CINEMATICA DEL MOTO ROTATORIO DI UNA PARTICELLA

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1 CINEMAICA DEL MOO OAOIO DI UNA PAICELLA MOO CICOLAE: VELOCIA ANGOLAE ED ACCELEAZIONE ANGOLAE Si considei un pticell P in moto cicole che descive un co di ciconfeenz s. L ngolo di otzione ispetto d un sse di ifeimento vle: φ s con ggio dell ciconfeenz. L ngolo φ si misu in dinti. Si definisce (v. figu) velocità ngole medi di P l gndezz: ω φ t φ t 1 1 φ t mente l velocità ngole istntne di P è definit come: φ ω lim t 0 t dφ 1 [ ] [ ω] [ ] ω unità di misu: d/s (gii/s)

2 Si definisce ccelezione ngole medi di P l gndezz: α ω t ω1 t 1 ω t mente l ccelezione ngole istntne di P è: ω α lim t 0 t dω [ ] [ α ] [ ] α unità di misu: d/s (gii/s ) Velocità ngole ed ccelezione ngole (medie ed istntnee) sono gndezze vettoili l cui diezione è pependicole l pino dell ciconfeenz ed il veso è entnte se il moto vviene in senso oio, uscente se il moto vviene in senso ntioio (egol dell mno dest). Nel cso dell figu pecedente: ω α dφ zˆ dω zˆ

3 MOO CICOLAE: ELAZIONI SCALAI A VAIABILI LINEAI E VAIABILI ANGOLAI Pe le definizioni di ngolo descitto d P e di velocità ngole si h: s ds dφ φ s φ ω Essendo: v ds si h: v ω. Deivndo nuovmente si icv: dv dω α M: dv d cui: α.

4 Quest ultim si ggiunge ll già not espessione dell ccelezione centipet (dile): v che o può essee iscitt come: ω MOO CICOLAE: ELAZIONI VEOIALI A VAIABILI LINEAI E VAIABILI ANGOLAI I vettoi velocità (linee) v e velocità ngole ω sono legti dll elzione: v ω (1) dove è il vettoe posizione di P. L pecedente si pov icodndo le elzioni scli del pgfo pecedente unitmente ll definizione di podotto vettoile. Pe definizione di ccelezione e pe qunto sop discusso: dv d dω d ( ω ) + ω α + ω v

5 In definitiv: α + ω v () Pe definizione di podotto vettoile: α ω v quindi: + (3) N.B.: L (1) e l () vlgono non solo se l oigine è nel cento dell ciconfeenz m nche se è posiziont come in figu.

6 MOO CUVILINEO: COMPONENI ANGENZIALE E CENIPEA DELL ACCELEAZIONE L (3) vle nche pe un geneico moto cuvilineo pe il qule si dimost che: + dv uˆ v uˆ ρ con ρ ggio di cuvtu dell tiettoi ed i due vesoi tezo membo pi ispettivmente l vesoe tngente ed l vesoe dile; evidentemente: ˆ ˆ. u Csi pticoli notevoli: ) moto ettilineo cceleto (ρ ) dv uˆ L ccelezione h diezione costnte (l stess del moto) e veso ugule oppue opposto quest ultimo, second che il moto si cceleto o deceleto. b) moto cicole unifome (ρ ) v uˆ L ccelezione è tutt e sol quell centipet.

7 DINAMICA DEL MOO OAOIO DI UNA PAICELLA MOMENO ANGOLAE Si definisce momento ngole (o momento dell quntità di moto) di un pticell P ispetto l punto O (polo), il vettoe: l p m ( v) con m mss e p quntità di moto di P (v. figu ccnto). Il modulo di l vle: l p sinθ m vsinθ diezione e veso come in figu (sctuiscono dll definizione di podotto vettoile egol dell mno dest). Si noti che è indispensbile fisse il polo ispetto cui clcole il momento (ltimenti l gndezz è indefinit!)

8 MOMENO MECCANICO DI UNA FOZA Si definisce momento meccnico (o momento tocente) di un foz F, gente su un pticell P, ispetto l punto O (polo), il vettoe: τ F (v. figu ccnto). Il suo modulo vle: τ F sinθ diezione e veso come in figu (sctuiscono dll definizione di podotto vettoile egol dell mno dest). Anche in questo cso è indispensbile fisse il polo ispetto cui clcole il momento (ltimenti l gndezz è indefinit!). Così come pe icve l ccelezione (linee) di un pticell seve l foz d ess pplict, così pe icve l ccelezione ngole seve il momento meccnico. Al contio dell ccelezione (linee), che dipende solo dll foz, l ccelezione ngole dipende non solo dll foz m nche dl punto d ppliczione dell foz stess.

9 EOEMA DEL MOMENO ANGOLAE Deteminimo l elzione che leg momento ngole e momento meccnico (ispetto llo stesso polo). dl d d dp ( p) p + v p + ( F) dove si è consideto che, pe l second legge di Newton: F Quindi: dl m ( F) dp In definitiv, pe l definizione di momento meccnico (v. sop): τ dl elzione t momento ngole e momento meccnico (teoem del momento ngole) nlog ll second legge di Newton. Pe un pticell libe (ossi in moto ettilineo unifome), F 0 e di conseguenz τ 0; quindi si consev si l quntità di moto che il momento ngole.