, la produzone dovrebbe essere smsuratamente grande e Π senza lmte 8

9 Propretà delle funzon d domanda de fattor Sa x ( p, w) la funzone d domanda del generco fattore x ) La funzone x ( p, w) è sempre omogenea d grado zero Dmostrazone Le x ( p, w) sono la soluzone del problema d max Π Pertanto, x Π = pf ( x) wx Moltplchamo p ed l vettore w per α > 0 e determnamo l nuovo proftto Π = α pf ( x) α wx, da cu la condzone del prmo ordne per l massmo rsulta, [,, ], α pf αw = 0 pf = w, che è la soluzone d max Π x Osservazone Quando s stmano delle funzon d domanda per fattor x, esse devono essere sempre omogenee d grado zero per essere soluzone del problema d massmo proftto Se cò non accade, o la stma non è corretta o l mpresa non sta massmzzando l proftto ) Una varazone del prezzo w genera sempre una varazone d segno opposto della domanda d x, ovvero x w < 0 Dmostrazone Per semplctà consderamo una tecnca d produzone x R, per cu Π= pf( x, x) wx wx Ne consegue che pf = w max Π x, x pf = w Dervamo rspetto a w e po w questo rsultato, rcordando che f( x, x ) : x x p f + f = w w x x p f + f = 0 w w x x p f + f = 0 w w x x p f + f = w w Rscrvamo questo rsultato n forma matrcale: x x f f w w p 0 = f f x x 0 p w w I Se normalzzamo p =, la matrce d destra dvene untara Inoltre, poché f = f, la prma matrce d snstra è smmetrca e concde con l Hessano H che è semdefnto negatvo nel punto d massmo proftto Pertanto: x w x w = H x w x w 9

10 Se H è smmetrca e semdefnta negatva, anche H - lo sarà e, come tale, nclude lungo la dagonale prncpale solo termn negatv Ne consegue che anche la matrce x w, convenzonalmente defnta matrce d sosttuzone, è smmetrca e semdefnta negatva e, qund, x w < 0 Osservazone 3 A causa della sua smmetra, la matrce x w mplca x w = = x w Non esste una spegazone economca d questo rsultato Esso è soltanto conseguenza dell assunzone che l mpresa punt alla massmzzazone del proftto 3 La mnmzzazone de cost Supponamo che l mpresa abba defnto l lvello d output y da realzzare Se l prezzo al quale la produzone sarà venduta è predetermnato, l proftto sarà massmo se e solo se y è realzzato al mnmo costo Il problema d mnmzzazone del costo s pone nel modo seguente: mn wx x sub y = f( x) dove f ( x ), ossa l lvello d produzone, è l vncolo Assumendo contnua e dervable f ( x ), possamo rsolvere questo problema utlzzando l metodo d Lagrange Il lagrangano generato dal nostro problema è, pertanto: = wx λ ( f( x) y), = dove λ > 0 è un moltplcatore d Lagrange La condzone necessara per l mnmo vncolato è: = w λ f = 0 [,, ] x = y f( x) = 0 λ f Ne consegue che: = [,, ] w λ Poché λ è unco, se consderamo fattor due per volta ottenamo: f f f w = = w w f w Essendo f f = TRS l Saggo margnale tecnco d sosttuzone tra fattor e, dremo che l costo d produzone è mnmo relatvamente al lvello prefssato dell output se, per ogn coppa d fattor, l TRS è uguaglato al rapporto tra prezz degl stess fattor 0

11 f In manera alternatva ma equvalente, poché l uguaglanza w f = vale per ogn e, potremo dre che la condzone d mnmo costo per l output y è soddsfatta quando è realzzata l uguaglanza tra le produttvtà margnal ponderate d tutt fattor produttv La condzone suffcente per l mnmo vncolato rchede che l Hessano orlato 0 f f f f λ f λ f λ f H = f λ f λ f λ f f λ f λ f λ f sa defnto negatvo Cò accade quando tutt mnor prncpal d H sono negatv Per semplctà, possamo verfcare questa condzone nell potes che x R In questo caso, H rsulta 0 f f f λ f λ f f λ f λ f da cu, svluppando l determnante secondo la prma rga, accertamo se H < 0 Rcordando che f = f, ottenamo: f λ f f λ f H = f ( f = λ f f fff + f f ) f λ f f λ f Poché λ > 0, l segno dell espressone dpende dal termne n parentes Essendo le produttvtà margnal f > 0( ) e f 0 (, ), H < 0 solo se le produttvtà margnal sono decrescent, ossa f < 0( ) Il vettore x soluzone del problema d mnmzzazone del costo, s defnsce tecnca economcamente effcente e denota le domande condzonate de fattor Tale vettore è ndcato convenzonalmente con x w, y ( ) Osservazone 3 Poché per ogn lvello d y è possble determnare una tecnca economcamente effcente, l nseme delle tecnche economcamente effcent è sempre ncluso nell nseme delle tecnche effcent tecncamente Sosttuendo l vettore x ( w, y) nell equazone del costo, s determna una funzone che è defnta funzone del costo d produzone o funzone del costo mnmale : C w, y = wx w, y ( ) ( ) La funzone d costo è, qund, l costo mnmo al quale cascun lvello d produzone può essere realzzato Osservazone 3 A dfferenza della funzone d proftto per la quale potrebbe non esstere un punto d ottmo, per la funzone d costo non s pone alcun problema: un punto d ottmo (mnmo costo) esste sempre w

12 Proposzone 3 La condzone d massmo proftto mplctamente nclude la condzone d mnmo costo Dmostrazone La soluzone del problema d massmzzazone del proftto determnava pf = w,, [ ] f Questa uguaglanza può anche essere scrtta come = e vale per ogn, ossa per tutt w p f f fattor Essendo l prezzo p unco ed esogeno, sarà anche = per ogn e ( ) Ma w w quest ultma uguaglanza è propro la condzone d mnmo costo Propretà delle funzon d domanda condzonate de fattor Sa x ( w, y) la domanda condzonata del generco fattore x ) Il tasso d varazone della domanda condzonata d un fattore al varare del suo prezzo è sempre negatvo: < 0 x w Dmostrazone Consderamo, per semplctà, tecnche d produzone x R In tal caso, la mnmzzazone del costo, subordnatamente al lvello y d output, mplca: y f ( x, x) = 0 w λ f = 0 w λ f = 0 Dfferenzamo rspetto a w cascuna delle tre precedent equazon, rcordando che le produttvtà margnal sono funzon delle quanttà de fattor e che, quest ultm, dpendono da loro prezz: x x f f = 0 w w x x λ λ f + f f = 0 w w w x x λ λ f + f f = 0 w w w Nella seconda equazone portamo dall altra parte e rscrvamo l sstema n forma matrcale: 0 f f λ w 0 f λ f λ f x w = f λ f λ f x w 0 Notamo che la matrce d snstra altro non è che l Hessano orlato H determnato per x R Utlzzando la regola d Cramer, calcolamo

13 0 0 f f λ f x f 0 λ f f = = < 0 w H H perché H < 0 Con procedmento analogo, s dmostra che x w < 0 ) Se x R, l tasso d varazone della domanda condzonata d un fattore al varare del prezzo dell altro fattore è sempre postvo Dmostrazone Utlzzando l sstema n forma matrcale al precedente punto ), calcolamo: 0 f 0 perché H < 0 f λ f 0 ff f λ f x = = w H H > 0 Osservazone 33 Con procedmento analogo s dmostra che x w = ff H > 0 è - dentco a x w Come nella massmzzazone del proftto, l effetto ncrocato della varazone del prezzo d un fattore è smmetrco Osservazone 34 Se consderamo x R, l effetto ncrocato della varazone d un prezzo w è sempre smmetrco, ma può rsultare postvo o negatvo: x w > 0 mplca che tra fattor x e x esste un rapporto d sosttubltà (come per x R ); x w < 0 mplca che tra fattor x e x esste un rapporto d complementaretà 4 La funzone d costo Nel paragrafo precedente abbamo mplctamente assunto che tutt fattor fossero varabl Pertanto, la funzone d costo che abbamo determnato è una funzone d costo d lungo perodo Se consderamo l breve perodo, alcun fattor sono fss e, qund, dovremo mnmzzare l costo solo relatvamente a fattor varabl: wx + w z mn ( ) x sub y = f( xz, ) Rsolvendo con l metodo d Lagrange determnamo le domande condzonate de fattor varabl x ( w, y, z ) Sosttuendo tale vettore nell equazone del costo, ottenamo C( w, y, z) = wx+ wz che rappresenta la funzone d costo d breve perodo L elemento wz rappresenta cost fss 3

14 La funzone d costo d breve perodo s dfferenza da quella d lungo perodo per la presenza de cost fss Nel lungo perodo tutt cost sono varabl Data una funzone d costo d breve perodo, assumendo dat prezz de fattor, dstnguamo tra: Costo totale C = CV + CF (costo varable + costo fsso); Costo medo AC = C y = CV y + CF y (costo varable medo + costo fsso medo); dc dcv Costo margnale MC = = (tasso d varazone del costo al varare dell output) dy dy La fg 3(a) llustra l tpco andamento d una funzone d costo Osservazone 4 I cost margnal sono sempre postv (per aumentare la produzone occorre accrescere l utlzzazone de fattor e, qund accrescere la spesa) ed ncludono solo cost varabl La funzone d costo medo assume generalmente una forma ad Cò s deve al termne CF y l quale de- cresce sempre al crescere d y Pertanto, fnché l ncdenza de cost fss è elevata, comparatvamente a cost varabl, AC decresce Quando l ncdenza de cost varabl dvene prevalente, AC cresce Se la funzone AC ha una forma ad, allora esste ŷ tale che AC( yˆ ) sa un punto d mnmo relatvo AC( y ˆ) s defnsce scala mnma effcente Determnamo l mnmo d AC Cò mplca: dac dcv = 0 ( y CV CF MC C y AC dy y = = = dy ), ossa che, nel suo punto d mnmo, l costo medo uguagla l costo margnale Possamo così dedurre che: per y yˆ : MC AC, per y yˆ : MC AC Proposzone 4 Nel punto d mnmo costo medo, l costo margnale è crescente La funzone MC, pertanto, tagla dal basso la curva AC Dmostrazone Verfcando la condzone del secondo ordne per l mnmo, deve rsultare d AC > 0 Calcolamo questa dervata: dy d AC dcv d CV dcv dcv = y CV CF y 3 dy y dy + + y dy dy dy d AC d CV dmc dy y dy y dy dmc In ŷ rsulta = = > 0 se e solo se > 0, ossa se l costo margnale è crescente S veda la fg 3(b) dy 4

15 Proposzone 4 L andamento del costo margnale dpende da rendment d scala de fattor varabl Dmostrazone Supponamo che f ( xz, ) sa caratterzzata da rendment crescent d scala In tal caso, E p > e, qund, l output cresce, al varare della scala d produzone, pù che proporzonalmente relatvamente agl nput Le varazon della scala d produzone, allo stesso tempo, fanno crescere proporzonalmente l costo Infatt, ponendo C = wx + w z, moltplcando per s tutt fattor varabl, determnamo C = w( s x) + wz, da cu dc = wx ds mplca dc = wx = costante Pertanto, MC = dc dy al varare d s esbrà un denomnatore (dy) ds che cresce pù rapdamente del numeratore (dc) Qund, MC è decrescente quando rendment d scala sono crescent Allo stesso modo possamo verfcare che E p = (rendment costant d scala) mplca MC costante, mentre E p < (rendment decrescent d scala) mplca MC crescente Osservazone 4 Quanto detto per la funzone MC s estende anche alla funzone AC Osservazone 43 Il legame tra rendment d scala de fattor varabl e costo margnale e medo d breve perodo s estende alle funzon d costo margnale e medo d lungo perodo In questo caso rendment d scala fanno rfermento a tutt fattor Proposzone 43 L area sotto la curva del costo margnale denota l costo varable d produzone Dmostrazone Rcordando l Teorema fondamentale del calcolo dfferenzale, osservamo y dc che d τ = CV ( y ) CV (0) Essendo par a zero l costo varable d una produzone nulla, l asserto è dmostrato 0 dτ Assumamo che prezz de fattor sano costant e consderamo la funzone d costo d lungo perodo, evdenzando quell che, nel breve perodo, sono fattor fss: CL = C( y, z ( y) ) Sa y un lvello d output realzzato con una tecnca economcamente effcente d lungo perodo Cò mplca che z = z( y ) sarà l vettore delle domande condzonate de fattor fss Osservazone 44 Il costo d breve perodo è sempre almeno altrettanto grande quanto l costo d lungo perodo: C( y, z ) CL ( y, z( y) ) y Y In altr termn, la funzone d costo d breve perodo gace sempre sopra la funzone d costo d lungo perodo Nel lungo perodo nfatt, l mpresa ha sempre la possbltà d adeguare fattor fss al lvello corrente d produzone mglorando così l effcenza Proposzone 44 Se y è realzzato con una tecnca economcamente effcente d lungo perodo, le funzon d costo d breve e quella d lungo sono tangent n y Dmostrazone Se y = y, allora z = z Pertanto, 5

16 ( ) C y z C y z y (, ) = L, ( ) Dervando rspetto a y, ottenamo C CL CL z = + y y z y Poché n y l costo de fattor fss è mnmzzato, necessaramente C L z = 0 In tale punto, pertanto, C( y, z) CL = y y Propretà della funzone d costo Sa y = y un lvello costante d produzone ) C( w, y) è non decrescente n w Cò equvale a dre che w w C( w, y) C( w, y) Dmostrazone Sano x e x tecnche d produzone che mnmzzano l costo d y, rspettvamente con prezz w e w Cò mplca che wx wx e anche che wx w x Mettendo nseme le due dsuguaglanze, deducamo che wx wx C( w, y) C( w, y) ) C( w, y) è una funzone omogenea d prmo grado: Ct ( w, y) = tc( w, y) Dmostrazone Sa x una tecnca economcamente effcente con prezz w e sa w = tw un nuovo lvello d prezz Supponamo che x sa la tecnca che mnmzza cost con prezz w Deve essere allora: w x w x twx twx wx wx Questo rsultato è n contraddzone con l assunto che x sa una tecnca economcamente effcente a prezz w Pertanto, wx = wx x = x Qund se x mnmzza l costo a prezz w, x sarà sempre economcamente effcente anche a prezz tw In altr termn, poché x non camba, l costo crescerà nella stessa proporzone de prezz 3) C( w, y) è concava n w Dmostrazone Sano ( wx, ) e ( w, x ) due combnazon prezz-fattor che mnmzzano C Sa, noltre, w un vettore d prezz combnazone lneare d w e w, ossa w = αw+ ( α) w dove α [ 0, ] La funzone d costo generata da w sarà C( w, y) = w x = αwx + ( α) wx, ma x non è necessaramente la tecnca che mnmzza C a prezz w e w Pertanto, wx C( w, y) e wx C( w, y) Sosttuendo nell uguaglanza precedente, ne consegue che C( w, y) αc( w, y) + ( α) C( w, y) 6

17 Osservazone 45 La propretà 3) è molto mportante e non mmedatamente ntutva Consderamo percò l caso d un solo prezzo varable (w ) e traccamo l grafco (fg 4) dell equazone del costo C wx wx = + e della funzone d costo C(, y) w Sa x la tecnca economcamente effcente (che nclude x ) a prezz w ( che nclude w ) Se w > w e l mpresa contnua ad utlzzare x, l costo crescerà proporzonalmente (lungo la retta) L mpresa tuttava, potrà modfcare la tecnca d produzone per contnuare a mnmzzare l costo, spostandos lungo la curva Le due funzon hanno un solo punto n comune che è quello che corrsponde all ascssa w La concavtà mplca, n pratca, che la funzone d costo cresce al crescere d un prezzo, ma a tass decrescent Cò accade perché l fattore l cu prezzo cresce tende ad essere sosttuto da altr fattor meno costos Proposzone 45 Nel problema d mnmzzazone del costo, l moltplcatore d Lagrange λ denota l costo margnale d produzone Dmostrazone Sa C = wx un equazone d costo Dfferenzando, ottenamo dc = wdx Dalla condzone d mnmo costo sub y, rsulta w λ f = 0,, e, pertanto, w = [ ] = λ f Sosttuendo nel dfferenzale totale, ottenamo dc = λ fdx Poché la soluzone d ottmo x soddsfa anche l vncolo rcava = y = f( x ), dfferenzando quest ultmo, s dy = fdx Ne consegue che dc = λdy, da cu dc = λ = MC dy = Lemma d Shephard Sa x ( w, y) la domanda condzonata del fattore x Se la funzone d costo è contnua e dfferenzable n ( w, y), allora C( w, y) x ( w, y) = [,, ] w Dmostrazone Sa x la tecnca economcamente effcente per prezz w Defnamo la seguente funzone: g( w) = C( w, y) wx In corrspondenza de prezz w = w, la funzone g ( w ) = 0 Cò mplca che tale funzone è sempre non postva, perché C( w, y) wx In w, qund, la funzone g( w) raggunge l suo massmo e, pertanto, le sue dervate devono essere nulle n w : 7

18 da cu segue l asserto g( w) C( w, y) = x ( w, y) = 0 [,, ], w w Osservazone 46 Il Lemma d Shephard c consente d capre che l vettore degl nput che mnmzza l costo altro non è che l vettore delle dervare d C( w, y) rspetto a prezz w Osservazone 47 Il legame tra le varazon del costo ed lvell d produzone è, nella pratca, analzzato attraverso le cosddette Econome o dseconome d Scala Le econome d scala sono msurate da un coeffcente d elastctà (ES) calcolato come rapporto tra la varazone relatva o percentuale del costo e varazon relatve o percentual del lvello dell output: Δ C % Δ C Δ ES : y Δ C y = = = Δy% C y Δy C dc y Quando s dspone d una stma della funzone C e tale funzone è dervable, ES = dy C dc dy MC che può anche scrvers: ES = C y = AC Poché ES è comunque l rsultato d un rapporto (se nessuna varazone è nulla) ES Quando ES <, l costo cresce meno che proporzonalmente relatvamente all output (MC < AC) In tal caso, l mpresa realzza econome d scala aumentando la produzone Quando ES =, l costo cresce proporzonalmente all output (MC = AC) In tal caso non v sono né econome, né dseconome d scala, perché l mpresa opera n corrspondenza della sua scala mnma effcente Quando ES >, l costo cresce pù che proporzonalmente relatvamente all output (MC > AC) In tal caso, l mpresa realzza dseconome d scala aumentando la produzone 8