La Stima Spettrale classica Ingegneria Clinica

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1 Unverstà d Roma La Sapenza Corso d Elaborazone d Dat e Segnal Bomedc Facoltà d Ingegnera Cvle ed Industrale La Stma Spettrale classca Ingegnera Clnca A.A Francesco Infarnato, PhD Laboratoro d Bongegnera della Rabltazone IRCCS San Raffaele Psana francesco.nfarnato@unroma.t

2 Rcham d Teora de Segnal Un ntero segnale, la cu reale denttà non sa nota a pror vene detto membro o realzzazone d un processo aleatoro, e può essere ndcato come xt, θ, medante una descrzone formale che prevede una coppa d nsem: T è l nseme degl stant temporal su cu sono defnt membr del processo; Θ è l nseme cu valor θ dentfcano ognuno una partcolare realzzazone del processo. Pertanto, le stanze effettve xt, θ, con t T, sono note solo dopo la conoscenzadθ Θ. Il processo aleatoro è qund defnto come l nseme de segnal {xt, θ: cont Teθ Θ}

3 Rcham d Teora de Segnal Fssato un partcolare stante temporale t j, l valore xt j, θ è una varable aleatora, la cu realzzazone dpende da quella d θ Θ; Può essere qund defnta la denstà d probabltà p xt j ndpendente da θ n corrspondenza dell stante t j n cu è prelevatolcampone

4 Rcham d Teora de Segnal Meda d nseme È l valore atteso d una potenza n-esma de valor del segnale, ossa un suo momento, eseguto rspetto alla varabltà dovuta a Θ, ed è pertanto calcolata come { } µ t E x t, ϑ x n n n n t, ϑ p ϑ d ϑ j Θ j j Θ x n p x t dx j Una meda d nseme qund dpende dalla d.d.p. p xt j d xt j, θ al vararedθ Θ

5 Rcham d Teora de Segnal Meda temporale In alternatva, possamo fssare una partcolare realzzazone θ d Θ, e qund dentfcare un sngolo membro xt, θ, che è ora un segnale certo per l quale possono essere calcolate le mede temporal: µ n ϑ x n t, ϑ lm T T T / x T / n t, ϑ dt Pernavremolvalormedo,pernlapotenzaomedaquadratca

6 Rcham d Teora de Segnal Meda temporale calcolata come meda d nseme L estrazone da xt,θ d un valore ad un stante casuale t T, defnsce una ulterore varable aleatora, descrtta dalla denstàdprobabltàcondzonatap x θ. Qualora essa sa nota, le mede temporal d ordne n possono essere calcolateper quel membro come moment: µ n ϑ lm T T T / x T / n t, ϑ dt x n p x ϑ dx Cò equvale nfatt ad effettuare una meda ponderata, n cu ogn possblevaloredxèpesatoperlasuaprobabltàp x θ.

7 Rcham d Teora de Segnal Processo stazonaro Qualora p xt j non dpenda da t j, ma rsultp xt j p T xperqualsast j T, l processo{xt, θ} è detto stazonaro n senso stretto. Se nvece solamente le prme due mede d nsemeμ teμ tnondpendonodat, l processo {xt, θ} è detto stazonaro n meda ed n meda quadratca, od anche stazonaro n senso lato

8 Rcham d Teora de Segnal Processo stazonaro ed ergodco Quando la denstà d probabltà de valor estratt da un sngolo membro p x θ è sempre la stessa, ndpendentemente dal partcolare θ, ogn membro del processo è statstcamente rappresentatvo d tutt gl altr In questo caso le mede temporal μ n θ, calcolabl come moment sulla sngola realzzazone, sono dentche per tutt membr θ, ed dentche anche alle mede d nsemeμ n t j calcolateperunqualunquestante. Un processo stazonaro è ergodco se la meda temporale calcolata su d una qualunque realzzazone del processo, concde con la meda d nseme relatva ad una varable aleatora estratta ad un stante qualsasper la stazonaretà dall nseme de suo membr.

9 Rcham d Teora de Segnal Potenza, varanza, meda quadratca e valore effcace P μ σ x + μ x persegnalamedanullaμ x 0sotteneP σ x; n tal caso l valore effcace P concde con la devazone standardσ x. La radce della potenza è noltre spesso ndcata come RMSROOT MEA SQUARE, defnto come: x RMS x t ovvero la radce della meda quadratca nel tempo. Se l segnale è a meda nulla, x RMS concde qund con l valore effcace; se xt è membro d un processo ergodco a medanulla,x RMS concdeconladevazonestandard.

10 Teora della stma ell applcazone pratca è quas sempre mpossble calcolare de valor attes, n quanto s dovrebbe conoscere l modello probablstco de process n esame. I valor attes devono qund essere stmat a partre da un certo numero d campon d una realzzazone del processo. Come s msura l attendbltà d una stma?

11 Teora della stma In generale, per stmare un parametro y v s costrusce la funzone y hx[n] dove h. rappresenta una funzone dedatmsurateyèuna stmadelvalore vero y v E evdente che y può essere vsto come uno de possbl valor assunt della varable casuale Yh[n] chamata stmatore Soltamente s ndca la stma d un parametro y con v Lo stmatore vene ndcato con Ŷ v yˆ v

12 Teora della stma La polarzzazone bas è la capactà d approssmare l valore verody v. Sdce che uno stmatore Y duno scalare y v è non polarzzato o centrato se: E{Y} y v per qualsas v Se lm E{Y} y v allora lo stmatore d y v asntotcamente non polarzzatoo centrato S chama polarzzazone d una stmatore Y l parametro BY E{Y} y v

13 Teora della stma σ Y La varanza della varable casuale Y, è l parametro che s usa per descrvere la varabltà della stma y al varare della realzzazone consderata. σ Y E { Y E Y } La varanza asntotca dello stmatore ndca l lmte a cu tende quando tende all nfnto. σ Y

14 Teora della stma La consstenza è una qualtà che caratterzza l comportamento d alcun stmator per tendente all nfnto. S dce che uno stmatore è consstente se è asntotcamente centrato e la sua varanza asntotca è nulla L effcenza descrve nvece le caratterstche d convergenza degl stmator centrat per fnto. S dce che uno stmatore centrato Y d un parametro scalare y v è pùeffcented unaltro stmatorecentratoy seperogn : σ σ Y Y

15 S defnsce errore d stma: e Teora della stma Errore quadratco medo MSE L errore quadratco medo è defnto come: y yˆ MSE Y { Y y } B Y E σ v Y + La varanza dello stmatore la precsone La polarzzazone Errore sstematco

16 S defnsce lo stmatore della meda come: Teora della stma Stma della meda 0 ˆ x x µ La polarzzazone sarà: [ ] [ ] x x x x E E µ µ µ ˆ 0 Lo stmatore è qund non polarzzato.

17 L effcenza dello stmatore è determnata dalla varanza dell errore d stma para a: Teora della stma Stma della meda [ ] x E x E E x x x x 0 0 ˆ µ µ µ µ [ ] { } [ ] x E x E x x x x x x x σ µ µ Il penultmo passaggo è valdo solo se le x -μ x sono scorrelate. La varanza dell errore dmnusce al crescere del numero delle msure

18 Classfcazone

19 Perodogramma S consder un processo casuale [n], stazonaro n senso lato, a meda nulla e con spettro d potenza f j S e π Allora l perodogramma d [n] sarà così defnto: ] [ M fn j f j e n e P π π, ] [ + M n M e n M e P S defnsce perodogramma medo l valore atteso del perodogramma { } +,, ] [ M M n fn j f j M f j M e n M E e P E e P π π π

20 Perodogramma Il perodogrammaasntotco d [n] è defnto come l lmte del perodogramma medo: P e j πf MM + lm E M M n M [ n] e j πfn Dalla defnzone analtca d spettro d denstà d potenza s può dedurre che lo spettro d potenza e l perodogramma asntotco d [n] concdono

21 Perodogramma Il perodogramma è l punto d partenza de metod pù dffus d stma spettrale. Tal metod sono basat sulla determnazone d uno stmatore consstentedelperodogrammaasntotcop f. Facendo uso d metod numerc per calcolare P f occorre consderare solounnsemedscretoefntodvalordf. PerlcalcolodP f k dovremosegureseguentpass: P f [ n], M k M + E M n M { P } f, M k e j πfn 3 { P } f lm E, M k M

22 Perodogramma P f [ n] e, M k M + M n M j πfn E { P } f, M k 3 { P } f lm E, M k M D quest tre pass, l prmo è l unco che può essere svolto per va numerca Per quanto rguarda l secondo, è necessara la conoscenza delle caratterstche statstche del processo. Anche l terzo passo può essere rsolto solo per va analtca

23 Perodogramma Aquestopunto,sax [n]unsegmentobasatosudunnsemenfntod dat msurat d una sngola realzzazone x[n] del processo [n]. S vuole stmare l valore atteso d P,M f k per mezzo d uno stmatore non polarzzato, a bassa varanza. I tre metod d stma spettrale classca basat sul perodogramma sono: Perodogramma semplce Perodogramma d Bartlett Perodogramma d Welch

24 Perodogramma semplce Questo metodo s basa sulla defnzone P f M [ n] e, M k M + n M j πfn Senza badare alla stma del valore atteso né del lmte. È uno stmatore grezzo, ad elevata varanza, fortemente polarzzato.

25 Perodogramma semplce La defnzone è del tutto analoga alla defnzone d perodogramma, tranne per l fatto che gl estrem della sommatora fanno traslare l calcolo per n 0 a - le traslazon non nfluenzano lo spettro d denstà d potenza. Il perodogramma semplce è così defnto: Lo stmatore sarà qund: p ˆ f [ ] x n e 0, n j πfn Pˆ f [ n] e 0, n j πfn

26 Perodogramma semplce Calcolando la polarzzazone dello stmatore s ottene:, ] [ ˆ 0 fn j e n f P n π Calcolandone l valore atteso s ha: 0 0 * ] [ ] [ n m m n f j e m n π 0 0, ] [ ] ˆ [ n m m n f j e m n r f P E π

27 Perodogramma semplce Usando la relazone S può scrvere 0 0 ] [ ] [ n m a m n a f j e r f P E π, ] [ ] ˆ [ 0 / ] [ w >

28 Perodogramma semplce Qund E[ Pˆ f ] w [ ] r [ ], e j πf Che altro non è che la DFT della sequenza ottenuta dal prodotto tra l autocorrelazone d x[n] e la fnestra trangolare w[n] Dalle propretà della DFT: E[ Pˆ f ] S f W f,

29 Perodogramma semplce Rcordando che W sn πf f sn πf

30 Perodogramma semplce Lo stmatore qund non è centrato. elcasolmteperòncutendaadnfntoallora lm W f δ f Eqund: lm f S µ P f Da cu s può affermare che l perodogramma semplce è uno stmatore asntotcamente centrato.

31 Perodogramma semplce Il perodogramma semplce è uno stmatore non consstente. S può dmostrare che, per qualsas, la varanza è dello stesso ordne d grandezza del quadrato dello spettro, qund la devazone standard è dello stesso ordne d grandezza della quanttà da stmare. σ f P f S Perodogramma semplce d una sequenza banca calcolato per 800 campon. Le fluttuazon che mantengono elevata la varanza sono molto evdent.

32 Perodogramma semplce L'andamentondBdW fnelcaso0.snotachewfhaunlobo prncpale ntorno all'orgne, e de lob secondar decrescent a lat. Gl zer della funzone s trovano ne punt f ±/, con ntero. Il lobo prncpale è largo /. Alla larghezza del lobo prncpale e legata la defnzone d rsoluzone della stma spettrale.

33 Perodogramma semplce L'andamentondBdW fnelcaso0.snotachew fhaunlobo prncpale ntorno all'orgne, e de lob secondar decrescent a lat. Gl zer della funzone s trovano ne punt f ±/, con ntero. Il lobo prncpale è largo /. Alla larghezza del lobo prncpale e legata la defnzone d rsoluzone della stma spettrale. L allargamento della banda del lobo prncpale produce una dmnuzone della rsoluzone n frequenza. Per la rsoluzone n frequenza s trova: Rs/

34 Perodogramma d Bartlett Come gà scrtto, la defnzone d perodogramma semplce trascura la stma del valore atteso. S può pensare d approssmare l operatore d aspettazone con una meda d pù perodogramm. È possble mmagnare d suddvdere l'ntervallo d osservazone0;- n K ntervall pù brev, cascunod duratad,econsderare segment d segnale così ottenut come membr dvers del processo stocastco. KD

35 Perodogramma d Bartlett In queste condzon s defnsce Perodogramma d Bartlett: K f P K f P D B ˆ ˆ,, K, 0 ] [ ˆ D n fn j D e n D f P π Dove

36 Perodogramma d Bartlett Questo stmatore è ancora asntotcamente non polarzzato, ma la polarzzazone per un set fnto d dat peggora, n quanto la fnestra d datadessoèlungad<,equndperlafnestradavremo: W B sn πfd f D sn πf La rsoluzone spettrale dpenderà dalla durata d cascun segmento. Pertanto, per l perodogramma d Bartlett, la rsoluzone spettrale vale Rs/D. Questo è lo svantaggo maggore, questo metodo non resce a dscrmnare frequenze pù vcne d /D.

37 Perodogramma d Bartlett Inoltre, la varanza d questo stmatore s rduce d un fattore K, n quanto abbamo la seguente relazone. var[ Pˆ f ] var[ Pˆ f B, K, D ] In conclusone, s può dre che per un ntervallo d osservazone fsso KD, s dovrà cercare un compromesso tra l desdero d ottenere una elevata rsoluzone, che spngerebbe a sceglere D l pù grande possble e la necesstà d avere una bassa varanza della stma, che vncola a mantenere grande K.

38 Perodogramma d Bartlett Perodogramma d Bartlett d una sequenza banca fltrata D800; 8000; K0 Perodogramma semplce d una sequenza banca fltrata 8000

39 Perodogramma d Bartlett Lospettrostmatononscendemaaldsottod-40dB.Questoeffettoè dovuto alla convoluzone tra lo spettro vero e lo spettro della fnestra d pesatura mplctamente rettangolare, che produce valor non trascurabl nell'ntervallo legato a lob secondar. Questo tpo d polarzzazone vene chamato polarzzazone a larga bandaleakage.

40 Perodogramma d Bartlett Un modo per combattere la polarzzazone a larga banda consste nel sostture la fnestra rettangolare con una fnestra d pesatura la cu DFT present lob secondar pù bass.

41 Perodogramma d Bartlett La fnestratura vene applcata semplcemente moltplcando ogn campone d ogn segmento x [n] per l corrspondente campone della fnestra scelta w [n] ottenendo la sequenza fnestrata. Il prodotto nel domno del tempo s traduce n una convoluzone nel domno della frequenza.

42 Perodogramma d Bartlett Utlzzando fnestre d pesatura appostamente studate s può rdurre d decne d db la polarzzazone a larga banda. S not tuttava che, a partà d lunghezza D delle vare fnestre, la rduzone de lob secondar s ottene sempre a spese d un aumento della larghezza del lobo prncpale. e segue che la scelta della fnestra da usare comporta un compromesso tra rsoluzone, e qund anche polarzzazone locale, e polarzzazone a larga banda.

43 Perodogramma d Bartlett Utlzzando fnestre d pesatura appostamente studate s può rdurre d decne d db la polarzzazone a larga banda. S not tuttava che, a partà d lunghezza D delle vare fnestre, la rduzone de lob secondar s ottene sempre a spese d un aumento della larghezza del lobo prncpale. e segue che la scelta della fnestra da usare comporta un compromesso tra rsoluzone, e qund anche polarzzazone locale, e polarzzazone a larga banda.

44 Perodogramma d Bartlett S chamano fnestre fsse quelle che, a partà d lunghezza D, danno un contrbuto fsso d polarzzazone a larga banda. Hammng Hann Le fnestre che non appartengono a questa categora sono defnte n funzone d parametr che consentono, a partà d D, d sceglere l gusto compromesso tra polarzzazone a larga banda e rsoluzone. Kaser Dolph-Chebyshev

45 Perodogramma d Bartlett

46 Perodogramma d Welch el tentatvo d recuperare lo svantaggo n rsoluzone trovato nel perodogramma d Bartlett è stato proposto da Welch un metodo che consente una parzale sovrapposzone overlappng de K segment consderat, estratt dalla sequenza d dat spermental. Cò consente d aumentare la lunghezza D d ogn segmento, senza varare né la durata dell'ntervallo d osservazone, né l numero K d segment. In questo modo s ottene sempre una dmnuzone della varanza d un fattore K, ma s ha anche un mgloramento della rsoluzone n quanto /D può essere scelto mnore rspetto al caso senza overlappng.

47 Perodogramma d Welch Perodogramma d Welch con overlappng del 5%

48 Metodo d Blackman-Tukey x[k] Indretto Dretto r xx [k] Pf Wener-Khnchn

49 Metodo d Blackman-Tukey S basa sul teorema d Wener-Khnchn che lega lo spettro d denstà d potenza d una funzone tempo-contnua xt con la funzone d autocorrelazone. P f R τ e πfτ d τ La stma spettrale secondo l metodo d Blackman e Tukey s basa su un opportuna stma della funzone d autocorrelazone e sul troncamento ad un numero fnto d termn della relazone dscreta: P f T R [ k ] e πfk

50 Metodo d Blackman-Tukey Una volta nota la stma della funzone d autocorrelazone allora lo spettroddenstàdpotenzaèdatoda: Pˆ BT f k rˆ [ k ] e πfk Avendo a dsposzone valor d x[k] allora la stma della funzone d autocorrelazone è data da: rˆ [ k ] k x * [ n] x[ n + n 0 rˆ * [ k ] k ] Per k0,,,- Per k--,--,,-

51 Metodo d Blackman-Tukey Tale stma della funzone d autocorrelazone presenta alcun problem. S supponga d voler calcolare: x * [0] x[ ] Rˆ [ ] Ma per molto grande, allora questa quanttà tenderebbe a 0, mentre non è detto che lo facca la funzone d autocorrelazone vera. Tale stma rsulta polarzzata E[ k rˆ [ k ]] r La funzone d autocorrelazone rsulta dstorta dalla fnestra d Bartlett.

52 Metodo d Blackman-Tukey Per ovvare questo nconvenente s può depolarzzare sosttuendo al fattore / k Ma questa scelta potrebbe volare la propretà: R 0 R xx xx τ τ E questo potrebbe dare valor negatv dello spettro.

53 Metodo d Blackman-Tukey S ntroduce qund una sequenza d fnestratura w[n] con le seguent caratterstche k w k w w k w ] [ ] [ [0] ] [ 0 M k k w k w k w > 0 ] [ ] [ ] [ M M k fk BT e k r k w f P π ] [ ]ˆ [ ˆ Qund la stma con metodo Blackman-Tukey può essere scrtta così:

54 Metodo d Blackman-Tukey La scelta delle fnestre è determnata da qual aspett della stma s voglano mettere n luce. L uso della fnestratura peggora la polarzzazone ma mglora la varanza dello stmatore. Come gà vsto, al crescere d M l lobo prncpale della fnestra n frequenza s strnge e qund mglora la rsoluzone. Tuttava, la stma de rtard LAG pù lontan della funzone d autocorrelazone rsulta sempre meno affdable.