5.1 Controllo di un sistema non lineare

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1 5.1 Controllo d un sstema non lneare Sa dato l sstema non lneare rappresentato n fgura 5.1, con h g θ Θ,m,r Fgura 5.1: Sstema non lneare F m (,d) = k m la forza che esercta l elettromagnete percorso da corrente sul centro d massa del pendolo, e m :=.1kg,r :=.3m,Θ := 1Nms,k m := 1 Nm A,h :=.1m,g := 9.81m s, dovel momento d nerza Θ ènteso calcolatorspetto larotazoneattornoalcentro d massa del pendolo. Rspondere a seguent quest. 1. Determnare la rappresentazone d stato non lneare del sstema utlzzando sa le equazon d Newton/Eulero che la meccanca Lagrangana. d. Lnearzzare attorno ad un generco angolo θ. 3. Calcolare l controllo d stato con parte ntegrale. L unca msura dsponble è l angolo θ, calcolare l osservatore sa completo che rdotto. 4. Sceglendo pol ad anello chuso del sstema controllato P 1 := 1 ω n e j π 6,P := 1 ω n e j π 6,P3 := 1 ω n, ed pol dell osservatore un fattore 1 pù veloc, rspondere a seguent quest. N.B.: ω n corrsponde al modulo de pol del sstema lnearzzato. 8 dcembre 13 ng. Ivan Furlan 1

2 Smulare la rsposta del sstema del sstema lnearzzato, controllato attorno a θ = π con θ = π, stmando gl stat per mezzo d un osservatore sa rdotto 4 4 che completo. Smulare l comportamento del sstema non lneare, controllato attorno a θ = π con θ = π, stmando gl stat per mezzo d un osservatore sa rdotto che 4 4 completo. Commentare n modo esaustvo rsultat ottenut. Soluzone: 1. Il sstema può essere modellzzato applcando drettamente l equazone d Eulero. Consderando la somma de moment rspetto al fulcro d rotazone del pendolo, e consderando che d = h+r cos(θ), s ottene Θ θ = m g r sn(θ)+k m r sn(θ). (5.1) (h+r cos(θ)) dove Θ := Θ +m r. (5.) Alternatvamente, l equazone dfferenzale rappresentante l sstema, può essere determnata per mezzo della meccanca Lagrangana, procedendo come d seguto. Innanztutto bsogna scrvere la Lagrangana del sstema, che corrsponde a L := T U = 1 Θ θ + 1 m (r θ ) m g r (1 cos(θ)). S può ora calcolare l equazone d Lagrange per la coordnata generalzzata θ la quale fornsce d L dt θ L θ = k m r sn(θ), (h+r cos(θ)) (Θ +m r ) θ+m g r sn(θ) = k m che graze a 5., dventa Θ θ = m g r sn(θ)+k m (h+r cos(θ)) r sn(θ), r sn(θ), (h+r cos(θ)) che corrsponde a quanto ottenuto per mezzo delle equazon d Newton/Eulero 5.1. ng. Ivan Furlan 8 dcembre 13

3 . Il sstema è d secondo ordne, l vettore d stato può essere dunque defnto come x :=. θ θ L equazone d stato non lneare rsulta dunque θ f1 (x,) =, θ f (x,) con f 1 (x,) = θ, f (x,) = m g r Θ sn(θ)+k m Θ (h+r cos(θ)) r sn(θ). La matrce A del sstema lnearzzato rsulta 1 A := m g r cos(θ Θ )+ km r sn (θ ) Θ (h+r cos(θ + km r cos(θ ), )) 3 Θ (h+r cos(θ )) mentre la matrce B vale B := k m r sn(θ ) Θ (h+r cos(θ )) Nella fattspece s msura drettamente un delle varabl d stato, l angolo θ, conseguentemente le matrc d uscta del sstema lnearzzato sono C := 1,D :=. Dove θ e θ sono da defnre n funzone della traettora attorno alla quale s desdera lnearzzare l sstema, qual quando sosttut nell equazone dnamca del sstema 5.1, permettono d dervare la corrente al punto d lavoro = ( ) Θ ( θ +m g r sn(θ ) ) ( ) 1 km r sn(θ ). (h+r cos(θ )) 3. Per l calcolo del controllo d stato con ntegratore, s procede rsolvendo l seguente problema det(s I A ext +B ext K ext ) = p c (s) dove p c (s) deve essere scelto Hurwtz e d ordne appropato. Nella fattspece abbamo A B A ext := B C ext :=, D e dunque rsulta. s 3 +b k s +( a 1 +b k 1 ) s b K e = s 3 +(P 1 +P +P 3 ) s +(P 1 P +P 1 P 3 +P P 3 ) s +P 1 P P 3, 8 dcembre 13 ng. Ivan Furlan 3

4 dove e m g r a 1 := cos(θ )+ k m r sn (θ ) + k m r cos(θ ) Θ Θ (h+r cos(θ )) 3 Θ (h+r cos(θ )), Da qu con b := k m r sn(θ ) Θ (h+r cos(θ )). K ext := k 1 k k 3, k 1 := 1 b (P 1 P +P 1 P 3 +P P 3 )+a 1, k := 1 b (P 1 +P +P 3 ), K e := 1 b P 1 P P 3. Per l calcolo dell osservatore d stato completo (o d Luenberger), s procede rsolvendo l seguente problema det(s I A+L C) = p o (s) dove p o (s) deve essere scelto Hurwtz e d ordne appropato, con radc d modulo maggore rspetto quelle d p c (s). Sceglendo un fattore 1 tra banda del controllo e banda dell osservatore, porta al rsultato seguente da cu con s +l s a 1 +l 1 = s +(1 P 1 +1 P ) s+1 P 1 P. L := l 1 l, l 1 := 1 P 1 +1 P, l := 1 P 1 P +a 1. L osservatore completo d stato può qund essere mplementato per mezzo della seguente rappresentazone d stato u ˆx = A L C ˆx +B L D, L. u ˆx = I ˆx +, Per l osservatore rdotto s deve nzalmente defnre la matrce d trasformazone P, sceglendo la matrce T =,1, s ottene P := I, e dunque d conseguenza A 1 := 1,A :=. 4 ng. Ivan Furlan 8 dcembre 13

5 Per l calcolo della matrce L 1, s procede rsolvendo l seguente problema det(s I A +L 1 A 1 ) = p o (s) dove p o (s) deve essere scelto Hurwtz e d ordne appropato, con radc d modulo maggore rspetto quelle d p c (s), sceglendo un fattore 1 tra banda del controllo e banda dell osservatore, porta al rsultato seguente da cu s+l 1 = s+1 P 1. L 1 := 1 P 1. L osservatore rdotto d stato può qund essere mplementato per mezzo della seguente rappresentazone d stato u v =  v +ˆB, u ˆx = Ĉ v +ˆD dove  := L 1, I P A P 1 = 3.811, I I ˆB := L 1, I P B, P A P 1 L 1 Ĉ := P 1 =, I 1 I I 1 ˆD := P 1 = L 1 D I I D I. =.917, , 4. Il modulode poldel sstema lnearzzato corrsponde aω n = a 1, calcolando d conseguenza pol P ed l relatv controllore ed osservator d stato, s sono ottenut rsultat a segure. La rsposta smulata del sstema lnearzzato controllato, sceglendo la condzone nzale θ() = π, porta a rsultat n fgura 5.. Il sstema rsulta 4 correttamente stable n entramb cas. La rsposta smulata del sstema non lneare controllato, sceglendo la condzone nzale θ() = π + π, e sfruttando l osservatore rdotto porta al rsultato 4 4 n fgura 5.3. Il sstema rsulta correttamente stable. Per la stessa condzone nzale ma sfruttando nvece un osservatore completo s ottene l rsultato n fgura 5.4. In questo caso l sstema rsulta nstable. 8 dcembre 13 ng. Ivan Furlan 5

6 θ t s 15 Fgura 5.: Segnale d rfermento e rsposte dell angolo, osservatore completo (lnea contnua) e rdotto θ t s 15 Fgura 5.3: Segnale d rfermento e rsposta dell angolo con osservatore rdotto 4 x 13 θ t s Fgura 5.4: Segnale d rfermento e rsposta dell angolo con osservatore completo Questo eserczo evdenza un mportante vantaggo che l osservatore rdotto possede rspetto ad uno completo. In caso d ncertezze sul modello matematco del sstema da controllare, come evdenza l caso appena analzzato, dove a causa della lnearzzazone s ntroduce nevtablmente un approssmazone d modello, l utlzzo d un osservatore rdotto s rvela generalmente vantaggoso. Questo fatto è dovuto alla propretà caratterzzante l osservatore rdotto, vale a dre, la non stma del sotto spazo degl stat gà rappresentato n modo completo dalle msure dsponbl, evtando n questo modo, a dfferenza dell osservatore completo, l ntroduzone d error d stma su quest ultmo, rducendo conseguentemente l manfestars d comportament ndesderat. 6 ng. Ivan Furlan 8 dcembre 13