Appendice 2 - Linee di trasmissione

Transcript

1 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca Appendce - nee d trasmssone Introduone... Equaone delle lnee d trasmssone... 4 Premesse... 4 Defnone d tensone e corrente... 5 Equaon della lnea d trasmssone... 6 Parametr per untà d lunghea... Soluone nel domno del tempo... Fenomeno della rflessone... 3 Esempo... 6 Soluone n regme snusodale permanente: Equaone de telegrafst... 7 Introduone... 7 rcuto equvalente d un tratto nfntesmo d lnea... 7 soluone delle equaon de telegrafst... 9 Osservaone: tensone e corrente nel domno del tempo... Impedena caratterstca della lnea... ondon al contorno... 3 aso partcolare: assena d perdte (α)... 4 Impedena d ngresso... 6 aso partcolare: perdte nulle... 7 Osservaone: applcaone della matrce ABD... 8 alore esatto della costante d propagaone γ n assena d perdte... 8 aso partcolare: ondone d Heavysde... 3 aso partcolare: carco costtuto da cortocrcuto... 3 aso partcolare: carco costtuto da un crcuto aperto... 3 Dagramm della tensone e della corrente n assena d perdte... 3 caso: carco costtuto da un cortocrcuto caso: carco costtuto da un crcuto aperto caso: carco adattato alutaone analtca de dagramm apporto d onda staonaro Dagramm dell mpedena d ngresso nea d lunghea λ/4 come nverttore d mpedena... 4 Osservaone oeffcente d rflessone sul carco oeffcente d trasmssone sul carco Osservaone oeffcente d rflessone n una seone generca Flusso d potena... 5

2 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce INTODUZIONE Una lnea d trasmssone è semplcemente un sstema formato da due o pù conduttor parallel ravvcnat. In questo captolo c occupamo specfcamente del caso n cu conduttor sono solo due, ma osservamo che sono d grande nteresse pratco anche quelle stuaon n cu conduttor sono ad esempo tre: n quest cas, nfatt, è mportante studare gl effett della cosddetta dafona. Alcun esemp tpc d lnee d trasmssone formate da due conduttor sono llustrat nella fgura seguente: Nella fgura (a) è rappresentata una semplce lnea d trasmssone a due fl parallel, n cu due conduttor sono clndrc con seone crcolare. almentaone della lnea è costtuta da una sorgente rappresentata tramte l suo equvalente d Thevenn: essa è percò modellata tramte una tensone d crcuto aperto S (t) n sere ad una resstena S. Questa almentaone è connessa, medante conduttor della lnea, ad un carco d resstena. Un altro esempo d lnea d trasmssone a due fl è quello della fgura (b), n cu è presente un solo conduttore clndrco, mentre l altro è stato sosttuto da un pano d massa (ovvamente metallco) d dmenson dealmente nfnte. Tale pano d massa svolge percò la funone d conduttore d rtorno per l segnale, l quale, partendo dalla sorgente, raggunte l carco tramte l conduttore clndrco (conduttore d andata). Un altro caso ancora è quello della fgura (c), n cu è rportato l classco cavo coassale (ad esempo utlato per la connettere l televsore alla presa T domestca). In questo caso, uno schermo clndrco a seone crcolare (la cosddetta cala) racchude un conduttore (detto cuore) che è localato lungo l asse dello schermo: l cuore funge da conduttore d andata per l segnale, mentre la cala funge da conduttore d rtorno. Autore: Sandro Petrell

3 Teora delle lnee d trasmssone sono d altra parte altre possbl realaon d lnee d trasmssone a due conduttor. D partcolare mportana sono quelle che appartengono alla categora de crcut stampat (PB, Prnted rcut Board). Nella fgura seguente sono rportat tre possbl tpologe: Nella fgura (a) notamo un conduttore con seone trasversale d forma rettangolare (la cosddetta psta) posto sulla superfce superore d un substrato delettrco (ad esempo la vetroresna) e po un pano d massa stuato sulla superfce nferore dello stesso substrato. a psta rappresenta l conduttore d andata, mentre l pano d massa serve per l rtorno del segnale. Questo tpo d lnea è comunemente utlata per l progetto d crcut a mcroonde e vene denomnata lnea d trasmssone n mcrostrsca. a fgura (b) mostra una lnea d trasmssone realata drettamente tramte due pste, una d andata ed una d rtorno, depostate sulla stessa facca del substrato delettrco. altro caso è nfne quello della fgura (c), n cu s usano ancora due pste, ma dsposte sulle facce opposte del substrato. E mportante sottolneare una mportante dfferena tra le confguraon della prma fgura e quelle della seconda fgura: nella seconda fgura, relatva coè a crcut stampat, conduttor s trovano mmers n un meo che non è omogeneo (rspetto alla permettvtà): nfatt, camp che s svluppano tra due conduttor sono localat n parte nell ara (dove εε ) ed n parte nel substrato delettrco (dove εε r ε ε ); al contraro, le confguraon nella prma fgura rappresentano lnee a due conduttor n me omogene; n partcolare, l meo è generalmente rappresentato dall ara. In effett, però, se conduttor fossero rcopert (come avvene ne cas real) da uno strato d solante, darebbero anch ess orgne a lnee n me non omogene: nfatt, n questo caso camp s localerebbero n parte nell solante ed n parte nell ara ad esso crcostante. Per queston d semplctà, faremo sempre rfermento alla presena d un meo omogeneo costtuto dall ara, l che sgnfca che εε (coè ε r ) e µµ (coè µ r ). Il problema generale dell anals delle lnee d trasmssone a due conduttor consste nel determnare, n tutt punt della 3 Autore: Sandro Petrell

4 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce lnea, le corrent ne conduttor e le tenson tra due conduttor. In partcolare, cò che ha pù mportana è la valutaone d tal corrent e tenson n corrspondena della sorgente ed n corrspondena del carco, ossa agl estrem della lnea propramente detta. Equaone delle lnee d trasmssone PEMESSE ome vedremo nel dettaglo, le equaon che regolano le tenson e le corrent all nterno d una lnea d trasmssone sono equaon dfferenal, alle dervate paral, dette appunto equaon della lnea d trasmssone. Queste equaon costtuscono l modello per la generca lnea d trasmssone. Un prmo aspetto da consderare rguarda le caratterstche de camp elettrc e magnetc che crcondano conduttor d una lnea d trasmssone. a struttura fondamentale d tal camp è quella d un campo elettromagnetco trasversale (TEM): questo sgnfca che vettor E r (ntenstà d campo elettrco) e H r (ntenstà d campo magnetco) non presentano ma component parallele alla lnea d trasmssone. Qund, quando consderamo le onde elettromagnetche che s propagano n una lnea e supponamo un modo TEM d propagaone, c rferamo al caso n cu vettor d campo sono trasversal rspetto alla dreone d propagaone. Nel seguto consdereremo noltre solo lnee d trasmssone unform: una lnea d trasmssone è unforme quando la geometra della seone trasversale (ntesa coè come la seone trasversale sa de conduttor sa del delettrco) rmane nvarata n ogn punto della lnea stessa. Per poter rcavare le equaon della lnea d trasmssone, supponamo d orentare due conduttor della lnea stessa lungo l asse d un sstema d coordnate cartesane. Tanto per fssare le dee, possamo pensare d rferrc ad una lnea del tpo rportato nella fgura seguente, anche se rsultat che otterremo saranno del tutto general, vald per qualsas caso: asse è dunque quello parallelo a due conduttor, per cu gl ass x ed y defnscono un pano ortogonale (trasversale) a conduttor stess. Immagnamo d applcare alla lnea una corrente ed una tensone costant nel tempo. a tensone presente tra due conduttor determnerà la comparsa d carche sulla superfce de fl, le qual r qund generano un campo elettrco E T (, t) dretto da un conduttore all altro. Inoltre, la corrente che Autore: Sandro Petrell 4

5 Teora delle lnee d trasmssone r crcola n un conduttore e torna ndetro tramte l altro crea un campo magnetco H T (,t) che crconda cascun flo. Faccamo per l momento l potes che la lnea sa nfntamente estesa: questo garantsce che non nascano perturbaon su camp dovute agl estrem della lnea stessa, per cu camp elettrco e magnetco (nell potes d modo TEM) gaccono nel pano [x,y] e sono trasversal rspetto all asse della lnea (l che gustfca l pedce T usato per ndcare tal camp). è però da osservare che questo dscorso rsulta sempre meno valdo all aumentare della frequena della tensone e della corrente: nfatt camp manterranno la struttura trasversale fno ad una frequena lmte (detta frequena d taglo nferore) al d sopra della quale mod d ordne superore, analogh a quell delle gude d onda, prendono a propagars nseme al modo TEM. Per le lnee d dmenson ordnare, quest mod d ordne superore dventano sgnfcatv solo per frequene partcolarmente alte (dell ordne de GH), per cu no le trascuramo n questo contesto, contnuando a rtenere che l unco modo presente sa l modo TEM. DEFINIZIONE DI TENSIONE E OENTE Una volta stablto l tpo d mod che s propagano nella lnea, possamo andare a defnre, n modo unvoco, la tensone e la corrente per la lnea. In partcolare, l potes della presena del modo TEM faclta d molto nostr dscors. Al fne d defnre la tensone e la corrente della lnea, consderamo la legge d Faraday e la legge d Ampere, nella loro forma ntegrale. Scelto un arbtraro contorno che gace nel pano [x,y] (che rcordamo è perpendcolare all asse della lnea) e presa una altrettanto arbtrara superfce S avente come contorno, tal legg fssano valor delle crcutaon lungo rspettvamente del campo elettrco e del campo magnetco: r r E dl µ r r H dl S r r H ds d dt S r r J ds ε d dt S r r E ds dove abbamo potato l mpego d un meo per l quale rsult r r r r B µ H e D εe. Dato che l contorno è ortogonale all asse della lnea, l vettore d r l non ha componente lungo (dl ), per cu la crcutaone de camp E ed H convolge solo le component lungo x e lungo y; analogamente, l vettore ds r contene solo la componente lungo (ds x ds y ), per cu gl ntegral d superfce convolgono solo le component de vettor convolt: rscrvamo allora quelle due relaon nella forma d ( E xdx E ydy) µ H dxdy dt xy d ( H xdx H ydy) J dxdy ε xy Sxy D altra parte, la caratterstca del modo TEM è quella per cu camp trasversal sono null (E H ), per cu quelle relaon dventano Sxy dt Sxy E dxdy 5 Autore: Sandro Petrell

6 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce ( E xdx E ydy) xy ( H xdx H ydy) xy A ben vedere, queste sono esattamente le equaon valde per camp statc. D conseguena, possamo dare defnon unvoche d tensone e corrente così come samo abtuat a fare per camp statc: Sxy J dxdy per quanto rguarda la tensone tra conduttor, possamo scrvere che (, t) r r E dl v dove è un qualsas percorso che collegh due fl della lnea e che appartenga al pano trasversale [x,y]; per quanto rguarda la corrente nel generco conduttore, possamo nvece scrvere che I(,t) t T r r HT dl dove t è un qualsas percorso che crconda l conduttore e che appartene al pano trasversale [x,y]. Da notare che l arbtraretà nella scelta d e t rende unvoche le due defnon appena fornte. Faccamo anche un altra osservaone, relatva alla corrente: per ogn seone della lnea, le corrent lungo due fl hanno ugual modulo ma verso opposto; questa propretà è quella che defnsce la cosddetta corrente d modo dfferenale; n effett, però, s può vedere che può esstere anche un altra corrente lungo due fl, che abba modulo e verso ugual su entramb: è la cosddetta corrente d modo comune. e equaon delle lnee d trasmssone mettono n evdena solo la corrente d modo dfferenale, per cu c concentreremo solo su d essa. Notamo noltre che sa la tensone sa la corrente sono funon sa della posone lungo la lnea sa del tempo t. Questo sgnfca che, fssato un stante d osservaone, potremo osservare un andamento d ed I lungo la lnea (coè al varare d ), così come, fssata una seone della lnea, potremo osservare n sua corrspondena un andamento temporale d ed I. EQUAZIONI DEA INEA DI TASMISSIONE e premesse de precedent paragraf c consentono d andare a determnare la dstrbuone d corrente, delle dfferene d potenale e della potena trasferta n una lnea d trasmssone. Esstono dvers metod per affrontare questo problema, ma tal metod possono essere raggruppat sostanalmente n due grupp: quell basat sulla teora delle ret elettrche e quell che dervano dalla teora dell elettromagnetsmo. No seguamo un metodo relatvo alla teora delle ret elettrche. Autore: Sandro Petrell 6

7 Teora delle lnee d trasmssone onsderamo dunque una generca lnea d trasmssone utlata per l trasporto dell energa elettrca da un generatore verso un carco. Dato che non ntendamo fare una anals d tpo elettromagnetco, la natura della lnea può essere qualunque, nel senso che potrà trattars d un cavo coassale, d una fbra ottca, d una lnea bflare e così va. Per semplctà d schemataone, consderamo un conduttore d andata parallelo ad un pano d massa avente la funone d conduttore d rtorno: generatore carco terra (pano d massa) Questa lnea avrà una certa lunghea par alla dstana tra l generatore ed l carco almentato. Il generatore applca una certa tensone ad un capo della lnea e questa tensone s propaga lungo la lnea fno a gungere al carco. oglamo allora stablre n che modo s propagh tale tensone e, ovvamente, n che modo s propagh la corrente elettrca che da essa derva. Dato che la propagaone avvene ntutvamente dal generatore verso l carco, stablamo (per l momento) come dreone d rfermento quella parallela alla lnea e orentata n dreone del carco stesso: generatore carco Una volta defnte, n modo unvoco, la tensone e la corrente, possamo consderare un tratto nfntesmo (elettrcamente) della lnea (supposto d lunghea d) e possamo assocare ad esso un modello crcutale a parametr concentrat. e consderaon da fare, per costrure questo modello, sono abbastana ntutve. In prmo luogo, sappamo che la lnea d trasmssone, essendo costtuta d materal conduttor, è caratterata da una certa resstena e da una certa nduttana, entrambe per untà d lunghea: terra la resstena rappresenta la corrente d conduone che flusce tra due conduttor; l nduttana tene nvece conto del campo magnetco che, generato dalla corrente d conduone, attraversa la regone compresa tra due conduttor stess: tale nduttana, qund, rappresenta n pratca la spra formata dall nseme de due conduttor. Allora, se ndchamo con r la resstena per untà d lunghea e con l l nduttana per untà d lunghea, è charo che l nostro tratto d lnea d sarà caratterato da una resstena rd e da una nduttana ld. Possamo allora comncare a rappresentarlo nel modo seguente: rd ld 7 Autore: Sandro Petrell

8 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce a resstena e l nduttana sono due parametr che tengono conto de cosddett effett longtudnal nella lnea; c sono però anche cosddett effett trasversal, dovut al fatto che abbamo due conduttor n parallelo, tra qual qund s svluppano degl effett capactv : ndcata allora con c la capactà per untà d lunghea della lnea, l tratto d sarà caratterato anche da una capactà cd che andamo a rappresentare nel modo seguente: rd ld cd Non è ancora fnta: la capactà appena nserta è valda solo nel caso n cu l delettrco compreso tra la lnea e la terra present conducbltà nulla; al contraro, nella realtà c sono fenomen che rendono questa conducbltà non nulla (per cu l delettrco presente delle perdte 3 ); per tenerne conto, c basta nserre n parallelo alla capactà una nuova resstena rd : per dstnguere questa resstena da quella consderata prma, usamo pedc e come n fgura. r d ld cd r d Questo è dunque l modello crcutale equvalente attraverso l quale ntendamo descrvere la propagaone dell onda d tensone e dell onda d corrente attraverso l elemento nfntesmo d della lnea d trasmssone consderata. a nostra lnea d trasmssone sarà costtuta da una cascata d crcut d questo tpo e termnata ad un estremo della sorgente (generatore d tensone n sere ad una resstena) ed all altro dal carco (resstena). Notamo una cosa: fno ad ora, non abbamo ancora fatto alcuna potes sul tpo d segnale che va ad ecctare la lnea d trasmssone, per cu non possamo dre nente crca l regme d corrente e d tensone che s nstaura lungo la lnea. edremo nvece che rsulta d notevole nteresse l caso n cu l ecctaone sa d tpo snusodale sofrequenale: n questo caso, nfatt, una volta raggunta una condone d regme (coè una volta esaurt tutt possbl fenomen transtor), le corrent e le tenson sono a loro volta d tpo snusodale. In questa condone d funonamento, 4 element crcutal ntrodott poco fa possono essere sosttut con le rspettve mpedene, l che consente d E l campo elettrco che crconda conduttor a creare un effetto capactvo tra d ess. a capactà per untà d lunghea rappresenta la corrente d spostamento che flusce tra conduttor, la quale è presente per qualsas meo nterposto tra conduttor, sa con perdte sa sena perdte. Dato che la lnea è supposta unforme, la capactà per untà d lunghea è la stessa per ogn punto della lnea. Al contraro, se la lnea non fosse unforme (per effetto d una seone trasversale varable), la capactà rsulterebbe funone della posone lungo la lnea, per cu sarebbe una cc(). 3 Queste perdte non vanno confuse con quelle della lnea, che sono rappresentate dalla resstena ntrodotta prma, rappresentatva della corrente d conduone. Autore: Sandro Petrell 8

9 Teora delle lnee d trasmssone semplfcare la sere ed l parallelo che s creano e d rcondurs qund ad un nostro modello fnale del tpo seguente: I() () - d d I(d) (d) - d asse dove ovvamente abbamo posto ( ω ) & r j l & y& r j c ( ω ) Ad ogn modo, tornamo al caso d un regme generco. Notamo che l modello crcutale cu samo pervenut è quello d un classco doppo bpolo (o elemento bporta che dr s vogla). Indchamo allora con (,t) ed I(,t) la tensone e la corrente alla porta d ngresso (coè n corrspondena della generca seone ) e con (,d,t) e I(,d,t) la tensone e la corrente alla porta d uscta (coè n corrspondena della seone d). Entrambe queste coppe (tensone,corrente) sono ovvamente funon anche del tempo. Il nostro scopo è adesso quello d trovare le equaon che legano le tenson e le corrent n corrspondena delle seon e d. Applcando banalmente le legg d Krchoff, ottenamo quanto segue: ( d, t) (, t) r d I(, t) l d I(, t) t I( d, t) I(, t) g d ( d, t) c d ( d, t) t a prma equaone rappresenta la dfferena tra la tensone n uscta e quella n ngresso, così come la seconda equaone rappresenta la dfferena tra la corrente n uscta e quella n ngresso. Affnché questo modello crcutale a parametr concentrat sa valdo, occorre che la lunghea d sa elettrcamente corta rspetto alla lunghea d onda 4. Dobbamo allora supporre che sa d. Prma ancora d fare questa potes, rscrvamo le ultme due equaon nel modo seguente, n cu dvdamo prmo e secondo membro per d: 4 Ovvamente, stamo facendo mplctamente l potes che l ecctaone della lnea sa comunque d tpo perodco, ossa ottenuta come una sovrapposone d snusod a vare frequene. D conseguena, per stablre la lunghea elettrca della lnea, s deve far rfermento alla lunghea d onda mnore, ossa quella assocata alla pù alta frequena d utlo del modello: nfatt, se la lnea rsulta elettrcamente corta rspetto alla lunghea d onda pù pccola, lo sarà scuramente anche rspetto alle lunghee d onda maggor (quelle coè assocate a frequene pù basse). 9 Autore: Sandro Petrell

10 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce ( d,t) (,t) r I(, t) l I(,t) d t I( d, t) I(,t) g ( d, t) c ( d,t) d t A questo punto, possamo calcolare l lmte per d d entramb membr d entrambe le equaon: a prm membr ottenamo due dervate (lmt de rspettv rapport ncremental), mentre a secondo membro le tenson e le corrent alla seone tendono a concdere con quelle alla seone d. Qund (,t) r I(,t) l I(, t) t I(, t) g (,t) c (,t) t Queste sono le equaon delle lnee d trasmssone. s tratta d un sstema accoppato d equaon dfferenal alle dervate paral del prmo ordne. Notamo subto che le equaon appena rcavate sono del tutto general. Tuttava, spesso è utle far rfermento ad un caso partcolare, relatvo alle lnee d trasmssone sena perdte: sono tal quelle lnee n cu non c sono perdte d potena né all nterno de conduttor (qund r ) né all nterno del delettrco d separaone (qund g ) 5. a ragone prncpale che conduce all potes d lnea d trasmssone sena perdte è dovuta al fatto che essa permette d ottenere ragonevol approssmaon de rsultat esatt e, allo stesso tempo, semplfca molto calcol. Parametr per untà d lunghea Un altra mportante osservaone, crca le equaon delle lnee d trasmssone, è che, n base al dscorso fatto, esse sono relatve a lnee d trasmssone d tpo qualunque; n altre parole, la forma d tal equaon rmane nvarata qualsas sa la lnea d trasmssone a due conduttor; dove subentra l tpo d lnea è ne valor de parametr per untà d lunghea (r, c, l e g ): tutte le nformaon assocate alla geometra della seone trasversale, al tpo d delettrco ed al tpo d conduttor, nformaon che coè sono propre d una partcolare lnea, sono contenute soltanto ne parametr per untà d lunghea. SOUZIONE NE DOMINIO DE TEMPO Una volta rcavate le equaon delle lnee d trasmssone, l passo successvo è ovvamente quello d rsolverle, n modo da trovare come varano, rspetto al tempo ed alla posone, le forme d onda della tensone (,t) tra due conduttor e della corrente I(,t) ne due conduttor. E possble andare a rcavare due dverse soluon: la soluone nel domno del tempo è quella pù completa possble, n quanto vene rcavata sena formulare potes crca l andamento temporale de segnal d ecctaone; 5 In pratca, conduttor s suppongono a conduttvtà nfnta, mentre l delettrco s suppone a conduttvtà nulla. Autore: Sandro Petrell

11 Teora delle lnee d trasmssone la soluone n regme snusodale, nvece, presuppone una ecctaone d tpo snusodale e s rfersce noltre ad una condone d regme sulla lnea, ossa ad una condone n cu s assumono esaurt tutt possbl fenomen transtor. occuperemo dffusamente pù avant della soluone n regme snusodale, mentre adesso vedamo la soluone nel domno del tempo. Segnalamo che, talvolta, s parla d soluone transtoro, ma è un errore, n quanto la soluone nel domno del tempo è d tpo globale: essa comprendere sa l transtoro sa l regme. Per semplctà consderamo l caso d una lnea prva d perdte, mentre n seguto, quando prenderemo n esame la soluone n regme snusodale, consdereremo anche l caso generale d lnee con perdte. Dre che la lnea è sena perdte equvale a dre che r e g, per cu le equaon da rsolvere sono le seguent: (, t) I(, t) l t c t I(, t) (, t) Il modo d procedere è semplce. Per prma cosa, dervamo la prma equaone rspetto a e la seconda rspetto a t: (, t) l I(, t) t I(, t) c (, t) t t Sosttuendo adesso la seconda nella prma, ottenamo una equaone dfferenale del secondo ordne nella sola ncognta (,t): (,t) l c (,t) t In modo del tutto analogo possamo procedere per ottenere una equaone nella sola ncognta I(,t): I(, t) c l I(, t) t In defntva, qund, c samo rcondott ad un sstema d due equaon dsaccoppate tra d loro: (, t) I(, t) l c t l c t (, t) (, t) E noto che queste equaon (formalmente dentche) ammettono soluon nella forma seguente: Autore: Sandro Petrell

12 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce (, t) t t v v I(,t) I t I t v v In queste espresson abbamo ndcato con la cosddetta mpedena caratterstca della lnea e con v la veloctà d propagaone delle onde lungo la lnea stessa: le rspettve espresson sono v lc µε l vl c dove evdentemente µ ed ε sono parametr caratterstc del meo (supposto omogeneo) n cu sono mmers conduttor. Faccamo allora qualche consderaone crca le soluon trovate per (,t) e I(,t). Data la perfetta analoga tra queste soluon, possamo ragonare su una sola d esse e consderamo percò, ad esempo, la tensone. Abbamo trovato che (,t) è la somma d due funon, una d argomento v-/v e l altra d argomento v/v. espressone esplcta d tal funon dpende strettamente dal tpo d ecctaone e sarà percò esamnata quando consdereremo l caso partcolare d ecctaone snusodale. In generale, però, le due funon mostrano gà le rspettve caratterstche: la funone t rappresenta un onda che s muove nella dreone postva delle v (qund dalla sorgente verso l carco per come abbamo fssato precedentemente l nostro rfermento) e prende percò l nome d onda progressva (n questo caso d tensone, ma valgono le stesse consderaon per quella d corrente); dualmente, la funone t rappresenta un onda che s muove nella dreone negatva v delle (qund dal carco verso la sorgente) e prende percò l nome d onda regressva (d tensone e/o d corrente). a soluone complessva, che coè c da l andamento effettvo della tensone lungo la lnea ed al varare del tempo, è dunque la somma delle onde progressve e delle onde regressve. a corrente assocata a cascuna onda è po legata alla tensone d quell onda per meo della mpedena caratterstca prma ntrodotta: I t I t v v vc t v t v Autore: Sandro Petrell

13 Teora delle lnee d trasmssone Queste relaon consentono d rscrvere la soluone trovata nella forma (, t) t v I(,t) I t v t v I t v Fenomeno della rflessone erchamo adesso d capre ancor pù nel dettaglo l meccansmo secondo cu s generano onde progressve e onde regressve lungo la lnea n esame. onsderamo una lnea d lunghea totale. In corrspondena del carco (), la tensone e la corrente, n un arbtraro stante t, valgono (t) (,t) t t v v I (t) I(,t) I t I t v v S defnsce coeffcente d rflessone del carco l rapporto tra l onda regressva d tensone e l onda progressva d tensone: t v Γ t v Questa relaone, scrtta n altro modo, dce sostanalmente che, a causa della presena dell onda progressva d tensone, l carco genera un onda regressva d tensone la cu ampea è Γ volte quella dell onda progressva: t Γ t v v Oltre a questo, consderando l legame esstente tra le onde progressva e regressva d tensone e quelle progressva e regressva d corrente, è mmedato accorgers che I t Γ I t v v Analogamente a prma, possamo dre che a causa della presena dell onda progressva d corrente, l carco genera un onda regressva d corrente la cu ampea è Γ volte quella dell onda progressva ma d segno contraro. 3 Autore: Sandro Petrell

14 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce E abbastana facle trovare una espressone sgnfcatva del coeffcente d rflessone sul carco: nfatt, dobbamo tener conto che la tensone totale (t) sul carco è semplcemente quella dovuta alla corrente I (t) che attraversa l carco stesso, per cu scrvamo che (t) I (t) t t v v D altra parte, avendo vsto che questa stessa tensone può essere scrtta, n generale, nella forma (t) (, t) t t v v ottenamo, uguaglando second membr delle ultme due equaon, che t v t v t v t v Se dvdamo ambo membr per qund può essere determnata: t, ottenamo una equaone nell ncognta Γ, che v Γ Γ Γ Γ Γ Abbamo dunque ottenuto che l coeffcente d rflessone sul carco è unvocamente determnato dal carco e dalla mpedena caratterstca della lnea consderata. In pratca, l processo d rflessone può essere vsto come quello d uno speccho che rproduce - come mmagne d : tutt punt della forma d onda - sono corrspondent d quell della forma d onda, moltplcat per l coeffcente d rflessone. edamo d spegarc ancora meglo. onsderamo sempre la generca lnea della fgura seguente, almentata da un generatore S (t) con resstena sere S e chusa su un carco : Supponamo d avvare l ecctaone all stante t. S crea mmedatamente un onda progressva che comnca a propagars lungo conduttor, dretta verso l carco. Fn quando tale onda non raggunge l carco, non c è alcuna onda rflessa, propro perché non s è ancora verfcato alcun processo d rflessone. Se v è la veloctà d propagaone dell onda, essa mpega un tempo T/v per raggungere l carco; qund, all stante tt, s genera l onda rflessa, che è una fraone (par a 4 Autore: Sandro Petrell

15 Teora delle lnee d trasmssone Γ ) d quella ncdente, la quale prende a propagars verso la sorgente; essa mpega un ulterore tempo T per raggungere alla sorgente (posta n ). Qund, n corrspondena della sorgente, non appare alcuna onda regressva nell ntervallo d tempo [,T], per cu, n tale ntervallo, la tensone e la corrente n saranno determnate solo dalle onde progressve e I : scrvamo dunque che t T : (, t) t v I(, t) I t v t v E evdente che, n e per t T, l rapporto tra la tensone totale e la corrente totale rsulta par a, per cu questa è l mpedena d ngresso della lnea n questo ntervallo d tempo. Il tutto è rassunto dal crcuto seguente, valdo appunto per t T, nel quale la lnea ed l carco vengono sosttut dall mpedena d ngresso vsta dalla sorgente: S I(,t) S (t) - (,t) - Z solvendo questo crcuto, trovamo banalmente che la tensone e la corrente n corrspondena d valgono (, t) S (t) I(, t) S S Queste relaon mostrano che le onde generate nella fase nale ( t T) hanno lo stesso andamento della sorgente d tensone. Una volta generata, l onda vagga dunque n dreone del carco e mpega un tempo T per raggungerlo. Una volta raggunto l carco, s genera un segnale rflesso, che mpega un ulterore tempo T per raggungere nuovamente la sorgente. Qu s verfca un ulterore rflessone, secondo un coeffcente d rflessone della sorgente così defnto: Γ S ncdente rflessa S (,t) (,t) In questo caso, l onda ncdente è quella che è stata rflessa dal carco (per cu s è propagata dal carco verso la sorgente), mentre l onda rflessa è la fraone d quest onda che vene rflessa dal sorgente (e che qund s muove nuovamente verso l carco). on un dscorso perfettamente analogo a quello fatto per l coeffcente d rflessone sul carco, s può trovare la seguente espressone del coeffcente d rflessone della sorgente: (t) 5 Autore: Sandro Petrell

16 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce Γ S S S In sostana, qund, un onda progressva vene generata n corrspondena della sorgente n modo del tutto analogo a quanto accade per la generaone d un onda regressva n corrspondena del carco. Questo processo d successve rflesson s tera attraverso nuove rflessone, sa alla sorgente sa al carco. In ogn stante, la tensone totale è data, per ogn punto della lnea, dalla somma d tutte le sngole onde d tensone che transtano n quell stante n quel punto della lnea. Analogo dscorso vale ovvamente per la corrente. Esempo Possamo anche fare un esempo concreto d quanto appena detto. Supponamo che la generca lnea venga almentata, nell stante t, da una battera d 3 con resstena sere nulla. a lnea ha una lunghea 4m ed una mpedena caratterstca 5Ω e la veloctà d propagaone n essa è v m/µsec. Tale lnea è noltre chusa su un carco puramente resstvo d valore Ω. on quest valor, coeffcent d rflessone alla sorgente ed al carco rsultano essere seguent: 5 S 5 Γ ΓS Queste espresson c dcono quanto segue: n corrspondena del carco, la rflessone produce un onda con ampea /3 d quella ncdente; n corrspondena della sorgente, la rflessone produce un onda d ampea uguale a quella dell onda ncdente ma con segno cambato. edamo allora n cosa questo s traduce. Abbamo detto che all stante t vene applcato a cap della lnea un gradno d 3. Questo gradno prende a propagars verso l carco, che raggunge dopo un tempo T/vµsec. Qund, nell ntervallo [,µsec], la tensone lungo la lnea rsulta nulla prma dell arrvo dell mpulso e par a 3 dopo l passaggo d quest ultmo. All stante tµsec, la tensone lungo tutta la lnea è d 3 e s è noltre generata un onda rflessa n corrspondena del carco. ampea d tale onda è /3 d quella ncdente, per cu vale. Questo nuovo mpulso s propaga verso la sorgente, che raggunge dopo altr µsec. Qund, n t4µsec, la tensone su tutta la lnea è d 4, somma dell onda ncdente (3) e d quella rflessa (). Quando l onda rflessa arrva alla sorgente (t4µsec), c è una ulterore rflessone, per cu s genera una nuova onda progressva, d ampea uguale a contrara a quella ncdente, per cu -. Nell stante t6µsec, quest onda arrva al carco, per cu la tensone lungo tutta la lnea 3-3. a rflessone da ora orgne ad una nuova onda regressva, d ampea /33,33, che vene nuovamente nvata verso la sorgente. In generale, questo meccansmo prosegue ndefntamente, ma s arrva ad un stante n cu la tensone sulla lnea s assesta asntotcamente. In partcolare, c s può rendere conto faclmente che la tensone sul carco s assesta asntotcamente sul valore che c s aspetta n condon d regme e coè ovvamente 3. a corrspondente corrente (asntotca) s ottene dvdendo tale tensone per Ω del carco, ma s potrebbe ovvamente gungere allo stesso rsultato ndagando sulle onde corrente così come prma abbamo ndagato sulle onde d tensone. S Autore: Sandro Petrell 6

17 Teora delle lnee d trasmssone Soluone n regme snusodale permanente: Equaone de telegrafst INTODUZIONE Adesso, possamo rpetere le consderaon fatte ne precedent paragraf, al fne d rcavare le equaon delle lnee d trasmssone, ma mettendoc nell potes partcolare che sulla lnea s sa nstaurato un regme permanente d tpo snusodale. a prma potes è dunque quella per cu la sorgente abba una forma snusodale, che sappamo d poter scrvere nel modo seguente: j ω (t) cos ωt e e t S S ( ) { } A questa partcolare forma d onda sappamo d poter assocare l fasore equvalente S S S, dove la fase nulla ndca che stamo prendendo questo fasore come rfermento per tutt gl altr. a seconda potes consste nell assumere che la sorgente sa stata connessa alla lnea per un tempo suffcente alla estnone d tutt fenomen transtor, lascando così che n cascun punto della lnea s stablno tenson e corrent con andamento snusodale. ò sgnfca che anche queste tenson e corrent saranno suscettbl d una rappresentaone fasorale e coè qund che potremo comodamente ragonare nel domno de fasor, da cu po rsalre al domno de temp (che è quello d nteresse pratco): jωt (, t) e ()e I(,t) e { } { } j ω I()e t Per semplctà d notaone, ne prossm paragraf evteremo d ndcare l trattno orontale per contrassegnare fasor e converremo d dstnguere tal fasor dalle quanttà nel domno del tempo tramte l uso delle lettere mnuscole. Qund, adotteremo la seguente smbologa: v(, t) (, t) e e jωt { (, ω) } e{ ()e } { I(, )} e{ I()e } j ω ω t IUITO EQUIAENTE DI UN TATTO INFINITESIMO DI INEA Nell potes d essere n regme snusodale permanente, abbamo gà vsto n precedena che l modello crcutale equvalente del generco tratto d della lnea è l seguente: I() () - d d I(d) (d) - 7 d asse Autore: Sandro Petrell

18 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce dove abbamo posto ( ω ) & r j l & y& r j c ( ω ) Procedamo allora così come abbamo fatto nel caso d un regme generco, tenendo conto che adesso non samo pù nel domno del tempo, ma nel domno de fasor, per cu le quanttà con cu abbamo a che fare sono tutte fasoral (coè sostanalmente numer compless cu sono assocate forme d onda snusodal) 6. Applcando la KT n senso oraro, abbamo che ( ) ( ) ( ) d I( ) ( d) I( ) r j d ( d) ωl Possamo scuramente porre ( d) ( ) d, per cu, effettuando la sosttuone, ottenamo ( ) ( ) d I( ) ( ) d da cu rcavamo evdentemente che d I d In modo analogo, applcando la K ottenamo che ( ) ( )( ) I( ) ( ) d y d I( d) ( ) d g j c d I( d) ω Ponendo anche per le corrent I( d) I( ) di, abbamo che da cu, esplctando di, ottenamo ( ) I( ) y ( ) d d I( ) di ( ) di y ( ) d d y ( ) d y dd Il termne y dd è un nfntesmo d ordne superore rspetto al termne y dd e qund lo possamo trascurare: ottenamo n tal modo che di ()yd In conclusone, abbamo rcavato l seguente sstema d equaon dfferenal lnear del ordne a coeffcent costant: equaon de d I()d telegrafst di ()yd 6 Osservamo una cosa: dal momento che samo nel domno de fasor, sappamo che la dervata temporale d una quanttà snusodale equvale a moltplcare l corrspondente fasore per jω. Questa operaone è stata mplctamente gà fatta quando abbamo consderato l crcuto equvalente drettamente n termn delle mpedene e, nelle qual nfatt capactà ed nduttane rsultano moltplcate per jω. Autore: Sandro Petrell 8

19 Teora delle lnee d trasmssone Dal dscorso fatto, s deduce mmedatamente che l sstema ottenuto è valdo per una lnea d trasmssone qualunque. Questo sgnfca che, a prescndere da come sa fatta la lnea, se voglamo analare la propagaone della tensone e della corrente n tale lnea, possamo sempre rferrc a quelle equaon. Naturalmente, dove la natura della lnea subentra è ne valor de parametr e y caratterstc della lnea stessa. ISOUZIONE DEE EQUAZIONI DEI TEEGAFISTI Il sstema d equaon dfferenal ottenuto nel paragrafo precedente s può rsolvere faclmente, ma è bene tenere presente che la sua soluone rsulta essere UNIA solo a patto d conoscere le condon al contorno, ossa valor d tensone e d corrente n corrspondena d una qualsas seone della lnea. Allora, no c preoccupamo prma della sua rsoluone e po ndvdueremo qual sono le condon al contorno 7. Intanto, l sstema può essere scrtto nella forma d() I() d di() ()y d Esso andrebbe rsolto con l metodo tradonale degl autovalor. Tuttava, data la sua forma, possamo rsolverlo così come abbamo fatto n precedena. onsderamo la prma equaone e dfferenamola rspetto a : ottenamo d () di() d d Adesso, al posto d di/d sosttuamo l secondo membro della seconda equaone e portamo tutto al prmo membro: cò che ottenamo è d () y () d e questa è una normale equaone dfferenale del ordne nella sola ncognta () (fasore assocato alla tensone n corrspondena della seone della lnea). Per comodtà e per motv che saranno char tra poco, ponamo γ y n modo che l equaone dvent d () γ d () 7 Questa osservaone valeva anche prma, quando abbamo consderato una ecctaone generca, ma n quel caso non c samo occupat delle espresson esplcte dell onda progressva e regressva per cu era superfluo parlare delle costant. 9 Autore: Sandro Petrell

20 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce Alla costante γ s dà l nome d costante d propagaone : essendo par alla radce del prodotto d due numer n generale compless, sarà anch essa complessa, per cu la possamo esprmere nella forma generca γ α jβ dove α prende l nome d costante d attenuaone, mentre β prende l nome d costante d fase. Tutte e tre queste defnon saranno pù chare tra poco. Tornando all equaone dfferenale, la rsolvamo con l tradonale metodo dell equaone caratterstca, che è s γ solvendola, s rcava che s ±γ, per cu l ntegrale generale dell equaone dfferenale è γ ( ) A e A e Naturalmente, una volta ottenuto l andamento spaale della tensone, possamo faclmente rcavarc quello della corrente: nfatt, la seconda equaone dfferenale che abbamo ottenuto era e da essa c rcavamo faclmente che I() d() d γ d I ( ) d A e A e γ ( ) A e γ A e γ γ γ γ In conclusone, le legg con cu s propagano spaalmente, lungo la lnea, la tensone e la corrente sono le seguent: γ γ ( ) A e A e γ I A e γ γ A e γ ( ) In queste due equaon s osserva che sa la tensone sa la corrente rsultano essere somma d due onde: c è un onda che s propaga lungo la dreone postva dell asse, cu damo percò l nome d onda dretta (o progressva), e c è un onda che s propaga lungo la dreone negatva dell asse, cu damo percò l nome d onda rflessa. Per evdenare ancora meglo questo fatto, ponamo r A A γ Ir A γ I A ampea onda rflessa d tensone ampea onda dretta d tensone ampea onda dretta d corrente ampea onda rflessa d corrente Autore: Sandro Petrell

21 Teora delle lnee d trasmssone per cu l sstema che d ora n po consdereremo dventa γ ( ) r e e γ γ I( ) I re Ie γ Osservaone: tensone e corrente nel domno del tempo E opportuno rcordare ancora una volta che l sstema d equaon ottenuto nel paragrafo precedente è relatvo al domno de fasor: () ed I() sono nfatt fasor assocat alle forme d onda della tensone e della corrente lungo la lnea. Per rsalre, da tal fasor, alle corrspondent grandee snusodal nel domno del tempo, s devono applcare le note formule d trasformaone, che consstono nel moltplcare fasor per e jωt (dove ω è la pulsaone d lavoro) e nell applcare successvamente l operatore parte reale: j t [ ] [ ] j t [ ω ] [ ] ( r ) jωt γ γ jωt [ ω ] [ ] ( r ) v(, t) e (, ) e ( ) e e e e e (, t) e I(, ) e I( ) e e I e I e e ω γ γ ω Ad ogn modo, prma d prosegure nostr dscors, possamo fare alcune consderaon crca (,ω) e I(,ω). onsderamo per esempo la tensone, vsto che l dscorso sulla corrente è dentco. Presa una generca seone, la tensone n è dunque data da (, ω) A e e A e e γ jωt γ jωt edamo d fare qualche ulterore calcolo su questa formula: lavorando sugl esponenal, abbamo che γ jωt ( α jβ) jωt α j( β ωt) e e e e e per cu possamo scrvere che ( ) ( ) e e e e e γ jωt α jβ jωt α j β ωt ( ) ( ) (, ω) A e e A e e α j β ωt α j β ωt In base a questa relaone, (,ω) è la somma d due onde, cascuna caratterata da un termne reale e α, ndpendente dal tempo ma dpendente dalla posone, e da un termne complesso ( ) e j ± β ω t, dpendente sa dal tempo sa dalla posone. A quest ultmo termne s dà n partcolare l nome d fattore d fase: questo nome derva dal fatto che esso defnsce la cosddetta fase dell onda, che è nfatt ϕ β ωt per la prma onda e ϕ β ωt per la seconda. A questo punto, possamo dare una defnone: Def. S defnsce veloctà d fase la veloctà con cu un osservatore deve vaggare per vedere l onda con fase costante. Autore: Sandro Petrell

22 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce Nota la fase dell onda, è possble calcolare la veloctà d fase dell onda stessa: nel nostro caso, abbamo un onda che vagga con fase par a ϕ β ωt e un onda che vagga con fase par a ϕ β ωt ; dfferenando rspetto a entrambe le relaon, ottenamo dϕ βd ωdt dϕ βd ωdt Se un osservatore vagga vedendo l onda numero con fase costante, è charo che dϕ ; n modo analogo, se un osservatore vagga vedendo l onda numero con fase costante, deve essere dϕ. Abbamo dunque che βd ωdt βd ωdt da cu rcavamo che le rspettve veloctà d fase sono v v p, p, (dove l pedce P sta per phase ). Tutto cò c consente d osservare quanto segue: d dt d dt α ( ) l onda d tensone A e e j β ω t s propaga con veloctà d fase v P, negatva, ossa dal carco verso l generatore (vsto che stamo consderando un asse dretta verso l carco): essa prende dunque l nome d onda rflessa; α ( ) al contraro, l onda d tensone A e e j β ω t, s propaga con veloctà d fase v P, postva (uguale, comunque, n modulo all altra), ossa dal generatore verso l carco: parlamo n questo caso d onda dretta. Da quanto appena detto s capscono un pao d cose: n prmo luogo, s comprende l sgnfcato de nom costante d attenuaone per α e costante d fase per β; n secondo luogo, come sarà anche pù charo n seguto, s osserva che la dmnuone del modulo della tensone dal generatore al carco è dovuta alla presena dell onda rflessa; d qu, s comprende come l nostro scopo sa sempre quello d lmtare al mnmo, se non addrttura elmnare, l onda rflessa. ω β ω β IMPEDENZA AATTEISTIA DEA INEA Tornamo adesso a ragonare su fasor () e I() date dalle relaon Autore: Sandro Petrell γ ( ) r e e γ γ I( ) I r e I e γ

23 Teora delle lnee d trasmssone Possamo defnre un mportante parametro caratterstco della lnea: s defnsce mpedena caratterstca della lnea consderata l rapporto tra l onda ncdente d tensone e l onda ncdente d corrente: I γ cordando che γ y, possamo rscrvere l mpedena caratterstca nella forma r j y ωl g jωc dove, ovvamente, ωπf è la pulsaone angolare dell onda applcata dal generatore. mpedena caratterstca e la costante d propagaone γ rentrano nella categora de parametr secondar d una lnea, mentre parametr r, l, c, g sono parametr prmar. E evdente che parametr secondar dpendono solo dal valore de parametr prmar, qual, come detto n precedena, tengono conto della natura fsca della lnea consderata. olendo esprmere () e I() n funone dell mpedena caratterstca, basta tener conto che γ γ Ir r e che I, per cu abbamo che γ γ ( ) r e e r I e γ ( ) e Queste equaon possono anche essere espresse n altro modo, sfruttando le funon Seno Iperbolco e oseno Iperbolco: queste funon sono defnte medante le formule e snh( ) e cosh( ) e e γ Allora, facendo un po' d passagg, s trova che le equaon d e d I possono essere scrtte nella forma ( ) cosh( γ) Dsenh( γ) I( ) [ senh( γ) Dcosh( γ) ] ONDIZIONI A ONTONO Nelle espresson d () e I() compaono delle costant d ntegraone e D (che, n generale, rsultano complesse), che vanno determnate sulla base delle condon al contorno del problema. edamo allora qual possono essere queste condon al contorno. 3 Autore: Sandro Petrell

24 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce o schema ntutvo cu fare rfermento è l seguente: - - I I() I - asse S osserva subto che, n questo caso, l orgne del sstema d rfermento è stata presa sul carco e l orentaone dell asse è quella che va dal carco verso l generatore: è facle verfcare che, con questa scelta del sstema d rfermento e nell potes che la tensone e la corrente sul carco sano rspettvamente ( ) e I( ) I, le equaon d () e I() dventano ( ) cosh( γ) I senh( γ) I( ) senh( γ) I cosh( γ) D ora n po, salvo dverso avvso, tutt nostr ragonament saranno basat su queste due equaon. Osservaone Faccamo osservare che, se avessmo conservato l rfermento sul generatore, l orentaone dell asse dal generatore verso l carco e le condon al contorno ( ) g e I( ) I g, le espresson d () e I() sarebbero dventate ( ) g cosh( γ) I g senh( γ) I( ) senh( ) cosh( ) [ g γ I g γ ] ASO PATIOAE: ASSENZA DI PEDITE (α) edamo come s modfcano le espresson d () e I() se supponamo che lungo la lnea non c sano perdte (s parla n questo caso d lnea deale ): cò sgnfca supporre che α, ossa che sa nulla la parte reale d γ y. Autore: Sandro Petrell 4

25 Teora delle lnee d trasmssone edamo ntanto quanto vale nel dettaglo la parte reale d α, n modo da capre perché s parla d assena d perdte : dato che avevamo posto ( ωl) & r j & y& r j c ( ω ) parlare d perdte nulle sgnfca rtenere che termn dsspatv, ossa r e r, sano del tutto trascurabl rspetto a termn nduttv e capactv. In altre parole, parlare d perdte nulle equvale a supporre che r << ωl g << ωc Sotto queste potes, rsulta evdentemente y jωl jωc e qund abbamo che γ y ω lc jω lc da cu, come prevsto, s deduce che la parte reale d γ è nulla, ossa α. Se α γjβ è un numero mmagnaro puro, per cu la funone osh concde con la funone os, mentre la funone Senh concde con la funone jsen; percò, le espresson d () e I() s modfcano nel modo seguente: ( ) cos( β) j I sen( β) I( ) [ j sen( β) I cos( β) ] In base a queste equaon, note la tensone e la corrente n corrspondena del carco e not parametr caratterstc della lnea (coè l mpedena caratterstca e la costante d fase β), samo n grado d conoscere la tensone e la corrente n corrspondena d una qualsas seone della lnea. e lnee d trasmssone con basse perdte sono d specale nteresse per la trasmssone d energa alle frequene rado ed alle UHF e questo per due motv: n prmo luogo, la caratterstca delle lnee progettate per questo tpo d trasmssone è propro quella d avere perdte molto basse; n secondo luogo, ne crcut a mcroonde, queste lnee vengono usate come degl element crcutal ed è percò opportuno conoscerne l comportamento. Prma d prosegure, reploghamo le relaon che s hanno nel caso d α: jωl y jωc l c γ jβ β ω lc 5 Autore: Sandro Petrell

26 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce IMPEDENZA DI INGESSO omncamo a vsualare meglo l collegamento del carco con l generatore: sempre nell potes che l regme sa snusodale, possamo vsualare l tutto come un collegamento n sere tra un generatore d tensone alternata, dotato d mpedena nterna g, ed una mpedena che rappresenta l carco: E g - () I g - - asse seone generca ome s evdena dallo schema, è charo che, se è la tensone a cap del carco e I la corrente che rsulta attraversare l carco stesso, deve essere. onsderate allora le equaon I ( ) cosh( γ) I senh( γ) I( ) senh( γ) I cosh( γ) s defnsce mpedena d ngresso alla seone l rapporto tra la tensone e la corrente n corrspondena della seone stessa, ossa la quanttà ( ) ( ) I( ) cosh( γ) I senh( γ) senh( γ) I cosh( γ) In pratca, l sgnfcato della mpedena d ngresso è l seguente: per nel nostro rfermento, l carco è vsto dalla lnea d trasmssone semplcemente come ; al contraro, quando c portamo a dstana dal carco, vedamo, appunto come carco, non pù solo, ma l nseme d e del tratto d lnea, d lunghea, che ancora c separa da ; d conseguena, a dstana da, l carco è vsto dalla lnea come (). E come se no, a dstana da, traccassmo una seone deale trasversale e consderassmo come carco tutto cò che c è a destra d tale seone: tale carco è appunto l mpedena d ngresso. Se, adesso, nell espressone prma rcavata per, moltplchamo e dvdamo l denomnatore per, ottenamo cosh( γ) I senh( γ) ( ) senh( γ) I cosh( γ) Autore: Sandro Petrell 6

27 Teora delle lnee d trasmssone Dvdendo ambo membr per I, s ottene po Ma, avendo detto che I ( ) I, concludamo che I cosh( γ) senh( γ) senh( γ) cosh( γ) cosh( γ ) senh( γ ) ( ) senh( γ) cosh( γ) aso partcolare: perdte nulle edamo adesso come camba l espressone dell mpedena d ngresso alla seone nel caso n cu s rtengano trascurabl le perdte: abbamo detto n precedena che parlare d assena d perdte equvale a supporre trascurabl termn dsspatv sulla lnea, ossa a supporre che r g << ωl << ωc Allora, dato che sussstono le relaon & r jωl & ( ) y& r j c γ α jβ γ n assena d perdte queste relaon dventano ( ω ) y α γ jβ jω lc jωl y jωc l c In partcolare, c nteressa l fatto che la costante d propagaone γjβ dventa un numero mmagnaro puro: come vsto n precedena, cò mplca che l andamento d tensone e corrente possa essere descrtto dalle equaon 7 Autore: Sandro Petrell

28 Appunt d ompatbltà Elettromagnetca - Appendce ( ) cos( β) j I sn( β) I( ) ( ) cos( ) [ j snh β I β ] Queste due equaon s possono porre n forma matrcale nel modo seguente: j sn I j sn ( ) cos( β ) ( β ) ( ) ( ) β cos( β) I a matrce d questo sstema prende l nome d matrce ABD e gode evdentemente della propretà d avere determnante par ad. edamo adesso quanto vale l mpedena d ngresso n base a quelle nuove relaon: è facle verfcare che essa vale j cos( β ) sen( β ) ( ) j sen( β) cos( β) Osservaone: applcaone della matrce ABD espressone d () e I() ottenuta medante la matrce ABD consente un calcolo mmedato della tensone e della corrente a dstana dal carco, note che sano la tensone e la corrente n corrspondena del carco stesso. Per esempo, supponamo che, n corrspondena del carco, rsult : n questo caso, ad una dstana dal carco, avremo che j sn I j sn ( ) cos( β ) ( β ) ( ) ( ) β cos( β) I In modo del tutto analogo, se fosse I, avremmo ( ) j I sn( ) β I( ) I cos( β) j sn I j sn ( ) cos( β ) ( β ) ( ) ( ) β cos( β) ( ) cos( β) I( ) j sn ( β ) sn( β) alore esatto della costante d propagaone γ n assena d perdte Abbamo n precedena detto che, n assena d perdte, possamo rtenere nullo l valore della costante d attenuaone α (parte reale d γ). In effett, questo valore non rsulta propro nullo, per cu voglamo adesso vedere approssmatvamente quanto vale. Intanto, la defnone d γ c dce che γ α jβ dell mpedena e dell ammettena sotto radce abbamo y. Sosttuendo le espresson Autore: Sandro Petrell ( r j l)( g j c) γ ω ω 8

29 Teora delle lnee d trasmssone Mettendo n evdena nella prma parentes l termne jωl e nella seconda l termne jωc abbamo γ r ω ω ω g ω r ω g ω lc j lc j l j c j l j c Eseguendo adesso l prodotto sotto radce abbamo γ jω lc r g ω ω r ω g ω j l j c j l j c Avendo detto che l potes d assena d perdte equvale a r g << ωl << ωc possamo trascurare l prmo prodotto tra parentes, scrvendo che γ r jω c ω g l j l jωc e possamo svluppare la seconda radce n sere: cò che s ottene è γ r ω ω g j lc j l jωc In questa relaone possamo separare la parte mmagnara da quella reale: ottenamo γ lc r g l c jω lc da cu s deduce che la parte mmagnara è β jω lc come avevamo trovato prma, mentre la parte reale è α l c r g l c ed è dversa da ero (anche se d valore estremamente basso). cordandoc della defnone d mpedena caratterstca, ossa /γ, abbamo anche che r g α 9 Autore: Sandro Petrell