Laboratorio di Calcolo Numerico A.A. 2007/2008 II semestre

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Bianca Micheli
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1 Eserciazione 9 Corso di Laurea Triennale in Maemaica Laboraorio di Calcolo Numerico A.A. 7/8 II semesre Creare una carella <cognome> dove verranno salvai i file creai nella sessione di lavoro. Appena enrai in MATLAB posizionarsi in <cognome>. Risolvere in ambiene MATLAB i segueni esercizi. Soluzione numerica di Equazioni differenziali Ordinarie (problemi ai valori iniziali) con MATLAB. Inegrazione di equazioni differenziali con MATLAB Per uilizzare le funzioni solver di MATLAB che permeono di risolvere equazioni differenziali di ordine superiore al primo, è necessario scrivere l equazione differenziale come un insieme, o meglio come un sisema di equazioni differenziali del I ordine. L inegrazione di un equazione differenziale ordinaria (o più in generale di un sisema di equazioni differenziali ordinarie) mediane meodi numerici si realizza in MATLAB araverso i segueni passi. (a) Scrivere l equazione differenziale Esempio : ( ) [, ] L equazione differenziale viene scria in una funcion MATLAB che chiameremo rhs.m con la sinassi: funcion ddrhs(,) % valua la pare desra di d/df(,()) dd-*; I sisemi di equazioni differenziali a valori iniziali si raano esaamene come le equazioni scalari usando però una sinassi veoriale nelle funzioni che inervengono. Esempio :.5 [, ]

2 L equazione differenziale veoriale viene scria in una funcion MATLAB che chiameremo rhs.m con la sinassi: funcion ddrhs(,) % valua la pare desra di d/df(,()) dd[()*() -()*() -.5*()*()]; (b) Uilizzare i meodi numerici MATLAB fornisce diverse funzioni per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie: Solver Problem Tpe Order of Accurac When o Use Ode45 Nonsiff Medium E basao su meodi di Runge-Kua del IV e del V ordine. La scela di cambiameno del passo è auomaica all inerno della funzione, il meodo è piu accurao di ode(), impiega di più ad ogni passo ma uilizza passi più ampi.e la funzione che si raccomanda di usare come primo enaivo per la risoluzione di un nuovo problema. Ode Nonsiff Low E basao su meodi di Runge-Kua del II e del III ordine. La scela di cambiameno del passo è auomaica all inerno della funzione e dipende dalla olleranza fissaa.può essere più efficiene di ode45 per olleranze lasche ed in presenza di una moderaa siffness Ode Nonsiff Low o high E basao su una formula Predicor-Correcor di ipo Adams-Bashforh-Moulon. Può essere più efficiene di ode45 per olleranze resriive e quando la funzione f risula paricolarmene cososa. E un soluore mulisep e perano richiede la risoluzione numerica per i primi passi. La funzione provvede auomaicamene a calcolare i primi passi necessari all innesco del meodo mulisep. Ode5s Siff Low o medium E un soluore di ordine variabile basao su meodi mulisep lineari implicii. E consigliao quando ode45 risula roppo leno e si sospea che il problema sia siff. Odes Siff Low E basao su una formula Rosenbrock di ordine. Può essere più efficiene di ode5s per olleranze lasche. Ode Moderael Siff Low Uilizza la formula dei rapezi. E indicao per meodi moderaamene siff. Odeb Siff Low Uilizza una combinazione del meodo dei rapezi e meodo BDF di ordine Tabella I: funzioni buil-in fornie da MATLAB per la risoluzione di problemi differenziali ai valori iniziali. Sinassi comune a ue le funzioni elencae in abella I: [,]soluore(@odefun,span,) [,]soluore(@odefun,span,,opions,parameers) dove soluore è uno dei meodi in abella I. Parameri di inpu: odefun è la funzione che valua l equazione in un puno, definia come descrio in (a) span è l inervallo di inegrazione in cui viene calcolaa la soluzione. Es: [,] è il valore iniziale (veore di valori per un sisema di ODE) opions è un veore che coniene opzioni sulla inegrazione numerica, quali olleranze, passo iniziale, passo massimo, Per maggiori deagli si veda help odese.

3 Parameri di oupu: veore dei puni di discreizzazione dell inervallo di inegrazione veore delle soluzioni calcolae. Esempio: Per risolvere l equazione differenziale dell Esempio mediane il meodo ode45(): [,]ode45( rhs,[ ],); [,]ode45(@rhs,[ ],); Per risolvere l equazione differenziale dell Esempio mediane il meodo ode45(): [,]ode45( rhs,[ ],[ ]); [,]ode45(@rhs,[ ],[ ]); PASSAGGIO PARAMETRI Per passare, per esempio i parameri P,P, alla funzione ODE definia in rhs.m si modifica la chiamaa al soluore come segue: [,] ode45( rhs,span,,[ ],P,P) [,] ode45(@rhs,span,,[ ],P,P) Il soluore chiamerà la funzione rhs(,,p,p). Eseguire lo scrip MATLAB demoode45args.m per un esempio di uilizzo. MODIFICA OPZIONI Se si vogliono cambiare le opzioni di defaul dei soluori in abella I occorre usare il programma odese di MATLAB. Un esempio di uilizzo di alcune opzioni è fornio dal file demoode45ops.m. Provare ad eseguirlo modificando le opzioni (olleranza assolua e relaiva sull errore locale di roncameno e passi di raffinameno) dae come parameri in ingresso. (c) Visualizzare la soluzione Per visualizzare le componeni della soluzione si esegue la funzione %plo della soluzione di una singola equazione differenziale plo(,) Nel caso di sisemi di equazioni differenziali si eseguirà la funzione plo su ogni colonna della marice di oupu : %plo della prima componene della soluzione (per sisemi) plo(,(:,))

4 . Risolvere in MATLAB i segueni esercizi. Applicazione: modello sulla dinamica delle popolazioni. Si consideri un semplice ecosisema di conigli che hanno uninfinià di cibo e di volpi che si nurono di conigli per sopravvivere. Un classico modello maemaico dovuo a Volerra descrive queso sisema mediane una coppia di equazioni differenziali del primo ordine non lineari d d d d α α r f dove è il empo, () è la popolazione di conigli al empo, () la popolazione di volpi al empo, e α è una cosane posiiva. Quando α le due popolazioni non ineragiscono, e così i conigli proliferano e le volpi muoiono di inedia. Quando α> le volpi inconrano i conigli con una probabilià che è proporzionale al prodoo dei loro numeri. Tali inconri comporano una riduzione del numero dei conigli e un aumeno del numero delle volpi. a) Per simulare il sisema, creare una funzione fox_rabbi.m che descrive il sisema di equazioni differenziali (con α.). b) In uno scrip MATLAB deerminare poi le soluzioni approssimae () ed () oenue uilizzando i meodi di Eulero esplicio e ode45() (buil in funcion di MATLAB) per esaminare il comporameno delle popolazioni per α. e vari valori di r e f definii in (I), (II) e (III) in un inervallo emporale, f : (I) r e f, (II) r e f 5, (III) r 5 e f. Si visualizzino quindi ali soluzioni sia con plo(,(:,),,(:,)) (soluzione rispeo al empo), sia con plo((:,),(:,)) (soluzione nel piano delle fasi). OSSERVAZIONI SULL OUTPUT Si osservi che il comporameno del sisema è periodico con un periodo prossimo a 5 unià. Con il meodo di Eulero esplicio lorbia plo((:,),(:,)) non si chiude, menre ciò avviene con ode45(). Il meodo di Eulero esplicio richiede un passo piccolo (es h.).. Moo di un corpo che cade (Facolaivo). La velocià v di un corpo soggeo alla forza di gravià con velocià proporzionale alla resisenza dell aria è daa dall equazione differenziale dv d g pv dove g rappresena l accelerazione graviazionale ( f/sec) e p è il coefficiene di resisenza. Creare uno scrip MATLAB per risolvere l equazione differenziale con ode45(), nei segueni casi: a. per deerminare la velocià di una freccia con velocià iniziale vf/sec e coefficiene di resisenza p.5, dopo secondi dal suo lancio; b. per deerminare la velocià di un paracaduisa con velocià iniziale vf/sec e coefficiene di resisenza p.5, dopo 4 secondi dalla cadua. Visualizzare la soluzione oenua nei due casi.

5 . Analizzare le regioni di sabilià per i meodi di Runge-Kua esplicii mediane il programma MATLAB Rkdesab.m (k,,..,9). Sisemi Siff 4. Provare a risolvere gli esempi mosrai nelle slides. 5. L equazione di Van der Pol ha la seguene forma: ( ) ( ) [ ], µ Quesa equazione è difficile da risolvere se il paramero m è grande. Si considerino i due casi m e m. Per ciascuno di essi si scelga opporunamene il soluore e si fornisca un grafico della soluzione approssimaa nell inervallo [, ] con la relaiva saisica. 6. Con un opporuno soluore rovare una soluzione dei segueni sisemi: a) [ ],.5 b) [ ] 4, con -, - Cambiare le olleranze di defaul (AbsTol^-, RelTol^-6) ponendo AbsTol^-6 e RelTol^-8; visualizzare i risulai con le relaive saisiche.

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