PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA (COD. 5047/4038/371/377) 3 Novembre 2004 COMPITO A1

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1 PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA (COD. 5047/4038/37/377) 3 Novembre 004 Cognome Numero d matrcola Nome COMPITO A A fn della valutazone s terrà conto solo ed esclusvamente d quanto rportato negl appost spaz. Al termne della prova, è OBBLIGATORIO consegnare l presente foglo ed l foglo d brutta (DI CUI NON SI TERRÀ CONTO AI FINI DELLA VALUTAZIONE). APPROSSIMARE TUTTI I CALCOLI ALLA QUARTA CIFRA DECIMALE I prm 8 gran prem della stagone d Formula del 003 hanno dato rsultat che rportamo n tabella (notare che sono anche state rportate le somme de valor e le somme de quadrat de valor): GP Gran Premo dsputato SQUADRA squadra d appartenenza del vnctore del GP GOMME gomme utlzzate dal vnctore del GP TEMP temperatura meda dell asfalto PTI_M punt totalzzat da squadre che utlzzano gomme Mcheln PTI_B punt totalzzat da squadre che utlzzano gomme Brdgestone PTI_F punt totalzzat dalla squadra Ferrar PTI_ML punt totalzzat dalla squadra McLaren GP SQUADRA GOMME TEMP PTI_M PTI_B PTI_F PTI_ML Australa McLaren Mcheln Malesa McLaren Mcheln Brasle Jordan Brdgestone San Marno Ferrar Brdgestone Spagna Ferrar Brdgestone Austra Ferrar Brdgestone Monaco Wllams Mcheln Canada Ferrar Brdgestone 5 4?? Somme Somme de quadrat ( punt) Come s vede nella tabella, c sono alcun dat mancant per l Gran Premo del Canada. a. Sapendo che la meda punt della McLaren (la cu varable d rfermento è PTI_ML) è d 9,5 punt a Gran Premo, rcavare punt conqustat dalla squadra nel GP del Canada. b. Sapendo che la medana de punt Ferrar (PTI_F) regstrat ne prm 8 Gran Prem è d,5 punt, rcavare quant punt ha conqustato nvece la Ferrar. a. ( punto) 9,5=( x)/8, x= Qund x=3 b. ( punto) Ordnamo dat. La Me sarà la meda tra valor corrspondent alla 4 e alla 5 osservazone. (+x)/=,5; qund x=4

2 . ( punt) Rappresentare con un grafco opportuno l carattere SQUADRA e ndcare tutte le msure d sntes calcolabl, l loro valore e sgnfcato. Msure d sntes ( punto) Moda= Ferrar. Ferrar La moda è la modaltà pù frequente ed è l unca Jordan msura d sntes utlzzable per caratter McLaren qualtatv nomnal. Wllams 3. (4 punt) Negl ambent tecnc, s ha l dea che le gomme Brdgestone abbano mglor prestazon a temperature pù basse. Ipotzzando qund una relazone lneare tra TEMP e PTI_B verfcare se punt totalzzat da Brdgestone dpendono dalla temperatura dell asfalto e n che modo. In partcolare: a) Fornre l equazone della retta d regressone, sapendo che la somma de prodott tra PTI_B e TEMP è par a 85. Retta ( punt) PTI_B= 8,886-0,743 TEMP Covaranza(TEMP; PTI_B)=(85/8-5,8754,375) = 356,375-37,953 = -5,578 Varanza(TEMP)= (607/8-5,8755,875) = 758, ,556= 89,3594 b) Se s utlzzasse la retta d regressone appena calcolata, a quale temperatura le squadre che utlzzano le Brdgestone non conqusterebbero nemmeno un punto de 39 n palo? Prevsone ( punto) 08,3534 Infatt s rsolve l equazone: 0 = 8,886-0,743temp. Qund, temp=(-8,886)/(-0,743) c) Valutare con un ndce opportuno la bontà della retta d regressone stmata n a) e dre se s possa rtenere qund affdable la prevsone fatta al punto b). Bontà retta ( punto) ρ = 0,3686 ; R =0,359: l R è basso e qund la prevsone rsulta poco affdable. [Varanza(PTI_B)=9,9844] 4. (4 punt) A partre dalla tabella contenente dat relatv a prm 8 Gran Prem della stagone 003: rcavare una tabella per valutare se esste ndpendenza statstca tra SQUADRA vnctrce del Gran Premo e GOMME scelte da quella squadra, defnre (scrvendone la formula) un ndce d connessone e nfne calcolarne l valore. Tabella ( punto) Indce ( punto) Brdgestone Mcheln McLaren 0 Jordan 0 Ferrar 4 0 Wllams 0 ϕ = ( p X, Y ( x, y ) p X ( x ) py ( y )) ( x ) p X Y ~ p ( y ) ϕ = ϕ / mn( h, k ) dove h, k sono le dmenson della tabella. Valore ( punt) In questo caso ~ ϕ = ϕ =. Infatt, conoscendo la squadra, sappamo con precsone che gomme vengono usate (perfetta connessone unlaterale).

3 5. (3 punt) Osservando punt conqustat da 4 squadre mnor n 4 Gran Prem la stuazone è la seguente. Punt per squadra BAR Sauber Toyota Jordan GP Malesa 0 0 Brasle San Marno Austra Quale squadra presenta l maggor scarto quadratco medo nella dstrbuzone de punt?. Fornre la rappresentazone grafca de puntegg della Sauber ne 4 GP consderat. Maggor sqm ( punt) Grafco( punto) La dstrbuzone con maggor sqm è quella Dstrbuzone puntegg Sauber relatva alla Jordan. σ BAR =,4790 0,6 0,4 σ Sauber =,6394 0, σ = 0 Toyota 0,0 σ Jordan = 4,330 Freq. relatve Punt 6. (3 punt) Valutare con un ndce opportuno la concentrazone della dstrbuzone de 39 punt n palo conqustat dalle vare squadre nel Gran Premo d Australa (ved tabella) e scrvere la formula dell ndce spegando cosa ndcano nella formula le quanttà convolte: Numero Punt squadre Calcolo ndce ( punt) Punt Numero squadre F Formula ndce ( punto) R = k ( = F k = Q ) Dove F rappresenta la frazone d soggett che detene la quota relatva Q, e k è l numero d modaltà osservate. Q 0 4 0,4444 0, ,5556 0, ,6667 0,05 6 0,7778 0, ,8889 0,5897 6,0000,0000 Somma (tranne ultma rga) 3,3334,307 F Qund R 3,3334,307 = = 0,6308 3,3334

4 7. ( punt) La probabltà che la Ferrar resca a salre sul podo è d 0,75. Supponendo che le gare de Gran Prem sano tra loro ndpendent e che le chance della Ferrar sano sempre le stesse per ogn Gran Premo, mpostare calcol per calcolare la probabltà che la Ferrar salga sul podo 0 volte su 6 (senza calcolarne l valore fnale). Probabltà ( punt) P(Ferrar sul podo)=0,75 probabltà d successo costante n ogn prova Prove ndpendent La varable aleatora che rappresenta l numero d vttore su 6 prove ha dstrbuzone bnomale! 6 P ( X = 0) = ) ( 0,75) ( 0,5 8. ( punt) La probabltà che Mchael Schumacher vnca un Gran Premo quando l compagno d squadra Barrchello resce a completare la gara è 0,4. Al contraro, se Barrchello non conclude la gara, la probabltà che Schumacher vnca scende a 0,5. Sapendo che Barrchello resce a portare a termne la corsa l 80% delle volte, qual è la probabltà che Schumacher vnca un determnato Gran Premo? Probabltà ( punt) Defnamo A = Schumacher vnce GP; B = Barrchello fnsce gara P(A B) = 0,4; P(A non B) = 0,5; P(B) = 0,8 e qund P(non B) = 0,. Qund: P(A) = P(A B)P(B) + P(A non B)P(non B) = 0,3 + 0,05 = 0, ( punt) Enuncate l teorema d Bayes, specfcando le potes: Teorema ( punt) S consder uno spazo camponaro Ω e un nseme d event A, A,, A n, partzone d Ω (ovvero: n U A = = Ω e A A B con P(B)>0, s ha che = per ogn, con P(A)>0 per ogn ). Qund, preso un qualsas altro evento P ( A B) P = n = ( B A ) P( A ) P ( B A ) P( A )

5 PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA (COD. 5047/4038/37/377) 3 Novembre 004 Cognome Numero d matrcola Nome COMPITO A A fn della valutazone s terrà conto solo ed esclusvamente d quanto rportato negl appost spaz. Al termne della prova, è OBBLIGATORIO consegnare l presente foglo ed l foglo d brutta (DI CUI NON SI TERRÀ CONTO AI FINI DELLA VALUTAZIONE). APPROSSIMARE TUTTI I CALCOLI ALLA QUARTA CIFRA DECIMALE Gl ultm 8 gran prem della stagone d Formula del 003 hanno dato rsultat che rportamo n tabella (notare che sono anche state rportate le somme de valor e le somme de quadrat de valor): GP Gran Premo dsputato SQUADRA squadra d appartenenza del vnctore del GP GOMME gomme utlzzate dal vnctore del GP TEMP temperatura meda dell asfalto PTI_M punt totalzzat da squadre che utlzzano gomme Mcheln PTI_B punt totalzzat da squadre che utlzzano gomme Brdgestone PTI_F punt totalzzat dalla squadra Ferrar PTI_ML punt totalzzat dalla squadra McLaren GP SQUADRA GOMME TEMP PTI_M PTI_B PTI_F PTI_ML Europa Wllams Mcheln 4 6 3?? Franca Wllams Mcheln Gran Bretagna Ferrar Brdgestone Germana Wllams Mcheln Unghera Renault Mcheln Itala Ferrar Brdgestone Usa Ferrar Brdgestone Gappone Ferrar Brdgestone Somme Somme de quadrat ( punt) Come s vede nella tabella, c sono alcun dat mancant per l Gran Premo d Europa. a. Sapendo che la meda punt della McLaren (la cu varable d rfermento è PTI_ML) è d 8,75 punt a Gran Premo, rcavare punt conqustat dalla squadra nel GP d Europa. b. Sapendo che la medana de punt Ferrar (PTI_F) regstrat negl ultm 8 Gran Prem è d 0 punt, rcavare quant punt ha conqustato nvece la Ferrar. a. ( punto) 8,75=(x )/8; x= Qund x=4 b. ( punto) Ordnamo dat. La Me sarà la meda tra valor corrspondent alla 4 e alla 5 osservazone. (0+x)/=0, qund x=0

6 . ( punt) Rappresentare con un grafco opportuno l carattere SQUADRA e ndcare tutte le msure d sntes calcolabl, l loro valore e sgnfcato. Grafco ( punto) Ferrar Renault Wllams Msure d sntes ( punto) Moda= Ferrar. La moda è la modaltà pù frequente ed è l unca msura d sntes utlzzable per caratter qualtatv nomnal. 3. (4 punt) Negl ambent tecnc, s ha l dea che le gomme Brdgestone abbano mglor prestazon a temperature pù basse. Ipotzzando qund una relazone lneare tra TEMP e PTI_B verfcare se punt totalzzat da Brdgestone dpendono dalla temperatura dell asfalto e n che modo. In partcolare: a) Fornre l equazone della retta d regressone, sapendo che la somma de prodott tra PTI_B e TEMP è par a 988. Retta d regressone ( punt) PTI_B= 8,638 0,649 TEMP Covaranza(TEMP; PTI_B)=(988/8-3, 75, 75) = 48,5 30,85 = -54,35 Varanza(TEMP)= (58/8-3, 753, 75) = 647,75 564,065 = 83,6875 b) Se s utlzzasse la retta d regressone appena calcolata, a quale temperatura le squadre che utlzzano le Brdgestone non conqusterebbero nemmeno un punto de 39 n palo? Prevsone ( punto) 43,3957 Infatt s rsolve l equazone: 0 = 8,638-0,649temp. Qund, temp=(8,638)/(0,649) c) Valutare con un ndce opportuno la bontà della retta d regressone stmata n a) e dre se s possa rtenere qund affdable la prevsone fatta al punto b). Bontà retta ( punto) ρ = 0,7974 ; R =0,6358: l R è relatvamente alto e qund la prevsone rsulta abbastanza affdable. [Varanza(PTI_B)=55,4375] 4. (4 punt) A partre dalla tabella contenente dat relatv agl ultm 8 Gran Prem della stagone 003: rcavare una tabella per valutare se esste ndpendenza statstca tra SQUADRA vnctrce del Gran Premo e GOMME scelte da quella squadra, defnre (scrvendone la formula) un ndce d connessone e nfne calcolarne l valore. Tabella ( punto) Indce ( punto) Brdgestone Mcheln Renault 0 Ferrar 4 0 Wllams 0 3 ϕ = ( p X, Y ( x, y ) p X ( x ) py ( y )) ( x ) p X Y ~ p ( y ) ϕ = ϕ / mn( h, k ) dove h, k sono le dmenson della tabella. Valore ( punt) In questo caso ~ ϕ = ϕ =. Infatt, conoscendo la squadra, sappamo con precsone che gomme vengono usate (perfetta connessone unlaterale).

7 5. (3 punt) Osservando punt conqustat da 4 squadre mnor n 4 Gran Prem la stuazone è la seguente. Punt per squadra BAR Sauber Jaguar Toyota GP Unghera Itala Usa Gappone Quale squadra presenta l maggor scarto quadratco medo nella dstrbuzone de punt? 4. Fornre la rappresentazone grafca de puntegg della BAR ne 4 GP consderat. Maggor sqm ( punt) Grafco( punto) La dstrbuzone con maggor scarto quadratco medo è quella relatva alla Sauber. σ BAR = 3,69 σ Sauber = 4,330 σ = Jaguar,80 σ Toyota = 0 Freq. relatve Dstrbuzone puntegg BAR Punt 6. (3 punt) Valutare con un ndce opportuno la concentrazone della dstrbuzone de 39 punt n palo conqustat dalle vare squadre nel Gran Premo d Unghera (ved tabella qu sotto) e scrvere la formula dell ndce spegando cosa ndcano le quanttà convolte (sa nella formula che nel calcolo). Numero Punt squadre Calcolo ndce ( punt) Formula ndce ( punto) R = k ( = k = Q ) Dove F rappresenta la frazone d soggett che detene la quota relatva Q, e k è l numero d modaltà osservate. F F Punt Numero squadre F 0 4 0,4444 0, ,5556 0, ,6667 0,05 6 0,7778 0, ,8889 0,5897 6,0000,0000 Somma(tranne ultma rga) 3,3334,307 Q Qund R 3,3334,307 = = 0,6308 3,3334

8 7. ( punt) La probabltà che la Ferrar resca a salre sul podo è d 0,6. Supponendo che le gare de Gran Prem sano tra loro ndpendent e che le chance della Ferrar sano sempre le stesse per ogn Gran Premo, mpostare calcol per calcolare la probabltà che la Ferrar salga sul podo 9 volte su 6 (senza calcolarne l valore fnale). Probabltà ( punt) P(Ferrar sul podo)=0,6 probabltà d successo costante n ogn prova Prove ndpendent La varable aleatora che rappresenta l numero d vttore su 6 prove ha dstrbuzone bnomale! 6 P ( X = 9) = 9 ( 0,6) 9 ( 0, 4) 7 8. ( punt) La probabltà che Mchael Schumacher vnca un Gran Premo quando l compagno d squadra Barrchello resce a completare la gara è 0,4. S sa noltre che Barrchello resce a portare a termne la corsa l 80% delle volte, e che Schumacher vnce un Gran Premo con probabltà 0,6. Sapendo che Schumacher ha vnto l Gran Premo, qual è la probabltà che anche Barrchello abba termnato la corsa? Probabltà ( punt) Defnamo A = Schumacher vnce GP; B = Barrchello fnsce gara P(A B) = 0,4; P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6. Qund: P(B A) = P(A B)P(B)/P(A) = ( 0,4 0,8) / 0, 6 = 0,3 / 0,6 = 0, ( punt) Enuncate l teorema delle probabltà total, specfcando le potes: Teorema ( punt) S consder uno spazo camponaro Ω e un nseme d event A, A,, A n, partzone d Ω (ovvero: n U A = = Ω e A B, s ha che A = per ogn, con P(A)>0 per ogn ). Qund, preso un qualsas altro evento P n ( B) P( B A ) P( A ) = =