Trasformata di Fourier

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1 Trasformata d Fourer Sstem lnear Operator local P Gl operator local assocano ad ogn pel della mmagne d output Q un valore calcolato n un ntorno o fnestra w centrata nel pel P QfPw

2 Operator local P La funzone f può essere lneare o non lneare: Fltr lnear sono defnt tramte convoluzone Fltr non lnear Fltr lnear Gl operator local che operano su una mmagne medante l operazone d convoluzone - della mmagne con una maschera d pes - possono essere descrtt medante la teora de segnal ed n partcolare de sstem lnear: Trasformata d Fourer Prodotto d convoluzone Fltr lnear

3 Correlazone Sano f una mmagne d dmensone h una maschera spazale d dmensone LL a parte nteral/2 L operazone d correlazone della mmagne f con h con orgne nel centro della maschera s esprme nel modo seguente: g h f g 0... a a a a 1 h f + + Correlazone - convoluzone L operazone d correlazone è equvalente alla operazone d convoluzone nel caso n cu h sa una matrce smmetrca

4 Convoluzone L operazone d convoluzone è una operazone lneare che combna due funzon h f avent uguale dmensonaltà contnue o dscrete: h f f h f h g Convoluzone In pratca h è d estensone fnta Se è l pù pccolo ntorno n cu h è dversa da 0 - è detto supporto d h s può scrvere: 0; f h f h g for h a a b b dove èd dmensone 2a+12b+1 pel

5 Convoluzone Se è l pù pccolo ntorno n cu h è dversa da 0 d dmensone 2a+1X2b+1 h f h f g a a b b a a b b + + L equazone è smle a quella della correlazone: dffersce perché la funzone h è nvertta rspetto agl ass; coè la maschera h è ruotata coè d 180 grad Correlazone L equazone è detta correlazone della maschera h e della mmagne f Quando h è smmetrca l operazone d correlazone è uguale a quella d convoluzone + + a a b b f h f h g

6 Funzone mmagne domno spazale Una mmagne è una funzone dgtale n due dmenson: valor rappresentano l lvello d grgo d un determnato pel d coordnate O Immagne come segnale Segnale: varazone d una grandezza fsca rspetto al tempo e/o allo spazo coè Valore della grandezza ad ogn stante d tempo spazo Un segnale è una funzone dpendente da una o pù varabl Le mmagn stazonare dpendono dalle coordnate spazal: s parla d anals nel domno dello spazo La funzone mmagne consderata un segnale bdmensonale può essere studata anche nel domno delle frequenze tramte la trasformata d Fourer

7 Domno delle frequenze Ampezza della trasformata d Fourer nel domno delle frequenze uv con orgne nel centro della mmagne O v u Trasformata d Fourer Fondament Sere d Fourer: una funzone perodca può essere rappresentata come somma d funzon seno e coseno d dfferent frequenze moltplcate per dfferent coeffcent Trasformata d Fourer: le funzon non perodche possono essere rappresentate come ntegrale d funzon seno/coseno moltplcate per de coeffcent

8 1D Dscrete Fourer Transform -DFT Un segnale dgtale d estensone fnta può essere rappresentato medante la Trasformata Dscreta d Fourer - DFT Sa f -- {f 0 f 1 f - 1} un segnale monodmensonale d lunghezza S defnscono la trasformata dretta e quella nversa DFT dretta 1 u F u f ep 2π u DFT nversa u f F uep 2π 01-1 u 0 ucleo della trasformata d Fourer Formula d Eulero φ e cosφ + snφ ucleo o base della trasformata dretta - kernel e u 2π ucleo della trasformata nversa u u u ep 2π cos2π sn2π e u π 2 u

9 Funzon base d Fourer L equazone DFT nversa descrve la funzone f come combnazone lneare d termn seno e coseno pesat con coeffcent d Fourer Fu 1 f 1 u 0 u F u ep 2π Cascuna funzone coseno e seno è perodca d perodo con frequenza u e frequenza u angolare 2π u u cos2π sn2π Funzon base seno/coseno - M8

10 Funzon base seno/coseno Funzon base dscrete: C coseno e S seno Lunghezza del segnale M8 - numero d onda m0123 Le altre funzon sono ugual: m1 corrsponde a m7 m2 a m6 m3 a m4 Propretà funzon seno/coseno π π sn cos + cos 2 2 cos 2 + sn 2 1

11 2D Dscrete Fourer Transform -DFT Trasformata dscreta d Fourer- 2-D DFT : un segnale dgtale bdmensonale d estensone fnta può essere rappresentato medante la trasformata dscreta d Fourer 2-D Sa f 01 M una mmagne d M pel; s defnscono la trasformata dretta e quella nversa bdmensonal 2D Dscrete Fourer Transform Sa f una mmagne dgtale d M pel s defnsce Trasformata dscreta d Fourer: DFT dretta 2-D DFT ndretta -2D F 1 M u v f per u M 1 e v f M 1 1 F u v u 0 v 0 M u v 2π + M u v 2π + M per M 1 e e e uv - domno delle frequenze

12 Consderazon Ogn termne della trasformata d Fourer Fuv è ottenuto come combnazone lneare d tutt valor della funzone f I valor f sono moltplcat per le funzon base seno e coseno d frequenze dverse Il domno uv è noto come domno delle frequenze I coeffcent Fuv sono dett component n frequenza della trasformata o coeffcent d Fourer Esponenzale complesso e u 2π u u u ep 2π cos2π sn2π Parte reale Parte mmagnara Fuv è una funzone complessa; s può qund esprmere n coordnate polar F φ u v u v F u v e

13 Trasformata n 2D La trasformata della funzone f è una funzone complessa- s può esprmere n termn d ampezza e fase: P 2 2 u v R u v + I u v I u v u v arctg R u v u v F u v 2 F ϕ φ u v F u v e F Spettro o ampezza Angolo d fase Spettro d potenza Le varabl u e v vengono chamate varabl d frequenza

14 Vsualzzazone della trasformata d Fourer La trasformata d Fourer non può essere vsualzzata essendo una funzone complessa S vsualzzano separatamente l ampezza o la fase. Per l ampezza s utlzza la funzone logartmca D uv log 1+ F uv Infatt l ampezza decresce puttosto rapdamente all aumentare della frequenza Le component d alta frequenza tenderebbero ad essere scure se vsualzzate drettamente: La funzone log è non negatva e preserva l valore 0 Trasformata d Fourer dretta I coeffcent Fuv d Fourer sono n relazone con alcune caratterstche della mmagne F00 è proporzonale al valore d brllanza medo della mmagne f I coeffcent Fuv n corrspondenza d valor elevat d uv alte frequenze spazal- sono n relazone alle brusche varazon d lvello d grgo edge pel I coeffcent Fuv n corrspondenza d valor bass d uv vcno all orgne basse frequenze spazal- sono n relazone a regon abbastanza unform

15 Esempo nput fft output Smoothng flter ghepardo

16 Ampezza della trasformata del ghepardo Fase della trasformata del ghepardo

17 Zebra Ampezza della trasformata della zebra

18 Fase della trasformata della zebra Curostà sulla FT d mmagn Le ampezze della FT delle mmagn natural sono abbastanza sml tra loro L nformazone è elevata vcno alle basse frequenze s va attenuando verso le alte frequenze La maggor parte della nformazone è nella fase e non nell ampezza on è molto charo perchè sa quas sempre così

19 Rcostruzone con la fase della zebra e l ampezza del ghepardo Rcostruzone con la fase del ghepardo e l ampezza della zebra

20 Relazone tra ntervall spazal e n frequenza Supponamo che una funzone contnua ftz sa camponata per formare una mmagne dgtale f- costtuta da M campon pres sull asse t e z rspettvamente Supponamo che T e Z sano gl ntervall d camponamento lungo 2 ass el domno delle frequenze gl ntervall d camponamento sono dat da 1 1 u ; v M T Z Relazone tra ntervall spazal e n frequenza Le dstanze de campon nel domno delle frequenze sono nversamente proporzonal al numero d campon e all ntervallo d camponamento spazale u 1 ; v M T 1 Z

21 Propretà fondamental La trasformata d Fourer gode delle seguent propretà: traslazone separabltà perodctà smmetra lneartà convoluzone/ correlazone Traslazone Una traslazone effettuata sulla funzone orgnale comporta una modfca della fase per la trasformata e vceversa: F u u v v f 0 0 e u0+ v0 2π f u0 + v0 2π F u v e 0 0

22 Traslazone fep[2πu 0 +v 0 /] Fu-u 0 v-v 0 Il prodotto d f per un termne esponenzale produce nella trasformata Fuv una traslazone d u 0 v o. S ha coè che l orgne del pano uv trasla nel punto u 0 v 0 In partcolare se u 0 v 0 /2 s ha che l orgne 00 trasla al centro del pano ep[2πu 0 +v 0 /] e π f-1 + Fu-/2 v-/2 Traslazone E possble traslare l orgne della trasformata d Fourer d f nel centro del pano uv moltplcando f per -1 + ed effettuando qund la trasformata d Fourer [ 2π u + v / ] F u v F u vep 0 0 È da notare che questa traslazone non nfluenza l modulo della trasformata: se u 0 v 0 /2

23 Separabltà La funzone esponenzale complesso s può esprmere come prodotto lungo le due drezon e 2π u + v 2πu 2πv. e è possble separare la Trasformata d Fourer lungo le due drezon: e F 1 u v e f 0 2πu Trasformata per colonne 1 0 e v F 2πv Trasformata per rghe Separabltà Vantaggo: la trasformata può essere calcolata medante due successve applcazon della trasformata monodmensonale

24 Rotazone Se f è ruotata d un angolo θ anche Fuv è ruotata dello stesso angolo θ In manera analoga una rotazone della trasformata Fuv causa una rotazone della funzone f dello stesso angolo Rotazone

25 Rotazone Perodctà La trasformata d Fourer è perodca. F u v F u + M v F u v + F u + M v + La traformata dscreta d Fourer è perodca con perodo M e lungo 2 ass rspettvamente

26 Smmetra conugata Se f è una funzone reale. La trasformata equvale alla trasformata complessa conugata F * u v F u v * F u v complessa conugata d F u v con L ampezza della trasformata è smmetrca rspetto all orgne F u v F u v Smmetra- ampezza dello spettro

27 Lneartà La Trasformata d Fourer è lneare: a f 1 a F 1 + b f c u v + b F u v 2 2 Coè l operatore TF che genera la trasformata d Fourer - è lneare: T af + bf at f bt F 1 2 F 1 + F f2 Teorema d convoluzone el domno delle frequenze l prodotto d convoluzone può essere rappresentato come: Gu v H u v. F u v prodotto pel per pel Dove H u v and F u v sono trasformate d Fourer ottenute dopo operazon d zero-paddng cornce d zer L operatore. ndca la moltplcazone punto a punto delle 2 matrc Molte operazon LSI possono essere nterpretate nel domno delle frequenze come operazon d fltraggo: ad esempo lascare passare certe component d frequenza e non lascare passare altre component

28 Sstem lnear fltraggo lneare Un processo che accetta un segnale I mmagne n nput e la trasforma medante una convoluzone è detto sstema lneare Immagne I Fltro dgtale caratterzzato dalla rsposta mpulsva H Output - Image J I*H Obettvo: mglorare la qualtà della mmagne enfatzzando oppure attenuando alcune caratterstche Sstem lnear Un sstema lneare può essere caratterzzato n 2 mod equvalent medante Rsposta mpulsva: rsposta del sstema all mpulso untaro nel domno orgnale per le mmagn nel domno spazale Rsposta n frequenza: descrve come l sstema elabora ogn componente n frequenza n una mmagne: Le component n frequenza possono essere amplfcate oppure attenuate

29 Spatal flterng Un fltraggo nel domno spazale può essere rappresentato medante una funzone T: g T[ f ] essendo f l mmagne nzale T la trasformazone g l mmagne fltrata e sstem lnear la trasformazone T è lneare Lnear Shft-Invarance Una trasformazone T s Lneare se essendo ab costant rsulta T[ af + bg ] at[ f ] + bt[ g ] Shft nvarant se nella potes T[ f ] g rsulta T[ f 0 0] g 0 0

30 Come specfcare T Se l operatore T è lneare e nvarante per traslazone LSI caratterzzato dalla rsposta mpulsva h la rsposta g può essere ottenuta dal prodotto d convoluzone h f h f g a a b b a a b b + + Image Enhancement n the Frequenc Doman

31 Image Enhancement n the Frequenc Doman Lowpass flter Fltro che attenua le frequenze meno quelle pù basse Utle n un processo d smoothng coè attenuare l rumore o sfocare dettagl d una mmagne n modo da conservare le caratterstche pù evdent

32 Hghpass flter Fltro che attenua le frequenze meno quelle pù alte Utle per un processo d enhancement coè evdenzare dettagl d una mmagne ed l contrasto rmuovere lo sfocamento Bandpass flter Fltro che attenua le frequenze e fa passare le frequenze n una parcolare ntervallo d frequenze banda d frequenze

33 Come s calcola l prodotto d convoluzone L output g è calcolato facendo scorrere la maschera su ogn pel della mmagne f Attenzone partcolare rchedono pel del bordo della mmagne f 1. L mmagne è estesa con degl zer Sa L la dmensone d h; n una dmensone s ha: ~ f f 0 0 < L / < 0 < + L / 2 1 Prodotto d convoluzone 2. L mmagne è estesa aggungendo a bord rghe e colonne etra cornce. L estensone è fatta rpetendo la prma/ultma rga/colonna oppure medante valor costant fed boundar. In una dmensone s ha: ~ f 0 f f f 1 L / < 0 0 < < + L / 2 1

34 Prodotto d convoluzone 3. L mmagne è estesa n modo perodco perodc boundar. In una dmensone s ha: f + mod ~ f f f mod L / < 0 0 < < + L / 2 1 Prodotto d convoluzone In ogn caso l output fnale g è rstretto al supporto dell mmagne orgnale f

35 Low-pass Band-pass Hgh-pass flters low-pass band-pass 2D convoluton theorem eample f Fs s * h Hs s g Gs s Slde b Steve Setz