Gli errori nelle misure

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1 Appunt d Msure Elettrche Gl error nelle msure Classfcazone degl error... Error sstematc...4 Accuratezza e precsone...5 Errore stmato...7 Meda, devazone meda, devazone standard e varanza d un campone d msura 8 Concett d frequenza e d class... CLASSIFICAZIOE DEGLI ERRORI Sappamo che ogn msura è necessaramente affetta da un errore. Voglamo adesso nquadrare le prncpal cause cu sono dovut gl error, al fne d capre se e n che modo ess possono essere rdott al mnmo. Sussste allora la seguente classfcazone: gl error grossolan sono quell addebtabl a mperza o dstrazone dell operatore che sta compendo la msura; possono ad esempo dervare da una sbaglata lettura o da un uso mpropro degl strument, oppure da trascrzon errate da dat spermental o anche da errate elaborazon d tal dat. E evdente percò che tal error non s presentano quando s opera con cura e attenzone e comunque possono essere elmnat semplcemente rpetendo la msura; gl error sstematc sono quell che s rpresentano sempre con lo stesso segno e la stessa ampezza, ove ovvamente la msura d una grandezza venga rpetuta pù volte con la stessa strumentazone e nelle stesse condzon operatve ed ambental. Quest error sono generalmente dovut ad una non corretta taratura degl strument oppure a dfett ntrnsec degl strument stess ; questo sgnfca, sostanzalmente, che n talune stuazon è possble correggere tal error o comunque mnmzzarl; nfne, gl error accdental (dett anche non sstematc o casual) sono quell che permangono anche nell potes d essere rusct ad elmnare tutt gl error grossolan e sstematc. Le cause d tal error sono tpcamente le mprevedbl fluttuazon nelle condzon operatve, strumental ed ambental. Gl error accdental possono essere analzzat statstcamente, n quanto s è vsto emprcamente che ess sono generalmente dstrbut secondo legg semplc. In partcolare, s fa spesso l potes che le cause d tal error agscano n modo del tutto aleatoro, determnando percò scart, rspetto al valore medo, sa negatv sa postv. Questo c autorzza ad aspettarc che gl effett medamente s annullno, ossa sostanzalmente che l valore medo degl error accdental sa nullo. Questa consderazone ha una conseguenza fondamentale: se ruscamo a correggere tutt gl error grossolan e quell sstematc, per cu avremo a che fare solo con error accdental, c Ad esempo, possono esserc de dfett costruttv oppure de malfunzonament dervant dall aver usato gl strument n partcolar condzon operatve o ambental (elevate temperature, fort camp elettromagnetc, sovraccarch e così va).

2 Appunt d Msure elettrche basterà compere msure rpetute e po medare rsultat: quante pù msure consdereremo, tanto meno l rsultato fnale (meda de sngol rsultat) sarà affetto da error accdental. Quanto pù pccol rsultano gl error accdental, tanto pù s dce che la msura è precsa. In generale, dunque, nell potes d aver elmnato ogn tpo d errore grossolano, possamo affermare che l errore d una msura è somma d un errore sstematco (che s rpete ogn msura, n ugual condzon operatve) e d un errore accdentale (che nvece vara casualmente n ogn msura, anche se le condzon operatve rmangono mmutate): E + E A Il dagramma seguente auta a comprendere quest concett: valore vero A E A E A E A3 3 E An n valore attorno a cu sono "dstrbute" le msure E qu llustrato quello che accade quando vengono compute msure rpetute d una stessa quanttà, l cu valore vero (ncognto) è A. S nota che cascuna msura è affetta da un dentco errore sstematco (par alla dfferenza tra A ed l valore attorno al quale rsultano dstrbute le, ad esempo l loro valor medo), mentre cò che camba, d volta n volta, è l errore accdentale E A, che rende dversa una msura dall altra. Come s vede, l errore accdentale camba sa n ampezza sa n segno. Possamo anche usare una rappresentazone grafca alternatva alla precedente. Usamo n partcolare un dagramma cartesano che presenta n ascsse numer dentfcatv delle vare msurazon (,,...,) ed n ordnate valor ottenut per le msure: Autore: Sandro Petrzzell

3 Gl error nelle msure msure A 3 msurazon Così come nel caso precedente, vengono qu rportat (questa volta n ordnate) l valore vero A (ncognto) del msurando e valor ottenut dalle vare msure; tal valor sono dstrbut attorno al loro valor medo (s veda n proposto quanto detto ne prossm paragraf), che dffersce da A per una quanttà par, per defnzone, all errore sstematco. La dfferenza tra l rsultato d cascuna msura ed A è nvece l errore accdentale della msura -sma, che camba da caso a caso. La dspersone de valor attorno al valor medo delmta una regone, detta fasca d ncertezza, n cu rsultano comprese tutte le msure effettuate: msure fasca d ncertezza 3 msurazon Faccamo notare, comunque, che la fasca d ncertezza è defnta rgorosamente come quella regone, a cavallo del valore vero A del msurando, nella quale s dstrbuscono rsultat delle vare msure. Tuttava, l dscorso fatto poco fa s adatta a questa defnzone nell potes che l valore medo s approssm al valore vero A, l che accade quando, ossa nell potes d compere un numero suffcentemente elevato d msure rpetute. In modo del tutto equvalente, è evdente che, se ruscamo ad elmnare l errore sstematco (l quale, come vsto, ncde n egual msura sulle ), le msure saranno dstrbute propro attorno ad A e dfferranno da essa per una quanttà E A (ncognta) varable da caso a caso: La fgura rportata non deve trarre n nganno: rsultat delle sngole msure possono, n generale, rsultare sa superor sa nferor ad A, anche se la fgura rporta solo valor superor ad A. 3 Autore: Sandro Petrzzell

4 Appunt d Msure elettrche msure A fasca d ncertezza 3 msurazon La caratterstca fondamentale degl error accdental è quella d essere a valor medo nullo, per cu è nullo l valore medo degl scart E A d cascuna msura rspetto ad A. Error sstematc Soffermamoc adesso maggormente sugl error sstematc, dovut essenzalmente, come s è detto, a mperfezon (costruttve o d taratura) degl strument mpegat per compere le msure. In prmo luogo, è evdente che è possble rdurre gl error sstematc effettuando una nuova e mglore taratura degl strument, usando tal strument nel modo approprato e sottoponendol ad una accurata e perodca manutenzone. In secondo luogo, gl error sstematc dpendono anche dalle condzon ambental, ossa dall ambente n cu s esegue la msura: questo perché eventual varazon della temperatura oppure presenza d eventual camp elettromagnetc sono fenomen che possono nfluenzare sa la strumentazone sa lo stesso msurando. S dce n quest cas che esste una nterferenza esterna sul sstema d msura e gl error prendono anche l nome d error condzonat. In generale, dcamo che gl error sstematc sono dffcl da valutare ed hanno anche una maggore mportanza d quell accdental: nfatt, mentre gl error accdental nfluenzano la precsone d una msura, gl error sstematc nfluenzano l ncertezza della msura stessa. Il modo classco d valutare l errore sstematco su una msura è quello d confrontare una stma A nota del valore del msurando ed l rsultato della msura 3 : A Questa è n pratca la defnzone classca d errore d una msura. Da notare che essa dffersce dal modo con cu valutare gl error accdental: nfatt, sfruttando l fatto che gl error accdental s possono rtenere a valor medo nullo, tal error accdental devono essere calcolat come dfferenza tra l rsultato d una sngola msura e la meda de rsultat d una sere d msure rpetute: E A 3 Al posto del rsultato della sngola msura, s potrebbe prendere l valor medo de rsultat d msure rpetute. Autore: Sandro Petrzzell 4

5 Gl error nelle msure dove qund. Tornando agl error sstematc, s defnsce correzone l valore da aggungere, algebrcamente, al rsultato non corretto d una msura per compensarne l errore sstematco. Il concetto è semplce: se l rsultato della msura è affetto da un errore sstematco ad, la correzone C- : V, allora potrò compensare tale errore sommando, + C ES ( V) V Così facendo, ottenamo propro l valore del msurando. E ovvo che l dscorso è puramente teorco: nfatt, non essendo perfettamente noto (perché non è noto l valore V del msurando), non lo sarà nemmeno la correzone C e qund la compensazone non sarà completa. Un altro modo d esamnare lo stesso concetto consste nel consderare l cosddetto fattore d correzone, C F, defnto come quel numero per cu moltplcare l rsultato d una msura al fne d compensare l errore sstematco assocato a tale msura: cò sgnfca porre V C Possamo adesso fare la seguente consderazone: supponamo d aver computo una data msura e d aver ottenuto l rsultato ; questo rsultato è affetto da un errore sstematco che non è perfettamente noto; d altra parte, esstono delle stuazon n cu è possble potzzare un modello matematco dal quale rcavare l enttà dell errore sstematco, l che c consente una correzone dell errore, come vsto poco fa; l problema è che l modello potzzato non è ma perfetto (se lo fosse, potremmo elmnare l errore), per cu non lo potrà essere anche la correzone; qund, quando provamo a correggere un errore sstematco, apportamo una correzone anch essa scuramente mperfetta; d conseguenza, l rsultato fnale della nostra msura presenta due cause d ncertezza: quella dovuta all aver applcato una correzone non perfetta e quella assocata alla presenza d effett accdental. Qund, dopo la correzone, l rsultato potrebbe anche essere molto vcno al valore vero V del msurando, ossa potrebbe avere un errore sstematco resduo molto pccolo, ma potrebbe comunque essere affetto da grande ncertezza, n quanto fattor che la determnano non vanno confus con gl error. In altre parole, è bene non confondere l errore sstematco resduo non corretto con l ncertezza del rsultato d una msura: pur rducendo l errore sstematco, l ncertezza potrebbe rmanere elevata. F ACCURATEZZA E PRECISIOE Abbamo capto, ne paragraf precedent, che ogn msura è soggetta a delle lmtazon, per cu l rsultato della msura deve necessaramente essere accompagnato dall ndcazone quanttatva dell ncertezza della msura stessa. Bsogna stare attent a non confondere termn come accuratezza, ncertezza e precsone. Per accuratezza (accuracy) ntendamo l grado d approssmazone della quanttà msurata al valore vero del msurando oppure ad una sua stma. S tratta d un concetto tpcamente qualtatvo e non quanttatvo. Se nvece s vuole passare ad una valutazone qualtatva, s consdera l accuratezza relatva (smbolo: a), defnta nel modo 5 Autore: Sandro Petrzzell

6 Appunt d Msure elettrche seguente: se è l rsultato d una data msura ed è l errore sstematco (solo stmable) d tale msura, l accuratezza relatva è data da a E evdente che, al dmnure dell errore sstematco, aumenta l accuratezza, fno al valore massmo (teorco, non raggungble) quando 0. Rcordamo che l errore sstematco è defnto come V, per cu possamo anche scrvere che V V a La quanttà sotto l segno d valore assoluto è scuramente mnore d, per cu l valore mnmo dell accuratezza relatva è 0. Talvolta, s sente dre che uno strumento presenta una accuratezza dello 0.5%: se c s rfersse all accuratezza relatva appena defnta, cò sgnfcherebbe che lo strumento fornsce delle pessme prestazon. Al contraro, probablmente c s rferva all ncertezza: n questo caso, n modo del tutto qualtatvo, s dovrebbe semplcemente dre che lo strumento presenta un ottma accuratezza. Dstnto dall accuratezza è l concetto della precsone: per precsone d una msura ntendamo l ndcazone numerca dell approssmazone d un nseme rpetuto d msure della stessa quanttà al valore medo dell nseme d msure. Vedamo d spegarc meglo: supponamo d condurre una sere d msure (,,...,) della stessa quanttà; calcolando l valor medo d tale msure, scrvamo che ES Allora, quanto pù le sngole msure s avvcnano al loro valor medo, tanto pù dremo che la msura è qualtatvamente precsa. Analtcamente, la precsone della generca msura sarà p La meda artmetca delle p rappresenta nvece la precsone del campone d msura (,,.., ): p p Sottolneamo che, pur potendo quantfcare l accuratezza e la precsone d una msura o d un nseme d msure rpetute, s tratta comunque d concett essenzalmente qualtatv. Concetto n qualche modo analogo a quello della precsone è quello della rpetbltà, defnta come l grado d approssmazone esstente tra rsultat d msure successve della stessa quanttà, esegute nelle stesse condzon d msura. Come vedremo pù avant, la devazone standard delle msure esegute rappresenta un ndce d rpetbltà delle msure stesse. Autore: Sandro Petrzzell 6

7 Gl error nelle msure Analogamente, la cosddetta rproducbltà è defnta come l grado d approssmazone esstente tra rsultat d msure successve della stessa quanttà, esegute n dverse condzon d msura. Sottolneamo ancora una volta, come traspare dalle defnzon fornte, che l accuratezza e la precsone sono concett qualtatv e non quanttatv. S può vedere concretamente che una bassa ncertezza d msura s può avere solo quando sa l accuratezza sa la precsone sono elevate. Accuratezza e precsone dpendono da var fattor, tra cu ctamo la qualtà degl strument utlzzat e la cura eserctata dall utente nel compere la msura. Avere una elevata precsone sgnfca avere sa una elevata rpetbltà delle msure sa un suffcente numero d cfre sgnfcatve: nfatt, quanto maggore è la precsone della msura tante pù cfre sgnfcatve la rappresentano e tanto pù pccol sono gl scart tra una msura e l altra. Al contraro, quando sono poche le cfre sgnfcatve che rappresentano la msura, la precsone è pccola anche se gl scart tra le vare msure sono pccol: questo propro perché tal scart nteressano cfre va va pù sgnfcatve. Faccamo un esempo: supponamo d avere uno strumento a lettura dgtale (ad esempo un multmetro dgtale), n cu coè l rsultato della msura sa ndcato su un dsplay dgtale con un certo numero d cfre; se, per esempo, le cfre fossero solo due, avremmo probablmente una sere d msure rpetbl (coè con rsultat sml tra loro), ma non precse (data l assenza d ulteror cfre sgnfcatve da leggere). Vene ora da cheders se la precsone mplca l accuratezza e/o vceversa. S può affermare che la precsone è una condzone necessara ma non suffcente per l accuratezza: questo sgnfca che una msura, per essere accurata, deve anche essere precsa (e qund rappresentable con un elevato numero d cfre sgnfcatve), ma una msura precsa potrebbe comunque essere non accurata. Faccamo anche qu un esempo: supponamo d avere uno strumento che permetta d leggere 6 cfre della grandezza da msurare e supponamo noltre d compere dverse msure, abbastanza ravvcnate (nel tempo) tra d loro; n queste condzon, possamo scuramente affermare d aver computo una msura precsa se le msure s scostano poco una dall altra, ma non è detto che la msura sa accurata, ad esempo perché lo strumento non è ben tarato. Fn qu, dunque, l accuratezza e la precsone c fornscono ndcazon solo qualtatve sulla bontà delle nostre msure. Se voglamo delle ndcazon pù quanttatve, dobbamo rvolgerc all ncertezza, la quale, come gà detto, rappresenta sostanzalmente la nostra mpossbltà a valutare con esattezza l msurando n questone. I prossm paragraf ntroducono alcun concett d statstca utl per comprendere l modo con cu valutare l ncertezza. ERRORTIMATO Supponamo d voler msurare una certa grandezza, ad esempo una resstenza, e supponamo che sa A l valore vero (a no sconoscuto) d tale quanttà. Supponamo noltre d compere due dstnte msure d, una con uno strumento molto accurato (che chamamo strumento d rfermento) ed una con uno strumento meno accurato (detto strumento operatvo), ad esempo quello usato n un laboratoro unverstaro. I due strument c daranno due dstnte msure, che ndchamo rspettvamente con 0 ed m. Possamo dsporre tal valor, nseme al valore vero A, su un asse orzzontale, al fne d dare una nterpretazone grafca d cò che stamo facendo: 7 Autore: Sandro Petrzzell

8 Appunt d Msure elettrche valore vero stma (accurata) del valore stma (poco accurata) del valore A 0 m errore dello strumento d rfermento (sconoscuto) errore dello strumento d operatvo (sconoscuto) La quanttà E 0 0 -A rappresenta l errore computo dallo strumento d rfermento: s tratta d una quanttà sconoscuta (dato che non s conosce A), ma comunque pccola, data la bontà dello strumento usato. Analogamente, la quanttà E m m -A rappresenta l errore computo dallo strumento operatvo: anche questa è una quanttà sconoscuta e s presume noltre pù grande d E 0, data la mnore bontà dello strumento usato. L unca quanttà nota è la dfferenza E m -E 0 tra l errore dello strumento operatvo e quello dello strumento d rfermento: nfatt, possamo scrvere che E m E 0 ( m A) ( 0 A) m 0 Questa quanttà può allora essere presa come una stma dell errore dello strumento operatvo. In altre parole, qund, se voglamo stmare l errore commesso dal nostro strumento operatvo, dobbamo necessaramente fare affdamento ad uno strumento d rfermento (o, quanto meno, ad un campone). MEDIA, DEVIAZIOE MEDIA, DEVIAZIOTADARD E VARIAZA DI U CAMPIOE DI MISURA Supponamo d compere msure successve dello stesso msurando; se è l rsultato della generca msura, l nostro campone d msura è defnto come la -pla delle : (,,..., ) Tramte gl element d questo vettore possamo calcolare una sere d quanttà. La prncpale d esse è la meda artmetca delle msure, gà ntrodotta precedentemente: Come è abbastanza ntutvo aspettars, questa quanttà rappresenta la mglore stma possble che possamo fornre del nostro msurando. Autore: Sandro Petrzzell 8

9 Gl error nelle msure In talun cas, del resto, ha senso calcolare, al posto della meda artmetca, una meda pesata, n modo da attrbure maggor peso ad alcune msure rspetto alle altre. S consdera percò la seguente quanttà: p S tratta ovvamente d defnre nel modo pù opportuno possble pes w secondo cu effettuare tale meda pesata. I crter possono essere dvers: ad esempo, s potrebbe dare maggor peso alle msure che sono pù attendbl o comunque maggormente sgnfcatve. Il crtero pù sensato s basa sulle seguent consderazon: dobbamo nfatt consderare che cascuna msura è affetta da una propra ncertezza (che ndchamo con u ); allora, s può attrbure maggor peso alle msure affette da ncertezza mnore; per ottenere questo, bsogna semplcemente prendere de coeffcent d peso che sano nversamente proporzonal all ncertezza delle corrspondent msure: generalmente, s pone allora w u w w otamo che, ovvamente, se le msure avessero tutte la stessa ncertezza, coeffcent d peso sarebbe ugual e qund la meda pesata rsulterebbe par alla meda artmetca. Consderamo adesso la meda artmetca 4 e faccamo qualche passaggo n pù. In partcolare, ndchamo, rspettvamente, con E s e E a gl error sstematc e accdental sulla -sma msura ; allora, quest ultma può essere scrtta come V + E V + E + E s a dove ovvamente la quanttà V (valore vero del msurando) non è affetta da ndce n quanto le msure sono tutte relatve allo stesso msurando. Calcolando adesso la meda artmetca de due membr, a prmo membro ottenamo la meda artmetca delle msure, mentre a secondo membro ottenamo quanto segue: V + E s + E a V + E s + E a In base a quanto n precedenza, gl error accdental rappresentano una tpca varable aleatora a valor medo zero; questo vale, però, solo per, coè per un numero molto grande d msure. Facendo allora questa potes d molto grande, possamo concludere che V + E s Questa relazone c suggersce dverse consderazon: 4 Rcordamo che la meda artmetca c consente d valutare la rpetbltà delle msure effettuate, ossa l grado d approssmazone d tal msure al valore della loro meda. 9 Autore: Sandro Petrzzell

10 Appunt d Msure elettrche Autore: Sandro Petrzzell 0 n prmo luogo, essa dce che la meda artmetca d un nseme d msure è sostanzalmente una stma del valore V del msurando, tanto mglore quanto mnore è l valor medo degl error sstematc sulle sngole msure; n secondo luogo, se scrvamo quella relazone come V E bas s ottenamo la defnzone del cosddetto bas (polarzzazone) del nostro nseme d msure: esso è defnto come l valor medo degl error sstematc ed è qund par alla dfferenza tra l valor medo delle msure ed l valore vero del msurando. Ovvamente, l bas cambato d segno rappresenta la correzone totale da apportare ad per ottenere un mgloramento dell accuratezza. S defnsce noltre devazone della msura -sma la dfferenza tra l rsultato della msura e la meda de rsultat delle msure: d Questo concetto consente d defnre anche la dspersone dell nseme d msure rspetto al valor medo. Ad esempo, un modo d quantfcare tale dspersone è quello d calcolare l valor medo de modul delle devazon delle sngole msure, ossa la cosddetta devazone meda: α d Il motvo per cu s consderano le devazon n modulo è semplcemente quello per cu tal devazon hanno valor medo nullo: ( ) 0 d Ad ogn modo, l parametro tpcamente utlzzato per valutare la dspersone delle msure è la devazone standard, defnta n termn de quadrat delle devazon delle sngole msure, nel modo seguente: ( ) σ d Faccamo subto osservare che l segno d all ncrca uguale n quest ultma relazone sarà charto pù avant. Il quadrato della devazone standard è la cosddetta varanza del campone d msura: ( ) ( ) σ

11 Gl error nelle msure Come ultma defnzone, fornamo quella d momento centrale d ordne q del generco campone d msura: q q E[ ] ( ) S vede subto che questa quanttà è una generalzzazone d quelle ntrodotte n precedenza: nfatt, per q ottenamo una quanttà nulla, mentre per q ottenamo la varanza. A conclusone del paragrafo, sottolneamo che le defnzon date n questo paragrafo sono rferte sempre al campone d msura che abbamo a dsposzone. COCETTI DI FREQUEZA E DI CLASSI Spesso, la comprensone d un fenomeno fsco può essere facltata da un esame vsvo de rsultat d msure rpetute d una grandezza o, comunque, n generale, d dat statstc. Bsogna allora ndvduare l modo mglore per rappresentare grafcamente dat dsponbl. C vengono allora n auto alcun concett. Sa dato l nostro campone d msure (,,..., ) composto da element. Sa l rsultato della -sma msura; è possble che questo stess rsultato s ottenga n pù d una msura; allora, l numero d volte n n cu la msura ha fornto valore prende l nome d frequenza della msura. La quanttà f n /n prende nvece l nome d frequenza relatva d. Ovvamente, se tutte le msure fornscono rsultat dvers, la frequenza delle sngole msure sarebbe e qund le frequenze relatve sarebbero tutte par ad /n. Al contraro, se tutte le msure dessero lo stesso rsultato, allora rsulterebbe n n e qund f. Un modo alternatvo d defnre la frequenza relatva s basa sul raggruppamento delle msure n grupp (dette class): s tratta banalmente d ntervalln n cu le msure possono cadere, defnt percò cascuno da un estremo nferore ed uno superore. Se sono n totale le class ndvduate, l ampezza della -sma classe sarà max, mn, dove ovvamente max, e mn, sono, rspettvamente, l estremo superore ed nferore della classe - sma. Una volta effettuata questa suddvsone, dremo che la frequenza relatva della -sma classe è l numero d msure che cadono n tale classe, rapportato al numero totale d msure: f S può dare una nterpretazone grafca. Consderamo nfatt un grafco cartesano; n ascsse mettamo l valore delle msure, mentre n ordnate mettamo la frequenza relatva f : Autore: Sandro Petrzzell

12 Appunt d Msure elettrche f L asse delle ascsse è stato suddvso nelle vare class, supposte tutte per comodtà d ampezza untara, l che sgnfca che, ossa che. max, mn, max, mn, + Con questa scelta, ottenamo un stogramma, n cu la frequenza relatva rappresenta l area del generco rettangolno. Ovvamente, dato che la somma delle frequenze relatve è par ad, l area complessva sottesa dall stogramma è a sua volta untara: f Ovvamente, c sono da consderare due possbltà, a seconda de rsultat che possamo attenderc dalle msure: l caso rappresentato nell ultma fgura è quello n cu le msure possono assumere qualsas valore reale compreso tra l mnmo ed l massmo; l altro caso, rappresentato nella fgura seguente, è nvece quello n cu rsultat possono assumere solo valor dscret (pensamo ad esempo al lanco d due dad, che può dare, come rsultato, solo numer,3,...,): f Per dentfcare cascuna classe, possamo consderare l valor medo delle msure che cadono n tale classe: possamo coè assocare alla -sma classe la quanttà F F h h dove F è la frequenza della classe -sma, ossa l numero d msure che cadono n tale classe, e dove h è la h-sma msura che cade nella classe -sma. Adesso, possamo calcolare nuovamente la meda delle msure: F h h F F F h h F f f Autore: Sandro Petrzzell

13 Gl error nelle msure dove abbamo evdentemente tenuto conto che frequenza e frequenza relatva sono legate dalla relazone f F /. La formula appena rcavata mette n evdenza che la meda artmetca delle msure non dpende pù dal numero d prove esegute: notamo nfatt che essa è par ad una meda pesata de valor med delle sngole class consderate, dove coeffcent d peso sono le frequenze relatve assocate alle class. aturalmente, basandoc sulle, possamo rpetere gl stess dscors fatt n precedenza crca la devazone meda, la devazone standard e la varanza, che assumono le seguent espresson (ottenute con procedmento analogo a quello seguto per l calcolo della meda ): devazone meda: α f devazone standard: σ f ( ) varanza: σ f ( ) Autore: SADRO PETRIZZELLI e-mal: sandry@ol.t sto personale: succursale: 3 Autore: Sandro Petrzzell