Indici di posizione. Dove si trova la distribuzione? Qual è l ordine di grandezza dei dati?

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1 Indc d poszone Dove s trova la dstrbuzone? Qual è l ordne d grandezza de dat? x

2 La meda X assume n valor x, x 2,, x n n x = ( x ) + x2 + + xn = x n n = La meda ndca qual è l ordne d grandezza de dat

3 Esempo 3. Tabella 2.0 Consum almentar pro-capte (consumo annuo n chlogramm) Cereal Patate Carne Latte e lattcn Burro Vno Belgo Danmarca Germana Greca Spagna Franca Irlanda Itala Lussemburgo Paes Bass Portogallo Regno Unto Fnlanda Austra Sveza Norvega Svzzera x Consumo medo d burro = ( = = )

4 Meda da dstrbuzone d frequenza X assume valor con frequenze x, x 2,, x n, n 2,, n x x n n = = Cascuna osservazone è ponderata per la frequenza corrspondente

5 Esempo 3.2 Tabella 3. Ann mpegat per laurears. x n x n x = ( = 6.86 Tempo medo: 6 ann, 0 mes e 0 gorn )

6 Meda da dstrbuzone d frequenza relatva X assume valor con frequenze x, x 2,, x f, f 2,, f n n = = x = x n = x n x = = x f

7 Esempo 3.2 meda da dstrbuzone d frequenze relatve Tabella 3. Ann mpegat per laurears. x n f x = = 6.86.

8 Meda da dat raggruppat n class class (x 0 x ), (x x 2 ),, (x - x ) con frequenze n, n 2,, n ) Per ogn classe d calcola l valore centrale x0 + x x + x2 x + x x =, x 2 =,, x = ) Qund s ottene un approssmazone della meda = n = = x x n x f

9 Rendment Tabella 2.5 Dstrbuzone n class de rendment de fond. Rendmento n Totale 80

10 Esempo 3.3 Meda rendment Tabella 3.3 Calcolo della meda per rendment de fond. Class x n x n Totale x x n = = n = 80 x = 2.834

11 Propretà della meda ) La meda d una trasformazone lneare de dat è data dalla trasformazone lneare della meda. 2) La meda è quel valore che sosttuto ad ogn osservazone lasca nvarata la loro somma. 3) La somma degl scart dalla meda è nulla. 4) La meda è quel valore che mnmzza la somma de quadrat degl scart.

12 Propretà della meda.a ) Trasformazon lnear La meda d una trasformazone lneare de dat è data dalla trasformazone lneare della meda. X assume valor con frequenze Y assume valor Y=aX+b con frequenze dove y =ax +b x, x 2,, x n, n 2,, n Trasformazone lneare d X y, y 2,, y n, n 2,, n per =,2,,.

13 Propretà della meda.b Sa x la meda della varable statstca X; la meda della trasformazone lneare Y = ax + b è y = ax + b Dmostrazone: y = y n = ( ax + b )n n = n = = a xn + b n n = n = = x = ax + b = n

14 Propretà della meda 2 2) La meda è quel valore che sosttuto ad ogn osservazone lasca nvarata la loro somma. n x = = x n Dmostrazone: Data la defnzone della meda x n = = x n l rsultato s ottene moltplcando entramb membr per n

15 3) La somma degl scart dalla meda è nulla. Dat valor x, x 2,..., x, gl scart sono S ha Dmostrazone Propretà della meda 3 x x, x x,, x x ( ) ( ) ( ) 2 = x x n = 0 ( ) ( ) = x x n xn x n = = = = nx = nx nx = 0 = n

16 Propretà della meda 4.a 4) La meda è quel valore che mnmzza la somma de quadrat degl scart 2 2 x x n = mn x α n ( ) ( ) α = =

17 Dmostrazone: Propretà della meda 4.b 2 ( α ) = ( ) + ( α ) x n x x x n = = = ( x x ) ( x α ) = + ( )( α ) ( ) ( α ) ( )( α ) ( ) ( α ) = x x n + x n = = ( α ) ( ) ( x x ) n n( x α ) = = = + 2 x x x n = x x n + x n + 2 x x x n = x x x n = = = + = n.

18 . S ordnano dat x x x ( ) 2 La medana Def: E l valore centrale: dvde dat n due part d eguale numerostà ( ) ( n ) 2. S calcola la profondtà della medana n + prof ( m ed ) = 2 3. La medana è l osservazone corrspondente alla poszone ndvduata dalla profondtà. n dspar m e d = x + n 2 n par med = x + x ( n / 2 ) ( n / 2+ ) 2

19 Medana - esemp prof ( med) = n + 2 n dspar m e d = x + n 2 n par med = x + x ( n / 2) ( n / 2+ ) 2 (4, 7, 2, 23, 6) n=5 dspar prof(med) = (5+)/2=3 med = x (3) = 2 (5, 7, 2, 22, 36, 6) n=6 par prof(med) = (6+)/2=3.5 med = (x (3) + x (4) )/2 = (2+22)/2=7

20 Esempo 3.4 medana cereal Cereal x( 7 ) ( 58, 64, 68, 70, 7, 7, 72, 74, 76, 78, 87, 03, 2 ) n=3 x = prof ( med) = = 7 2 Med = x (7) = 72

21 Esempo 3.5 medana consum d carne Carne ( 55, 6, 62, 66, 68, 75, 85, 86, 88, 9, 97, 07, 52, 23, 299, 329 ) n=6 6 + prof ( med ) = = Med = (x (8) + x (9) )/2= (86+88)/2=87 x =22

22 Propretà della medana ) La medana d una trasformazone lneare è data dalla trasformazone lneare della medana. 2) Sano Y=aX+b med(y)= a med(x)+b x -med, x 2 -med,, x n -med gl scart dalla medana. Il numero d scart postv è uguale al numero d scart negatv. 3) La medana è quel valore che mnmzza la somma degl scart n valore assoluto. n x med = mn x α α = = n

23 Resstenza della meda e della medana Osservazone anomale: osservazone dstante dalla maggoranza degl altr dat. x x x x x x La medana è resstente rspetto alle osservazon anomale (, 2, 3, 4, 5) med = x = 3 x x x x x x (, 2, 3, 4, 50) med = x = 2 3

24 La moda Consderata una varable statstca X che assume valor x, x 2,, x con frequenze n, n 2,, n La moda è l valore che ha massma frequenza Tabella 3. Ann mpegat per laurears. moda x n

25 Moda per caratter qualtatv Consderato un carattere statstco che assume modaltà m, m 2,, m con frequenze n, n 2,, n La moda è la modaltà che ha massma frequenza Telespettator (n mglaa) delle emttent televsve. Emttente Telespettator RAI RAI 2 moda RAI Canale Rete Itala 3 62 La Sette 90 Altre emttent terrestr 857 Altre emttent satellte 687