Fisica dei moti circolari e periodici

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1 pitolo 5 Fisic dei oti cicoli e peiodici 1. Il oto cicole Quli sono le ctteistiche del oto cicole? Un pticell si dice nit di oto cicole qundo l su tiettoi è un ciconfeenz. Lo studio di questo tipo di oto vviene individundo due diezioni istntnee, cioè due ette oientte che cbino d ogni nuov lettu di conoeto. Si ttt dell diezione dile, lungo l seiett che esce dl cento dell ciconfeenz veso l posizione del punto che si st uovendo; e dell diezione tngenzile, sull ett tngente ll ciconfeenz, oientt nel veso del oto e pependicole ll diezione dile. diezione tngenzile diezione dile Quli sono diezione e veso dell velocità nel oto cicole? Qundo un pticell descive un tiettoi cuv, e un ciconfeenz in pticole, pe cpie l diezione dell velocità possio igine che d ipovviso scopino tutte le foze in zione. L pticell si toveebbe llo nell condizione conteplt dll legge d inezi, l qule pevede che, in ssenz di foze, il oto segu un line ett. Si ttt dell ett tngente ll tiettoi, che pe definizione viene ssunt coe diezione dell velocità in quel dto istnte. v v he cos sppio di sbglito igudo l oto cicole? Pi di inizie l nlisi del oto cicole, è necessio iuovee due idee ete che nei secoli si sono dicte, e che costituiscono un ostcolo ll copensione di questo fenoeno. pi ide et: un oggetto può seguie un tiettoi cicole senz che vi si un binio di qulche tipo che lo costing flo. second ide et: un oggetto in oto cicole tende d essee scglito veso l esteno, in diezione dile, dll zione di un foz dett centifug. 17

2 v N v N visto dll' lto NO SI SI NO v Peché occoe un binio pe sostenee il oto cicole? L pi delle due concezioni ete isle gli ntichi Geci, i quli itenevno il oto cicole l tiettoi pefett, peché pensvno fosse seguit dgli oggetti celesti. Essendo pefett, l tiettoi cicole dovev essee un condizione ntule pe i copi, incouttibile, cioè cpce di sostenesi utonoente e iutbile nel tepo. D Glileo in poi sppio che questo uolo pivilegito spett l oto ettilineo unifoe, il solo poseguie indefinitente senz che debb intevenie lcun foz, e che pe tle ctteistic viene ddiittu consideto uno stto. Viceves, uovesi lungo un tiettoi cuv signific cbie in ogni oento l diezione dell velocità. Mute velocità, nche se solo in diezione e non in intensità, vuol die ccelee: un cchin che cuvi con velocità di odulo costte v = 3 k/h, st ccelendo in diezione, nche se il tchieto segn sepe lo stesso vloe peché non st ccelendo in intensità. Poiché il secondo pincipio pevede che poss ve luogo un ccelezione unicente in pesenz di un foz, ne deducio che nel oto cicole occoe un foz nche solo pe cbie ogni istnte l diezione ll velocità. oe vedeo nel dettglio, si ttt di un foz in diezione dile, che punt sepe veso il cento dell ciconfeenz: ne sono esepi l foz nole esecitt d un binio cuvo, oppue l tensione di un cod legt l cento dell ciconfeenz. Nell figu lto, là dove il binio (in un pino oizzontle) si inteope, l pllin posegue con un oto in line ett lungo l diezione tngenzile istntne, dto che è venut eno l foz nole che l costingev cuve. llo stesso odo, è ettiline l tiettoi seguit d un pllin che gi su di un ciconfeenz legt un cod, qundo l cod viene tglit. È, inftti, ipossibile che un sol zione inizile ipi un copo un oto cuvilineo: le tiettoie cuve in figu sono un cedenz ingenu. y "foz centifug" gocci diezione dile istntne x v Peché non esiste un foz centifug? oe sppio dll tez legge dell dinic, non esistono foze solitie, soltnto intezioni f coppie di oggetti. Ogni foz deve vee due ttoi : un soggetto che l esecit (e che su volt subisce un zione ugule e conti), e uno che l subisce. O, è not tutti l senszione (illusoi) di essee scgliti veso l esteno, in diezione dile, qundo l nost uto pecoe un co di cuv. M si deve escludee che quest senszione si dovut ll zione di un foz, sepliceente peché non esiste lcun soggetto che esecit quest foz. hi esecit l foz centifug? Non c è ispost quest dond. Un psseggeo su di un uto in cuv cede di essee tito veso l esteno, in eltà ntiene soltnto l stess diezione di velocità, che coe bbio detto è in ogni istnte tngente ll tiettoi cicole. Se non ci fosse l uto, egli voleebbe in diezione tngenzile non ppen inizi l cuv. Nel fttepo invece, l cchin gli si uove sotto e intecett continuente l su tiettoi ettiline fozndolo veso il cento. oe si vede in figu, lo spostento dell uto ce un vlutzione et, pe cui egli pens di essee scglito veso l esteno, e invece non st seguendo fftto l diezione dile istntne. Il eccniso è lo stesso di qundo l uto fen, ed il psseggeo posegue il oto in vnti con l edesi velocità di pi dell fent. nlogente, qundo l uto ccele, l psseggeo seb di essee tito indieto, st solo poseguendo con l velocità che possedev pi, ente è l uto d ve cbito stto di oto. Quest tendenz poseguie il oto in diezione tngenzile è esponsbile f le lte cose, del igonfiento dell ciconfeenz del nosto pinet ll ltezz dell equtoe, dove l velocità di otzione è ssi. nlogente è il pincipio usto dll centifug di un lvtice pe sciuge i pnni. oe si vede dl disegno peò, le goccioline di cqu non scppno in diezione dile tngenzile, ente il cestello continu uote. Infine consideio che se nel ifeiento in cui vedio il copo uote 1 ci fosse un foz centifug, quest potebbe nnulle l foz in diezione dile e W 1 In eltà l cosiddett foz centifug viene intodott qundo studio il poble del oto cicole nel ifeiento in cui il copo non st uotndo, un ppoccio che qui non inteess. 18

3 così l oggetto, in bse qunto pevisto dll second legge dell dinic, in qunto sottoposto foz null dovebbe pocedee in line ett e non lungo un ciconfeenz! E necessi un foz nche lungo l diezione istntne dell velocità? Iginio l pllin di un oulette lncit dl coupie. Inizilente l pllin stv fe, quindi l no del coupie h dovuto esecite un foz pe potl fino d vee velocità v. oe sppio dll second legge dell dinic, d quel oento in poi, in ssenz di qulsisi ttito, non è più necessi un foz nell diezione istntne di v pe ntenee l su intensità v costnte. D lto cnto non possio neeno escludee che un tle foz ci si: d esepio qundo un uto pecoe un cuv, può flo con velocità di odulo costnte, nche ccelendo in intensità. llo stesso odo, qundo tentio di podue con l no il oto cicole in un peso ggncito d un cod, dobbio pi ettelo in oto, esecitndo un foz nell diezione dell velocità. Poi copio due zioni: ntenendo fe l no tiio l cod in odo d costingee il peso descivee l ciconfeenz, e ogni tnto doveo pue de un colpetto nell diezione dell velocità pe copense l zione degli ttiti e dell gvità, che tendono f diinuie l intensità dell velocità d noi inizilente ipess. Nel seguito ci occupeeo dell cinetic del oto cicole in cui l intensità dell velocità ine costnte, che chieeo oto cicole unifoe. Nel oto cicole unifoe, essee costnte è dunque solo v, ente v cbi ogni istnte diezione. F F? v oe possio icve l ccelezione lungo l diezione dile? Peso un punto in oto cicole unifoe di ggio, consideio un co di ciconfeenz B, e l intevllo di tepo D t che occoe l punto pe pecoelo. In questo stesso tepo il ggio dell ciconfeenz và spzzto l ngolo J e l velocità và cbito diezione pssndo d v v. Poiché si B v che v sono pependicoli l ggio, se li ipotio con un oigine coune, è iedito conclude- B e che nche l velocità h spzzto lo stesso ngolo J. Dl etodo di punt-cod pe l so dei vettoi si iconosce subito che il vettoe Dv che unisce le punte di v e v B è il vettoe diffeenz, cioè si h v +D v = v, d cui D v = v B B -v. onsideio o il tingolo delle velocità e il tingolo OB: sono entbi isosceli e con un ngolo ugule, petnto sono siili: Dv Ds = v Dividio pe D t bo i ebi e iodinio: Dv v Ds = Dt Dt Qundo l intevllo D t tende zeo, sppio che il ppoto Ds / Dt diviene il odulo dell velocità istntne v, ente il ppoto Dv / Dt, che ppesent il odulo dell ccelezione edi, divent il odulo dell ccelezione istntne. Esecizi 1. L velocità di un pticell in oto cicole unifoe, subisce nell intevllo D t =.1 s un vizione tle che il odulo del vettoe Dv isult D v =.1 /s. lcole l ccelezione edi. isult: Dv / D t = (.1/.1) /s = 1 /s. B v B Dv v Dv v Ds v v B J v B J v J 9 O L diezione dell ccelezione istntne si ntiene sepe pllel Dv e così ll fine isult pependicole v. Inftti, nel tingolo delle velocità, qundo J si h 9, dovendo l so inee ugule 18. L chiio 19

4 L ontofisic volte viene dett foz centifug. l foz che f coppi zione e ezione con l foz centipet che gisce sull oggetto. V peò ossevto che un tle foz non pptiene llo sche di copo libeo dell oggetto che gi,, se d esepio bbio un ss che gi legt d un cod, pptiene quello dell cod che l f gie. Quindi non v confus con le foze che giscono sull oggetto. Lo sche di copo libeo dell cod contepl due zioni, quell ppunto dovut ll oggetto, ed il vincolo del peno centle. Poiché ogni punto dell cod si uove di oto cicole, l so di entbe fonisce l foz centipet che gisce sull cod. L ggettivo centifugo è peò busivo, inftti, chi h detto che l oggetto che l subisce si sti uovendo di oto cicole? Il cento dell cod lo f, pensio invece lle otie di un teno in cuv, che esecitno su di esso un foz centipet. L foz di ezione che il teno esecit sulle otie non può in nessun cso definisi centifug peché le otie sono iobili. entifug signific inftti in fug dl cento dell tiettoi cicole. Se un copo è iobile, di qule tiettoi cicole si pl? Di quell del teno? M l tiettoi di un oggetto non h null che vedee con l diezione delle foze ch giscono su di un lto. W v N y N x v quindi ccelezione centipet, in qunto diett lungo il ggio puntndo veso il cento. Sostituendo nell elzione pecedente Dv / Dt con e Ds / Dt con v si tov che l intensità dell ccelezione centipet vle: v = Esecizi. In un pino oizzontle, un pllin di ss =.5 kg è lncit in un guid cicole di ggio =. e pecoe un gio in 1.45 s. ssuendo che il odulo dell velocità si isto costnte dunte il gio, clcole l ccelezione centipet dell pllin e l foz nole esecitt su di lei dll guid. ovio innnzitutto il odulo dell velocità: p 6.8. v = = /s =.866/s 1.45 s 1.45 Fissio un ifeiento sul pino con l oigine nel cento dell ciconfeenz e consideio l istnte in cui l pllin tgli l sse delle scisse coe in figu. In diezione oizzontle gisce l foz nole, ente l ccelezione vle ( v / ; ): v æ.866 ö N = N = =.5 N.187 N x x x = ç. çè ø e pe l ccelezione centipet si h: v.866 = = /s = 3.75 /s. os s intende con il teine foz centipet? Se un pticell di ss segue un oto cicole unifoe di ggio, lungo l diezione dile istntne l second legge dell dinic si scive: å F v = Si chi foz centipet l so delle coponenti in diezione dile tutte le foze che giscono su di un pticell in oto cicole. å F di Non si ttt quindi di un nuovo tipo di foz, solo del noe che sinteticente si ssegn ll isultnte delle foze che poducono l ccelezione centipet. Nel pecedente esepio l foz centipet è fonit dll nole ll guid, in questo cso l unic d gie sull pllin in diezione dile. iflettio sul ftto che l foz nole è un foz pssiv, che è in gdo di fonie sepe il vloe che occoe pe costingee l oggetto pecoee l tiettoi cicole di quel ggio con quell velocità. Se d esepio il odulo dell velocità ddoppisse, l guid dovebbe fonie un foz centipet ( v ) / = 4 v / qutto volte più gnde, e così vi finché l foz ichiest non divenisse così intens d piege l guid stess. E qunto ccde i teni che deglino pe ve tentto di pecoee le cuve velocità supeioe l ssio che il binio potev soppote senz defosi. Esecizi 3. Un ss, legt l cpo di un fune, viene ftt uote d un uoo sop ll su test. L ss descive un ciconfeenz oizzontle di ggio =

5 e l cod fo sepe uno stesso ngolo con l veticle. Spendo che l velocità costnte di otzione è 8.5 /s, clcole. L foz centipet è oizzontle, diett veso il cento dell ciconfeenz (che si tov sull ett veticle pssnte pe l no dell uoo), ed è podott dlle due foze che giscono sull ss, cioè l tensione ed il peso, sote vettoilente, coe si vede pplicndo l second legge in fo vettoile: + W = Dl etodo di punt cod isult poi che i te vettoi W ed sono cteti di un tingolo ettngolo in cui è ipotenus. oe sppio, in un tingolo ettngolo il ppoto f l isu del cteto opposto d e l isu W del cteto dicente d fonisce l tngente gonioetic dell ngolo: v / v 8.5 tn = = = = = 5.67 W g g = tn (5.67) = 8. oe si vede dll esepio pecedente, l foz centipet può vee le oigini più divese: l tensione di un cod cobint vettoilente l peso, poduce l foz centipet qundo si f uote un ss d un suo cpo. nlogente, l foz di gvità funge d foz centipet pe tenee l Lun in obit ttono ll e, e l ttito sttico f pneutici ed sflto fonisce l foz centipet che seve pe f pecoee ll uto un cuv. In quest ultio cso quindi, ossevndo il disegno lto veo che l ttito sttico già sull uot, olte che nel veso di vnzento, nche in diezione dile, puntndo veso il cento istntneo dell cuv. È ipossibile quindi f cuve un ezzo con pneutici su di un supeficie piv di ttito coe quell di un lgo ghiccito. cento dell cuv f s W f s Esecizi 4. Un ss =.6 kg ggncit l cpo di un fune lung.5 viene ftt uote in un pino veticle, ipiendogli nel punto più in bsso un velocità v = 5. /s. L tiettoi è cicole il odulo dell velocità non ine costnte in qunto l ss è llentt dll gvità ente sle ed è ccelet ente scende. Spendo che nel punto più in lto isult v =.3 /s, si clcolino l foz centipet, l ccelezione centipet e l tensione dell fune nelle posizioni di ssi e ini ltezz. W y Nell posizione di ini ltezz bbio, lungo l sse y (che in quel oento coincide con l diezione dile): y W v y y + = - g = v = g + = 5. ( ) N = 35.9 N.5 ente l foz centipet e l ccelezione centipet vlgono: F = - g = ( ) N = 3. N å v 5. = = /s = 5./s ( 5. /s y ).5 = Nel punto di ssi ltezz bbio, sepe lungo l diezione dile y : y W v y y + = - - g =- W y 131

6 3 4 D B v = - g =.3 ( ) N =.573 N.5 ente l foz centipet e l ccelezione centipet vlgono: å F =- - g = ( ) N = N v.3 = = /s = 1.8 /s ( =- 1.8 /s y ).5 iflettio sul ftto che l tensione dell cod non coincide con l foz centipet, nzi ggiust il suo vloe fcendosi ini qundo è iutt dll gvità nel podue l foz centipet, coe ccde nel punto più lto, e fcendosi invece ssi qundo è contstt dll gvità nel podue l foz centipet, coe ccde nel punto più bsso. y N W N 1 3 f s E y x 5. Un uto segue un std cuv pocedendo velocità di odulo costnte v. Si clcoli il odulo dell su ccelezione nei ttti B, B, D, DE specificndo dove è ssio e dove inio. [] 6. Un utoobile di ss = 15 kg pecoe un cuv cicole di ggio = 4. ll velocità di 15. /s. Si clcoli l foz centipet. Spendo poi che il coefficiente di ttito sttico f pneutici ed sflto è =.95, si clcoli l ssi velocità ll qule l uto può pecoee l cuv e l foz centipet in s questo secondo cso. [: N, 19.3 /s, N ] Un utoobile di = 13 kg, in viggio velocità costnte di 1.5 /s, pss W su di un dosso il cui pofilo è un ciconfeenz di ggio = 15.. Si dic, senz svolgee lcun clcolo, se qundo l uto ggiunge l soità, l foz nole esecitt dl teeno è ggioe, inoe od ugule l peso dell vettu. Si clcolino quindi le intensità dell foz centipet e dell foz nole in quel oento. 3 3 [: N, 3. 1 N] L 8. Un pllin di ss =.3 kg, ppes un filo lungo L =.75, gi velocità di odulo costnte descivendo un ciconfeenz, ente l ngolo che il filo fo con l veticle ine sepe = 5.. Si tovi l tensione del filo, l intensità dell foz centipet e dell ccelezione centipet, ed il tepo che occoe ll pllin pe coplete un gio. [: 3.5 N,1.37 N, 4.57 /s,1. /s,1.66 s ] M 9. Sop d un pino, fisst d un cod, un ss =.45 kg descive un oto cicole unifoe di ggio =.5 con velocità v =.5 /s. ll lto cpo dell cod pende iobile, d un foo icvto l cento del pino, un second ss M. Si tovi il vloe di M. [:.574 kg ] 1. Nello spzio sidele un sond di ss = 5 kg che pocede in line ett 7. /s deve cuve descivendo un co di ciconfeenz di ggio = 1.5 k senz vie l intensità dell velocità. lcole l spint che dev essee esecitt ltelente di zzi del otoe. [ N ] 3 13

7 11. Un utoobile di ss tent di eseguie il gio dell ote lungo un pist cicole di ggio. Si tovi l velocità ini v con l qule deve ive nel punto più lto dell pist, iflettendo sul ftto che fonie l foz centipet necessi in quel punto sono l nole ll pist e l gvità. [: g ] v 1. Un utoobile di ss pecoe un cuv di ggio = 15 ll velocità di 15. /s. Spendo che l std è inclint ed indicto con J l ngolo che ess fo con l oizzontle, si tovi il vloe di J che peette ll uto di pecoee l cuv nche in ssenz di ttito f pneutici ed sflto. [: 8.69 ] y N 13. Un disco uot su di un pino oizzontle copiendo 33 gii/in. d un distnz di 5. c dl cento viene ppoggito un blocchetto di ss. Spendo che il coefficiente di ttito sttico f blocco e disco vle =.15 si dic se il blocchetto scivol. [: s si] W J f S x 14. Si deteinino velocità ed ccelezione centipet di un punto sull supeficie teeste che si tovi ll ltitudine itlin, spendo che = c [: 344 /s, /s ] 15. Un ponte sospeso fo un co di ciconfeenz incuvto veso il bsso, di ggio =. Sul ctello di vvetiento si legge che il ponte soppot l ssio un cico di N. Qule liite di velocità deve ispette un utoobile di ss 1 kg se vuole ttvese il ponte senz che questo si op? [: 3. /s ] 16. Un sfe di ss = 1.5 kg viene ftt scivole lungo un guid cicole di ggio = 3., sul cui punto più bsso è inseit un bilnci. Spendo che l pssggio dell sfe l bilnci segn 3.75 kg, si clcoli l velocità dell oggetto in quell istnte. [: 7.67 /s ] 17. Un blocco di ss, scivol lungo un igloo seisfeico di ggio, ptendo dl punto più lto con un velocità piccol, pticente null. Se l igloo non ci fosse, il blocco seguiebbe sin dll inizio un tiettoi pbolic di cdut libe, che si toveebbe nello spzio occupto dl ghiccio. no no che pocede l disces, quest tiettoi ipotetic si v pendo sepe più peché uent l intensità dell velocità con cui l cdut libe dovebbe vee inizio. Nell istnte in cui l pbol divent tutt esten ll igloo, il blocco non viene più peuto conto il ghiccio e così si stcc. lcole l velocità in quell istnte. [: g cos ] Qul è l diezione dell ccelezione nel cso più genele? Ponio di vee un punto che si uove su un tiettoi cuviline in due diensioni. W W W N N N W v bilnci N N = v v v v 133

8 Il vettoe velocità è, pe definizione, sepe tngente ll tiettoi e quindi, in ogni istnte, cbi diezione. Nel cso genele nche il odulo dell velocità cbi in ogni istnte. Possio vedee tle situzione coe un cobinzione dei csi eleenti che conoscio. Poiché l velocità è pe definizione un vettoe sepe tngente ll tiettoi, l vizione del odulo dell velocità deve essee dovut un vettoe ccelezione nch esso nell diezione tngente, che ci dice di qunto deve essee llungto od ccocito il vettoe velocità ogni secondo. L vizione dell diezione dell velocità è invece iconducibile ll pesenz di un vettoe nell ccelezione pependicole ll tiettoi, popio coe ccde nel oto cicole unifoe. oe si è visto in quel cso, inftti, un ccelezione pependicole ll velocità non ne odific i il odulo, l f solo uote. Petnto in genele il vettoe ccelezione lungo un tiettoi cuv sà coposto d un ccelezione tngenzile e d un ccelezione nole (o centipet) e cus di quest ulti punteà sepe veso l egione dove l tiettoi l su concvità. P 1 P P P= P = P 1 > 9velocità in diinuzione v v s = st () ngolo cuto v ngoloottuso < 9velocità in uento v v v Possio ppossie l tiettoi in ogni punto con un ciconfeenz? L ccelezione centipet è dunque esponsbile del cbiento di diezione dell velocità istntne nche su un tiettoi qulunque. Possio pense d ess coe ll ccelezione centipet che vebbe l nost pticell se si stesse ovendo, nziché lungo l tiettoi ele, lungo quell ciconfeenz che eglio vi cobci intono l punto dove stio ossevndo il oto. Un tle ciconfeenz, dett ciconfeenz oscultice, si individu pe ciscun punto P dell tiettoi, consideto che, pesi P e P in 1 possiità di esso, coe in figu, pe i te punti non llineti P, P ep 1 pss un sol ciconfeenz. L ciconfeenz oscultice nel punto P si ottiene coe posizione liite, fcendo vvicine sepe più P ep 1 P. Il suo ggio è detto ggio di cuvtu dell tiettoi in quel punto. oe s intuisce, l ciconfeenz oscultice sà sepe bbccit dll tiettoi con l qule deve cobcie, cioè si toveà sepe nell egione di pino dove l cuv ivolge l su concvità. Ecco peché è sepe veso tle egione che punt l coponente nole dell ccelezione e di conseguenz nche l ccelezione coplessiv. he elzione c è con l ccelezione studit pe il oto ettilineo? L coponente tngenzile dell ccelezione, invece, è esponsbile dell vizione del odulo dell velocità, ed h lo stesso significto che h l ccelezione istntne nel oto ettilineo, puché si sostituisc l coodint ettiline con un sciss cuviline st () lungo l tiettoi. In genele se l ngolo f velocità e ccelezione coplessiv è cuto, signific che l ccelezione tngenzile h lo stesso veso dell velocità e quindi il odulo dell velocità st uentndo. Viceves, qundo l ngolo f ccelezione e velocità è ottuso llo l ccelezione tngenzile punt conto il veso dell velocità, quindi il odulo di quest ulti st diinuendo. d esepio si considei il oto di un pinet che segue un obit vente l fo di un cuv ovle chius dett ellisse, in cui l ccelezione è sepe diett veso l posizione del Sole, d cui poviene l foz. le ccelezione f vie l velocità in odo che ess cesc col diinuie dell distnz dl Sole. oe si vede dll figu, l ngolo f e v è, inftti, cuto nell fse in cui il Dl ltino osculo, bcie. L ciconfeenz, cioè, che eglio cobci con l tiettoi in quel punto. 134

9 pinet si pot veso il punto di ssi vicinnz dl Sole (detto peigeo), dove l velocità è ssi). D qui esso si llontn veso il punto di ssi distnz (pogeo) e in quest fse l ngolo f e v è ottuso e l velocità diinuisce in odulo fino ggiungee il vloe inio, poi il oto posegue ciclicente. Esecizi 18. In figu è ppesentt l tiettoi di un punto teile. Si dic se è possibile che i vettoi ccelezione e velocità istntne bbino i vesi ipotti. L situzione popost non è possibile, peché il vettoe velocità deve essee sepe tngente ll tiettoi e il vettoe ccelezione sepe oientto veso l pte del pino dove l tiettoi ivolge l su concvità. v 19. Qui lto è ipotto l ndento in funzione del tepo dell velocità di un punto teile. Si stbilisc se sull tiettoi seguit dl punto, l ngolo f l ccelezione e l velocità è cuto oppue ottuso. []. L sciss cuviline del oto di un punto teile su di un tiettoi cuv h legge oi espess dll pbol st () = t - 3t+. Dopo vene ppesentto il gfico, se ne ossevi l pendenz e quindi si dic pe quli vloi del tepo l ngolo f l velocità l ccelezione è cuto e pe quli è ottuso. [: ottuso: t < 1.5 s ] v t. Peiodo, fequenz e velocità ngole In ntu sono olto fequenti dei fenoeni che si ipetono con uguli ctteistiche: le oscillzioni di un pendolo, l ltennz di giono e notte, il oto obitle di un pinet, l nost espizione ed il bttito del nosto cuoe, le ee e così vi. Questo tipo di oto è detto peiodico. Quli sono le ctteistiche di un oto peiodico? Un pticell si uove di oto peiodico qundo continuente ipss pe le stesse posizioni e in ogni punto ssue sepe l velocità e l ccelezione che vev l pssggio pecedente. v v v v Il più piccolo intevllo tepole dopo il qule il oto si ipete con le edesie ctteistiche si chi peiodo del oto, e si indic con l lette. Dieo che dunte un intevllo tepole pi l peiodo viene copletto un ciclo del oto. Il peiodo si isu tite il ppoto seguente: tepo tscoso = nueo dei cicli svolti Inftti, dto che ogni fzione espie il quntittivo del nuetoe ssocito d un unità del denointoe, tle ppoto ppesent i secondi ssociti d un ciclo. nlogente il suo ecipoco: f = nueo dei cicli svolti tepo tscoso è il quntittivo di cicli ssociti d un unità del denointoe, cioè i cicli (o l fzione di ciclo) eseguiti in un secondo, e pende il noe di fequenz, ed indict con l L ontofisic d esepio un pinet che segue un obit vente l fo di un cuv ovle chius dett ellisse, descive un oto peiodico in cui l ccelezione è sepe diett veso l posizione del Sole, d cui poviene l foz, ed h in ogni peciso punto sepe lo stesso vloe d ogni nuovo gio. le ccelezione f vie l velocità in odo che ess cesc col diinuie dell distnz dl Sole. Quindi si velocità che ccelezione cbino di diezione ed uentno e poi diinuiscono di intensità dunte tutto il oto, peò ssuono sepe gli stessi vloi qundo il pinet ipss negli stessi punti dell obit. 135

10 lette f. Il peiodo si isu in secondi l ciclo, e nel Siste Intenzionle le sue unità di isu sono [], s in qunto il nueo di cicli non h diensioni fisiche. L fequenz si isu in cicli l secondo ed nche qui, essendo il nueo di cicli un gndezz diensionle, nel SI le unità di isu dell fequenz isultno [] s - 1, cui viene dto il noe di Hetz: 1Hz = 1s -1. In bse ll definizione l fequenz è il ecipoco del peiodo: 1 f = Esecizi 1. In un oto peiodico vengono copiuti 3 cicli in 5 secondi. lcole fequenz e peiodo. tepo tscoso 5 nueo dei cicli svolti 3-1 = = s = 1.67 s f = = s =.6 Hz nueo dei cicli svolti 3 tepo tscoso 5 s = J P. Il pocessoe di un P lvo con un fequenz di clock di. GHz 9 (1 GHz = 1 Hz), cioè svolge 9. 1 opezioni binie ogni secondo). Qunto tepo ipieg pe eseguie un opezione? [: s ] Il oto cicole velocità unifoe è un pticole cso di oto peiodico? Si, quello di un punto P che si uove lungo un ciconfeenz con velocità ed ccelezione d intensità costnti. i sevieo o di un nuovo stuento pe individue l posizione di P sull ciconfeenz: l ngolo di otzione J (thet) ispetto d un seiett di ifeiento uscente dl cento. J In che odo conviene isue gli ngoli pe descivee un oto cicole? oe sppio, tutte le ciconfeenze sono siili f loo, cioè il ppoto f il peieto ed il ggio poduce in ogni ciconfeenz lo stesso nueo p. Ossevzioni di geoeti eleente ci indicno che quest popietà vle, olte che pe l inteo peieto, nche pe un su pozione, cioè l lunghezz di un co di ciconfeenz. In questo cso peò il vloe del ppoto non è più p, un nueo ctteistico di quell ngolo, cioè: un ngolo l cento J e l lunghezz s dell co d esso sotteso sono popozionli L ontofisic d esepio un ngolo di 1 dinte stcc su qulsisi ciconfeenz un co lungo qunto il ggio. Petnto il ppoto s, / f l lunghezz s dell co ed il ggio, non dipende dll isu del ggio, d esepio ssue lo stesso vloe pe tutte le ciconfeenze di cento, coe le due in figu. Fissto l ngolo J, il ppoto s / può quindi essee ssunto coe isu dell ngolo, visto che non occoe specifice su qule delle infinite ciconfeenze concentiche viene isuto, dto che si ottiene sepe lo stesso vloe. Questo odo di isue si dice espiee gli ngoli in dinti: d J = Il dinte è un nueo diensionle, essendo il ppoto di due gndezze che hnno le stesse diensioni fisiche. Nel Siste Intenzionle, qundo un nueo espie un ngolo in dinti, si ggiunge il suffisso d. L ngolo in dinti h convenzionlente segno positivo se isuto in veso ntioio, negtivo se isuto in veso oio. s Pe qule otivo conviene isue gli ngoli in dinti? L isu in dinti consente di psse ieditente dl vloe dell ngolo ll isu dell co, qundo si noto il ggio dell ciconfeenz. Inftti: 136

11 s = J e quest stess elzione isult eno seplice se gli ngoli sono in gdi. Esecizi 3. Si espino in dinti gli ngoli di: 36, 18, 9, 45, 3. Si dic poi qunto isuno gli chi stccti dll ngolo di 3 su di un ciconfeenz di ggio.5 e su un di ggio 6.7. Su di un ciconfeenz di qulunque ggio, con cento nell oigine coune di questi ngoli, isundo l co s ptendo dl punto cto in figu, è fcile tove l espessione in dinti dell ngolo gio: s p 36 s = p J = = = p = 6.8 d Pe gli lti ngoli le isue di s si tovno fcilente pendendo l fzione di peieto coispondente: p s p 18 s = J = = = p = 3.14 d p s p/ p 9 s = J = = = = 1.57 d 4 p s p/ 4 p 45 s = J = = = =.789 d 8 4 p s p/ 6 p 3 s = J = = = =.54 d 1 6 Pe vee l isu degli chi sottesi d J = p/ 6 =.54 d sulle due ciconfeenze bst use l foul inves s = J, d cui: =.5 s = (.5.54) = 1.31 = 6.7 s = (6.7.54) d = 3.51 d 4. Si tsfoino in dinti gli ngoli 7, 135, 6. [: 3p / ; 3p / 4; p /3 ] he cos s intende pe velocità ngole di un punto? Dto un punto P in oto su un ciconfeenz, ed un intevllo D t dunte il qule l ngolo di otzione è vito di un quntità D J, è possibile definie: d 18 = p p 9 = 45 = 3 36 = p p 4 = D s = DJ p 6 velocità ngole edi di un punto P in oto su di un ciconfeenz, è il ueo di dinti spzzti in un secondo, dl ggio che individu P: DJ Dt icodndo inftti l definizione di ppoto f due gndezze coe il quntittivo l nuetoe che è ssocito d un unità del denointoe, l definizione ppe subito tspente. Se il ppoto viene clcolto nel cso liite in cui Dt, cioè qundo l intevllo tepole si chiude ttono d un singolo istnte, l velocità ngole si dice istntne. Il sibolo che si dope pe l velocità ngole, si edi che istntne è l lette gec òeg inuscol w, e si isu in d/s. Si cpisce che w =DJ/ D t è l nlog ngole del ppoto v =Ds/ D t che dà l coponente dell velocità (edi) del punto sull ciconfeenz. L su utilità ppe evidente qundo si h che fe con le otzioni di un copo esteso, igido, ttono d un sse. onsideio d esepio il pinet e: un punto sull equtoe uot olto più veloceente di uno in possiità del polo Nod, entbi spzzno il edesio ngolo ogni secondo, cioè hnno l stess velocità ngole (il cui vloe è -5 w = d/s ), che quindi espie un popietà coune tutto il copo. DJ w = d/s 835k/ h 1466k/ h P 167k/ h 137

12 oe si espie l velocità ngole se il oto è cicole unifoe? Nel cso in cui il oto si cicole unifoe, il ggio che individu il punto spzz sepe lo stesso nueo di dinti in un secondo e quindi non ipot qule piezz D J si usi pe clcole il ppoto DJ / D t, peché il isultto è sepe lo stesso vloe costnte. Decidio llo di fe il conto ifeendoci d un gio copleto ttono ll sse. In questo cso il tepo ipegto è il peiodo D t = del oto cicole, cioè il tepo che seve coplete il gio, e si h: p w = f 1 w = = p Dove f è il nueo di gii eseguiti in un secondo, cioè l fequenz del oto cicole unifoe. Esecizi 5. lcole peiodo, velocità ngole e fequenz dell punt dell lncett delle oe, di quell dei inuti e di quell dei secondi. L lncett delle oe ipieg 1 h pe coplete un gio, quindi si h: = 1 36 = 43 s w h -4-5 h h h h = p/ = d/s f = 1/ =.31 1 Hz L lncett dei inuti ipieg 1h pe coplete un gio, quindi si h: = 36 s w = p/ = d/s f = 1/ =.78 1 Hz -3-4 L lncett dei secondi ipieg 6 s pe coplete un gio, quindi si h: = 6 s w = p / =.15 d/s f = 1 / =.167 Hz h s s s s L ontofisic L elzione tovt v=ω è fcilente veifict qundo si h un copo igido che uot ttono d un sse, d esepio un disco. utti i punti del copo hnno l stess velocità ngole dto che spzzno un ugule ngolo nello stesso tepo. Peò tnto ggioe è l distnz dll sse (cioè il ggio dell tiettoi) tnto più veloce deve nde il punto, essendo costetto descivee un ciconfeenz di ggio ggioe nello stesso tepo. B 4 P In un oto cicole unifoe, che elzione c è f velocità ngole e velocità? Dll definizione di dinte: D s = D J cioè lo spzio che il punto pecoe è tnto ggioe qunto più gnde è l su distnz dll sse. Petnto, essendo l coponente dell velocità sull ciconfeenz v =Ds/ D t (positiv se il oto è ntioio) isult: DJ Ds v w = = = v = w Dt Dt In che odo possio scivee o l ccelezione centipet? Usndo l elzione v = w, le foule pe l ccelezione e pe l foz centipet posso no essee espesse in funzione dell velocità ngole: v = = w å = w F Esecizi 6. lcole l velocità ngole di otzione del pinet e, e l velocità linee di un punto P ll ltitudine itlin di 4, ssuendo pe il ggio dell e 64 k. [: d/s, 346 /s ] 7. Spendo che il dieto inteno di un vecchio disco in vinile d 45 gii/in è d = 4.5 c, e che quello esteno è d = 18 c, se ne clcoli l velocità ngole, e si B tovino le velocità linei dei punti e B in figu. [: 4.71 d/s, 4 c/s,11 c/s 138

13 8. Un utoobile vnz con velocità V = /s. Spendo che il ggio dell uot è =.4, si dic qunto vlgono: l intensità v dell velocità di un punto sul peieto dell uot, l velocità ngole e l fequenz di un punto qulsisi sull uot. [: /s, 5 d/s, 8. Hz ] v V 3. Il oto onico os è l foz elstic? Si dice foz elstic qulsisi foz F di ichio, cioè sepe diett veso un posizione di equilibio, e l cui intensità, vibile nel tepo, si diettente popozionle ll distnz d tle posizione. Indicto con x il vettoe spostento che h l cod nel punto di equilibio e l punt nell posizione istntne dell pticell, si h dunque che l foz elstic può essee scitt: F =-kx dove l costnte che figu è k > e le sue unità di isu sono [ N/], in odo che qundo viene oltiplict pe un lunghezz si poducno newton l pio ebo dell equzione. L intensità dell foz vle F = k x, ed è quindi tnto g- gioe qunto più è gnde l distnz dll equilibio, e qundo l ss si tov nell posizione di equilibio l foz vle zeo essendo x =. Il segno negtivo nell equzione F =-kx indic coe l diezione dell foz si sepe pllel e conti l vettoe x, e quindi oientt veso l posizione di equilibio. Il nueo k si dice costnte elstic. F x Eq. L ontofisic Pe qunto poss suone stno, un elstico non esecit un foz elstic nel senso dell definizione qui dt. Inftti pu essendo in gdo di tie veso l equilibio, non esiste un configuzione in cui sping. Il eccniso nsce dll pesenz di lunghe ctene di olecole l suo inteno, che non iescono ste stite tendono d ssuee fo contot, e pe questo d ccocisi. Queste olecole filifoi sono costette d ssuee un geoeti ipiegt cus del continuo picchiette ltele dovuto l oto di gitzione teic di olecole più piccole. x F oe possio elizze un foz elstic? Dopo ve bloccto il cpo di un oll fo di elic, si ttcchi un ss ll lto cpo, e l si pong in un pino oizzontle senz ttito. L ss dell oll si tscubile ispetto quell ttcct. Esiste un sol distnz del cpo libeo dl punto di ggncio nell qule l oll è ilsst. Non ppen si tenti di llontne l ss d questo equilibio, l oll tende ipotcel. Le ossevzioni ostno che il vloe dell foz di ichio dipende dll ntu dell oll, che in ogni cso F si f tnto più intens qunto ggioe è l llontnento x dll posizione di equilibio, dove l foz vle zeo: si ttt quindi di un foz elstic. L costnte elstic detein l igidità dell oll: pità di defozione, un oll con k gnde è più igid (cioè esecit un foz ggioe) ispetto d un oll con k piccolo. Posto un sse di ifeiento con l oigine nell posizione di equilibio ed indict con F l coponente oizzontle dell foz, lungo di esso x isult F =- kx, un elzione dett legge di Hooke. Un foz veso sinist và x quindi coponente positiv, e questo ccde se l oll viene copess e cioè qundo x <. Pe un oll llungt veo viceves F < ed x >. x Fx x Fx F = x =- kx > x =- kx < x x Esecizi 9. Un oll tit d un foz d intensità F = 3. N si llung di 5. c. lcolne l llungento se viene post in veticle e d ess ggncito un blocchetto di ss =.75 kg 139

14 f ttito sttico ovio innnzitutto l costnte elstic dell oll: F 3. k = = N/ = 6. N/ x Post in veticle l oll si llung di un ttto lungo x tle che l foz elstic coispondente bilnci il peso del blocchetto: W g k x = W x = = = =.13 = 1.3 c k k Lungo un pino inclinto di un ngolo = 35coe in figu, pivo di ttito, è dgit un oll di costnte elstic k = N/ vente ll esteità un ss = 1.7 kg. Si dic di qunto si llung l oll. [: x = 6.38 c ] 31. Lungo un pino inclinto di un ngolo = 5, pivo di ttito, è dgit un oll di costnte elstic k =. 1 N/ vente ll esteità un ss =.1 kg. Si dic di qunto viene copess l oll. [: x = c ] Un ss = 1.3 kg ttcct d un oll con k = 4. 1 N/ viene tit d un nsto tspottoe. Spendo che il coefficiente di ttito sttico f le supefici è =.84, si tovi il ssio llungento. [: x =.68 c ] S 33. Si considei l situzione di equilibio in figu: spendo che le te olle sono uguli ed hnno k =.5 1 N/ e che = 1. kg, tove l llungento D di ciscun. [: D = 4.71 c, D = D = 3.7 c ] 34. Un ss = 3.5 kg 1 3 viene legt f due olle veticli in odo che l distnz f i cpi ggnciti si pi ll so delle loo lunghezze iposo, che è l stess pe entbe. Si clcolino di qunto si llungno le due olle spendo che k 1. 1 N/ 1 = e che k =.6 1 N/. [: D = D = 9.1 c ] 1 he cos è il oto onico? Si dice oto onico quel pticole oto peiodico che si ottiene qundo un pticell è sottopost d un foz elstic. Le oscillzioni dell ss ttcct ll oll ne sono un esepio. L ssi distnz dll posizione di equilibio è chit piezz del oto. Molti sono i sistei fisici che seguono ntulente il oto onico: dlle vibzioni degli toi ttono i siti di equilibio, fino lle oscillzioni dei pennoni delle bndiee ed ddiittu le oscillzioni dei gttcieli. - F J F x cos J + x he lege esiste f oto onico e oto cicole unifoe? E possibile pense l oto onico coe ll poiezione sull sse delle scisse (o delle odinte, è lo stesso) dell posizione di un pticell che si uov di oto cicole unifoe Pes quindi un tiettoi cicole di ggio pi ll piezz del oto onico, è possibile individue un velocità di intensità v oppotun, pe cui l posizione dell pticell che oscill legt ll esteità dell oll coincide in ogni istnte con l ob di un lt pticell che gi sull ciconfeenz con velocità di odulo v costnte. Inftti, indict con F l foz centipet ll oigine del oto 14

15 cicole - qulunque ne si ntu - l su coponente F lungo l sse oizzontle x isult: F =- F cosj x ed essendo F = v /, ed inolte cos J = x / coe si vede dl tingolo in figu, si ottiene: v x F =- =-kx x J x y vendo indicto il podotto di tutte le quntità costnti con un unico sibolo: k = v /. bbio così diostto che l coponente dell foz lungo l sse oizzontle è un foz di ichio di tipo elstico. Poiché in un oto cicole unifoe isult v = w ( = w), l velocità ngole w del oto cicole l cui poie- zione gene il oto onico di costnte k, isult legt ll costnte elstic dll elzione: v k = = k w w = Qundo ci si ifeisc l oto onico, il vloe di w viene detto pulszione del oto, sepe isut in d/s. Il peiodo del oto onico è lo stesso del oto cicole unifoe che lo gene, il qule coplet un gio nel tepo in cui l su poiezione h copletto un oscillzione. Il peiodo del oto onico è ugule quello del oto cicole coispondente. icodndo che pe il oto cicole unifoe vle l elzione = pw /, sà : = p k Note che l fequenz (e quindi ed w ) non dipendono dll piezz del oto. Esecizi 35. Si ossev che un ss =.3 kg ttcct d un oll oscill sedici volte in. s. ove l costnte elstic dell oll e l foz che ess esecit sull ss qundo quest si tov 4. c dest del punto di equilibio 4. c Il peiodo e l pulszione di questo oto onico isultno essee:. p 6.8 = s =.15 s w = = d/s = 5. d/s si icv quindi l costnte elstic: k w = k = w =.3 5. N/ = N/ Se l ss dist x = 4. c = 4. 1, l coponente dell foz vle: Fx =- kx = N =- 3 N negtivo in qunto diett veso sinist dove si tov l posizione di equilibio. 36. Un oll post in veticle con ppes un ss =.85 kg si llung di 15. c ispetto ll posizione di equilibio. ove il peiodo delle oscillzioni che l ss copie in un pino oizzontle. [:.776 s ] 15. c ì ï í ïî F el W 141

16 wt + J 37. l cento di un pitto oizzontle pivo di ttito, che copie 33 gii/in, è sldt un oll di lunghezz iposo 3. c l cui cpo libeo è ggncit un ss =.4 kg. Ossevndo che in queste condizioni l oll si llung di. c, si clcoli il peiodo delle oscillzioni di cui è cpce il siste dell oll con l ss. [:.455 s ] - wt J + cos ( wt + J ) x Qule equzione espie lo scostento dll equilibio in un oto onico? Lo scostento dll equilibio si ottiene tite l legge oi dell posizione, xt (), in un ifeiento dove l equilibio coisponde d x =. Indichio con J l ngolo coplessivente spzzto, ispetto d un ett di ifeiento, ptendo dll istnte inizile, in cui ssuio che esso vlev zeo. Spendo che l velocità ngole è dt dl ppoto f J ed il tepo ipiegto, w = J/t, si ottiene l legge oi dell ngolo pe il oto cicole unifoe, (nel cso pticole in cui l ngolo inizile è nullo): J = wt on ifeiento ll sse delle scisse nell pecedente figu si h che: cos( wt + J ) =-cos xt< () cos( wt+ J ) =-cos xt< () J wt wt + J cos x + J cos x xt () = cosj = coswt Se invece l pticell che gi coinci d un ngolo inizile che non è nullo, che già vle J, questo v soto d w t, cioè J = J + wt, e isult: legge oi dell posizione pe il oto onico (scostento dll equilibio): xt () = cos( wt+ J ) L funzione tetic coseno, qundo l ngolo è ggioe di quello etto e inoe di te ngoli etti, (cioè sio nel secondo e tezo qudnte dell ciconfeenz), viene definit in odo d ssuee vloe ugule ed opposto quello che h nell ngolo d esso ssocito nel pio qudnte, coe nell figu. In questo odo se il nueo J + wt è copeso f l isu di uno e quell di te ngoli etti, l legge oi poduce un vloe xt () <. In nie del tutto nlog si sebbe potuto poiette lungo l sse delle odinte ed ottenee un fo equivlente pe l legge oi del oto onico: yt () = sin( wt+ J ). Quli noi si usno pe queste gndezze e che significto hnno? L quntità wt + J si chi nel suo coplesso fse del oto onico, ente si dice fse inizile il vloe dell ngolo J. d ogni ciclo copleto l fse uent di un ngolo gio, cioè p. L fse indic in qule oento dell oscillzione si tov il punto, e lo espie in teini del nueo totle di cicli pecosi e fzioni del ciclo copleto, ciclo che può essee isuto in dinti ( p d ) oppue in gdi ( 36 ). isult: nueo di fse - fse inizile = cicli svolti p - + sfsento di 9 x Esecizi 38. lcole qunti cicli h copletto un punto che si uove di oto onico, nell istnte in cui l fse è. d, spendo che pte d un ngolo p /6. Indicndo con n il nueo di cicli svolti si h: 14

17 / 6 n = = cioè il punto h copletto 3 cicli ed un decio di ciclo. Se usio l equzione con il coseno, un punto che si tov nell posizione di ssio scostento dest h un fse di d ( + p d pe ogni gio ftto), un punto che pss nell posizione di ssio scostento sinist h un fse di p d ( + p d pe ogni gio ftto). Due punti possono oscille di oto onico con l stess fequenz e l stess piezz fsi divese: in tl cso uno di loo sà sepe dvnti ll lto di tnto qunto vle l diffeenz f le loo fsi inizili. d esepio se due punti ptono d ngolo etto sull ciconfeenz, il oto onico del secondo sà sepe in itdo di fse di p d (o, coe si dice, sfsto di 9 ). Esecizi 39. L legge oi di un oto onico è xt ( ) = 3. cos(5.t +.). Si dic qunti cicli sono copiuti ogni secondo, qul è l dut di ciscuno, qunto vle l fse dopo 3.5 s, qunti cicli copleti h pecoso fino quel oento contndo dll istnte inizile. D un nlisi dell equzione dt isult w = 5. d/s petnto isult: = pw / = (6.8/ 5.) s = 1.3 s f = 1/ =.77 Hz Pe l fse bbio: ( ) d = 19.5 d Poiché l fse inizile vle. d, ed essendo ogni ciclo copleto coispondente 6.8 d, il punto h pecoso: [( ) / 6.8] gii =.8 gii 1 4. In un ceto istnte, un punto che si uove di oto onico h copletto 1.3 cicli ptendo con un fse inzile di p /1. lcole l su fse in quell istnte. [:] 41. Un punto si uove lungo l sse delle scisse seguendo un oto onico di legge oi xt ( ) =.5 cos(3.4wt + 1.5). lcole il tepo pe coplete 8 cicli. [:] 4. In un ceto istnte, l fse di un punto che si uove di oto onico vle 75. d ed esso h copletto 11. cicli. Se ne clcoli l fse inizile. [:] y 43. Un cocoeo è in un ecipiente colo di cqu. Nel oento dell pi iesione l line di glleggiento è ftt scendee di 3. c sotto l pelo dell cqu, ed il cocoeo coinci d oscille di oto onico copiendo qutto cicli in 6. s. Dopo ve scitto l legge oi dell quot yt () dell line di glleggiento, si dic dove si tov dopo p. s e dopo.65 s. [: yt ( ) = 3. sin(4.19 t- ) ;-.1 c,.74 c ] Il vento f oscille di oto onico il bodo di due lenzuoli stesi, con un fequenz di 5. Hz. Se il pio lenzuolo ggiunge il punto di ssio scostento dll equilibio.5 s dopo il pio, si tovi l diffeenz di fse in gdi f le due oscillzioni. [: 45 ] 45. Un pticell oscill di oto onico lungo l sse delle scisse con un piezz di.54 ed un fequenz di.191 Hz. Spendo che ll istnte zeo l posizione dell pticell è.45, si clcoli lo scostento dll equilibio pe t = 5. s e pe t = 15. s e pe t = 3. [:.3,-.393,.453 ] 46. Un bett lung L uot con velocità ngole w ttono d un punto due tezi dell su lunghezz. he elzione esiste f le piezze e le fsi dei oti onici oiginti dlle poiezioni degli estei e B sul dieto oizzontle? [: x () t = (3) / L sin w t, x () t = (13) / L sin( w t + p) ] B B 143

18 P p 6 B 47. Un punto P uot su di un ciconfeenz di ggio fcendo qutto gii ogni te secondi. he elzione esiste f le piezze, le pulszioni e le fsi dei oti onici geneti dlle poiezioni di P lungo i due dieti in figu? 8 8 [: x ( t) sin( t p = p + ), x ( t) = sin( p t) ] 3 6 B 3 4. Il pendolo seplice L J os si intende pe pendolo seplice? Il pendolo seplice è un dispositivo costituito d un ss che oscill legt l cpo di un filo di lunghezz L ed ggncito d un punto di sospensione. onsideio il cso idele, in cui: l ss del filo è tscubile ispetto d, ed il filo stesso è inestensibile, cioè l su lunghezz non cbi i nonostnte l sollecitzione cui viene sottoposto. W n J W st () W t Il oto del pendolo non è ettilineo: può essee onico? Il oto onico può vvenie nche lungo un tiettoi cuv, coe l co di ciconfeenz descitto dl pendolo. In questo cso il oto si conside onico qundo l coodint cuviline st () che sep l ss dll posizione di equilibio, segue un legge oi che h l fo vist pe il cso ettilineo: st () = cos( wt+ J ) L ontofisic Si fcci ttenzione ll ecipoc lunghezz dei vettoi che ppesentno le foze sul pendolo. L tensione deve sepe essee più lung dell gvità in qunto con l su sol coponente veticle l deve NO equi- libe W sin J 1 J Questo ccde solo se l coponente dell foz tngenzile ll tiettoi gisce coe ichio veso un equilibio, ed h intensità diettente popozionle ll lunghezz st () dell co che occoe pecoee pe ggiungel. Il oto di un pendolo seplice è un oto onico? Pe ispondee ll dond se le oscillzioni del pendolo sino oniche, dobbio icve un espessione pe l foz tngenzile e vedee se isult popozionle ll distnz st () pecos dl pendolo sull ciconfeenz. oe si vede dl disegno, l coponente tngenzile del peso gisce coe foz di ichio dto che è sepe diett veso il punto più bsso, e l su intensità vle: W = gsin J t O se l ngolo J è espesso in dinti si h che pe vloi inoi di 8 p l su isu e quell del seno isultno pessoché indistinguibili 3,, cioè: p sin J J se J (3 ) 8 che sostituit nell espessione pe l foz di ichio poduce: st () W = gj = g = k s() t t L 3 Se ϑ=π/8=.397 d si h sinϑ=.387: sostituendo l seno l isu in dinti dell ngolo si coette un eoe (ϑ-sinϑ)/sinϑ=( )/.387=.613 (cic il 3%). 144

19 vendo sfuttto l definizione di dinte, J = st ()/ L ed indicto i vloi costnti con k = g/ L. oe si vede, nel cso delle oscillzioni che fono piccoli ngoli ( il oto del pendolo seplice isult onico. p 8 J ) Qunto vle il peiodo delle piccole oscillzioni del pendolo seplice? Sfuttndo l elzione pecedenteente icvt si ottiene il peiodo delle piccole oscillzioni = p = p L = p L k g g Si tggono quindi le seguenti conclusioni: (1) Le piccole oscillzioni sono isòcone cioè hnno tutte l stess dut, indipendenteente dl vloe dell piezz. () Il peiodo delle piccole oscillzioni non dipende dll ss ppes. (3) Il peiodo delle piccole oscillzioni è tnto ggioe qunto più lungo è il filo del pendolo. L velocità ngole e quell linee di un pendolo sono costnti? No, non lo sono. Entbe cescono no no che si pocede veso il punto più bsso dove ggiungono il ssio, poi decescono fino d nnullsi nell posizione di ssi ltezz. Esecizi 48. Un pendolo seplice copie 4 oscillzioni l inuto. Si clcoli l lunghezz del filo e si dic cos succede l peiodo se quest viene diezzt. 1 dives piezz stesso peiodo Si chi cicloide l tiettoi del tppo dell go di un bici ente l uot vnz. Un pen - dolo igoosente isocono può essee elizzto fcendo oscille il filo f due chi di cicloide. Il pendolo cicloidle segue nch'esso un cicloide ( qui ttteggit). isult = (6 / 4) s = 1.5 s d cui si icv l lunghezz del filo: L g = p L = = =.56 g 4p 39.4 Se l lunghezz del filo è diezzt il peiodo nuovo peiodo isult diviso pe un fttoe ispetto l vecchio: L 1 L 1.5 = p = p = = s = 1.6 s g g quindi le oscillzioni del nuovo pendolo più coto sono più pide. 49. F lcune line pendenti d un lbeo, se ne deve individue un che più lung di 15. oe si può scegliee senz picsi pe isule? [] 5. Si desciv l tiettoi seguit d un pendolo oscillnte il cui filo veng tglito ente si tov: (1) nel punto di ssi ltezz, () in qulunque punto di vvicinento ll equilibio, (3) nel punto di ini ltezz, (4) in un qulunque punto di llontnento dll equilibio. [] tslzione 5. opo igido che uot ttono un sse fisso he cos s intende pe copo igido? Il copo igido è un oggetto esteso idele, cioè un copo pe il qule non può essee dopet l ppossizione di pticell, e che ntiene invite l fo e le diensioni qulunque si l zione cui lo si sottopone. Il copo esteso può essee pensto coposto di sse otzione 145

20 un gnde nueo di punti teili, con l distnz f due qulunque di essi che est costnte. I ovienti di cui il copo igido è cpce possono loo volt essee intepetti coe oti d insiee dei punti teili che lo costituiscono. Quli ovienti sono possibili pe un copo igido? Un copo igido che si uov di oto pino, pe il qule le velocità dei punti del copo si ntengono sepe pllele d uno stesso pino, h due ovienti fondentli: 4 v B v slzione: un copo igido copie un oto di tslzione se tutti i suoi punti si uovono con lo stesso vettoe velocità e lo stesso vettoe ccelezione. otzione: un copo igido copie un oto di otzione se tutti i suoi punti descivono delle ciconfeenze con cento sull stess ett, dett sse di otzione. v B B tslzione D D D D v B Un oto di tslzione non iplic necessiente che i punti teili che copongono il copo igido seguno delle tiettoie ettilinee: essi potnno copiee dei ttti cuvi, ed nche delle ciconfeenze. L ipotnte è che i punti non si spostino su ciconfeenze concentiche, coe si vede nelle figue lto. Il copo B descive un oto tsltoio: sebbene le tiettoie dei punti teili che lo copongono sino cicoli, le ciconfeenze lungo cui si dispongono non hnno i centi su di un unic ett. Pe ccogesi che si ttt di tslzione pu bst veifice che, counque pesi due punti e B sul copo, l ett che pss pe essi si ntiene pllel se stess, e questo è dovuto l ftto che le tiettoie di tutti i punti sono uguli. Il copo D, invece, descive un oto di otzione ttono d un sse, e punti che lo copongono si spostno su delle ciconfeenze concentiche. L velocità ngole w è un sol pe tutto il copo, ente l velocità linee con cui i punti seguono le ciconfeenze cesce con l distnz dll sse di otzione, secondo l elzionev = w che bbio icvto pe il oto cicole. Inolte, un ett pssnte pe due suoi punti qulunque e D non si ntiene pllel sé stess. otzione os è il cento di ss di un copo? Iginio di scopoe un copo igido nelle pticelle che lo copongono, e dicio N il loo nueo. ciscun di esse può pplicsi l second legge dell dinic, quindi disponio di N equzioni dell fo: F = i i i F F 1 i Sondole tutte, ebo ebo, secondo l egol di coposizione dei vettoi, sinist otteeo l foz isultnte che gisce sul siste dll esteno. Inftti, le foze intene, cioè quelle f le pticelle del copo, dnno luogo un isultnte nullo, in qunto si pesentno tutte in coppie del tipo zione e ezione, cioè uguli in intensità opposte in veso, coe d esepio le F ed F in figu. Quindi: 1 = N N Moltiplicndo e dividendo il secondo ebo pe l ss M del copo: æ ö 1 N M... = = M 1 N ç M M M çè ø M L quntità f pentesi è l edi delle ccelezioni di ciscun pticell, ognun pest dll fzione di ss totle / M che ess costituisce. Quest ccelezione può i essee ssocit un punto, cui si dà il noe di cento di ss (M) di posizione M e velocità v M definite in odo nlogo d : M 4 Ve ne sono lti, coe quello detto pole in cui un punto del copo est sepe feo. 146

21 ... 1 M M M N v = v + v v 1 M M M 1 N 1 = M N M Quindi, qundo un copo si uove sotto l zione di un siste di foze, è possibile deteine un punto, detto M, che segue l stess tiettoi di un punto teile nel qule fosse concentt l inte ss e sul qule fosse pplict l so delle foze genti sul copo esteso. Essendo il M ottenuto pesndo l posizione di ciscun pticell del siste con l su ss, si tov più vicino lle pticelle di ss ggioe. Le coodinte del vettoe M, cioè x, M y M sono intene un ettngolo il cui esteo in bsso sinist è individuto dll ini sciss e l ini odint del siste, e l esteo B in lto dest, i coispondenti vloi ssii. N y M y M M x M B v M x Di quli popietà fisiche gode il cento di ss? Il M è un punto che si uove coe se in esso fosse concentt l inte ss del copo e d esso pplict l isultnte delle foze, cioè: = M M Quest popietà è olto utile in lcuni clcoli di dinic. d esepio se lncio un tit in i, il suo M descive un tiettoi pbolic coe febbe un punto di ss ugule quell dell tit stess. Qundo un copo è soggetto un siste di foze l cui isultnte è null (d esepio un coppi), il M, se è inizilente feo non può ente in oviento, e se è in oto ettilineo unifoe, posegue ipetubto. Di quli popietà geoetiche gode il M? In possiità dell supeficie teeste, l foz di gvità potà considesi sepe costnte ll inteno del volue occupto dll oggetto. Questo pot l espessione tetic che definisce il M coincidee con quell che definisce il bicento e quindi possio estendee l M tutte le popietà del bicento, in pticole (1) il ftto che se l oggetto pesent ssi di sieti, questi pssno pe il M; () l popietà distibutiv. F Qule effetto h l zione di un coppi su di un copo igido in quiete? L effetto dell ppliczione di un coppi un copo, d esepio l lin qui lto, è quello di podue un otzione ttono l cento di ss. Essendo, inftti, nullo il isultnte = F - F = delle foze, l equzione = M M =, ipone che l ccelezione del M si null. Petnto il M ine feo se e inizilente feo, ed il copo, pe effetto dell coppi, tendeà posi in otzione ttono d un sse che pss pe esso. Se l oggetto è ppoggito su un pino, quest effetto si ossev con chiezz solo in ssenz di ttito. L sse pssnte pe il M, ttono l qule il copo tende uote, in genele non è pependicole l pino dell coppi, (slvo pe oggetti sietici ttono quell sse) v deteinto di volt in volt. -F M M F B F Qule effetto h l zione di un singol foz su un copo igido in quiete? L effetto di un siste costituito d un singol foz è diveso second che l su ett d zione pssi pe il M oppue no. (1) Se l ett di zione di F pss pe il M llo, scegliendo un sse pe il M pe clcole il oento isultnte di questo seplice siste di un sol foz, si ottiene un vloe nullo. Quindi il M si uove di pu tslzione e non si hnno otzioni del copo igido ttono d esso. () Se l ett di zione dell foz non pss pe il M, si sepe può tsle F in odo che tle pssggio pe il M vveng, senz odifice l dinic. Questo si elizz pplicndo un coppi di tspoto di vloe oppotuno, che coe sppio non lte l zione coplessiv di F. Dopo quest opezione ppe chio che l effetto M F sel ett d' zione di F pss pe il M si h un tslzione 147

22 M coppi di tspoto M DJ 1 = + + = + = + D D s= DJ oto ettilineo s s v t t v v t v v s F P F se l ett d' zione di F non pss pe il M si h un tslzione ed un otzione ttono l M coplessivo è l tslzione, dovut ll ppliczione di F nel M, copost con un otzione ttono l M, dovut ll ppliczione dell coppi di tspoto. oe si può descivee il oto ottoio di un copo igido ttono un sse fisso? onsideio un qulunque punto P del copo igido in otzione. Poiché ci liitio otzioni pine, chiio il punto in cui l sse buc il pino in cui P uot, descivendo quindi un ciconfeenz con cento in. Lo spostento di P può essee individuto dll ngolo di otzione J ispetto d un seiett di ifeiento uscente d, ed espesso in dinti, con segno positivo se in veso ntioio. onsideto un intevllo D t dunte il qule l ngolo di otzione è vito di un quntità D J, è possibile definie l velocità ngole w e l ccelezione ngole : DJ w = ([ w] = d/s) Dt Dw = ([ ] = d/s ) Dt i cui vloi si intendono clcolti nel cso liite in cui Dt, cioè qundo l intevllo tepole si chiude ttono d un singolo istnte. Queste due gndezze sono le nloghe ngoli delle velocità ed ccelezioni linei v =Ds/ D t e =Dv/ D t. oeenteente col segno degli ngoli, nche w ed snno positive se l inceento ch espiono vviene in veso ntioio. Se l ccelezione ngole è null e quindi l velocità ngole costnte, già sppio dllo studio del oto cicole che peiodo e fequenz sono w = p/, f = 1/ = w/ p. Dll definizione di dinte e dllo studio del oto cicole si h: D s = D J v =w ( ntioi/ oi) In un otzione di copo igido, quindi, più si è lontni dll sse più ci si uove veloceente ( v = w ), il che è ssi intuitivo se si pens che un punto lontno dll sse descive uno spostento ssi più lungo di uno vicino e deve flo nello stesso tepo. bbio già visto coe uent l velocità di otzione pe un punto sull supeficie dell e no no che ci si spost veso l equtoe. E se l ccelezione ngole non è null, ssue un vloe costnte? D un punto di vist cinetico si può dioste che se l ccelezione ngole è costnte, vlgono delle elzioni nloghe quelle del oto ettilineo unifoeente cceleto, ipotte qui lto. Indicndo con J l ngolo pecoso, in senso ntioio, l tepo t, e con J il suo vloe inizile, si h: 1 t J = J + w + t w = w + t w = w + D J Le elzioni ngoli sono evidenteente le stesse pe tutti i punti del copo peché uotno tutti ttono ll sse dello stesso ngolo nello stesso intevllo di tepo. F F 1 b b 1 F esecit un oento più 1 piccolo di F e quindi poduce ino ccelezione ngole In che odo l ccelezione ngole di un copo igido è legt ll foz pplict? L ccelezione ngole ispetto d un sse è il isultto dell zione di un o più foze che bbino l cpcità di f uote ttono tle sse. Sppio che quest cpcità è isut, pe le otzioni pine, dll gndezz scle dett oento dell foz ispetto d un sse: t = Fb (tu, positivo pe otzioni ntioie). Il oento è il podotto dell intensità F pe il bccio b, che è l distnz dll sse dell ett di zione dell foz. Le ossevzioni ostno due ipotnti popietà dell ccelezione ngole : (1) ggioe è l distnz b dell ett lungo cui gisce l foz F dll sse di otzione (bccio dell foz), ggioe è l ccelezione ngole che ne isult (cioè ggioe è il oento, ggioe è ) 148

23 () se oenti uguli sono pplicti copi di ugule ss, distibuit in odo diffeente ttono ll sse di otzione, d cquiste ggioe ccelezione ngole è quello l cui ss è ediente più vicin ll sse. Pe copendee coe queste popietà deivino dll second legge dell dinic, scoponio l ccelezione istntne di un punto P sul copo che uot, nelle sue coponenti centipet e tngenzile. Sppio che l ccelezione tngenzile è esponsbile delle vizioni nell intensità dell velocità, che è pe definizione tngenzile, cioè =Dv/ D t (dove = second del senso di otzione, ntioio od oio). Si l isu di P, cioè l distnz dll sse di otzione pe : Dw 1 ævö Dv = = D = = = Dt Dt çè ø Dt t =1N 5 kg t =1N 5 kg = 1d/s = 4d/s ' l ss del secondo cilindo è più vicin ll sse e quindi pità di oento subito h ggio ccelezione ngole oe si descive l dinic di un otzione qundo = costnte? Se il copo st ccelendo ngolente, vuol die che l su velocità tngenzile vi, quindi su ogni punto deve gie dll esteno un foz in diezione tngenzile. Indichio con l ss del punto P consideto, e con F l intensità dell i i foz tngenzile, costnte coe l ccelezione. pplichio l second legge dell dinic lungo l diezione tngenzile istntne un otzione ntioi, con tutte le gndezze ngoli positive: = F / i i i i i i i i i i F F = = = F = i i i i F i i P Nel secondo pssggio si è oltiplicto e diviso pe l distnz i oento tocente vle t = F i i i : t i i i =. icodndo che il Sondo i oenti di tutte le foze che giscono su ciscuno dei punti che copongono il copo, e icodndo che l ccelezione ngole è sepe l stess e si può pote fuoi dl segno di sotoi, si ottiene il oento isultnte t : å i i t = = I L quntità che bbio ottenuto, I =S (che si isu in kg ) ben vedee è un popietà geoetic del copo, che non h null che l leghi l pticole oto i i consideto. Ess dipende solo dl odo in cui l ss è distibuit ttono ll sse di otzione, e può essee clcolt pe ogni copo, pi di ettelo in otzione. Legge di otzione del copo igido intono un sse L gndezz I =S dett oento d inezi di un copo, espie l esistenz i i del copo lle vizioni di velocità ngole intono un sse, isundo il odo in cui l ss è distibuit ttono d esso. Qundo un copo igido st uotndo ttono un sse fisso, ispetto cui il oento delle foze è t e il oento d inezi I, vle l elzione: t= I oe si può intepete l foul t= I? L elzione t = I descive l dinic delle otzioni pine di un copo igido ttono d un sse fisso. È l nlogo otzionle dell second legge dell dinic gnde I piccolo I Moenti d'inezi nello I = M cilindo pieno I = M sfe pien I = M guscio sfeico I = M bett ( cento) I = M bett ( esteo) I = M 149

24 F = e dice che il oento di un foz poduce un ccelezione ngole nel copo cui è pplict. Mente l ss di un oggetto ppesent l esistenz che esso oppone lle tslzioni, il oento d inezi espie l esistenz lle otzioni, ed è tnto inoe qunto più l ss è distibuit vicino ll sse ttono l qule si deside f uote il copo, coe ttest il fttoe nell sotoi. Quest popie- i tà è sfuttt d esepio dlle blleine che ccolgono le bcci lungo l line di otzione pe inceente l popi velocità iducendo il oento d inezi, oppue dgli cobti che si dotno di un lung st llo scopo di uente il popio oento d inezi ispetto un sse pssnte pe l cod lungo l qule cinno. Un eccniso nlogo inteesseebbe il pinet e qulo le sue cque poli si sciogliesseo. Il ghiccio concentto ttono ll sse di otzione h un oento d inezi infeioe quello che vebbe l cqu disciolt, che ndebbe disposi veso l equtoe cusndo un llungento del giono pe l ggioe esistenz offet ll otzione. Il oento d inezi è clcolbile in odo esplicito pe foe geoetiche egoli: in tbell ipotio qulche vloe. Esecizi 9. Un nello h ss M = 4. kg e ggio = 3. c e spessoe olto infeioe l ggio. Se ne clcoli il oento d inezi I ispetto un sse pssnte pe il cento e otogonle l pino dell nello. Si confonti il isultto con il oento d inezi di un disco pieno e di un sfe pien nch essi di M e ggio. lcole l ccelezione ngole se sull nello gisce un oento costnte t = 6. N. Iginio l nello scoposto in tnte pticelle di ss cento dell nello dove pss l sse sà sepe pi l ggio i Ne segue:, l loo distnz dl i =. i i i i I =S =S = S = M = (4..3 ) kg =.36 kg oe si vede, isult: I > I > I inftti: M > (1/ ) M > (/ 5) M. D S Nell nello tutt l ss è dispost ll ssi distnz possibile dll sse, nel disco invece un su pte si tov nell egione f l ciconfeenz esten e l sse. Nell sfe l pte di ss più vicin ll sse è nco più consistente che nel disco. Il oento d inezi, pità di ss, è tnto ggioe qunto più ci si llontn dll sse. lcolio l ccelezione ngole: = t/ I = (6./.36) d/s = 16.7 d/s 1 3. lcole il oento d inezi di un nubio lungo L = 8 c foto d due pesi di ss =. kg ispetto un sse pependicole ll st (di ss tscubile) pssnte pe il cento, e l ccelezione ngole se sul nubio, eso gievole ttono l cento, gisce un oento costnte t = 5. N. [:.64 kg,7.8 d/s ] 31. lcole il oento d inezi di un nubio lungo L = 8 c foto d due pesi di ss =. kg ispetto un sse pependicole ll st di ss M = 1.5 kg pssnte pe il cento, e l ccelezione ngole se sul nubio, eso gievole ttono l cento, gisce un oento costnte t = 5. N. [:.7 kg,6.9 d/s ] 1 3. Un stuttu è copost di due nubi incociti sldti l cento, il pio h un st lung L = 6 c di ss M = 7. kg e in fondo due sse =. kg, il secondo h un st lung = 3. L = 3 c di ss M = 5. kg e in fondo due sse kg. lcole l ccelezione ngole qundo sul nubio,, eso gievole ttono l cento, gisce un oento t = 9. N. [: 1 d/s ] 15

25 33. Un volnte è foto d un nello di ggio = 5. c e ss = 1.5 kg, e due be lunghe qunto il dieto, di ss = 1. kg ciscun. lcolne il oento d inezi ispetto d un sse pe il cento, pependicole i dieti, e l ccelezione ngole se ispetto quest sse è esecitto un oento t = 1. N. B [:.135 kg, 88.9 /s ] 34. Un disco di M = 1. kg e = 3. uot in un pino oizzontle ttono l suo cento O, pe l zione di un foz costnte d intensità F = 1 N, pplict sul bodo lungo l tngente. Nel disco sono conficcte te sse puntifoi: =. kg distnz O =., = 1. kg con OB = 1.5, ed = 1.4 kg con B O =.6. lcole il oento d inezi del siste e l ccelezione ngole. [: 65.1 kg, 4.61 d/s ] F O B 34. Un pittfo gievole ispetto un suo sse centle, è copost di due cilindi di sse = 8 kg, = 1 kg e ggi = 4., =., uno sop 1 1 ll lto. L pittfo st uotndo in senso ntioio ll velocità ngole w = 5. d/s. lcole il oento che dll esteno bisogn esecite ispetto ll sse pe fel in.5 s ipiendole ccelezione ngole costnte. [:- 58 N ] w In quli csi è consentito pplice l elzione t= I? L legge pe l otzione di un copo igido t = I, in cui t e I devono essee clcolti ispetto llo stesso sse, h lcune liitzioni di ppliczione, e delle notevoli popietà, che o enuncio senz dioste. 1. Si può dioste che t = I vle nche se l sse di otzione si spost, puché esti costnte l su diezione. Ne vedeo un esepio nel oto di otolento.. In genele t = I non si può pplice ette divese dll sse di otzione, gicché solo pe esso è stt icvt. Quindi l elzione non si può pplice d ssi ttono cui i punti del copo non stnno descivendo delle ciconfeenze. Pe cpie fccio un esepio in cui l foul non vle: consideio un ttone in cdut libe. L ossevzione ost che = ispetto d un sse oizzontle pe uno spigolo (gudndo l figu, l sse esce dl foglio), peché, coe sppio, il peso, d solo, è incpce di uote un copo. uttvi non è zeo il oento del peso ispetto quello stesso sse. In questo cso giustente è t ¹ I, gicché il copo non st descivendo ciconfeenze ttono d un sse pe. 3. uttvi si può dioste che t = I vle nche pe ssi plleli quello di otzione, puché pssino pe il M del copo. L ccelezione ngole h lo stesso vloe che ssue ispetto l veo sse di otzione, peò si il oento dell foz, si il oento d inezi vnno o clcolti ispetto l nuovo sse pllelo. Pe il oento d inezi vle il seguente isultto: copo in cdut libe : t = I NON può essee pplict d un sse pe g 1 eoe degli ssi plleli Se d è l distnz che sep l sse di otzione d un sse pssnte pe il M e d esso pllelo, si h: I = I + Md M dove I è il oento d inezi ispetto ll sse pe il M, ed I quello ispetto M ll sse di otzione cui è pllelo. Petnto f tutti gli ssi plleli il oento d inezi è inio pe quello che pss pe il M. Si confonti, d esepio, nell tbell dei oenti d inezi il oento d inezi di un bett ispetto l cento e ispetto un esteo, veificndo che sono legti dl teoe degli ssi plleli. I M d I 151

26 N M ettilineo d P N d J cuv M v visto coe otzione ttono ll' sse istntneo di conttto v M f s dunte l cuv t = I non può essee pplict ll' sse pe peché non è un sse di otzione v P w Peché un otociclett si pieg in cuv? Un otociclett, un bici, un pttintoe su ghiccio devono sepe piegsi veso l inteno delle cuve se vogliono evite un otzione ttono l loo M che li febbe cdee. Gicché il peso h sepe oento nullo ispetto un sse oizzontle pe il M, le potenzili cuse di otzione possono venie solo dll nole e dll ttito sttico (che funge d foz centipet. Vedio i due csi possibili. (1) onsideio pi l oto su di un ettilineo: se voglio che non cd di lto, il oento dell nole ispetto l M dev essee nullo, ffinché dll legge t = I isulti null l ccelezione ngole. Poiché in questo cso non occoe foz centipet, l sflto non esecit ttito sttico pependicolente ll velocità. L equilibio dell oto ente vnz si ottiene ntenendol in veticle: così l foz nole pss pe il M e non può fl uote ttono d esso. () Qundo pecoio un cuv, cope necessiente l foz di ttito sttico f pependicole ll velocità, che fonisce l foz centipet. desso è quest S foz oizzontle che, copost vettoilente con l nole, non deve f uote l oto ttono l suo M. L isultnte N + f dell nole e dell ttito, coposte S con il etodo di punt cod fo, col teeno, un ngolo J tle che tn J = N / f s. Se cecssio di tenee l oto in veticle coe pi, quest isultnte non psseebbe più pe il M dell oto. Pe nnulle il oento delle foze estene ispetto l M dobbio llo incline l oto popio dell ngolo J fintnto ché il suo M si pot lungo l ett di zione di N + fs. Si noti che bbio pplicto il gionento d un sse oizzontle pe il M, peché isult cetente pllelo qulunque sse di otzione, non veo potuto ppliclo d un sse pe il punto di conttto, che non essendo un sse di otzione non ette l legge t = I. Quli popietà h l velocità in un oto di otolento puo su un pino? onsideio un oggetto sezione cicole: potà essee un cilindo, un nello, un sfe oppue un fo più copless coe un occhetto, e ponio che si uov di otolento puo, cioè senz stisciento. L oggetto và un sse centle di sieti pe il punto in figu, ed i punti conttto con il pino dove st otolndo sono su ciconfeenze uguli, tutte di ggio. Il otolento puo ichiede che il punto (od il segento) di conttto con il pino deve essee feo istnte pe istnte, ltienti il copo stiscieebbe. Pe cpie eglio pensio d un peieto cicole coe se fosse un poligono con infiniti lti: il confonto con il otolento di un figu vente degli spigoli f vedee che un punto di conttto con il pino, coe, h in ogni istnte velocità zeo. Petnto è possibile intepete il otolento coe un otzione ttono d un sse istntneo, cioè un sse conttto con il pino, feo, che peò cbi ogni oento. Si fcci ttenzione coe si intepetno le cuve cicoli in figu, peché vlgono esclusivente pe l istnte in cui il oto è stto pe così die fotogfto. I punti coe P e, e tutte le lte pticelle del copo, non seguono elente le tiettoie indicte, nell istnte successivo ll fotogfi snno sostituiti d lti punti dell oggetto, che ndnno d occupe le loo posizione. L visulizzzione popost, dell sse di otzione che cbi d un istnte ll lto, è uno stuento tetico che consente di clcole in odo seplice l velocità di qulunque punto del copo. Dett w l velocità ngole ttono ll sse istntneo di otzione, il cento dell ciconfeenz dell oggetto che otol si tov distnz dl punto di conttto, e quindi l su velocità sà w. Invece, un punto sul bodo coe P, và velocità w, tovndosi distnz dll sse istntneo di otzione: v = w v = w P 15

27 In genele, un punto distnz d dl conttto te, h velocità istntne d intensità v = wd, tngente ll ciconfeenz di cento e ggiod. ccnto ll intepetzione di un oto ttono d un sse istntneo, il otolento puo può nche esse visto coe l coposizione di un oto di otzione con velocità ngole w ttono ll sse di sieti pe, copost con un tslzione di quest sse velocità v. L condizione che il punto bbi in ogni istnte velocità null copot che in l velocità linee dovut ll otzione v = w si ugule ed oppost quell di tslzione v, cioè che w = v, e d un confonto con v = w si tov w = w, cioè l velocità ngole ttono ll sse di sieti pe è l stess con cui il copo uot ttono ll sse istntneo pe. Esecizi 36. Un tvol di legno poggi su di un cilindo di = 3. c, e lo spinge fcendolo otole oizzontlente senz stiscie. Spendo che l sse centle vnz con velocità v = 5. c/s, si clcoli l velocità dell tvol e l velocità ngole del cilindo. w v v visto coe otzione ttono ll' sse centle copost tslzione v v Poiché il punto dell tvol conttto con l soità del cilindo non st stiscindo, i due devono vee ugule velocità.pe le popietà del oto di otolento, l velocità del punto più lto è il doppio dell velocità del cento: v = v = ( 5.) c/s = 5. c/s L velocità ngole è legt ll intensità dell velocità v del cento del cilindo: w = v / = (5./ 3.) d/s =.833 d/s 37. ove l velocità ngole dell uot di un biciclett che st pocedendo 18. /s, e l velocità istntne del punto più in lto dell uot, spendo che esso dist d te.7. [: 51 d/s, 38 /s ] 38. Un otoino vnz 5. /s ed un punto sull uot, veticlente sop l cento e distnz d = 3. c d te, h velocità 7. /s. lcole l velocità ngole delle uote e il loo ggio. [: 3.3 d/s, 1.5 c ] 39. Un ss è ggncit un filo che pss pe l gol di un cucol ed è vvolto ttono d un occhetto cilindico di = 15. c. Spendo che d un ceto istnte st scendendo ll velocità di 45. c/s, clcole qunto vlgono, in quell istnte, l velocità ngole del occhetto e l velocità dell sse di sieti. [: 1.5 d/s,.5 c ] v d v Quli popietà h l ccelezione in un otolento puo? Indichio con l ss del copo che otol e con I il suo oento d inezi ispetto ll sse centle, e si il ggio dell ciconfeenz conttto col pino. oe bbio diostto pi, in un otolento puo l velocità ngole w è l stess, si isut ttono ll sse istntneo di conttto, si ttono ll sse centle. Poiché tle uguglinz vle istnte pe istnte, dovà essee l stess nche l pidità con cui w cbi nel tepo, e quindi nche l ccelezione ngole h lo stesso vloe ispetto questi due ssi. Se indichio con l ccelezione linee (con segno) con cui vnz l sse centle, il vloe è nche quello dell ccelezione tngenzile dell sse centle pe nel suo otolento intono ll sse istntneo pe. Dll elzione = = si h: = / Il segno positivo vle se un ccelezione linee nel veso del nosto ifeiento poduce un uento in senso ntioio dell velocità ngole. In figu, d esepio, isult che l uento di w podotto d è in senso oio quindi =- /. = w 153

28 x J g sin J g cosj N W f oe si clcol l ccelezione d otolento puo su un pino inclinto? pplichio l elzione ppen icvt l otolento lungo un pino inclinto di un ngolo J. Oientio veso il bsso le scisse, pllele l pino stesso, e si l coponente, con segno, dell ccelezione dell sse centle. onsideio che J qundo il copo scende è >, e d questo oto isult un velocità ngole w che cesce in veso ntioio, e quindi nche >. Petnto =+ /. Nel punto di conttto deve gie un foz d ttito sttico f S con diezione tle d ipedie d di stiscie lungo il pino. Scivio l legge pe i oenti t = I ttono ll sse di otzione, che coe bbio visto studindo il oto di otolento, è l line di conttto pe che vi vi si spost pllelente se stess. Nole e ttito hnno oento nullo peché l loo ett di zione pss pe l sse di otzione. Il peso W h bccio sin q e quindi oento g sin q, d cui: t = g sin J = I = I/ J g b t > ( ntioio) L sse di otzione pe non pss pe il M: il oento d inezi I ispetto ll sse è quindi legto d I M (vloi in tbell) dl teoe degli ssi plleli I = I + d M con d =. Sostituendo bbio l foul pe l ccelezione d otolento puo sul pino inclinto: g sin J g sin J = = I I + L foul chiente vle nche pe gli oggetti lnciti su pe il pino. Possio sostituie d I M pe esepio i oenti d inezi dell nello ( ), del cilindo ( / ) e dell sfe ( / 5). Si hnno ispettivente le te ccelezioni: 1 5 = sin = gsin J = nello ilindo 3 Sfe 7 g J M gsin J Poiché è 5 > > 1, vle l elzione: > >. Gicché tutti e te gli 7 3 Sfe ilindo nello oggetti ptono fei, in un ipotetic cos dll edesi ltezz giù pe uno stesso pino inclinto, tutte le sfee bttenno sepe tutti i cilindi, i quli loo volt bttenno sepe tutti gli nelli, e questo indipendenteente dlle sse. Inftti, l ggioe esistenz ll otzione che gli nelli hnno cus dell distibuzione dell ss più lontno dll sse di otzione li penlizz, fvoendo invece le sfee che hnno buon pte dell ss più vicino ll sse. Se scivolsseo senz otole l ccelezione sebbe quell dell pticell di ss lungo il pino inclinto, cioè = gsin J. Il suo vloe è ggioe di quello di qulunque oggetto che Sciv otoli. 3 Esecizi 4. Un uot di ggio =. c è fot d un nello di ss =. kg e te be lunghe qunto il dieto, di ss = 1.5 kg ciscun. lcole il oento d inezi dell uot (sevendosi dell tbell) e l ccelezione che cquist su un pino inclinto di un ngolo J = 3. B Il oento d inezi isultnte è l so di quello di un nello più quello di te be ispetto l cento, di lunghezz ciscun =. Dll tbell: B B B I = + 3 ( / 1) = + 3 (4 / 1) = ( + ) = = [. ( )] kg =.14 kg onsideto poi che l ss coplessiv dell uot è: = + 3 = ( ) kg = 6.5 kg B 154

29 Usndo l foul pe l ccelezione sul pino inclinto di un oggetto che otol, il cui ggio dell ciconfeenz conttto col pino si, isult: sin J 6.5. sin 3 = g = 9.81 /s = 3.19 /s + I Un pllin oogene di ss e ggio = 6. c viene lncit su pe un pino inclinto di J = 5coe in figu, con velocità inizile 4. /s. Spendo che si h otolento puo, clcole l ccelezione linee, quell ngole, e lo spzio pecoso sul pino pi di tone indieto. [: 5.8 /s,- 1.4 d/s,1.38 ] v 5 4. Uno yo-yo h l fo di un cilindo di ss e ggio = 5. c e scende veso il bsso ente il filo si sotol. Si ossevi che i punti dello yo-yo conttto con l esteo del filo sono sepe fei, essendo feo. lcole l ccelezione con cui scende lo yo-yo e l su ccelezione ngole. [: 6.54 /s,131 d/s ] 43. Si considei un cilindo di ss e ggio che otol sul pino inclinto, coe l situzione studit nel testo. Si pplichi legge di otzione del copo igido stvolt d un sse pe il M pllelo quello pe. Si egugli il vloe dell ccelezione così tovto con quello del testo, icvndo l foz di ttito. [:(1/ 3) g sin J ] t = f > S ( ntioio) f 6. Gvitzione univesle e obite cicoli Nell stess ope scientific in cui sono foulti i te pincipi dell dinic, Philosòphie Nulis Pincipi Mthetic (1687), Isc Newton si occup dello studio del oto obitle dei pineti. Lo scienzito inglese diost pe l pi volt nell stoi che un tiettoi cuv coe quell fo di ellisse (seguit dll Lun intono ll e oppue di pineti intono l Sole), è spiegbile con l zione di un foz F G che tti il pinet sepe veso uno stesso punto, quindi un foz centipet. L gnde intuizione di Newton fu poi cpie che l ntu di quest foz centipet è l stess del peso g che sull supeficie dell e tte gli oggetti in diezione del cento del pinet. oe tutte le foze, nche F ispett l tez legge G dell dinic, quindi si ttt di un intezione f due copi: l e tti l Lun con un foz F e l Lun tti l e con un foz G -F. Questo nuovo odo G di vedee le cose ppesentò d un lto l pi gnde unificzione scientific di due fenoeni ppenteente distinti (il peso sull supeficie dell e e il oto obitle del nosto stellite), dll lto fu un significtivo blzo in vnti nell copensione del ondo, specie se confontto con il punto di vist istotelico pe il qule il peso degli oggetti e dovuto ll ntule tendenz che questi vevno icongiungesi l luogo dell loo oigine, che e consideto il cento del pinet. v v -F G F G v M che cos ipedisce ll Lun di cdee sull e? L sopendente ispost di Newton è che l Lun cde sull e, vi cde continuente, così coe vi cdono tutti i stelliti tificili in obit ttono l pinet. Un oggetto in obit tende cdee in ogni istnte veso il cento dell e, tuttvi il teeno, pe così die, gli scpp vi d sotto esttente con lo stesso psso, quindi non iesce i d vvicinsi ll supeficie. L figu lto, ttt popio di Pincipi di Newton illust in che senso un oto obitle poss essee visto coe situzione liite di un lncio oizzontle. Fisst l quot, l cescee dell velocità inizi- 155

30 le uent l gittt e con ess si llg l cuvtu dell tiettoi. Qundo l cuvtu iv seguie quell dell e, il poiettile ent in obit. F 1 he cos dice l legge dell gvitzione univesle? Newton h diostto, e l espeienz, nei secoli successivi, confeto con le ossevzioni, che il oto obitle si può spiege se qulunque coppi di copi si tte ecipocente con un foz dett gvitzionle, l cui intensità è tnto ggioe qunto più le sse sono vicine, e tnto ggioe qunto ggioe è il vloe dell ss di ciscuno di essi. Nel cso pticole in cui le due sse sino puntifoi coe le ed in figu, quest foz ttttiv è diett lungo l ett congiungente i due copi, ed h un intensità invesente popozionle l qudto dell 1 loo distnz, e diettente popozionle l podotto 1 delle due sse. Indichio con F l intensità di tle foz ttttiv ecipoc, ugule su entbe le sse, e col sibolo G l costnte di popozionlità, si G h: F = G G 1 1 F he elzione esiste f l foz F e l foz F in figu? 1 1 Se indichio con F l foz che gisce su d ope di, e conf l foz che gisce su subisce d ope di, indipendenteente dl ftto che le due sse sino diffeenti od uguli, il pincipio di zione e ezione ipone che si bbi sepe 1 F =-F. Inftti, nell foulzione tetic dell legge di gvitzione, F ppesent indiffeenteente si F che F. 1 1 G Qunto vle l costnte G? Nel Siste Intenzionle, dove ed sono in kilogi, ente e F 1 G espessi ispettivente in eti e newton, l costnte fondentle G vle : sono G = N kg Le unità di isu di G sono quelle che occoono ffinché il pio ebo dell legge di gvitzione isulti in newton, cioè: N kg - [ ] = [ G ][ ] [ ]. Ossevio che G è un fttoe di popozionlità così piccolo che pe podue foze gvitzionli dell odine di qulche newton sevono sse enoi, coe quell di un pinet. Esecizi 44. lcole l foz gvitzionle con cui si ttggono due sse puntifoi di 1 kg ciscun, poste ll distnz di FG = G = N = N 1. Un foz, coe si vede, infeioe l ilionesio di Newton. : ttzione gvitzionle f oggetti estesi pincipio di sovpposizione bi qulcos se le sse non sono puntifoi estese? Quest espessione tetic dell legge dell gvitzione univesle, vle esclusivente pe oggetti ssiilbili dei punti. Un oggetto igoosente puntifoe è un entità solo teoic: nell ptic si consideno puntifoi oggetti in cui l distnz coinvolt nell legge di gvitzione si olto gnde ispetto lle loo diensioni tsvesli (leno un odine di gndezz, cioè dieci volte più gnde). In questo senso nche un 156

31 stell può essee considet puntifoe se le sue diensioni sono ppotte lle distnze inteplnetie. Se peò le sse non sono puntifoi, dobbio iginle scoposte in pozioni piccolissie ispetto ll loo estensione, e soe vettoilente gli effetti dell legge di gvitzione f tutte le possibili coppie di punti. Inftti, l espeienz ost che vle il pincipio di sovpposizione, pe il qule l foz con cui integisce ciscun coppi è l stess che si vebbe se tutte le lte coppie non esistesseo. E qundo le sse estese hnno fo sfeic? In cso di sse entbe sfeiche, coe ppossitivente sono e e Lun, oppue di un gnde ss sfeic e un puntifoe, co è il cso di un copo sull supeficie di un pinet, il clcolo descitto sop si seplific notevolente. Se bbio un copo puntifoe su un sfe, l sfe può essee scopost in coppie di punti, sietiche ispetto ll ett che unisce il copo col cento, ed ll stess distnz dl copo tttto: d esepio 1 e, oppue 3 e 4 in figu. L sieti f sì che isultnte di ciscun coppi punti sepe veso il cento dell sfe. nlogente nche l so di tutte le isultnti sà diett veso il cento dell sfe, e così possio utilizze l foul dell gvitzione iginndo d esepio che l ss di un pinet si tutt concentt nel suo cento. Se entbe le sse sono sfeiche, coe d esepio l e e l Lun, possio petnto use l foul ptto che ppesenti l distnz f i centi 5. Qundo lscio cdee un el dll lto, l foz che l e esecit sull el può essee clcolt inseendo nell foul pe l gvitzione univesle l distnz dl cento del pinet. Pe l tez legge dell dinic, l foz dell e sull el h l stess intensità dell foz che l el esecit sull e, tuttvi, essendo l ss dell el olto più piccol, l su ccelezione è olto ggioe ispetto quell che subisce il pinet e quindi è l piet uovesi veso il cento dell e e non viceves 6 : F F G G = = piet he elzione c è con l foz peso espess nell fo g? Sull supeficie del pinet l distnz dl cento dell e è sepe costnte, e pi l suo ggio = Si può clcole, un sol volt pe tutti gli oggetti, il vloe dell ccelezione dovut ll gvità sull supeficie teeste, peché l foz di g- vità dipende nch ess dll ss e quest si seplific nell second legge dell dinic pplict lungo l diezione in cui si h cento dell e. Pe un oggetto in cdut 4 libe, spendo che M = kg isult: piet F G -F G M y F 1 F y M F = -G Gy y = y = /s =-9.81/s 6 ( ) Si ottiene il noto vloe g = 9.81 /s. Questo clcolo peette di cpie peché tutti gli oggetti, di ggioe o inoe ss, cceleno con l stess intensità veso il bsso. Inftti, poiché F è popozionle, i copi più ssicci subiscono un foz ggioe G ispetto quelli eno ssicci. uttvi i copi di ss ggioe hnno nche bisogno di un foz ggioe pe ccelee, dto che è popozionle d pue l loo inezi, occi petolio sche di pincipio pe un pp gvitzionle 5 V detto nche che nel oento stesso in cui ssuio che le sse sino puntifoi, e che tutte le loo popietà possno essee individute d un gndezz scle, nche solo d otivi di sieti si potebbe dedue che l loo intezione deve essee diett lungo l congiungente, in qunto in uno spzio vuoto con le sole due sse in studio, non si potebbe definie nessun lt diezione in odo univoco. 6 In eltà cceleno entbe, in isu olto dives, veso il cento di ss del siste che costituiscono. 157

32 cioè l tendenz esistee ll zione di un foz (è il secondo ebo dell legge F = ). Detto divesente: ci vuole più foz pe ccelee di /s 9.81 un oggetto ssiccio che uno di piccol ss. Mpp gvitzionle del ctee nello Yuctn, dovuto ll steoide che estinse i dinosui. L zon centle in gdzione dives indic un gvità più bss ispetto lle occe cicostnti, do- vut i sedienti leggei. ( fonte : NS ) he cos è un pp gvitzionle? Nelle egioni del pinet dove l distibuzione dell ss non è pefett sieti sfeic, l isultnte non sà esttente diett veso il cento dell e, subià piccoli scostenti. Questo ccde vicino lle gndi ontgne, oppue qundo si hnno cvità sottenee ntuli che cchiudono un giciento petolifeo o di gs. Un isu ccut dell vizione dell diezione dell foz di gvità ispetto l cento dell e peette di individue tli cvità, ed è dett pp gvitzionle. E con questo siste che d esepio si è scopet un cvità ipien di occe sedientie leggee nell penisol dello Yuctn in Messico, pobbilente dovut l ctee scvto dll steoide che 65 ilioni di nni f potò ll estinzione i dinosui. M d M L Esecizi 45. Si tovi qule distnz d dl cento dell e, un oggetto di ss è tito con egule intensità tnto dll foz di gvità teeste che d quell lune, essendo 8 = il ggio edio dell obit lune e M = kg. L Si h che l ss è tttt ispettivente dll e e dll Lun con foze l cui intensità si scive: M M L F = G F = G d L ( - d ) Uguglindo e seplificndo si ottiene: L L G M d M L = G ( -d) L ( - d) M = d M L L Nell ultio pssggio si è potut este l dice di bo i ebi essendo positive tutte le quntità pesenti (inftti - d > ). Ossevio in pticole che il isultto non dipende dll ss dell oggetto. isolvendo: L d = L = =.9 = = L L L oe si vede il punto in questione dist dll e 9/1 dell distnz e-lun. F G he succede ll ccelezione di gvità slendo di quot? Il denointoe è inceentto del vloe dell quot, il che f diinuie l ccelezione di gvità. d esepio in ci ll Eveest si h: g g Eveest = /s = 9.78 /s 6 ( ) e ente sull stzione spzile intenzionle, obitnte d un ltezz di cic g k = /s = 8.93 /s ( ) 3 k : oe si vede l diinuzione dell ccelezione di gvità in un obit bss coe quell 3 k è dell odine del dieci pe cento. L condizione di ssenz di peso degli stonuti non è quindi iputbile questo, (inftti, l gvità è ben pesente 158

33 quell ltezz 7 e fonisce l necessi foz centipet!), l ftto che il loo oto è ssiilbile d un oto di cdut libe, e non pecepiscono il peso peché non c è un supeficie sull qule si ppoggino d esecite un foz nole su di loo. Essi sono in un condizione del tutto nlog quell di chi si tovsse ll inteno di un scensoe cui venisseo tglite le funi e pecipitsse. he succede ll ccelezione di gvità se cbi l ss del pinet? Genelizzndo i clcoli pecedenti, si h che l ccelezione di gvità g sull supeficie P di un pinet di ss M e ggio è dt d: P P g P M = G P P Un dicle diinuzione dell ss in un pinet di diensioni confontbili con l e copot petnto un diinuzione del vloe dell ccelezione dovut ll gvità sull supeficie, d esepio: g Mte g Lun é ù = /s 6 êë (3.4 1 ) úû = 3.7 /s é ù = /s 3 êë (17 1 ) úû = 1.6 /s Quindi, sull Lun un uoo di ss 1 kg è tttto con un foz di 16 N, cioè quell foz con cui l e tti un ss di 16.5 kg. Lo stesso uoo sull supeficie di Mte è tttto con un foz di 373 N, vle die quell con cui l e tti un ss di 38 kg. uttvi non v dienticto che l foz gvitzionle decesce con l inveso del qudto dell distnz dl cento, petnto sull supeficie di un pint coe Stuno, che h un ss qusi cento volte quell teeste un ggio edio dieci volte più esteso, si ottiene un ccelezione di gvità pgonbile ll nost: g Stuno é ù = /s 1.5 /s 3 = êë (6 1 ) úû 11 In tbell i vloi igudnti i pincipli copi del siste sole. Mss kg [ ] equtoile k [ ] g [ /s ] Mecuio Venee e Lun Mte Giove Stuno Uno Nettuno Plutone Sole Si pensi che l gvità è nco olto fote ll distnz dell Lun, cic 4 k, tnto d ntenel in obit. 159

34 oe cbi il peiodo di un pendolo se ci si spost su lti pineti? L elzione f i peiodi dipende dl vloe dell ccelezione di gvità in supeficie, che l legge di gvitzione univesle pevede essee diettente popozionle ll ss del pinet ed invesente popozionle l qudto del suo ggio 8. Petnto i peiodi di uno stesso pendolo isuti sul pinet e sul pinet B stnno f loo nel ppoto: p L/ g B B / B B = = = = B p L/ gb M/ B g M M g M o 6 Esecizi 46. Sull supeficie di Mte un oggetto lncito veticlente con velocità inizile v = 1 /s ggiunge un ltezz h = 134. Spendo che il ggio di Mte isu = si clcoli l ss di Mte. M oe sppio l ssi ltezz h ggiungibile d un oggetto lncito veticlente con velocità inizile v v è dt dll elzione: h =, dove g g M è l ccelezione di gvità sull supeficie del pinet, in questo cso Mte. lco- v 1 lio g invetendo l foul: M g = = /s = 3.7 /s. M h 134 Invetendo l elzione che peette di tove l ccelezione di gvità sull supeficie di un pinet si ottiene l ss del pinet: GM g 1 M M M g = M = = kg = kg M M G M 51. Un oll ed un pendolo che sull e hnno lo stesso peiodo, ntengono tle 1 elzione se spostti sull Lun, dove g L = 6 g? Di qule pecentule dovebbe essee vit l ss d ttcce ll oll ffinché i due oscilltoi ingno in sinconi? E di qule pecentule doveo invece vie l lunghezz del filo? [: 5%, 83.3% ] 5. Spendo che l ss dell Lun è cic 1/81 dell ss teeste, si dic in che ppoto stnno le oscillzioni di uno stesso pendolo sull e e sull Lun e le ispettive ccelezioni di gvità. Si suppong un densità ugule e costnte nei due copi celesti. Si confontino i vloi così tovti con quelli elente isuti: g 6g e Il cpitno Polipox tte su di un lontno pinet di ggio = 75 k e decide di isune l ss fcendo oscille un pendolo seplice sull supeficie. Se il filo del pendolo è lungo L = 8. c e si ossevno 6 oscillzioni 3. s, iutte il cpitno clcole l ss del pinet. [: kg ] M L L 6 [] Peché l gvità è sepe null ll inteno di un guscio sfeico? Un delle scopete più sopendenti di Newton è che l ttzione gvitzionle delle peti di un guscio sfeico su un ss l suo inteno è null. Pe cpie consideio un ss puntifoe ll inteno di un guscio spesso d e fccio ptie d ess un doppio cono. Il cono intecett sepe due clotte del guscio, che hnno in genele diffeente supeficie. Si può dioste che le due pozioni di guscio così ottenute ttino l ss con foze di ugule intensità opposte. Il otivo è che l ss dell pozio icodio inftti che si h g = GM /, con G = N / kg. 16

35 ne di guscio individut cesce con il qudto dell distnz d, copensndo così l indeboliento dell foz gvitzionle, dove denointoe cesce nch esso col qudto dell distnz. oe si diost che le due foze hnno ugule intensità? Ponio che l petu (in dinti) dei due coni si così stett d pote ppossiio l pozione di guscio con un dischetto tnto piccolo d pote descivee l ttzione gvitzionle su con l foul pe le coppie di sse puntifoi: F = G /, F = G /. Le sse ed dei dischetti sono diettente popozionli lle supefici di bse, loo volt popozionli i qudti dei dieti B B B B B ed B. Petnto le sse dei due dischi sono popozionli i qudti, B delle distnze d, e così nche l foz di ttzione gvitzionle che esecitno su, che h o l nuetoe, uent col qudto dell distnz. M è veo B pue che l foz gvitzionle su diinuisce col qudto dell distnz dll ss che esecit l foz. Questi due effetti si bilncino esttente e le foze sono sepe uguli ed opposte, poducendo un isultnte null su. Il gionento si ipete pe qulunque coppi di coni con vetici coincidenti: il ftto che lcuni di questi coni vnno F = G le bsi non pependicoli ll supeficie ltele non lte l nost conclusione. Un isultto di geoeti ssicu che gli ngoli foti dlle peti del doppio cono con le b- si su di un sfe sono gli stessi d bo le pti, e quindi l effetto dell inclinzione sà lo stesso d entbe le pti. d B B B d f cescee l foz con f diinuie l foz con L gvità in fondo d un inie coe cbi ispetto ll supeficie? Se scvio un buco nel pinet e vi scendio dento, secondo qunto diostto, il guscio di teile che ci lscio lle splle non esecit su di noi lcun ttzione, il nosto peso sà tutto dovuto solo ll sfe che inizi sotto i nosti piedi. Se l e vesse densità costnte 9, llo l gvità diinuiebbe, inftti, detto il ggio di quest sfe, veo un vloe di g () tnto inoe qunto più piccolo è : 4 M () p 3 4 g () = G = G = Gp 3 In eltà peò, se toglio un guscio ll e, l su densità edi uent peché l cento il pinet pesent un nucleo di feo e nichel olto più ssiccio del esto, e coe isultto veo che d lcune pofondità il vloe di g è ggioe che in supeficie. 3 v O ipebole 7. Il oto obitle cicole he cos è un obit e che fo può vee? Si chi obit l tiettoi cuv che, nello spzio un copo descive ttono d un punto centle, sotto l sol zione dell foz gvitzionle. d esepio sono obite le tiettoie dei pineti e delle coete intono l cento del siste sole. Le obite possono essee si cuve chiuse, coe ellissi o ciconfeenze, si cuve pete coe pbole o ipeboli. Mente il copo tent di vnze in line ett, secondo il pincipio d inezi, l gvità lo ti veso il punto centle, dove è situto l oggetto ssiccio che esecit l foz ttttiv. Se l velocità del copo obitnte è sufficienteente elevt, l tiettoi s incuv veso il cento di ttzione, peò nc ciconfeenz ellisse pbol 9 È un ipotesi iele peché un sfe oogene delle diensioni di un pinet non potebbe essee stbile densità costnte. 161

36 F G y v O l iptto con esso e gli gi intono, continundo indefinitente cdee. Il cnnone di Newton che bbio pi esinto è un espeiento concettule che peette di cpie il fenoeno dell obit. Ponendo che tle cnnone iginio bbstnz in lto d supee l tosfe teeste (che ostcoleebbe il lncio pe il pincipio di zione e ezione) se ipiio bbstnz velocità l tiettoi del poiettile s incuv llo stesso psso cui s incuv l supeficie dell e, e così il copo ent in un continu cdut libe, senz i ggiungee il suolo, che lettelente gli sfugge di sotto. i concenteeo o sull dinic delle obite cicoli, che sono le più seplici e peettono di studie il oto dei stelliti intono ll e. I pineti del siste sole, invece, non descivono obite cicoli, fo di ellisse, tuttvi, llo scopo di cpie i fenoeni fisici fondentli, non si coette un gnde eoe si consideno ciconfeenze. F F v O M necessi v O M G fonit L ontofisic Se quindi un stonut in obit vede un stellite in obit un chiloeto sop ll su test, quest posizione ecipoc è destint cbie gicché il stellite esteà indieto ispetto ll stonut cus dell diffeente velocità obitle. on qule velocità può essee pecos un obit cicole? E iedito endesi conto che non è possibile pecoee un obit ll velocità che si deside, che piuttosto quest è già stbilit dll ltezz ll qule si vuole fisse l obit. Lungo l diezione dile istntne si h, inftti, che l foz di gvità fonisce l foz centipet necessi. Poiché l gvità diinuisce con l ltezz, diinuià nche l foz centipet che ess può fonie, e quindi, con l ltezz decesce pue l velocità obitle v o. In un ifeiento con l sse dile uscente dl cento dell e si h: foz M G gvitzionle =- v = o =- GM v o foz = centipet Quest elzione espie l velocità obitle 1 v o con l qule l tiettoi deve essee pecos se si vuole che ing stbile, cioè l velocità cui nde se si vuole che l foz di gvità fonisc popio il vloe dell foz centipet necessi pecoee quell ciconfeenz. Ossevio che: L pesenz di l denointoe indic che l velocità obitle decesce con l ltezz d te: le obite più sono estene più sono lente. L velocità obitle non dipende dll ss, e pe questo otivo d esepio un stzione spzile e gli stonuti l suo inteno, possono seguie l stess obit pue se hnno sse olto diffeenti f loo. oe si clcol il peiodo di un obit cicole? Si chi peiodo il tepo che occoe descivee un obit coplet. Moltiplicndo l velocità obitle v o pe il peiodo si ottiene lo spzio totle p pecoso in un obit, cioè v = p o. icvio d quest elzione v = p/ o ed inseiolo nell espessione dell foz centipet: foz 4p = v = = w centipet o Nell ultio pssggio bbio sfuttto le elzioni pe l velocità ngole w = p/ e v = w. Iponio che l gvitzione fonisc l necessi foz centipet: o 1 Dett nche velocità keplein. 16

37 GM 3 3 4p GM = = p = = costnte GM 4p L ulti elzione è dett legge di Kepleo dei peiodi 11 pe il oto obitle. In tbell bbio peiodo e velocità obitle dei pincipli copi del siste sole Pe i copi in obit intono l Sole Si ossevi il diinuie dell velocità obitle e l uente peiodo l cescee del ggio edio. edio obit [ k] [ nni] v o [ k/s] Mecuio Venee e Mte Giove Stuno Uno Nettuno Plutone Sole (ispetto l cento glttico) Lun (ispetto ll e) gioni 1. he tipo di obite si hnno in un siste binio? Pe siste binio s intende quello foto d due copi di ss qusi dell stess entità, d esepio due stelle, che si ttggono tite l sol gvità. onsideio qui soltnto il cso seplice in cui l distnz d f loo non cbi i: in tl cso l unico oto possibile è quello di obite, con lo stesso peiodo e l stess velocità ngole w lungo due ciconfeenze di cento coune sull ett che li unisce, ed i ggi 1, tli che + = d. L foz centipet w che esecit su dev essee ugule e oppost quell w che esecit su. Possio llo icve ed : 1 w = w = bbio ottenuto l elzione che definisce il cento di ss di due sse puntifoi distnz d. I due copi si tovenno llo sepe d pti opposte ispetto l coune cento di otzione, che è il M del siste, che coe sppio è più vicino l copo di ss ggioe. L foz centipet, ugule pe i due copi, coe sppio è fonit dll ttzione gvitzionle G / d. Uguglindo si h: 1 che ddizionte dnno: 1 G 1 w = 1 d w G ( + ) 1 ( + ) = 1 d G w = 1 d L ontofisic Il ppoto 3: f l esponente del ggio e quello del peiodo di ivoluzione, fu intuito d Kepleo, olte che dlle ossevzioni, bsndosi sull conoscenz islente ll scuol pitgoic, che due code tese le cui lunghezze sono nel ppoto 3: poducevno suoni olto onici f di loo, e ssi gdevoli se eessi insiee. Questo ppoto è chito un quint (d esepio f le note DO e SOL): Kepleo pensv che i pineti si uovesseo in ppoti onici coe legti l Sole d code invisibili, e pubblico i suoi isultti nel 1619 in un ope scientific che lsci tspie quest ide sin dl titolo: Honices Mundi. L ontofisic L ggionz delle stelle nell nost glssi h leno un copgn e fo con ess un siste binio: il Sole costituisce un eccezione. 1 L ontofisic Nel cso di un siste binio, le foze di gvità uguli e contie che giscono, sono entbe centipete dto che tutti e due i copi descivono tiettoie cicoli (od ellittiche) con cento coune, quindi qui doveo ple di si di zione centipet che di ezione centipet. F 1 M F M 11 O nche tez legge di Kepleo. L ppofondieo eglio qundo ffonteeo il oto obitle ellittico, nel cpitolo dedicto i pincipi di consevzione. 163

38 e sostituendo 1 + = d possio isolvee pe = pw / ed vee il peiodo: L ontofisic I stelliti tificili sono usti nelle telecouniczioni, pe l eteoologi, pe l nvigzione o pe ileve infozioni, e si dividono in equtoili e poli. F i pii vi sono i geostzioni, dll cui ltezz si vede il 43% del globo, pi d un ngolo visule di 17. Sono indispensbili nelle telecouniczioni peché fissi in un punto sop l pinet, pe l loo gnde distnz possono ccogliee solo igini di bss isoluzione. I stelliti che pssno sop i poli hnno in genee un obit bss, 4-1k, e fnno 14 obite l giono. Il costo pe etteli in obit è più contenuto e le igini che ccolgono sono più definite. uttvi l loo obit du cic 9 inuti e pssno sop d un e del pinet solo due volte l giono pe bevi ttti. Molto noto è il stellite pole Hubble, dedicto ll stonoi ottic, d un obit di 8k. = p d 3 G ( + ) 1 Qunto deve essee lt coe iino un obit? Se non vi fosse l tosfe, e l e fosse un sfe dll supeficie lisci, sebbe possibile un obit nche l livello del e. uttvi il ftto di dove sposte l i pe uovesi iplic, pe l tez legge di Newton, che l i eseciti un foz ugule e conti, llentndo così il oto, ed ipedendo l stbilità dto che l velocità obitle deve este costnte. Petnto l obit più bss possibile si h ll quot in cui l i è sufficienteente eftt d non ostcole il oto: sono cic 15 k. Gli shuttle pecoono obite con = 5 k ll velocità di cic 8 k/s e = 1h 3in, i stelliti GPS obite con = k e = 1h. E inolte possibile che un obit si geosincon, cioè tle 4 che il suo peiodo dui esttente un giono. Sostituendo = 4h = s si ottiene: 3 æ 1 ö = ç GM = h = - = çè p ø ( ) k quell ltezz l velocità obitle è cic 3.1 k/s. Se poi l obit geosincon vviene nel pino che contiene l equtoe, e nello stesso veso di otzione dell e, si dice geostzioni. Un stellite pe telecouniczioni segue tle obit, in odo d ntenesi sepe sop d uno stesso punto sull supeficie dell equtoe teeste 1. d h 45 Qunto sono efficci i stelliti spi? I stelliti spi devono pecoee obite bsse pe vee isoluzione sufficiente distinguee oggetti vicini. L elevt velocità che le obite bsse ichiedono, f si che il tepo di tnsito sop ll obiettivo si veente beve. on ifeiento ll figu, ssuendo che l ossevzione si possibile d un ngolo l ssio di 45, si h d h, e se l ltezz è l tipic dei stelliti spi, h = 3 k, il tepo di penenz sop ll obiettivo in un pssggio con v» 8 k/s sà [(3 ) / 8] s cioè dell odine del inuto. Pe di più l o successiv obit non ipsseà esttente sop ll obiettivo peché l e sotto h uotto con velocità diffeente dl stellite e si dovnno ttendee nueose obite pe un nuovo tnsito. B 1 oe funzion il siste GPS? Il siste di posizionento globle (Globl Positioning Syste) si vvle di un icevitoe ed un ete di 4 stelliti posti quot, con un peiodo obitle di 1 h. Il nosto ppecchio è solo icevitoe, non invi lcun segnle i stelliti, che quindi neppue snno dell nost esistenz. Essi invino il segnle dell loo posizione in ogni istnte: bstno te di questi segnli pe pote individue con cetezz l nost posizione sul pinet. Pe cpie ifeioci d un pino e supponio di icevee l posizione del stellite insiee l tepo in cui il segnle è stto invito. Dll velocità dell luce, ll qule viggino le onde dio, icvio l nost distnz d. Questo peette di concludee che ci tovio su di un ciconfeenz (nello spzio un sfe) centt in, di ggio pi ll distnz icvt. onteponeente icevio il segnle dl stellite B, e quindi doveo ste pue lungo un ciconfeenz di cento B e ggio tovto con lo stesso siste. Questo iduce l nost possibile posizione solo i punti 1 e in figu. L icezione di un tezo segnle peette infine di stbilie che l nost posizione è l 1, peché dobbio pptenee pue d un tez ciconfeenz con cento in. 1 Il che peette fcilente di individue il sud in un gnde città euope, sepliceente ossevndo l diezione veso l qule puntno le ntenne pboliche televisive pe icevee il segnle stellite. 164

39 Esecizi 46. L obit del pinet Nettuno può ppossitivente essee considet un ciconfeenz. Spendo che Nettuno dist dl Sole cic 3 volte qunto dist l e, si clcoli qunti nni gli occoono pe coplete un ivoluzione. Possio ispondee utilizzndo l tez legge di Kepleo pe il oto obitle: 3 3 N = = costnte N Le infozioni del testo possono essee espesse scivendo che = 3. Sostituendo: = N N N = = = ed essendo = 1nno si h = 164 nni. N N L ontofisic ipov che le obite estene sono le più lente, si confonti l velocità obitle di 8k/s ctteistic dei stelliti tificili più bssi (-3k), con l velocità obitle di 1k/s dell Lun (4k cic). 47. Le ossevzioni ostno che l Lun ipieg 7g7h43 in pe un ivoluzione coplet ttono ll e (ivoluzione sidele). ssuendo che l obit si cicole e che M = kg clcole l distnz edi dell e dl nosto stellite e L l ccelezione centipet dell Lun. [: 383 k, /s ] Un stellite descive un obit cicole ttono ll e d un distnz di 5 k dll su supeficie, ipiegndo 94.6 in. ove l fequenz di otzione del stellite (nueo di gii ogni secondo), l su velocità obitle e l ccelezione centipet. Moste quindi che l ccelezione centipet è ugule ll ccelezione dovut ll gvità teeste. [: Hz, /s, 8.41/s ] L stonve Entepise si posizion in obit (geo)stzioni ttono l pinet Klingon, d un distnz di 7. 1 k dll supeficie, copiendo un ivoluzione in due gioni teesti. Il cpitno Picd chiede l tenente condnte Dt qule si l ss di Klingon, un tepest gnetic h cncellto pzilente i dti e isult 4 K disponibile solo il ggio = 1. 1 k. iutte Dt clcole l ss del pinet. [: kg ] 5. Si dice punto lgngino L1 un posizione f l e e l Lun che bbi lo stesso peiodo dell Lun. Se considessio solo l gvità teeste, un punto più vicino dell Lun non potebbe i soddisfe questo equisito, peché dovebbe seguie l su obit più veloceente dell Lun. uttvi l gvità lune equilib pte dell gvità teeste endendo il fenoeno possibile. Si iposti l equzione che peette di tove il ggio dell obit del punto L1. [] 4 L1 L he cos è un disco di ccesciento? In un siste di due copi celesti, esiste sepe un punto lungo l congiungente i centi, dove le ttzioni gvitzionli ecipoche si bilncino. Esso si tov più vicino l cento del copo di ss ggioe: ne bbino clcolto l posizione nel cso di e e Lun. Nei sistei di stelle doppie, può cpite che i due sti sino così vicini che questo punto (contssegnto con x in figu) viene cdee ll inteno dell stell più voluinos. ccde llo che l tei stelle che si tov più distnte dl cento dell sto ispetto tle punto, veng pelevt e tspott veso l lt stell. Ess segue un pecoso spile, detto disco di ccesciento, lungo il qule spesso si iscld olto, uentndo pogessivente l ss dell stell icevente. Se quest ulti è un nn binc, cioè un stell che h copletto il ciclo di fusione nuclee, il continuo flusso di tei l fà cescee finché non supeeà il liite ssio consentito pe le nne binc, cioè 1.4 volte l ss del Sole, ggiunto il qule và luogo un esplosione, chit supenov I. disco di ccesciento 165

40 8. L effetto oiolis e le foze ppenti Pendio o in ese i ifeienti otnti, che non essendo in oto ettilineo unifoe non sono inezili, e cioè un copo posto in essi può subie un vizione di velocità nche senz essee sottoposto ll zione di un foz. L esepio più foso è l effetto centifugo già esinto, cioè l senszione di essee spinti lontno dll sse di otzione. Un secondo fenoeno che h luogo nei ifeienti otnti è noto coe effetto oiolis, e che, diffeenz dell effetto centifugo che igud tutti i copi del siste otnte, ctteizz soltnto gli oggetti in oviento: Effetto oiolis Un copo che si uove in un siste di ifeiento otnte speient un continu devizione dell tiettoi in diezione sepe pependicole ll popi velocità istntne, isut nel siste otnte k/ h 1466k/ h 167k/ h he cos dà oigine ll effetto oiolis? Pe cpie consideio un pitto che gi e un pllin ppoggit, e ponio che l ttito sttico (ssio) l teng fe in un punto f cento e bodo. Vist d un ossevtoe solidle l pitto che uot, l pllin ppe vee velocità zeo in qulunque diezione. Iginio o di sposte l pllin veso il cento: cos ccdà? I punti del pitto uotno tnto più pidente qunto più sono esteni: inftti devono descivee ciconfeenze sepe più gndi nello stesso intevllo di tepo. Quest popietà pe cui i punti vnno tnto più veloce qunto più distno dll sse di otzione è dett otzione di copo igido. vvicinndo l pllin ll sse di otzione, pe il pincipio di indipendenz dei oti pependicoli, non odifichio l velocità tngenzile fonio l blocchetto un oto dile. Petnto l pllin ntiene l velocità di otzione che vev nell posizione inizile, e si tov così vole uote più pidente ispetto i punti del pitto su cui poggi, che seguono l otzione di copo igido. L conseguenz di questo è che un ossevtoe solidle l pitto vede l pllin ccelee nell diezione del oto di otzione, popio coe se ci fosse qulcuno d esecite un foz pependicolente ll su velocità dile. Se viceves llontnio l pllin dll sse, quest si tov d vee un velocità inoe ispetto i punti del pitto sul qule poggi, e quindi tende este indieto nel oto di otzione, coe se qulcos l fensse pependicolente ll su velocità dile. Se infine spingio l pllin nel veso dell otzione, quest si uove più veloceente di pi ttono ll sse e quindi pe ntenel su quell tiettoi cicole occoe un ggioe foz centipet. Se l ttito sttico non ce l f fonie tle foz ggiuntiv, l pllin si spost veso l esteno dove occoe eno foz centipet gzie ggio ggio, e pe un ossevtoe ggncito l pitto che uot tutto v coe se vesse gito un foz pependicolente ll velocità tngenzile dell pllin. lt bss lt Quli sono le conseguenze sul cli teeste dell effetto oiolis? L effetto oiolis può essee ossevto sull supeficie di un pinet, peché qui l velocità di otzione diinuisce gdulente ndndo dll equtoe, che è più lontno dll sse di otzione, veso egioni d lte ltitudini (i poli), più vicine ll sse, con vloi coe in figu. In pticole l effetto oiolis gisce sull diezione di spostento delle gndi coenti oceniche e svolge un ipotnte uolo nel oto dei venti. Qundo vi sono due egioni dell e dove i ggi del Sole iscldno diffeenteente le sse di i 13, si ceno zone cosiddette di lt pessione (i cld) e bss pessione (i fedd). L lt pessione spinge l i in diezione 13 Pe vi otivi d esepio l dives inclinzione dei ggi stessi, che ll equtoe sono pependicoli l teeno, e vi vi si fnno più denti i poli. 166

41 delle zone di bss pessione, tuttvi se queste si tovno ltitudini dove l velocità di otzione del pinet è dives, il vento viene devito ltelente, cioè subisce un spint pependicole ll su velocità cus dell effetto oiolis. Nel nosto eisfeo (detto boele), l i che si uove dll equtoe veso nod viene devit in diezione ovest, e l i che si uove d nod veso l equtoe in diezione est, quindi sepe dest ispetto ll velocità. Nell eisfeo ustle invece, lo spostento è sepe sinist ispetto ll velocità. Il isultto di quest deflessione è che il vento nziché pocedee veso le egioni di bss pessione finisce pe cicole intono d esse, cendo quello che viene detto un ciclone. Il pocesso che in ssenz dell otzione teeste vebbe peggito pidente l diffeenz di pessione diviene così olto lungo e le egioni di bss pessione sono pesistenti, con l effetto di pote pioggi nche lontno dgli oceni, fino lle lte ltitudini, endendo in tl odo tepete e fetili zone che ltienti sebbeo ssi più fedde. L effetto è così cto che l diezione in cui soffino i venti iv essee lungo delle linee dove l pessione è costnte (dette isòbe), nziché pependicolente d esse coe ci si spetteebbe. Ugno nell' eisfeo boele fo di spile logitic ( US gency fo Intentionl Developent ) he cos sono le foze ppenti? L effetto oiolis seb il isultto dell zione di un foz, gicché poduce un cbiento di diezione nell velocità del copo, e quindi un ccelezione. M coe insegn l tez legge dell dinic, pe qulunque foz, olte ll oggetto che l subisce, deve esseci un soggetto B che l esecit, e che su volt subisce un foz ugule e conti d ope di. Poiché non esiste lcun soggetto che esecit l foz di oiolis, è solo il ifeiento che st uotndo podulo, ess è dett foz ppente. Le foze ppenti sono un odo coodo di descivee i fenoeni fisici nei ifeienti che si uovono di oto cceleto (ottoio o tsltoio) cioè non inezili. bbio ggioe filiità con lte foze ppenti, coe l cosiddett foz d inezi, cioè il fenoeno pe cui l ccelezione del nosto ifeiento, d esepio l nost uto, tende lncici in vnti d ogni fent, ed indieto d ogni uento di velocità. o è evidente, non c è nessuno che sti esecitndo l foz d inezi, ess è solo il iflesso del oto del ifeiento. È un foz ppente nche l foz centifug, cioè quell effetto che bbio nlizzto ll inizio del cpitolo, pe cui in un ifeiento otnte si h l ipessione di veni scgliti veso l esteno, lungo l diezione dile. L ontofisic Un nlisi dettglit ost che l foz ppente di oiolis h intensità V F = v sin oiolis dove v è l velocità dell oggetto, V quell del ifeiento podott dll otzione distnz dll sse, ed l ngolo f le due velocità 167

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