Frazione di carattere che spetta a coloro che ne posseggono nel complesso più della media Maggiore concentrazione. Minore concentrazione

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1 01 La concentrazone Nello studo de fenomen economc e socal descrtt attraverso caratter quanttatv d tpo trasferble può essere nteressante analzzare la cosddetta concentrazone. Rguarda l modo n cu un fenomeno trasferble s rpartsce tra le untà, n partcolare l atttudne ad accentrars n un numero d untà rdotto dmnusce Mnore concentrazone Frazone d carattere che spetta a coloro che ne posseggono nel complesso pù della meda aumenta Maggore concentrazone S parla d dsuguaglanza dstrbutva e s consdera la concentrazone come un eccesso d tale partcolare fenomeno Esstono ovve relazon fra le nozon d concentrazone, dsuguaglanza e varabltà

2 02 Trasferbltà Un carattere (quanttatvo) è trasferble se: 1) assume soltanto valor non negatv 2) ammette, sotto l aspetto logco, che l ammontare del carattere o parte d esso possa essere trasferto (anche solo dealmente) da un untà all altra del collettvo I caratter non trasferbl rguardano aspett ntrnsec delle untà e non possono essere trasfert senza trasferre, n soldo, l'untà stessa Se valor del carattere sono lvell raggungbl da qualsas untà ed ha un senso la loro somma o aggregazone allora lo studo d concentrazone è plausble Caratter trasferbl Reddto Quote d mercato Quote d produzone Rscho commercale (fatturato) Caratter non trasferbl Età Altezza Peso Component del nucleo famlare

3 03 Defnzon prelmnar (1) Data una dstrbuzone untara d n osservazon d un carattere X, ordnat n senso crescente x 1 x 2... xn s è nteressat a studare come l ammontare totale del carattere sa rpartto fra le dverse untà statstche che compongono l collettvo: (1) equdstrbuzone (assenza d concentrazone) n A= x cascuna delle n untà possede 1/n dell ammontare complessvo A del carattere, ossa: (2) massma concentrazone l ntero ammontare del carattere è posseduto da una untà: =1 x=an=x x= 1 x=...=x 2 n-1=0 x=a=nx n

4 04 Defnzon prelmnar (2) S consder un carattere (trasferble) X osservato su un collettvo d N untà statstche e sano queste ordnate secondo l ammontare posseduto Indchamo con p la frequenza relatva cumulata delle prme untà p= n Allo stesso modo, dato l ammontare A, ndchamo con q la frazone cumulata del carattere posseduto dalle prme untà S dmostra che per ogn untà del collettvo vale la relazone A q= con A=A +A +A +...+A A p ³ q

5 05 Msurare la concentrazone Per msurare la concentrazone d un carattere X n un collettvo è necessaro consderare gl scart (dfferenze) tra frequenze relatve cumulate delle untà statstche e frazone cumulata dell ammontare d carattere posseduto: c=(p-q) La concentrazone totale nel collettvo è ottenuta sommando gl scart N-1 (p-q ) =1 (1) quando s ha mnma concentrazone (EQUIDISTRIBUZIONE) la somma è par a 0 (2) quando s ha massma concentrazone allora la somma è par a N-1 p =1

6 06 Costrure un ndce normalzzato In statstca spesso abbamo l esgenza d costrure ndc che consentano un confronto tra le modaltà d una dstrbuzone o tra dstrbuzon dverse prescndendo dall untà d msura del carattere studato Per ottenere un ndce che vara tra 0 e 1 e può essere espresso n percentuale s usa dvdere l valore dell ndce per l valore massmo che l ndce stesso può assumere: ESEMPIO n = numero d untà statstche che presentano la -esma modaltà f = numero d untà statstche che presentano la -esma modaltà n rapporto alla dmensone del collettvo In generale l ndce ottenuto come rapporto tra l valore osservato e l massmo valore che s poteva osservare rspetto al fenomeno studato è detto INDICE NORMALIZZATO N.B.: la msura è nfluenzata dalle potes nzal assunte per calcolare l massmo dell ndce

7 07 Rapporto d concentrazone Per msurare la concentrazone d un carattere n un collettvo è possble utlzzare un ndce normalzzato noto come rapporto d concentrazone n-1 n-1 ( p -q ) R= =1- p =1 =1 n-1 n-1 =1 =1 q p se R=0 se R=1 equdstrbuzone max concentrazone S esprme n percentuale: un valore k compreso tra 0 e 1 ndca un lvello d concentrazone par al k% d quella massma osservable nella dstrbuzone del carattere studato

8 08 Regole d lettura dell ndce La lettura e l nterpretazone d un ndce è semplce ma spesso rsulta dffcle esprmerlo n modo charo e unvocamente comprensble In generale abbamo vsto come per R=0 s possa dre che non c è concentrazone oppure che c è equdstrbuzone del carattere studato nel collettvo; allo stesso modo per R=1 s può dre che c è massma concentrazone Quando l ndce R è compreso tra 0 e 1 allora la quanttà ottenuta può essere letta n termn percentual rspetto a quella massma osservable n quel collettvo per quel carattere: - da 0 a 0.25 la concentrazone è bassa (es. R=0.18 -> 18% della max concentrazone osservable, qund s ha una bassa concentrazone) - da 0.25 a 0.5 la concentrazone è medo-bassa (es. R=0.36 -> 36% della max concentrazone osservable, qund s ha una concentrazone medo-bassa) - per R=0.5 s ha una meda concentrazone - da 0.5 a 0.75 la concentrazone è medo-alta (es. R=0,69 -> 69% della max concentrazone osservable, qund s ha una concentrazone medo-alta) - da 0.75 a 1 la concentrazone è alta (es. R=0.83 -> 83% della max concentrazone osservable, qund s ha una alta concentrazone)

9 09 Esempo: dsuguaglanze d reddto nel mondo SVEZIA MESSICO Intenstà (ndce R) NAMIBIA Fonte: Human Development Report 2007/2008 delle Nazon Unte Dalla mappa è possble vedere come la Namba abba un alto lvello d concentrazone della rcchezza (R = 70.7%, maggore dsuguaglanza), mentre la Sveza ha un lvello d concentrazone basso (R = 23%, mnore dsuguaglanza). Il Messco ha un lvello d concentrazone medo (R = 48.2%)

10 10 Esempo: concentrazone de reddt famlar n Itala Fonte: ISTAT 2008 Pemonte Marche Valle d'aosta Lazo Lombarda Abruzzo Lgura Molse Trentno-Alto Adge Campana Veneto Pugla Frul-Veneza Gula Baslcata Emla-Romagna Calabra Toscana Scla Umbra Sardegna Dalla lettura de dat s evnce come n Scla c sa pù dsuguaglanza rspetto, ad esempo al Trentno. Allo stesso modo possamo fare un confronto tra Calabra e Baslcata tenendo conto anche del reddto medo: la dsuguaglanza è maggore nella prma regone rspetto alla seconda anche se medamente l reddto è ad un lvello abbastanza vcno Cò può essere nterpretato col fatto che l reddto medo n Calabra subsce una maggor nfluenza de reddt molto bass o alt

11 11 Uno schema per l calcolo Ordnate n senso crescente untà X p A q p - q 1 x 1 1/n A 1 A 1 /A n p 1 q 1 2 x 2 2/n A 2 A 2 /A n p 2 q 2 3 x 3 3/n A 3 A 3 /A n p 3 q 3 x /n A A /A n p - q n x n 1 A n 1 0 Per procedere da un punto d vsta operatvo allo studo della concentrazone è convenente organzzare dat secondo la tabella rportata d fanco R= n-1 =1 n-1 ( p-q) =1 p Totale dell ultma colonna fno alla penultma rga Totale della terza colonna fno alla penultma rga

12 12 Esempo Voglamo studare la concentrazone de rcav dervant dalla pubblctà n un collettvo d emttent prvate operant n una certa Regone n-1 =1 Emttent televsve Introt pubblctar p A q Tele No TV Rete Beta Tele Super Canale Noa TV Tele Bella Onda Sud TV Max Totale ( p-q) R= =1 n-1 = % p La concentrazone degl ntrot pubblctar è par al 29% d quella massma osservable C è un basso lvello d concentrazone

13 13 Alcune consderazon (1) La tabella rappresentata n basso rporta reddt d una socetà n cu vvono cnque ndvdu. A causa della rapda crescta economca, reddt d tutt gl ndvdu raddoppano. In questa socetà la dsuguaglanza è aumentata, dmnuta o nvarata? u.s. x A p q p - q u.s. x A p q p - q R= R= Qund se applchamo una trasformazone del tpo ax al carattere studato mantenamo lo stesso lvello d concentrazone, come dmostrato dall esempo Cosa accade se nvece applchamo una trasformazone del tpo X+b al carattere? Provamo ad aggungere a tutte le untà 500, 1000 e 2500 : cosa accade al lvello d concentrazone del reddto?

14 14 Alcune consderazon (2) u.s. x A p q p - q R = (32%) ,072 R = (17%) R = (12%) R = (6%) La concentrazone non è nvarante per trasformazon del tpo X+b Se l reddto d cascun ndvduo aumenta n modo proporzonale la concentrazone non camba, ma se l reddto cresce della stessa quanttà allora la concentrazone rsulterà nferore, perché è come se l reddto d ogn untà s avvcnasse a quello degl altr Infatt la frazone d reddto posseduta dalle dverse untà rsulta essere: u.s

15 15 Rappresentazone grafca della concentrazone Con le coppe (p, q ) è possble realzzare una rappresentazone grafca della concentrazone detto Curva d Lorenz Frazone cumulata del carattere Frequenza cumulata delle untà Maggore è l area tra la bsettrce e la curva maggore è l lvello della concentrazone

16 16 Esempo q Il valore d R esprme l area compresa tra la spezzata d concentrazone e la lnea d equdstrbuzone: pù pccolo è R (fno a 0) pù la spezzata s avvcna alla lnea, pù grande è R (fno a 1) pù la spezzata concde con catet del trangolo (max concentrazone) p n-1 ( p-q) =1 =1 R= =0.288 n-1 p Rprendendo l esempo delle emttent televsve s vede anche grafcamente come c sa una bassa concentrazone degl ntrot pubblctar

17 17 Concentrazone per dstrbuzon d frequenza Consderamo un carattere dscreto con k modaltà, e supponamo d avere a dsposzone l numero d untà statstche sulle qual abbamo osservato le dverse modaltà In questo caso per calcolare la concentrazone è pù comodo utlzzare le seguent espresson: Frequenza cumulata delle untà n h p= h n q= h h =1 k =1 xn xn Frazone cumulata del carattere Per msurare la concentrazone utlzzamo ancora una volta l ndce d Gn

18 18 Concentrazone per dstrbuzon n class Nelle dstrbuzon d frequenza e nelle dstrbuzon n class abbamo una nformazone n pù: possamo rlevare quante untà statstche posseggono un certo ammontare d carattere Nel caso d dstrbuzon n class per studare la concentrazone dobbamo consderare alcune potes nzal: CASO A: se conoscamo l ammontare d carattere posseduto e l numero d untà s assume che c sa equdstrbuzone (ogn untà della classe possede lo stesso ammontare d carattere) CASO B: se non conoscamo l ammontare d carattere posseduto dalle untà della classe allora possamo stmarlo moltplcando l valore centrale per l numero d untà statstche della classe Spesso n questo caso per calcolare la concentrazone s prefersce utlzzare un altro metodo che derva drettamente dall osservazone della curva d Lorenz Tale formulazone alternatva porta a rsultat sml e qund le regole d lettura rmangono quelle gà vste n precedenza

19 19 Metodo alternatvo: trapez q 1 B L area d max concentrazone (l trangolo OAB) è sempre par a 1/ R L area d concentrazone (ndcata con R) s ottene sottraendo alla max concentrazone trapez e l trangolo (l prmo da snstra) traccat sotto la spezzata O A Per approssmazone ottenamo la formula gà vsta n precedenza p 1 ép1q1 q 1+q 2(p2-p 1) q n-1+q n(pn-p n-1) ù n-1 2 ê R= ë ú 1- q + q p - p 1 2 =0 ( )( ) +1 +1

20 20 Esempo class mprese addett ,0 2718, ,0 2845, ,2 1352, ,4 1281, ,8 808, ,3 1588, ,8 529,4 2846, ,5 class mprese f p addett q ,0 0,7177 0, ,3 0,2444 0, ,0 0,2234 0, ,6 0,2558 0, ,2 0,0363 0, ,0 0,1215 0, ,4 0,0152 0, ,2 0,1152 0, ,8 0,0041 0, ,7 0,0727 0, ,3 0,0029 0, ,3 0,1428 0, ,8 0,0003 1, ,4 0,0476 1, , ,5 1 Voglamo studare la concentrazone degl addett nelle mprese d un certo settore: n questo caso s assume l equdstrbuzone dell ammontare d carattere per ogn classe (addett per mpresa) ( q +1+ q )( p+1- p ) 0,1754 0,1664 0,0407 0,0207 0,0064 0,0051 0,0005 0, ,4152= 0,5848 La concentrazone d addett per mpresa osservata, par al 58% crca, è medo-alta Frequenza relatva delle mprese Frazone relatva degl addett

21 21 Alcune consderazon sull nterpretazone Consderamo l Reddto Annuale delle 550 famgle d un Comune della Provnca d Cosenza Reddto Annuale Famgle Totale 550 la dstrbuzone fornsce nformazon su come l ntenstà del fenomeno reddto s è manfestata tra le dverse famgle resdent nel Comune la rpartzone dà ndcazon su qual sono le sogle d reddto corrspondent alle dverse frazon cumulate d famgle resdent nel Comune la concentrazone c dce rspetto alle dverse frazon cumulate d famgle qual è l peso delle corrspondent frazon cumulate d reddto dstrbuzone rpartzone concentrazone

22 22 Rapporto d Concentrazone e Curva d Lorenz Consderamo l lvello d concentrazone d un fenomeno n due collettv (l prmo è ndcato con la lnea ntera, l secondo con la lnea tratteggata) A q B q p p Nel caso A possamo dre che nel collettvo ndcato con la lnea ntera l fenomeno è meno concentrato rspetto a quello ndcato con la lnea tratteggata Nel caso B non ruscamo nvece dall anals della Curva d Lorenz a dare una rsposta precsa: l nterpretazone del fenomeno dventa pù complessa, soprattutto se lvell dell ndc R sono dentc

23 23 Esercz (1) Nella tabella d seguto sono rportat reddt dcharat (n ) per l anno 2003 da alcun parlamentar talan Studare la concentrazone del reddto (2) Nella tabella sono rportat dat relatv agl spettator de prm 10 flm della stagone 2003 Studare la concentrazone degl spettator

24 24 Esempo (3) D seguto è rportata la dstrbuzone n Itala nel 2000 del reddto famlare annuo (al netto delle mposte sul reddto e de contrbut prevdenzal ed assstenzal) Classe d reddto (n mglaa d euro) famgle reddto medo (n mglaa d euro) fno a da 10 a da 20 a da 30 a oltre Fonte: Banca d Itala, Indagne su blanc delle famgle talane 2000 S calcol l lvello della concentrazone del reddto (Sol. -> R = 0,342 con l metodo de trapez)

25 25 Esercz (4) È stata analzzata la quanttà d ferro (n mg) contenuta n 84 campon d terreno A e 72 campon d terreno B. I rsultat sono rportat nella seguente tabella n cu sono rportate le dstrbuzon d frequenza e l ammontare d ferro per ogn classe: TERRENO A TERRENO B quanttà ferro (mg) n campon totale ferro (mg) n campon totale ferro (mg) Totale Verfcare n quale terreno l ferro è pù concentrato