Risposta in frequenza e filtri

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1 Rsposta n frequenza e fltr (versone del 3-3-9) Funzon d rete S consdera un crcuto con un solo ngresso (coè un solo generatore) operante n condzon d regme snusodale Per funzone d rete s ntende l rapporto tra l fasore d una varable d uscta (tensone o corrente) e l fasore della varable d ngresso (tensone o corrente del generatore) Se le varabl d ngresso e d uscta sono relatve alla stessa porta la funzone d rete è detta anche funzone d mmettenza (mpedenza o ammettenza) Se le varabl d ngresso e d uscta sono relatve a porte dverse la funzone d rete è detta funzone d trasfermento

2 Funzon d mmettenza Per un crcuto con un solo ngresso l rapporto tra fasor della tensone e della corrente del generatore è detto mpedenza d ngresso (Z ) e l suo recproco è detto ammettenza d ngresso (Y ) I Z Y I o S Nel caso d una rete -porte collegata tra un generatore un mpedenza d carco Z o, s defnscono anche mpedenza d uscta (Z o ) l rapporto tra fasor della tensone e della corrente alla porta valutato con l generatore azzerato e ammettenza d uscta (Y o ) l suo recproco o Io Zo Yo I o S (S ndca la grandezza mpressa, tensone o corrente, del generatore) 3 Funzon d mmettenza Impedenza d ngresso Z I Impedenza d uscta n cortocrcuto Z o I o o G Impedenza d uscta a vuoto Z o I o o G 4

3 Funzon d trasfermento In generale, sa l ngresso che l uscta possono essere una tensone (, o ) o una corrente (I, I o ) und s possono defnre quattro tp d funzone d trasfermento Guadagno d tensone o A Guadagno d corrente I o A I I Impedenza d trasfermento o ZT I Ammettenza d trasfermento Io YT I 5 Guadagno d potenza Per un due porte collegato tra un generatore e un mpedenza d carco, s defnsce guadagno d potenza l rapporto tra la potenza attva ceduta al carco e la potenza attva fornta dal generatore A P Re * I * o o Re I o o P L P * * G Re Re I I 6

4 Espressone de guadagn n decbel Il decbel (db) è una untà logartmca convenzonale utlzzata per esprmere l rapporto tra due potenze (es. guadagno d potenza) P APdB log log AP P Nel caso d rapport tra due tenson o due corrent (es. guadagno d tensone o d corrente) s possono esprmere valor n db consderando le potenze che le tenson o le corrent svlupperebbero se applcate a resstenze d uguale valore / R AdB log log log A / R A IdB RI log log log AI RI I I Per rapport tra potenze l coeffcente moltplcatvo è, per rapport tra tenson o corrent è 7 Note I valor n decbel sono sempre quanttà admensonal dato che dervano da rapport tra grandezze omogenee qund non s utlzzano valor n decbel per le mpedenze o le ammettenze d ngresso o d trasfermento I valor n decbel de guadagn fornscono solo le nformazon relatve alle ampezze (le nformazon sulle fas devono essere ndcate a parte) un valore postvo del guadagno n db ndca che s ha amplfcazone un valore negatvo del guadagno n db ndca che l segnale n uscta è attenuato 8

5 alor n db d quanttà non admensonal E possble esprmere valor n db anche d quanttà non admensonal consderando l rapporto con un opportuno valore d rfermento In quest cas s deve specfcare l untà d msura Esemp db (db olt) = valore n db del rapporto tra una tensone e la tensone d rfermento d db log dbm (db mllwatt) = valore n db del rapporto tra una potenza e la potenza d rfermento d mw P P dbm mw log P dbm ( P mw ) log ( P W ) 3 9 Dagramm d Bode Le funzon d trasfermento (f.d.t) de crcut lnear tempo nvarant sono funzon razonal (coè rapport tra due polnom) a coeffcent real della varable m N( ) bm ( ) b ( ) b ( ) b ) n D( ) a ( ) a ( ) a ( ) a n S può dmostrare che per un sstema fscamente realzzable m n L andamento d ) vene rappresentato medante due grafc (dagramm d Bode) che rportano l modulo (n db) rsposta n ampezza l argomento (n grad o radant) rsposta n fase n funzone della pulsazone o della frequenza rappresentata n scala logartmca

6 Note Nella rappresentazone della frequenza (o della pulsazone) n scala logartmca s mettono n evdenza ntervall d frequenza caratterzzat da un rapporto costante tra la frequenza superore f e la frequenza nferore f In partcolare s chama decade un ntervallo per cu f f s chama ottava un ntervallo per cu f f Normalmente le fas vengono rappresentate nell ntervallo oppure Pol e zer Per studare le propretà delle funzone d trasfermento è convenente scrvere polnom n forma fattorzzata A tale fne, convene sostture la varable con una varable complessa s (frequenza complessa) m N( s) bms bs bs b s) n D( s) a s a s a s a I valor d s per cu s annulla l polnomo N(s) sono dett zer della f.d.t. I valor d s per cu s annulla l polnomo D(s) sono dett pol della f.d.t. Se s ndcano con z (,..., m) gl zer e con p (,..., n) pol, è possble scrvere la f.d.t. nella forma b s) a m n m n n ( s z ) ( s p )

7 Ordne della funzone d trasfermento L ordne d una funzone d trasfermento corrsponde al numero de pol, qund al grado n del denomnatore L ordne corrsponde al numero d component dnamc ndpendent (che è uguale al numero d condensator le cu tenson sono ndpendent, coè non legate tra loro dalle equazon del crcuto, pù l numero d nduttor le cu corrent sono ndpendent) Nella maggor parte de cas d nteresse pratco l ordne corrsponde al numero totale de component dnamc, ma n alcun cas partcolar (crcut degener) può rsultare nferore 3 Pol e zer real Dato che N(s) e D(s) sono polnom a coeffcent real, s possono avere pol e zer real e coppe d pol e d zer compless conugat Se z o p fattor corrspondent s rducono a s Per z o p reale fattor corrspondent possono essere post nella forma s ( s z ) z z ( s dove p ) p s z z p p p (pulsazon d taglo) 4

8 Pol e zer compless conugat I termn corrspondent a due zer compless conugat, z e z z *, possono essere post nella forma ( s z dove z z )( s z * ) ( s z z )( s z Re z s z z s ) s Analogamente termn corrspondent a due pol compless conugat possono essere post nella forma * s s ( s p )( s p ) p p p p z s (pulsazone naturale) (fattore d merto) 5 Nota S può notare che, affnché un termne quadratco del tpo s s corrsponda a una coppa d pol o zer compless conugat, occorre che sa negatvo l dscrmnante 4 und deve valere la condzone 6

9 7 Fattorzzazone della funzone d trasfermento Complessvamente la f.d.t. può essere posta nella forma La rsposta n frequenza può essere rottenuta sosttuendo s con compless pol real pol null pol compless zer real zer null zer ) ( p p p p z z z z K H compless pol real pol null pol compless zer real zer null zer ) ( p p p p z z z z s s s s s s s s K s H 8 Funzon elementar La forma fattorzzata della funzone d trasfermento rende agevole la costruzone de dagramm d Bode, nfatt Il valore n db del modulo d H è dato dalla dfferenza tra le sommatore de valor n db de modul de fattor del numeratore (ncluso K) e de fattor del denomnatore L argomento H è dato dalla dfferenza tra le sommatore degl argoment de fattor del numeratore (ncluso K) e de fattor del denomnatore I dagramm possono essere ottenut sommando contrbut d termn corrspondent alle funzon elementar ) ( ) ( ) ( ) ( K H H H H

10 Dagramm asntotc In scala logartmca grafc de modul e delle fas delle funzon sono delle rette ) K ) grafc de modul e delle fas delle funzon ) ) tendono a delle rette per e per possono essere rappresentat n modo approssmato con andament lnear a tratt (dagramm asntotc) 9 Nota Per semplctà n seguto s assumerà sa pol che gl zer abbano parte reale non postva e, qund, che le costant e sano tutte postve per quanto rguarda pol questa condzone è sempre verfcata se l crcuto è stable per gl zer la condzone è verfcata nella maggor parte de cas d nteresse pratco Nel caso d zer (o pol) con parte reale postva dagramm delle ampezze sono dentc a quell per gl zer (o pol) con parte reale postva, a parte la sosttuzone d con e d con dagramm delle fas s possono ottenere rbaltando attorno all asse delle ascsse quell corrspondent a o postvo

11 Fattore costante ) K ) log( K) arg ) db 8 per per K K H arg ) ( ) Zero nell orgne ) ) log( ) db H ( ) db db arg ) 9 + db/decade ) (db) arg )

12 Polo nell orgne ) log( ) db H ( ) db db ) arg ) 9 db/decade ) (db) arg ) 3 Nota Le rette che rappresentano l modulo del termne relatvo a uno zero o un polo nell orgne ntersecano l asse delle ascsse per rad/s Se sull asse delle ascsse vene rportata la frequenza f /(), l attraversamento avvene per f.59 Hz und per f Hz l valore del modulo è nel caso dello zero nell orgne log() 6dB nel caso del polo nell orgne log() 6dB 4

13 Zero reale - ampezza ) ) log db S possono ndvduare due asntot ) log retta orzzontale con ordnata nulla db ( H ) log log db log retta con pendenza + db/decade (= +6 db/ottava) che nterseca l asse delle ascsse per 5 Zero reale - ampezza L andamento del modulo d H può essere approssmato con un dagramma formato da due semrette che s ncontrano per (approssmazone asntotca) Per l modulo d H vale H ( db ) log 3dB uesto valore rappresenta anche l massmo errore ntrodotto dalla rappresentazone asntotca 6

14 Zero reale - ampezza + db/decade ) (db) 7 Zero reale - fase arg ) arctg und rsulta lm arctg lm arctg 9 arctg 45 In questo caso s hanno due asntot orzzontal L andamento della fase può essere approssmato medante una spezzata formata da due semrette orzzontal, corrspondent agl asntot, e da un segmento oblquo 8

15 Zero reale - fase Per traccare l segmento oblquo s possono utlzzare var crter Approssmazone : S collegano due asntot medante la retta tangente alla curva nel punto S può verfcare che le ntersezon d questa retta con gl asntot s trovano n corrspondenza delle pulsazon e e Approssmazone : S collegano gl asntot medante la retta che l nterseca per. In questo modo l massmo scostamento rsulta d crca 5.8 ed è nferore al massmo errore che s ottene con l approssmazone 9 Zero reale - fase approssmazone arg ) approssmazone 3

16 Polo reale Dato che log arg log arg ) dagramm del modulo e dell argomento d questa funzone s ottengono rbaltando attorno all asse delle ascsse dagramm corrspondent alla funzone 3 Polo reale - ampezza ) (db) db/decade 3

17 Polo reale - fase approssmazone arg ) approssmazone 33 Zer compless conugat - ampezza ) ) log db S ndvduano due asntot retta orzzontale con ordnata nulla ) log db 4 H ) log 4log db 4 log retta con pendenza +4 db/decade (+ db/ottava) che nterseca l asse delle ascsse per ( 34

18 35 Zer compless conugat - ampezza In questo caso, n prossmtà della pulsazone l andamento del modulo d H può dscostars sensblmente dal dagramma asntotco In partcolare la curva può presentare un mnmo se esste un valore reale M della pulsazone per cu s annulla la dervata d H uesto può avvenre se In questo caso s ha anche M d d M 4 ) ( H 36 Zer compless conugat - ampezza +4 db/decade ) (db)

19 Zer compless conugat - fase arg ) und arg lm arg ) arctg ( 9 arctg ( lm arg ) ) 9 8 ) 8 ) per per per Anche n questo caso s hanno due asntot orzzontal 37 Zer compless conugat - fase S può approssmare l andamento della fase medante una spezzata formata collegando due asntot con un segmento oblquo, che può essere traccato n pù mod Per esempo s può utlzzare la retta tangente alla curva per S può verfcare che per la dervata rspetto a ln() dell argomento vale, qund l equazone della retta tangente è y ln uesta retta nterseca gl asntot per 4 4 e.93 e.93 38

20 Zer compless conugat - fase arg ) 39 Pol compless conugat ) I dagramm del modulo e della fase d ) possono essere ottenut rbaltando attorno all asse delle ascsse grafc ottenut per la funzone precedente 4

21 Pol compless conugat - ampezza ) (db) 4 db/decade 4 Pol compless conugat - fase arg ) 4

22 Costruzone de dagramm approssmat Per costrure dagramm asntotc s può procedere nel modo seguente S determnano pol e gl zer della funzone d trasfermento S esprme la funzone d trasfermento come combnazone d funzon elementar S traccano dagramm de modul e degl argoment delle sngole funzon elementar S costruscono dagramm del modulo e della fase della funzone d trasfermento sommando contrbut delle funzon elementar 43 Costruzone de dagramm approssmat Per quanto rguarda l dagramma del modulo, s può notare che la pendenza per tendente a è data da nz np db/decade dove n z e n p sono l numero d zer e d pol nell orgne al crescere d quando s ncontra uno zero la pendenza aumenta d db/decade quando s ncontra un polo la pendenza dmnusce d db/decade (n partcolare zer e pol compless conugat determnano una varazone della pendenza d 4 db decade) 44

23 Fltr Un fltro è una rete a due porte n grado d trasferre n uscta segnal con frequenze comprese all nterno d predetermnat ntervall d frequenze (bande passant) e d elmnare segnal alle altre frequenze (bande oscure) Esstono quattro tp prncpal d fltr Fltro passa-basso: elmna segnal avent frequenza maggore d una frequenza d taglo f t t Fltro passa-alto: elmna segnal avent frequenza mnore d una frequenza d taglo f t t Fltro passa-banda: elmna segnal avent frequenza all esterno dell ntervallo compreso tra le frequenze f t t e f t t Fltro elmna-banda: elmna segnal avent frequenza all nterno dell ntervallo compreso tra le frequenze f t t e f t t 45 Fltr deal Passa-basso Passa-alto Passa-banda Elmna-banda 46

24 Fltr realzzabl Un fltro deale dovrebbe avere guadagno costante nelle bande passant e guadagno nullo nelle bande oscure, qund la rsposta n frequenza dovrebbe avere un andamento a gradn Funzon d trasfermento d questo tpo però non sono fscamente realzzabl In un fltro fscamente realzzable La transzone tra banda passante e banda oscura non può essere a gradno, ma s deve ammettere che avvenga n un ntervallo d ampezza (banda d transzone) Non s può ottenere un guadagno costante n tutta la banda passante, ma s deve ammettere una devazone Pmax (massma attenuazone n banda passante) Analogamente, non s può ottenere un guadagno dentcamente nullo n tutta la banda oscura, ma s deve accettare che l attenuazone non scenda al d sotto d un valore fnto Smn (mnma attenuazone n banda oscura) 47 Fltr realzzabl 48

25 Fltr del prmo e del secondo ordne D seguto verranno prese n esame le funzon d trasfermento de fltr pù semplc, coè le funzon del prmo e del secondo ordne Nel caso d funzon del prmo ordne, coè con un solo polo, s ottene un fltro passa-basso se la f.d.t non ha zer passa-alto se la f.d.t ha uno zero nell orgne Nel caso d una f.d.t del secondo ordne con due pol compless conugat s ottene un fltro passa-basso se la f.d.t. non ha zer passa-banda se la f.d.t ha uno zero nell orgne passa-alto se la f.d.t ha due zer nell orgne elmna-banda se la f.d.t. ha due zer mmagnar conugat con pulsazone uguale a quella de pol 49 Fltro passa-basso del prmo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K ) coè con un polo e prva d zer, corrsponde a un fltro passa-basso Il dagramma asntotco d ) è costtuto da un asntoto orzzontale d ordnata log K (che rappresenta l guadagno n contnua) e da un asntoto con pendenza db/decade a partre da Per l modulo della f.d.t. vale ( ) K H e qund è nferore d 3 db al guadagno n contnua La pulsazone è assunta convenzonalmente come pulsazone d taglo del fltro 5

26 Fltro passa-basso del prmo ordne ) db log K 3dB db/decade log 5 Esemp d fltr passa-basso del prmo ordne La f.d.t. del crcuto RC è o C R C dove ( K ) RC La f.d.t. del crcuto RL è o R R L dove L ( K ) R Per entramb crcut l guadagno n contnua è K ( db) 5

27 Fltro passa-alto del prmo ordne Una funzone d trasfermento del tpo ) K coè con un polo e uno zero, corrsponde a un fltro passa-alto Il dagramma asntotco d ) è costtuto da un asntoto con pendenza db/decade e da un asntoto orzzontale d ordnata log (K ) (che rappresenta l guadagno n ad alta frequenza) a partre da Per l modulo della f.d.t. vale K H ( ) e qund è nferore d 3 db al guadagno ad alta frequenza La pulsazone è assunta convenzonalmente come pulsazone d taglo del fltro 53 Fltro passa-alto del prmo ordne ) db log K 3dB + db/decade log 54

28 Esemp d fltr passa-alto del prmo ordne La f.d.t. del crcuto RL è o L K R L dove L R K L R La f.d.t. del crcuto RC è o R K R C dove RC K RC Per entramb crcut l guadagno ad alta frequenza è K ( db) 55 Fltro passa-basso del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo K ) coè con due pol compless conugat e prva d zer, corrsponde a un fltro passa-basso Il dagramma asntotco d ) è costtuto da un asntoto orzzontale d ordnata log K (che rappresenta l guadagno n contnua) e da un asntoto con pendenza 4 db/decade a partre da Per s ha ) K, qund, n partcolare, per / (coè quando pol dventano real concdent) l guadagno per è nferore d 6 db al guadagno n contnua per / l guadagno per è nferore d 3 db al guadagno n contnua 56

29 Fltro passa-basso del secondo ordne Per / pulsazone l modulo della f.d.t. ha un pcco n corrspondenza della M l cu valore è H M M ) K 4 ) 4 57 Fltro passa-basso del secondo ordne log H log K M log K ) db 4 db/decade H M K 4 M log 58

30 Esempo d fltro passa-basso del secondo ordne La funzone d trasfermento è o C R L RC LC C dove L L ( K ) LC R C R Il guadagno n contnua è K ( db) 59 Fltro passa-alto del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo ) K coè con due pol compless conugat e due zer nell orgne, corrsponde a un fltro passa-alto Il dagramma asntotco d ) è costtuto da un asntoto con pendenza 4 db/decade e da un asntoto orzzontale d ordnata log (K ) (che rappresenta l guadagno ad alta frequenza) a partre da Per s ha ) K, qund, n partcolare, per / l guadagno per è nferore d 6 db al guadagno ad alta frequenza per / l guadagno per è nferore d 3 db al guadagno ad alta frequenza 6

31 Fltro passa-alto del secondo ordne Per / l modulo della f.d.t. ha un pcco n corrspondenza della pulsazone M l cu valore è H M M ) K 4 ) 4 6 Fltro passa-alto del secondo ordne log H log K log K M ) db H M K 4 +4 db/decade M log 6

32 63 Esempo d fltro passa-alto del secondo ordne La funzone d trasfermento è dove Il guadagno ad alta frequenza è K ( db) o ) ( ) ( K LC RC LC C L R L LC K R L C L R LC 64 Fltro passa-banda del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo coè con due pol compless conugat e uno zero nell orgne, corrsponde a un fltro passa-banda Il modulo della f.d.t. ha un massmo per (pulsazone d centro banda) che vale K Il dagramma asntotco d ) è costtuto da un asntoto con pendenza db/decade e da uno con pendenza db/decade che s ncontrano nel punto, log (K ) ) ( K H

33 Fltro passa-banda del secondo ordne L andamento del modulo ha smmetra geometrca rspetto a, coè, date due frequenze a e b tal che a b (e qund / a b / ) s ha a ) b ) D conseguenza, se la frequenza è rportata n scala logartmca, l grafco ha un andamento smmetrco rspetto a uesta propretà può essere messa rscrvendo l espressone della f.d.t. nella forma K K ) ) che s ottene moltplcando numeratore e denomnatore per 65 Fltro passa-banda del secondo ordne La banda passante del fltro vene defnta convenzonalmente come ntervallo compreso tra le pulsazon e per cu l guadagno rsulta nferore d 3 db al guadagno d centro-banda und le pulsazon d taglo possono essere determnate mponendo K ) uesto rchede che sa Le soluzon postve d questa equazone sono, 4 D conseguenza la larghezza d banda è B 66

34 Fltro passa-banda del secondo ordne log K ) 3dB db log K + db/decade db/decade log Esempo d fltro passa-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è o dove R R L LC C R RC K RC LC L C L R K RC Il guadagno d centro banda è K ( db) La larghezza d banda è R L 68

35 Fltro elmna-banda del secondo ordne Una funzone d trasfermento del tpo ) K coè con due pol compless conugat e con due zer mmagnar conugat, con pulsazone uguale a quella de pol, corrsponde a un fltro elmna-banda Il modulo della f.d.t. s annulla per (detta, anche n questo caso, pulsazone d centro banda) Il dagramma asntotco d ) s rduce a una retta orzzontale con ascssa par a log K, che rappresenta l valore del guadagno n contnua e ad alta frequenza 69 Fltro elmna-banda del secondo ordne Anche n questo caso l andamento del modulo ha smmetra geometrca rspetto a, come rsulta evdente se s rscrve l espressone della f.d.t. nella forma ) K Procedendo come nel caso del fltro passa-banda s trova che le pulsazon d taglo sono date ancora della relazon, e qund la larghezza d banda è B 4 7

36 Fltro elmna-banda del secondo ordne log K ) 3dB db 4 4 log 7 Esempo d fltro elmna-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è L o C LC R L RC LC C dove L L ( K ) LC R C R Il guadagno n contnua e ad alta frequenza è K ( db) R La larghezza d banda è L 7

37 Fltr del secondo ordne I quattro fltr del secondo ordne vst negl esemp precedent possono essere ottenut a partre da un crcuto rsonante RLC sere, prelevando n modo opportuno la tensone d uscta In tutt e quattro cas valgono le relazon LC L R C R L e l guadagno nella banda passante è uguale a ( db) 73 Fltr del secondo ordne In alternatva, è possble ottenere quattro fltr del secondo ordne nserendo l ngresso n sere a ram d un crcuto rsonante parallelo Passa basso Passa alto Passa banda Elmna banda 74

38 Esempo d fltro passa-basso del secondo ordne La funzone d trasfermento è o G C L LG LC G C dove C C ( K ) LC G L G Il guadagno n contnua è K ( db) 75 Esempo d fltro passa-alto del secondo ordne La funzone d trasfermento è o L G ( ) LC ( ) K LG LC L G C dove C C K LC LC G L G Il guadagno ad alta frequenza è K ( db) 76

39 Esempo d fltro passa-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è o C LG L K G LG LC L C dove C C K LG LC G L G Il guadagno d centro banda è K ( db) La larghezza d banda è G C 77 Esempo d fltro elmna-banda del secondo ordne La funzone d trasfermento è o dove G LC GL LC G C L C C LC G L G K ( ) Il guadagno n contnua e ad alta frequenza è K ( db) G La larghezza d banda è C 78