Disequazioni goniometriche
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- Gaetano Mura
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1 Appunti di Matematica Disequazioni goniometriche Disequazioni goniometriche elementari a) Riprendiamo gli esempi che abbiamo fatto per le equazioni trasformandoli in disequazioni: sen Le soluzioni saranno: Se invece devo risolvere: sen le soluzioni possono essere scritte così: oppure oppure Attenzione: non ha senso scrivere! 8
2 Appunti di Matematica 8 b) cos : le soluzioni sono: Se invece dovessi risolvere cos avrei: c) tg Se invece devo risolvere tg oppure posso scrivere
3 Appunti di Matematica 8 Disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari ) Come per le equazioni possiamo avere casi così: a) sen : consideriamo tutto insieme: b) cos c) tg 9
4 Appunti di Matematica ) a) sen sen 0 sen ( sen ) 0 sen sen 0 c b) cos cos cos 0 ( cos ) cos 0 0 c) tg tg 0 ( tg ) tg 0 tg 0 tg con d) sen cos 0 cos cos 0 ( ) cos cos 0 cos cos ± (cos, = cos = cos = ) 8
5 Appunti di Matematica e) sen cos 0 sen cos cos 0 cos ( sen ) 0 Studio il segno dei singoli fattori del prodotto: cos 0 sen 0 sen Riporto i risultati tra 0 e Poiché voglio che il prodotto sia positivo avrò le zone tratteggiate in figura: cos f) 0 sen Anche in questo caso studio il segno del numeratore e del denominatore e alla fine prendo le zone dove ho una combinazione di segni che mi dà risultato negativo. N: cos 0 vedi sopra D: sen 0 vedi sopra 88
6 Appunti di Matematica Osservazione: se devo studiare il segno di un prodotto o di un quoziente in cui compaiono funzioni goniometriche di periodo diverso dovrò fare il grafico finale considerando il minimo comune multiplo dei periodi. tg Esempio : 0 cos N: tg 0 D: cos 0 cos Esempio : sen tg 0 Il minimo comune multiplo tra T = e T = è. sen 0 tg 0 89
7 Appunti di Matematica 90 Disequazioni goniometriche di primo grado in seno e coseno Riprendiamo l esempio fatto per le equazioni lineari: 0 cos sen (ma questa volta mettiamo ) Sostituendo sen Y = avremo: X cos = = = 0 Y X X Y Y X X Y La parte di circonferenza goniometrica in cui i punti hanno YX ( semipiano sopra alla retta y=) è quella indicata in figura e quindi le soluzioni della disequazione sono: Se avessimo dovuto risolvere: Le soluzioni possono essere scritte: oppure spezzando: = 0 cos Y X X Y sen
8 Appunti di Matematica Importante Mentre per le equazioni goniometriche lineari in cui manca il termine noto avevamo detto che potevamo risolvere anche dividendo per cos, nel caso delle disequazioni questo non può essere fatto poiché il coseno di un angolo non è sempre positivo. Consideriamo per esempio la disequazione: sen cos 0 Non possiamo dividere per cos perché il segno del coseno varia. Dobbiamo quindi necessariamente applicare il metodo grafico, sostituendo cioè sen = Y ; cos = X e intersecando con la circonferenza goniometrica. Y X 0 Y X X Y = X Y = Possiamo disegnare facilmente la retta Y = X e quindi considerare in questo caso il semipiano sopra alla retta poiché abbiamo Y X : avremo quindi come parte della circonferenza goniometrica quella evidenziata in figura. In conclusione la soluzione della disequazione sarà data da 9
9 Appunti di Matematica Disequazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno omogenee o riconducibili ad omogenee Vediamo infine come si risolvono le disequazioni goniometriche di grado in seno e coseno. a) sen cos cos 0 ( sen cos ) 0 cos Studio il seno dei singoli fattori: cos 0 sen cos 0 Y X 0 Y X Y = X Le soluzioni sono quindi b) sen ( ) sen cos cos 0 metodo: sostituiamo a cos sen = sen cos = sen cos cos = sen e otteniamo: ( ) cos 0 Abbiamo quindi ottenuto una disequazione lineare ma l angolo è. Poniamo X = cos. Y ( ) Risolviamo. X Y = X Y = sen,
10 Appunti di Matematica metodo: dividiamo per cos (è positivo) ma controlliamo se = è soluzione della disequazione. Sostituendo nell equazione = abbiamo 0 0 che non è minore di 0 e quindi = non è soluzione. ( ) 0 tg tg tg (come infatti avevamo già trovato con il primo metodo) sen sen c) ( ) cos ( ) cos Moltiplichiamo per = sen cos e dividiamo poi per cos : sostituendo = ed è maggiore di = è soluzione. Avremo tg ( ) tg tg tg 0 Poiché = è soluzione della disequazione possiamo scrivere: 9
11 Appunti di Matematica 9 Esercizi sulle disequazioni goniometriche Riprendiamo gli esercizi sulle equazioni goniometriche e trasformiamoli in disequazioni: ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche elementari: a. sen b. cos c. tg d. cos e. tg f. sen ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari: a. sen b. cos c. tg d. sen e. cos = f. tg 8
12 Appunti di Matematica ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche riconducibili a disequazioni elementari: a) sen sen 0 [ b) cos cos 0 [ c) tg tg 0 [ d) cos cos 0 [ e) sen sen 0 [ f) sen sen 0 [ g) tg tg 0 [ h) tg tg 0 [ i) cos cos 0 [ l) tg tg 0 [ ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche lineari: a) sen cos [ b) sen cos [ R c) cos sen [ d) cos sen 0 [ e) cos sen [ f) sen cos [ R 9
13 Appunti di Matematica ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche (omogenee o riconducibili ad omogenee) di grado in seno e coseno: a) sen cos 0 [ b) sen sen cos 0 [ c) cos cos sen 0 [ d) sen sen cos cos [ e) sen sen cos cos [ f) sen sen cos cos [ ) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche: a) cos sen sen [ [ b) ( sen cos ) cos c) tg tg 0 [ d) sen cos 0 cos e) sen 0 sen cos f) tg 0 sen [ [ [ 9
14 Appunti di Matematica ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:. cos( ) [. sen [. tg tg 0 [,. cos sen [ =. cos cos 0 [ sen cos. 0 tg [,. sen ( ) cos( ) [ 8. sen cos [ 9
Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata 1 maggiore di
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