MODELLO DI SOPRAVVIVENZA CONTINUO

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1 Modello di sopravvivenza coninuo ia Esempi: MODELLO DI ORAVVIVENZA CONINUO n.a. non negaivo che esprime la duraa aleaoria da un isane iniziale fino al verificarsi di un deerminao eveno duraa di funzionameno di un apparecchiaura dall isane di accensione in cui l apparecchiaura inizia a funzionare duraa di via di una cavia dall isane di somminisrazione di una deerminaa sosanza duraa di via dall isane in cui ad un soggeo è diagnosicaa una cera malaia duraa di via dalla nascia i indica con 0 l isane iniziale ha deerminazioni: 0 ha supporo [ 0,+ [ 2

2 Modello di sopravvivenza coninuo i definisce i ha Funzione di sopravvivenza 0 0 è una funzione non crescene: se 2 lim 0 + i definisce, 0 < allora 2, se si esclude l esisenza di masse adereni a + Funzione di riparizione F oiché: F per assegnare la disribuzione di probabilià del n.a. è equivalene assegnare la funzione di riparizione oppure la funzione di sopravvivenza 3

3 Modello di sopravvivenza coninuo e la disribuzione del n.a. è doaa di funzione di densià f coninua si ha: F inolre f f u du 0 d d + F d d F f u du Quindi, per assegnare la disribuzione di probabilià del n.a. è equivalene assegnare la funzione di riparizione, oppure la funzione di sopravvivenza, oppure la funzione di densià i definisce i ha Funzione di rischio o hazard funcion λ lim 0 f λ da cui f λ < + 4

4 Modello di sopravvivenza coninuo Osservazione: inerpreazione del significao di λ Essendo la disribuzione del n.a. è doaa di densià f coninua si ha: + F F f + o o < + con lim 0 0 i ha allora che a meno di infiniesimi di ordine superiore al primo < + f λ λ misura l inensià isananea dei decessi all isane per gli individui in via fino all isane i ha inolre λ f d d ln quindi, assegnaa si deermina λ 5

5 Modello di sopravvivenza coninuo Essendo f coninua, vale anche viceversa, infai inegrando si oiene da cui si oiene λ 0 u du ln exp λ u du 0 In ali ipoesi è allora equivalene assegnare la disribuzione di probabilià del n.a. assegnando la funzione di sopravvivenza oppure la funzione di rischio i definisce Funzione di rischio inegrao Λ λ u i ha allora exp Λ 0 du 6

6 Modello di sopravvivenza discreo MODELLO DI ORAVVIVENZA DICREO ia n.a. non negaivo che esprime la duraa aleaoria da un isane iniziale fino al verificarsi di un deerminao eveno i indica con 0 l isane iniziale ha deerminazioni: 0 < < 2 < K Esempi: osservazioni di durae con misurazioni arroondae osservazioni di durae raggruppae in inervalli si considera come duraa il puno medio di ciascun inervallo durae misurae con un numero inero di unià per esempio, durae misurae in seimane 7

7 Modello di sopravvivenza discreo i definiscono le probabilià q essendo + q,, 2, K i definisce i ha q, 0 Funzione di sopravvivenza è una funzione non crescene, coninua a desra; infai, se < + si ha q per assegnare la disribuzione di probabilià del n.a. è equivalee assegnare le probabilià oppure la funzione di sopravvivenza 8

8 Modello di sopravvivenza discreo i definisce i ha Funzione di rischio o hazard funcion q λ,, 2, K essendo 0 0 e 0 λ,, 2, K i ha allora che, assegnae le probabilià, è assegnaa la funzione di sopravvivenza ed è pure assegnaa la funzione di rischio oiché q si ha q λ,, 2, K 9

9 0 Modello di sopravvivenza discreo roviamo che assegnaa la funzione di rischio risula assegnaa anche la funzione di sopravvivenza. ia + < si ha 0 2 L Essendo λ, K 2,, si oiene λ λ λ λ L È equivalene assegnare la disribuzione di probabilià del n.a. assegnando la funzione di sopravvivenza oppure la funzione di rischio

10 Modello di sopravvivenza discreo Osservazione: inerpreazione del significao di λ i ha, i può allora inerpreare la formula λ come prodoo di probabilià condizionae di sopravvivenza.