TEORIA DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE

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1 TEORIA DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE In questo captolo vene trattata la teora del gruppo d rnormalzzazone. Essa permette d nquadrare n modo pù esatto la fsca de fenomen crtc. Infatt, non sono ancora stat spegat n modo completo seguent rsultat gà studat ne captol precedent: ) Le transzon d fase crtche appartengono a class d unversaltà, cascuna d esse caratterzzata da determnat valor d esponent crtc. 2) Per una data classe d unversaltà esste una dmensone crtca massma d C oltre la quale gl esponent crtc assumono valor determnat nell ambto della teora d campo medo. 3) Le dsuguaglanze fra gl esponent crtc che s rcavano a partre da determnate legg della termodnamca valgono n modo pù esteso anche come uguaglanze. 4) Gl esponent crtc assumono lo stesso valore quando la temperatura crtca T C è raggunta a partre da valor mnor d T C ( T T C ) e da valor maggor d T C ( T T + C ). 5) Gl esponent crtc de sstem bdmensonal sono spesso numer razonal frazonar. Le caratterstche prncpal della crtctà d una transzone d fase sono rappresentate dalla dvergenza della lunghezza d correlazone (essa è coè nfnta nel punto crtco) e dal fatto che l sstema fsco che esbsce tale comportamento è nvarante su tutte le scale d lunghezza e cò s traduce nell nvaranza dell Hamltonana corrspondente. Dvene qund necessaro formulare una teora che spegh questo comportamento nseme a rsultat elencat sopra. In partcolare, questa teora, detta TEORIA DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE, permette d calcolare n qualche caso n modo esatto, n altr cas n modo approssmato, ma molto accurato, gl esponent crtc e le temperature crtche. L potes fondamentale della teora del gruppo d rnormalzzazone antcpata da Kadanoff e formulata n modo sstematco da Wlson è rappresentata dal cambo delle lunghezze d scala d un sstema. In altre parole, rnormalzzare un sstema sgnfca cambare scala al sstema stesso rendendolo pù semplce da studare. Tale cambo d scala vene effettuato rmuovendo de grad d lbertà nel sstema fsco n studo allo scopo d semplfcare l calcolo delle grandezze fsche fondamental (ad esempo l energa, la funzone d partzone e le generche funzon termodnamche). Il vncolo da rspettare è che, n corrspondenza del punto crtco a T = T C, le propretà del sstema rmangano nalterate n seguto a questo cambo d scala e possano essere descrtte da quell che vengono chamat PUNTI FISSI della trasformazone d scala.

2 6. Defnzone d trasformazone del gruppo d rnormalzzazone In prmo luogo, è necessaro fornre la defnzone d trasformazone del gruppo d rnormalzzazone e po ntrodurre l concetto d punt fss del mappng (cambo d scala) che è assocato a tale trasformazone. Ess servono a descrvere l sstema fsco dato nel punto crtco. Cascun sstema fsco è caratterzzato da una Hamltonana H che n forma rdotta può essere scrtta come Η = H /kbt, coè come una quanttà admensonale; Η rappresenta l Hamltonana del sstema orgnale. Essa vene rnormalzzata ad un altra Hamltonana rdotta scrtta nella forma Η = H /k T che descrve l nuovo sstema dopo l operazone d rnormalzzazone. La B relazone fra le due Hamltonane è data da H = ˆR H (6.) In Eq.(6.) ˆR è detto operatore del gruppo d rnormalzzazone. Esso è l operatore che realzza la trasformazone d tale gruppo ed è rappresentato da una matrce. Osservando Eq.(6.) s deduce che l Hamltonana non è n generale nvarante per una trasformazone d rnormalzzazone e questo è vero per T T C. Indcando con N l numero d grad d lbertà del sstema nzale e con N l numero d grad d lbertà del nuovo sstema, l azone d ˆR è quella d RIDURRE l numero d grad d lbertà da N ad N per cu s ha sempre che N < N. S defnsce un FATTORE DI SCALA della trasformazone e lo s ndca con b. Vale la seguente defnzone d b d N b = N (6.2) dove d è la dmensonaltà del sstema. In fgura è rappresentato un esempo d operazone d rnormalzzazone. S nota che l numero d celle che esprmono l numero d grad d lbertà del sstema dopo l operazone d rnormalzzazone vene rdotto d un fattore 9. Se s ndca con N l numero d celle del sstema orgnale e con N l numero d celle del sstema rnormalzzato s ha che N N =. Il corrspondente fattore d scala s 9 N rcava dalla relazone 9 N =. Confrontando questo rapporto con la defnzone del fattore d scala b d Eq.(6.2) nel caso d = 2 (retcolo bdmensonale) s ha che b = 3. 2

3 Sstema orgnale Sstema rnormalzzato La condzone prncpale a cu deve soddsfare qualsas trasformazone del gruppo d rnormalzzazone affnchè essa sa fscamente sgnfcatva è la conservazone della funzone d partzone effettuando un operazone del gruppo, coè s deve avere che La funzone d partzone Z N ( ) Z ( ) ZN ( ) N H = H (6.3) H del sstema rnormalzzato, coè del sstema ottenuto dopo l operazone d rnormalzzazone è uguale a quella del sstema orgnale Z N ( H ). Conseguentemente, pochè l energa lbera totale d un sstema vale F = k Tln Z, anch essa deve rmanere la stessa facendo tale operazone. S deve coè realzzare la condzone F ( ) FN ( ) N H = H secondo la quale l energa lbera totale del sstema ottenuto dopo avere effettuato l operazone d rnormalzzazone deve rsultare uguale all energa lbera totale del sstema orgnale. Come s è fatto per l Hamltonana, s defnsce un energa lbera totale rdotta del sstema prma e dopo l operazone d rnormalzzazone rspettvamente come F N =F N /k B T e per la quale vale ancora F N ( ) =FN( ) F N =F N /kbt H H. A partre da essa convene defnre FN F un energa lbera rdotta e per spn fn = N per l sstema orgnale e fn = per l sstema N N ottenuto dopo l operazone d rnormalzzazone. Tale defnzone è possble per l fatto che F è una grandezza estensva (cresce al crescere d N). S ha qund che N fn = N fn da cu f N f N N = N. A partre dalla defnzone d fattore d scala n Eq.(6.2) s può nfne scrvere B 3

4 d ( ) N ( ) f H = b f H (6.4) N Eq.(6.4) rappresenta l punto d partenza per potere scrvere la cosddetta relazone d scalng dell energa lbera (s veda l Eq.(6.7a)). Graze alla defnzone del fattore d scala anche le lunghezze L sono rnormalzzate e le lunghezze dopo l operazone d rnormalzzazone sono espresse nella forma L L =. Per l esempo b L mostrato nella fgura precedente s ha L =. Pochè b > s ha che L < L. Pù n generale vale 3 per le lunghezze la seguente relazone d scala r = b r (6.5a) Analogamente moment avent le dmenson dell nverso d lunghezze soddsfano la relazone d scala q = bq (6.5b) Allo stesso modo, vettor d spn soddsfano la relazone d scala s = c s r r ed analogamente la funzone d correlazone a coppe soddsfa la relazone (6.5c) Γ H = Γ H (6.5d) ( r, ) c 2 ( r, ) La costante c è legata al fattore d scala b. Pochè, come s è vsto n Eq. (6.), l Hamltonana non s mantene n generale nvarante dopo avere effettuato un operazone del gruppo d rnormalzzazone, occorre trovare punt fss della trasformazone n corrspondenza de qual s abba H = H H (6.6) dove H ndca l Hamltonana rdotta n un punto fsso. In corrspondenza d un punto fsso, che s ha per esempo quando T = T, l sstema è nvarante rspetto ad un cambamento d scala, C perchè s conserva l Hamltonana corrspondente. Un altra grandezza che goca un ruolo fondamentale ne fenomen crtc è la lunghezza d correlazone ξ. Come gà dscusso nel captolo TRANSIZIONI DI FASE, essa n corrspondenza 4

5 del punto crtco dventa nfnta. Come per l Hamltonana occorre che la lunghezza d correlazone rsult nvarante dopo un operazone del gruppo d rnormalzzazone, coè s abba ne punt fss ξ = ξ ξ (6.7a) Ma, a causa della legge dell nvaranza d scala d Eq.(6.5a) che deve essere soddsfatta da tutte le lunghezze (nclusa qund anche la lunghezza d correlazone), deve anche valere la seguente condzone ξ = b ξ (6.7b) Affnchè possano valere contemporaneamente Eq.(6.7a) ed Eq.(6.7b), la lunghezza d correlazone n corrspondenza de punt fss deve dvergere. Infatt, se ξ è nfnta anche ξ è nfnta, essendo, n vrtù d Eq.(6.7b), ξ = ξ / b con b quanttà fnta e dversa da zero (una quanttà nfnta dvsa per una quanttà fnta e dversa da zero dà una quanttà nfnta). Il punto fsso n cu s realzza la dvergenza della lunghezza d correlazone è qund un partcolare punto crtco e vene chamato punto fsso crtco. Un altra condzone che asscurerebbe che vengano soddsfatte sa Eq. (6.7a) che Eq.(6.7b) sarebbe una lunghezza d correlazone nulla. Tuttava, questa possbltà non avrebbe sgnfcato fsco, pochè la lunghezza d correlazone deve dvergere ne punt crtc. In questo caso, l punto fsso n cu la lunghezza d correlazone s annulla non è pù un punto crtco ed è detto punto fsso banale. 6.2 Fluss nello spazo de parametr Studamo l comportamento dell Hamltonana nell ntorno d un punto fsso d una trasformazone d rnormalzzazone. Per fare cò ntroducamo l concetto d SPAZIO DEI PARAMETRI che rappresenta uno spazo astratto nfnto-dmensonale. Esso prende anche l nome d spazo delle costant d accoppamento. Questo spazo c permette d mostrare che una trasformazone d rnormalzzazone corrsponde ad un flusso n tale spazo. In generale, un Hamltonana rdotta d un qualsas sstema fsco che abba un comportamento crtco può essere scrtta nello spazo de parametr come μ H= (6.8) 5

6 coè come un prodotto scalare fra due vettor. In partcolare, le component d sono prodott d operator od operator sngol che rappresentano le varabl del sstema nello spazo de parametr. S può qund scrvere nella forma ss j j = s... Se s fa, ad esempo, rfermento al modello d Isng a spn-½ le component d ncludono qund un accoppamento fra l generco spn ed l campo magnetco sommato su tutt gl spn, coè s oppure un nterazone fra coppe d spn prm vcn, fra coppe d second vcn e così va, sommate su tutt gl spn oppure un nterazone a tre spn ed anche a quattro spn. Invece μ è rappresentato dall nseme de camp conugat nello spazo de parametr che fgurano come sue component espress nella forma J H μ =.... dove J è la costante d scambo ed H è l campo magnetco esterno. Qund, s può affermare che μ possono essere consderat come vettor che defnscono la poszone del sstema n uno spazo de parametr nfnto-dmensonale. Per effetto d successve applcazon d una trasformazone del gruppo d rnormalzzazone l Hamltonana camba ed l sstema s muove attraverso lo spazo de parametr. In partcolare s ha la sere d trasformazon dell Hamltonana rdotta nello spazo de parametr Rˆ Rˆ Rˆ H H H H. Anche se l Hamltonana nzale prma dell operazone del gruppo d rnormalzzazone contene solo un numero fnto e pccolo d accoppament d spn, l processo d terazone della trasformazone del gruppo d rnormalzzazone può generare nell Hamltonana rnormalzzata un numero molto grande d accoppament d spn fra tutt possbl vcn (prm, second, terz e così va). All operazone d rnormalzzazone effettuata sull Hamltonana corrsponde quella fatta sul vettore ˆ ˆ ˆ R R R μ, coè μ μ μ μ. Se s rpete l operazone n volte s avrà una trasformazone corrspondente all operatore R ˆ n. Il sstema s 6

7 muove coè nello spazo de parametr a causa d questa sere d trasformazon. Cò mplca che s possa scrvere una relazone fra vettor ottenut dopo le successve operazon d rnormalzzazone ed vettor del sstema orgnale, coè μ = ˆR μ (6.9) con ˆR operatore del gruppo d rnormalzzazone. Eq.(6.9) esprme l movmento del sstema all nterno dello spazo de parametr. S può anche scrvere μ = ˆR μ da cu μ ˆR 2 = μ e pù n n generale per l n-esmo vettore s ha ˆ n μ = R μ. È da notare che ˆR è un operatore non lneare ed n generale s ha ˆ ˆ( ) R=R μ per cu l operatore dpende da come s comporta l sstema n un determnato punto nello spazo de parametr. Qund, se s conosce ˆR ( μ ) ˆR ( μ ) con la condzone che μ s conosce anche ntorno d μ. Allo stesso modo s ha una trasformazone d scala nello spazo reale del tpo n r = b r n dove b n = bb... b n volte. In un punto fsso posto nello spazo de parametr s deve avere Infatt, s ha n generale che μ = μ μ (6.0a) μ = ˆR μ, ma, dalla defnzone d punto fsso n corrspondenza del quale deve valere ˆR μ = μ (6.0b) segue che, per un partcolare μ = μ, μ ˆR μ μ = = e qund l uguaglanza n Eq.(6.0a). È convenente espandere attorno ad un punto fsso sa μ che μ al prmo ordne (espansone lneare) μ = μ + δμ (6.a) μ = μ + δμ (6.b) È possble mettere n relazone le pccole devazon dal punto fsso δ μ nel sstema rnormalzzato con le pccole devazon δ μ nel sstema orgnale. Per effettuare questa operazone basta scrvere lo svluppo n sere d Talor al prmo ordne della trasformazone del gruppo d rnormalzzazone (Eq.(6.9)) ottenendo come rsultato fnale 7

8 La matrce costante Â( μ ) Â( ) δ μ = μ δμ è valutata nel punto fsso μ (6.2) e contene gl esponent crtc del sstema. L operazone descrtta da Eq.(6.2) è detta operazone d lnearzzazone dell operatore e può essere dervata faclmente. Infatt, n base all Eq.(6.9) s ha che espanson d Eq.(6.a) ed Eq.(6.b) s può scrvere μ δμ ˆR ( μ δμ) R ˆ( + ) = Rˆ Rˆ ˆ ( ) A( ) ˆ ( μ ) δμ δμ A( μ ) δμ = Aˆ = μ = ˆR μ. Sosttuendo a μ ed a μ le + = +. Cò mplca che δμ = μ δμ μ μ + μ= μ δμ μ = μ + μ δμ μ = dopo avere applcato la defnzone d punto fsso per cu ˆR ( μ ) ˆ ( ) = ( ) = μ e dopo avere posto ˆR μ = μ A μ. La matrce  è una matrce costante essendo espressa da element d matrce costant valutat nel punto fsso μ. Dventa fondamentale calcolare gl autovalor λ ed corrspondent autovettor v d  con =,2.., pochè ess sono mportant per determnare le propretà crtche dell Hamltonana. Gl autovalor λ sono funzon d b, che esprme l cambo d scala legato all operazone d rnormalzzazone. Se vengono effettuate due successve trasformazon d rnormalzzazone con fattor d scala b e b 2, rspettvamente, l cambo totale d scala vale 2 bb. Qund, ne segue che λ ( b ) λ ( b ) λ ( b b ) 2 2 =, coè l -esmo autovalore assocato alla trasformazone d scala bb 2è uguale al prodotto degl autovalor assocat rspettvamente alle trasformazon b e b 2. Per soddsfare alla regola scrtta gl autovalor devono essere della forma ( ) = b λ b (6.3) dove gl esponent sono ndpendent dal fattore d scala b. Infatt, n base ad Eq.(6.3) s può scrvere λ ( ) ( 2) 2 ( 2) b λ b b b b b λ( bb2) = = =. Gl vengono dett esponent d Lapunov, pochè sono conness con le propretà d stabltà d un sstema n prossmtà d un punto fsso. Sarà dmostrato nel paragrafo 6.3 che ess sono strettamente legat agl esponent crtc dscuss ne captol precedent (s vedano captol TRANSIZIONI DI FASE e TEORIE DI CAMPO MEDIO). Descrvamo ora come gl autovalor determnano fluss nello spazo de parametr vcno a punt fss e come questo comportamento conduca al concetto d superfce crtca. Per un Hamltonana 8

9 vcna ad un punto fsso μ la devazone (allontanamento) dal punto fsso δ μ nello spazo de parametr può essere espansa ne termn degl autovettor v d Â, coè δμ= g v (6.4a) dove g sono de coeffcent che, a causa dell approssmazone lneare effettuata sull operatore ˆR, prendono l nome d CAMPI LINEARI DI SCALA. I coeffcent sono n realtà le component (camp conugat) de vettor μ descrtt precedentemente. Sosttuendo questa espansone n Eq.(6.a) s ha μ μ + gv (6.4b) S nota che pù grand sono g e pù l sstema n esame s allontana dal punto fsso. Tenendo conto dell espansone attorno al punto fsso μ = μ + δμ con δ μ = Âδμ e sosttuendo a δ μ ˆ l espansone espressa n Eq.(6.4a) s rcava μ = μ + Aδμ = μ + ga ˆv. Graze all equazone agl autovalor ˆ A v loro espressone s ottene D altra parte s ha anche = λ v vale μ = μ + gb v δμ = g v μ = μ + g λv se vene espresso nella base degl autovettor della matrce  con corrspondent. Qund, s può scrvere μ = μ + g v. Sosttuendo a λ la (6.4c) (6.4d) g come coeffcent (6.4e) Dal confronto fra le due espresson d μ (cf. Eq.(6.4c) ed Eq.(6.4e)) s rcava la relazone fra coeffcent g = gb (6.5) 9

10 Da Eq.(6.5) s deduce che l flusso d un Hamltonana, orgnaramente vcna ad un punto fsso, nello spazo de parametr dpende dal set de coeffcent g che descrvono la poszone orgnara dell Hamltonana stessa (quella coè prma dell operazone d rnormalzzazone). Tale flusso dpende anche dalla forma de corrspondent esponent, coè dal loro segno postvo, negatvo o nullo. L uguaglanza espressa da Eq.(6.5) dce qund d quanto s sposta l sstema dal punto fsso. Infatt se > 0 s ha che g > g, pochè la base b rappresentata dal fattore d scala è sempre maggore d. In questo caso coeffcent g sono dett PARAMETRI RILEVANTI o VARIABILI RILEVANTI. Ess fgurano come component del vettore μ nello spazo de parametr. A causa della condzone g > g l sstema deve qund flure LONTANO dal punto fsso (a meno che non c s trov nella condzone per cu tutt g sano null). Se nvece < 0 allora s ha che g < g, coè g decrescono n seguto ad terazon rpetute d una trasformazone d rnormalzzazone gudando così l sstema sempre pù vcno al punto fsso. In questo caso g sono dett PARAMETRI IRRILEVANTI O VARIABILI IRRILEVANTI. Indpendentemente dal loro valore nzale l punto fsso vene sempre raggunto. Se tutt gl esponent sono null, coè = 0 allora g = g ed g sono dett PARAMETRI o VARIABILI MARGINALI, pochè s ha che b 0 = che, a sua volta, dà λ = e qund dventano mportant termn d ordne pù elevato. D conseguenza, non basta pù la relazone = Â( ) δ μ μ δμ scrtta n approssmazone lneare. La stabltà d un punto fsso dpende dal numero d autovalor rlevant ed rrlevant assocat ad esso. Infatt, a partre da Eq.(6.5), s può scrvere l -esmo autovalore λ della matrce  medante coeffcent g g e g, coè λ = g essendo λ = b. L -esmo autovalore rlevante λ è quello assocato all -esmo parametro rlevante g. Per mostrare cò è utle dsegnare le traettore nello spazo de parametr lungo le qual un sstema flusce a causa d terazon rpetute d una trasformazone d rnormalzzazone. In fgura è mostrato un punto fsso crtco che per defnzone è posto su una superfce crtca nseme ad un parametro rlevante e due rrlevant. 0

11 In generale s possono rappresentare tal parametr come le component del vettore μ de camp conugat, coè μ g = g2 g 3 In partcolare, g è l parametro rlevante, mentre g 2 e g 3 sono due parametr rrlevant. Un sstema avente nello spazo de parametr una poszone nzale dentfcata dal vettore μ, che ha una componente lungo un autovettore rlevante, deve necessaramente essere gudato lontano dal punto fsso medante l aumento (n valore assoluto) del campo lneare d scala corrspondente, che nel caso specfco è rappresentato da g. Le traettore tratteggate che partono vcno alla superfce crtca, ma non appartengono ad essa, nzalmente sono drette verso l punto fsso, ma po se ne dscostano allontanandos. L allontanamento corrsponde alla varazone (aumento n valore assoluto) del parametro rlevante g n modo tale che, dopo un operazone del gruppo d rnormalzzazone, s abba g > g. Fscamente cò corrsponde ad un sstema che s allontana dalla crtctà, coè dalla superfce crtca defnta dal pano g = 0. I punt che fluscono verso l punto fsso, dopo applcazon successve dell operatore d rnormalzzazone ˆR, defnscono una SUPERFICIE CRITICA bdmensonale. Su d essa gaccono tutt punt che rappresentano l sstema descrtto dall Hamltonana rnormalzzata cu stat corrspondent sono n una fase crtca. Tal punt appartengono all ntorno del punto fsso, sono dett punt crtc ed hanno la propretà per la quale n loro corrspondenza la lunghezza d correlazone dverge. Infatt, basta

12 notare che l flusso è verso l punto fsso n corrspondenza del quale s ha ancora una lunghezza d correlazone nfnta. Il punto fsso è un partcolare punto crtco. La lunghezza d correlazone può solo dmnure, a causa delle successve applcazon della trasformazone del gruppo d rnormalzzazone, pur rmanendo però nfntamente grande. Le due traettore contnue ndvduate dalle quattro frecce sono drette verso l punto fsso e corrspondono rspettvamente alla varazone de parametr rrlevant g 2 e g 3 che avvene sulla superfce crtca per successve trasformazon del gruppo d rnormalzzazone Attraversamento d una superfce crtca In alcun cas s può verfcare la presenza d pù d un punto fsso su una superfce crtca nello spazo de parametr. In quest cas possono esserc effett d attraversamento della superfce crtca stessa. Supponamo ad esempo d avere un sstema la cu Hamltonana (quantstca) è della forma (s veda Captolo MODELLI) ( ) H= J s s J s s + s s H s (6.6a) z z x x z z j j j j j S tratta d un Hamltonana caratterzzata da un contrbuto d scambo ansotropo, pochè n generale Jz J. Essa può rappresentare l Hamltonana d base per sstem non completamente sotrop, nè completamente ansotrop. S possono realzzare seguent cas a) J = 0 L Hamltonana dvene quella della versone quantstca del modello d Isng a spn-½, coè H H caratterzzato da forte ansotropa d asse facle lungo una partcolare drezone spazale. Isng b) Jz = J L Hamltonana dvene quella del modello d Hesenberg, coè H H Hesenberg che nvece è per defnzone sotropo. 2

13 c) J z = 0 L Hamltonana dvene quella del modello X-Y, coè H H X-Y che presenta un pano facle d ansotropa x ed un asse dffcle perpendcolare a tale pano lungo z. I sstem real non sono nè completamente sotrop nè completamente ansotrop per cu sono della forma della generca Hamltonana d Eq.(6.6a). Studamo qund come evolve tale Hamltonana n seguto a successve trasformazon d rnormalzzazone. Nell Hamltonana d Eq.(6.6a) sono present tre parametr rlevant rappresentat da J z, J ed H. Inoltre, n relazone alla partcolare trasformazone d rnormalzzazone che vene scelta, può esserc anche una sere d parametr rrlevant. Il vettore μ può qund essere rappresentato nella forma J z J μ = H.... Il vettore μ, essendo assocato all Hamltonana d Eq.(6.6a) (contenente le Hamltonane de tre modell rspettvamente d Isng, d Hesenberg ed X-Y) attraverso la relazone μ H=, mostra come tre sstem dvers, uno con forte ansotropa lungo un asse (rappresentato dal modello d Isng a spn-½), un altro sotropo (rappresentato dal modello d Hesenberg) ed un terzo con ansotropa nel pano x (rappresentato dal modello X-Y) vengano descrtt nello stesso spazo de parametr e qund sano soggett alla stessa operazone d rnormalzzazone. Per un magnete reale l Hamltonana d Eq.(6.6a) rappresenta una sorta d va d mezzo fra l Hamltonana d Isng a spn-½ e quella d Hesenberg. Inoltre, ne cas real, oltre all ansotropa d scambo, c può essere un contrbuto d ansotropa unassale E 2 an cos θ così da avere z z x x z 2 ( ) cos H= J s s J s s + s s H s + Ean θ (6.6b) z j j j j j dove θ è l angolo che l -esmo spn s forma con l asse z o angolo polare, mentre E an è la costante d ansotropa (campo d ansotropa) avente le dmenson d un energa che, pur avendo sgnfcato fsco, goca l ruolo d un parametro rrlevante. Dallo studo dell Hamltonana d Eq.(6.6b), a seguto d operazon successve d rnormalzzazone R ˆ n, s è trovato che essa evolve verso quella che descrve un modello d Isng a spn-½. S può schematzzare tale sere d operazon come 3

14 z z x x z ( ) an H= J s s J s s + s s H s + E cos θ H 2 z j j j j j Studamo ora pù da vcno questo rsultato analzzando l attraversamento d una superfce crtca come è schematzzato n fgura. Come s nota, sulla parte d superfce crtca nello spazo de parametr contenente due punt fss A e B vengono segute due traettore (ndcata dalle frecce) passant vcno al punto fsso A corrspondente al modello d Hesenberg per po dscostars da esso ed essere gudate verso l punto B medante l aumento d un parametro rlevante per l modello d Hesenberg rappresentato da J z. Il punto B è l punto fsso corrspondente al modello d Isng a spn-½ per l quale J z è nvece un parametro rrlevante. In termn d crtctà del sstema questo flusso appena descrtto sgnfca che, n un sstema fsco reale caratterzzato da debole ansotropa d scambo, coè con J z Rˆ n Isng J ma con un valore d J z molto prossmo a J, non appena la temperatura T s approssma alla temperatura crtca T c, ma con T T, gl esponent crtc sono quell del modello d Hesenberg. Invece, se la temperatura T è molto vcna alla temperatura crtca T c, coè T T, gl esponent crtc del modello d Hesenberg evolvono verso quell del modello d c Isng a spn-½ a fssata dmensonaltà. In fgura sono anche rappresentate le traettore (due) n cu s realzza la condzone J z = J = J che convergono nel punto A, corrspondente al parametro rrlevante per l Hamltonana d Hesenberg rappresentato da J. S può anche affermare che sstem dvers possono evolvere verso uno stesso punto fsso (nel caso specfco l punto B corrspondente al modello d Isng a spn-½) se le Hamltonane corrspondent dfferscono solo per parametr rrlevant. Un esempo è fornto da sstem descrtt dalle Hamltonane d Eq.(6.6a) ed Eq.(6.6b) che dfferscono solo per l parametro rrlevante E an e convergono entrambe verso l Hamltonana d Isng a spn-½. Le class d sstem, le cu corrspondent Hamltonane dfferscono solo per parametr rrlevant, sono, qund, le stesse CLASSI DI UNIVERSALITÀ. Cò sgnfca che sstem suddett hanno gl stess esponent crtc. Qund, pochè le Hamltonane d Isng a spn-½, X-Y e d Hesenberg dfferscono nvece per parametr rlevant, esse rappresentano sstem appartenent a tre class dverse d unversaltà verso le qual un sstema reale può convergere n prossmtà d un punto fsso. c 4

15 6.3 Legg d scala ed esponent crtc Graze alla trasformazone d scala assocata al gruppo d rnormalzzazone è possble rcavare gl esponent crtc α, β, γ, δ, η e ν espress ne termn degl esponent d Lapunov a loro volta legat agl autovalor della matrce Â, matrce della trasformazone lneare nel punto fsso. Occorre, n prmo luogo, scrvere la trasformazone d rnormalzzazone della parte sngolare dell energa lbera e della funzone d correlazone. Per parte sngolare d una grandezza termodnamca s ntende la grandezza stessa esclusa la costante d rnormalzzazone. L Hamltonana rdotta orgnale H e quella rdotta rnormalzzata H vengono rappresentate rspettvamente nello spazo de parametr da vettor d scala μ e μ. Come s è dmostrato, l equazone che mostra l legame fra la parte sngolare dell energa lbera per spn del sstema prma e dopo la rnormalzzazone è d della forma f ( μ ) b f ( μ ) f b f N N -d ( μ) = ( μ ) N =. Dvdendo per N d b essa può essere rscrtta come. Nell ntorno d un punto fsso vettor d scala μ e μ possono essere svluppat n sere e scrtt ne termn de camp lnear d scala g e l equazone nella forma -d 2 (, 2, 3... ) N (, 2, ) g per cu s può rscrvere fn g g g b f b g b g b g (6.7a) dove l smbolo ndca l uguaglanza nel lmte asntotco. Eq.(6.7a) esprme l energa lbera per spn scrtta n forma rscalata a causa della presenza del fattore d scala b. L equazone è vera per un qualsas b ed è anche chamata relazone d scalng dell energa lbera. Per legare gl esponent 5

16 agl esponent crtc è necessaro dentfcare parametr d scala g utlzzat. Sappamo che, per quanto rguarda sstem magnetc, esstono due parametr rlevant espress per comodtà anch ess n forma rdotta e dat rspettvamente dalla temperatura rdotta t e dal campo magnetco rdotto h= H k T con H avente le dmenson d un energa. Percò, sceglendo g / B assumendo che tutt gl altr parametr sano rrlevant, l Eq.(6.7) dvene -d 2 (,, 3... ) N (,, ) = t e g2 = h ed fn t h g b f b t b h b g (6.7b) Nel punto crtco parametr tendono a zero, coè t, h e g 3 0 e così tutt gl altr Calcolo dell esponente crtco α Calcolamo l esponente crtco α assocato al comportamento crtco del calore specfco. S è vsto che l calore specfco a campo magnetco esterno costante c H segue la legge c H t α n prossmtà del punto crtco. Pochè l calore specfco è proporzonale alla dervata seconda dell energa lbera s può esprmere medante l energa lbera per spn nella forma 2 f ch f 2 tt h = t h= 0 ( 0) Il calcolo vene effettuato n assenza d campo esterno, coè per h = 0 (s è omesso l pedce N n f ). D conseguenza, s ha anche che ( 0) f h= t α. Dervando f due volte rspetto a t n tt Eq.(6.7b) e ponendo, senza perdta d generaltà, ugual a zero gl altr parametr rrlevant s ottene d ( ) ( ) ( ) ( ) d,0,0 2 d+,0 2 = =,0 c f t b b b f b t b b f b t b f b t H tt tt tt tt, coè s può scrvere d+ 2 (,0) c H b ftt b t (6.8a) In questa operazone s è effettuata la dervata d f due volte tenendo conto del fatto che deve essere effettuata due volte anche la dervata dell argomento d f. Data l arbtraretà del fattore d scala b e tenendo conto del fatto che > 0 (parametro rlevante), s può sceglere b n modo tale da 6

17 avere b t = da cu s rcava b t = che a sua volta dà b t / =. Con questa semplce operazone s è trasferta la dpendenza da t solo fuor dalla funzone f tt. d+ 2 / Infatt, sosttuendo n Eq.(6.8a), s rcava ch ( t ) ftt( ±, 0,.. ) d+ 2 ( ±, 0) da cu s può scrvere c t f (6.8b) H tt La dpendenza da t s ha solo nel prmo termne a secondo membro per cu dal confronto con ch t α d+ 2 s ottene α = che dà α = 2 d (6.9) S not che l esponente crtco α dpende, oltre che dall esponente d Lapunov, anche dalla dmensonaltà d del sstema. Questo rsulterà vero anche per gl esponent crtc calcolat n seguto Calcolo dell esponente crtco γ L esponente crtco γ dà l andamento della suscettvtà soterma n prossmtà del punto crtco che è della forma χ T t -d 2 (,,...) (,,...) f t h b f b t b h γ. Nel caso specfco vene calcolato a partre dalla relazone d Eq.(6.7b). Pochè la suscettvtà è proporzonale alla dervata seconda dell energa lbera fatto rspetto al campo magnetco esterno, coè χ T 2 f 2 h = f hh, s deve dervare due volte rspetto ad h l energa lbera per spn f tenendo conto d dervare due volte anche l argomento 2 b h. In forma esplcta s scrve d ( ) ( ) ( ) ( ) d,,...,, , 2 d+ =,... = 2 2, 2,... f t h b b b f b t b h b b f b t b h b f b t b h hh hh hh hh 7

18 Sceglamo, come nel caso precedente, b n modo tale che s abba b t / = e calcolamo la dervata seconda ad h = 0 ponendo, senza perdta d generaltà, ugual a zero anche tutt parametr rrlevant ottenendo hh d+ 2 2 (,0) ( ±,0) f t t f hh Tenendo conto della relazone χt fhh s può scrvere la suscettvtà soterma nella forma d+ 2 ( ±, 0) 2 χ t f (6.20a) T t γ hh Da confronto con la relazone χ T che dà la suscettvtà soterma nel punto crtco s rcava γ = d+ 2 2 (6.2) L esponente crtco γ è espresso n funzone degl esponent d Lapunov ed 2 oltre che dpendere dalla dmensonaltà d. Effettuando calcol analogh, a partre dalla relazone d scalng dell energa lbera, s trovano anche altr due esponent crtc. In partcolare β = δ = d 2 d 2 2 (6.22) (6.23) Anche l esponente crtco β è espresso n funzone degl esponent d Lapunov ed 2, mentre δ è espresso solo n funzone d 2. Entramb dpendono dalla dmensonaltà d Calcolo dell esponente crtco ν È mmedato rcavare l espressone dell esponente crtco ν che dà l comportamento crtco della lunghezza d correlazone, coè ξ t ν. Basta nfatt tenere presente che tutte le lunghezze nclusa la lunghezza d correlazone scalano come b t / = per cu dal confronto s ottene ν = / (6.24) 8

19 L esponente dpende da, ma non dpende dalla dmensonaltà d. Qund, s può concludere che per un sstema magnetco bastano due esponent d Lapunov per caratterzzare l suo comportamento crtco. Invece, non s rcava un espressone esplcta per l esponente crtco η n funzone degl esponent d Lapunov, ma è possble rcavare una relazone fra tale esponente crtco e gl esponent crtc γ e ν. Relazon fra gl esponent crtc S verfcano faclmente le relazon fra gl esponent crtc gà presentate nel captolo TRANSIZIONI DI FASE e s trova che tal relazon presentate come dsuguaglanze valgono come uguaglanze. Combnando nseme le Eq.( ) s trova nfatt α + 2β + γ = 2 ( ) α + β + δ = 2 γ = β( δ ) Analogamente, combnando nseme Eq.(6.24) con Eq.(6.9) s trova la relazone d perscalng 2 α = dν Non s rcava una dpendenza dretta dell esponente crtco η, che dà l andamento crtco della funzone d correlazone a coppe, dagl esponent d Lapunov. Tuttava, partendo dalla forma rnormalzzata della funzone d correlazone a coppe e dall espressone della suscettvtà soterma n funzone della funzone d correlazone stessa, s rcava l legame fra l esponente crtco η e gl esponent crtc ν e γ, coè ( 2 ) γ = ην È da notare che, poché nell espressone del fattore d scala b compare l modulo della temperatura rdotta, s può affermare che tutt gl esponent crtc assumono lo stesso valore per t 0 calcolato sa da destra che da snstra. 9

20 6.4 Applcazone del gruppo d rnormalzzazone al modello d Isng undmensonale a spn -½ n assenza d campo Consderamo l Hamltonana d Isng a spn-½ H= J ss j e scrvamola per l caso undmensonale d =, j n assenza d campo esterno, coè H= J ss + C (6.24a) Eq.(6.24) esprme l Hamltonana d una catena d spn nteragent con nterazone a prm vcn con s, s + =±. S è aggunta la costante C che può essere anche posta, senza perdta d generaltà, uguale a zero, coè C = 0. Infatt, sarebbe comunque generata una costante C dversa da zero a causa della trasformazone del gruppo d rnormalzzazone. In forma rdotta s può scrvere H=H/ kt B H= K ss g (6.24b) + dove s è posto K J k T = / B e / B g = C k T. Supponamo d elmnare fra gl N spn s, s 2, s 3, s 4, s N, medante un operazone d rnormalzzazone, gl spn con ndce PARI come llustrato n fgura. Nel pannello (a) è rappresentata la catena d spn orgnale. Nel pannello (b) sono ndcat solo gl spn dspar corrspondent al sstema rnormalzzato dopo avere elmnato gl spn d ndce par, mentre nel pannello (c) gl spn rmast (la metà d quell del sstema orgnale) sono nuovamente numerat consecutvamente. 20

21 Per fare questa operazone dobbamo trasformare l Hamltonana orgnale nell Hamltonana che s ottene dopo l operazone d rnormalzzazone che vene scrtta come H = J ss + C (6.25a) dspar In forma rdotta s ha H = H β dove β = / kt B e s può rscrvere come H = K ss + g (6.25b) dspar dove s è posto K J k T g = C k T. = / B e s è posto / B L operazone d rnormalzzazone deve conservare la funzone d partzone, coè deve valere la condzone Z = Z con e β E s Z =. In partcolare, per l caso consderato s ha che {} s βes = β J ss + C = K ss + + g. Studamo n partcolare fra tutt gl spn d ndce par la soppressone dello spn s 2 (s potrebbe fare lo stesso ragonamento su un qualsas altro spn par soppresso). Per la conservazone della funzone d partzone n seguto alla trasformazone d rnormalzzazone può essere dmostrato che s deve realzzare la seguente uguaglanza g K( s s3) K( s s3) g e e = ( e + e ) e = e s2 = K ss 2+ Ks2s3 + + K ss 3+ g (6.26) dove a prmo membro s ha l contrbuto alla funzone d partzone assocato allo spn s 2 per l sstema orgnale, mentre a secondo membro compare l corrspondente contrbuto per l sstema rnormalzzato dove la dpendenza è rstretta alla coppa d spn s ed s 3. La costante g è generata dall operazone d rnormalzzazone. In partcolare, s possono avere due possbltà che dpendono dagl stat degl spn s ed s 3, coè a) ss 3 = 2

22 Questa condzone è soddsfatta quando due spn s ed s 3 s trovano nello stesso stato, coè s s s3 = = oppure s = s 3 =. D conseguenza s ottene rspettvamente s + s 3 = 2 oppure s3 2 + =. Sosttuendo n Eq.(6.26) s rcava per entramb cas b) ss 3 = 2 2 ( ) K K g K g e e e e + + = (6.27a) Questa condzone è soddsfatta quando due spn s ed s 3 s trovano n due stat dvers, coè s = ed s 3 = oppure s = ed s 3 =. D conseguenza, s ottene s + s 3 = 0. Sosttuendo n Eq.(6.26) s rcava 2 g e e K + g = (6.27b) Eq.(6.27a-6.27b) formano un sstema d due equazon nelle due ncognte g e K. Infatt le costant K e g del sstema orgnale sono note. Se g e K soddsfano tale sstema allora vene verfcata l uguaglanza d Eq.(6.26). Convene rscrvere Eq.(6.27b) nella forma 2 e g = e K e g g g K da cu e = 2 e e. Sosttuendo questo rsultato n Eq.(6.27a) s trova 2K 2K 2K + = da cu e ( e e ) 2K 2K K K e e 2e e 2K 2K 4K nella forma e e ( e ) = + /2 che, raccoglendo può essere rscrtta = + /2. Applcando l operatore logartmo naturale ad entramb 2K 2K 4K membr s ottene e = e ( + e ) ln ln / 2 vrtù della propretà de logartm per cu ( ) 4K che mplca K = K + ( + e ) 2 2 ln /2 n ln ab = ln a+ ln b e tenendo conto del fatto che 2K ln e = 2K e 2K ln e = 2K. Il valore d K che realzza l uguaglanza d Eq. (6.26) è qund 4K + e K = K + ln 2 2 (6.28a) S nota che per valor d K fnt K < K, pochè 4K e + < 2e qund 4K + e ln <

23 Per rcavare g basta moltplcare membro a membro Eq.(6.27a-6.27b), coè ( + ) ( + ) 2 ( ) K g K g 2K 2K 2g e e e e e = + da cu 2( ) prma, a logartm natural s ha ln = ln 2( + ) al caso precedente s ottene 2g 2K 2K 2g e e e e 2K 2K ( ) 2g 2K 2K 2g e = e + e e. Passando, come ed effettuando passagg analogh g = ln 2 e + e + g 2 (6.28b) dove la costante g può essere posta uguale a zero se nell Hamltonana d Eq.(6.24a) s consdera C = 0. Confrontando le Eq.(6.24a-6.24b) con le corrspondent Eq.(6.25a-6.25b) s nota che la forma dell Hamltonana rmane la stessa dopo la trasformazone del gruppo d rnormalzzazone. È anche accettable che nell Hamltonana compaano delle costant addtve purchè esse non crescano all nfnto effettuando teratvamente la trasformazone d rnormalzzazone. Inoltre, dopo l operazone d rnormalzzazone, la funzone d partzone s conserva, coè s ha K s s + g K s s + g + + Z = e = e {} s {} s dspar Se cò accade s può affermare che l operazone d rnormalzzazone effettuata è buona. Pochè la scopo della teora della rnormalzzazone è quello d ndvduare lo stato crtco del sstema, nel punto fsso devono verfcars le due condzon g = g K = K (6.29) Questo sstema è soddsfatto quando K oppure quando K = 0, pochè solo n questo modo s ha H = H (s vedano Eq.(6.25a-6.25b)). Quest valor d K sono gl unc punt fss d questa trasformazone. Per le trasformazon d varabl ntrodotte, coè K = J / kbt e K = J / kbt s ha che K mplca una costante d scambo nfnta, coè J, mentre K = 0 corrsponde ad una costante d scambo J = 0. Questo rsultato ndca che l operazone d rnormalzzazone effettuata sul sstema descrtto dal modello d Isng a spn-½ undmensonale guda un flusso nello spazo de parametr che va da un forte accoppamento d scambo ad un debole (nullo) accoppamento d scambo. Questa descrzone è un altro modo d dre che l modello d Isng undmensonale a spn-½ non prevede transzon d fase crtche per valor fnt della costante d scambo J. Una conferma d tale comportamento vene dallo studo del comportamento crtco del 23

24 modello d Isng a spn ½ undmensonale n presenza d campo magnetco esterno effettuato medante l metodo della matrce d trasfermento. Appendce Funzone d correlazone spn-spn Pres due spn s ed s j facent parte d un sstema d spn (per esempo una catena oppure un retcolo bdmensonale o trdmensonale) post n r ed r j, s defnsce FUNZIONE DI CORRELAZIONE SPIN-SPIN la seguente quanttà Γ r, r = s s s s ( j) ( )( j j ) (A.) Essa esprme la meda statstca del prodotto delle fluttuazon δ s = s s e δ sj = sj sj rspettvamente da valor med s e s j. A dfferenza d alcune varabl termodnamche estensve come la magnetzzazone o l entropa la funzone d correlazone spn-spn dà una descrzone a lvello mcroscopco delle transzon d fase. Il valore medo o meda statstca (s veda captolo TEORIE DI CAMPO) corrsponde ad una meda termca che per una generca grandezza A è scrtta nella forma ( ) Ase {} s A = e {} s β E La funzone d correlazone d Eq.(A.) può essere espressa n una forma pù semplce. A causa dell nvaranza traslazonale d cu gode una catena oppure un retcolo d spn, s ha che j s = s = s, coè la meda statstca della varable d spn è ndpendente dal sto occupato (esmo o j-esmo) e Γ ( r, r j) =Γ( r r j). S può qund scrvere ( r ) ( )( ) rj s s sj s β E s s Γ =. 24

25 Svolgendo l prodotto all nterno della meda termca s ottene Γ r r = ss s s s s + s = ss s s s s + s = ( ) ( ) 2 2 j j j j j = ss s s + s = ss s j j Ne passagg svolt s è applcata la propretà A± B± C ±.. = A ± B ± C ±..., coè l valore medo della somma algebrca d determnate grandezze è uguale alla somma algebrca de valor med. S è noltre tenuto conto che A = A, coè che l valore medo del valore medo d una grandezza è uguale al valore medo stesso ed nfne s è nuovamente applcata la propretà per cu s = s = s. In vrtù d queste semplfcazon la funzone d correlazone spn-spn assume la forma semplce j Γ =Γ = 2 ( r rj) j ss j s (A.2) Eq.(A.2) s applca ad una coppa d spn qualsas all nterno d un sstema post anche a dstanza molto grande. Studamo l comportamento della funzone d correlazone fuor dall ntorno del punto crtco, coè per T > TC e per T < TC che corrsponde al caso t 0, ma con t fnto. Consderamo prma l caso T < T, coè a temperatura corrspondente alla fase ferromagnetca e C ponamo per semplctà r r j = r. Da Eq.(A.2) s deduce mmedatamente che, se le due varabl d spn non sono correlate, la funzone d correlazone rsulta uguale a zero. Infatt, a causa della mancanza d correlazone fra gl spn s ha che ssj = s sj, coè l valore medo del prodotto ss j è uguale al prodotto de valor med d s ed s j pres sngolarmente. Per l nvaranza traslazonale, Γ = = 0 con s s j = s s = s. Qund, n base ad Eq.(A.2), ( r) s s s 0. Cò accade, pochè la lunghezza d correlazone fuor dall ntorno del punto crtco e per T < T C è fnta e non pù nfnta. Basta qund consderare una lunghezza maggore della lunghezza d correlazone stessa, affnchè le due varabl d spn possano essere consderate scorrelate. Se nvece gl spn sono correlat s ha che Γ( r ) 0. Consderamo ora l caso T > T corrspondente alla fase paramagnetca n corrspondenza della C quale = s 0 e dove gl spn non sono correlat ndpendentemente dalla coppa che s consdera. Qund, s rcava mmedatamente che Γ ( r ) = 0. 25

26 Vedamo ora la forma funzonale assunta dalla funzone d correlazone fuor dall ntorno del punto crtco. S può dmostrare che per pesato da una potenza d r, coè T < T essa assume la forma d un esponenzale decrescente ( ) C r ξ Γ r r τ e (A.3) dove τ è un numero. Eq.(A.3) fornsce anche ndrettamente una defnzone della lunghezza d correlazone ξ che esprme la lunghezza massma al d sotto della quale una coppa d spn s può consderare correlata. Nelle smulazon effettuate con l metodo Monte Carlo del modello d Isng a spn-½, la lunghezza d correlazone defnsce le dmenson massme delle sole formate da nsem d varabl d spn. La lunghezza d correlazone dpende dalla temperatura T per cu n va mplcta anche la funzone d correlazone spn-spn dpende da T. Qund, basta che una coppa d varabl d spn abba una dstanza r maggore della lunghezza d correlazone per assumere che r. S nota che effettvamente n base ad Eq.(A.3) per r Γ( r ) 0 e cò corrsponde al caso n cu la coppa d varabl d spn non è correlata. Nella dervazone d Eq.(A.3) s assume che ξ sa ndpendente dalla drezone del vettore congungente due spn e questo è vero soprattutto vcno al punto crtco. Invece nell ntorno del punto crtco, coè per t 0, nasce nel sstema l ORDINE A LUNGO RAGGIO che è espresso dalla dvergenza della lunghezza d correlazone ξ. S ha, nfatt, che ξ attraverso la legge ν ξ t con ν > 0. D conseguenza, l andamento espresso n Eq.(A.3) non vale pù. L evdenza spermentale nseme a modell d rsoluzone esatt mostrano che la funzone d correlazone spn-spn assume la forma d una potenza nversa d r, coè Γ( r ) d 2+η (A.4) r dove η è un esponente crtco e d è la dmensonaltà del sstema. 26