Elettrostatica. Fenomenologia elementare

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1 lettostatica enomenologia elementae L elettostatica si occupa delle caiche in quiete. La fenomenologia elementae dell elettostatica iguada la capacità di ceti mateiali di attiae, in deteminate condizioni, alti mateiali. uesta popietà ea già nota agli antichi geci: il nome eletticità viene infatti dal geco electon, che significa amba; l amba è una esina che, stofinata con un panno, acquista la capacità di attiae copi leggei. Anche il veto può essee elettizzato nello stesso modo, acquistando la stessa popietà. lettizzazione pe stofinio. speimento : una bacchetta di veto viene stofinata con un panno ad un estemità e viene accostata ad un alta bacchetta di veto sospesa e libea di uotae, anch essa stofinata ad un estemità. i veifica che la bacchetta sospesa uota su sé stessa cecando di allontanasi dall alta quando vengono accostate le due estemità elettizzate, mente non si ossevano otazioni se si accostano estemità non elettizzate. Ripetendo lo stesso espeimento con due bacchette di esina si osseva lo stesso fenomeno. speimento : Vengono accostate le estemità stofinate di una bacchetta di veto e una di esina: in questo caso le estemità si attaggono. speimento 3: i esegue la stessa pova con alti mateiali (bachelite, ecc.) e si vede che le sostanze si dividono in due guppi: quelle che si compotano come il veto e quelle che si compotano come l amba. i conclude che esistono due stati elettici appesentati dal veto e dall amba: tali stati vengono chiamati caica elettica positiva (nel caso del veto) e caica elettica negativa (nel caso dell amba): gli aggettivi positivo e negativo vengono usati peché eletticità di tipo opposto tendono ad annullasi. La scelta di chiamae positiva l eletticità del veto è del tutto abitaia deiva da una convenzione intodotta da B. anklin, uno dei pimi speimentatoi. Riassumendo, i compotamenti oa descitti possono essee iassunti nelle seguenti affemazioni: caiche elettiche dello stesso segno di espingono caiche elettiche di segno opposto si attiano.

2 Le pime idee sull eletticità. La popietà dell amba in geco ελεκτρον) di attiae, se stofinata con lana, pagliuzze o fammenti di legno ea nota almeno dai tempi di Talete di Mileto (VII-VI sec. a.c.), ma non venne consideata di gande impotanza a causa dell esiguità e della aità di tali fenomeni. Il pimo scienziato ad indagae azionalmente sulle popietà dell amba fu l inglese W. Gilbet (544-63), medico alla cote della egina lisabetta, che compì molti espeimenti individuando anche diffeenze ta l attazione elettica e quella magnetica, fino ad alloa itenute della stessa natua, e coniò anche il temine eletticità. Le ipotesi di Gilbet sulla natua di tale attazione eano peò molto vaghe. Ai pimi del 7 il fancese Cistenay du ay, compiendo espeimenti con bacchette di veto e di amba, popose un intepetazione dei fenomeni elettici che si basava sull esistenza di due fluidi divesi (di tipo vetoso e di tipo esinoso) libeati duante lo stofinio. uesti fluidi, la cui pesenza confeiva ai mateiali uno stato di eletticità (vetosa o esinosa) eano caatteizzati dal fatto che fluidi uguali si espingevano e fluidi divesi si attaevano. Lo statista e scienziato B. anklin (76-79) popose un modello diveso basato sull esistenza di un solo fluido, il cui eccesso o difetto ceava lo stato di eletticità positivo o negativo. Le teoie di du ay e di anklin ivaleggiaono fino a tutto l ottocento. Veso la metà del settecento venneo ceate le pime macchine elettostatiche con le quali si iusciva a suscitae notevoli scintille da copi elettizzati; l eletticità veniva comunque ancoa consideata più un divetimento da salotto che un fenomeno da studiae con attenzione. Nel 75 su suggeimento di anklin si iuscì a tae scintille dalle nuvole tempoalesche pe mezzo di un asta metallica: questo mostò che l eletticità ea legata ai fulmini, e che quindi poteva mettee in gioco anche gandi quantità di enegia. Da questo momento gli studi sull eletticità si fanno più sistematici: questo poteà nel gio di qualche decennio al concetto di caica e alla definizione delle leggi elative. La domanda fondamentale diventò Da dove vengono le caiche? i ceano con lo stofinio o esistono già da pima?. olo alla fino del XIX secolo J. J. Thomson suggeì l esistenza degli elettoni dando fondamento alla seconda ipotesi: gli elettoni esistono già all inteno del mateiale e lo stofinio non fa alto che dae agli elettoni una divesa distibuzione. Isolanti e conduttoi. Oggi noi sappiamo che la mateia è costituita da un gan numeo di atomi, e che un atomo di un e- lemento chimico è diveso da un atomo di un alto elemento. Ogni atomo è costituito da un nucleo fomato da potoni (caichi positivamente) e neutoni attono al quale obitano gli elettoni, caichi negativamente. Poiché la caica di un elettone è uguale e opposta a quella di un potone e in un a- tomo non ionizzato il numeo dei potoni è uguale a quello degli elettoni un atomo nel suo complesso è eletticamente neuto. ono eletticamente neute anche le divese sostanze, che sono costituite da atomi. Nei solidi gli atomi sono disposti secondo un eticolo cistallino. Distinguiamo i mateiali in isolanti e conduttoi. ono isolanti tutte quelle sostanze (come il veto, l amba, la bachelite, ecc.) in cui ogni e- lettone è legato al popio nucleo. uando stofiniamo la bachelite con la lana un ceto numeo di elettoni degli atomi che costituiscono la lana esta sulla supeficie della bachelite. Di conseguenza la bachelite, che inizialmente ea neuta, ha acquistato caica negativa (un eccesso di elettoni) mente la lana, avendo peso un ceto numeo di caiche negative, esta caica positivamente. Nel caso di una sostanza che, come il veto, si caica positivamente accade il fenomeno opposto: la lana aspota alcuni degli elettoni della supeficie del veto. Ciò che è impotante capie è che con lo stofinio si depositano o si aspotano elettoni: sono solo le caiche negative che si muovono. L elettizzazione pe stofinio consiste nel tasfeimento di elettoni da un copo ad un alto. tofinando si fonisce l enegia necessaia pe stappae gli elettoni (occoe supeae il potenziale di ionizzazione)

3 Negli isolanti la caica imane dove è stata geneata. (vedi espeimento con le pati non elettizzate). Gli isolanti sono quindi mateiali attaveso i quali le caiche non si possono muovee. I più comuni isolanti elettici sono il veto, la gomma, le mateie plastiche, il legno, la pocellana, l acqua distillata (se l acqua non è distillata la pesenza di elettoliti la ende un ottimo conduttoe). Alti mateiali, come ad esempio i metalli, si compotano invece in modo diveso e sono detti conduttoi. Il conduttoe è costituito da atomi in cui gli elettoni più esteni,debolmente legati al nucleo, fomano una specie di nuvola elettonica (o mae elettonico). uesti elettoni sono in gado di muovesi, con moto caotico, all inteno del eticolo cistallino e vengono detti elettoni di conduzione e si spostano libeamente, all inteno del conduttoe, pe effetto dell agitazione temica. In condizioni nomalità la caica totale positiva è uguale a quella negativa e il conduttoe è neuto. ono conduttoi, i metalli, le soluzioni elettolitiche (soluzioni di acidi, basi, sali), la tea, il copo umano. Pe convenzione d oa in poi utilizzeemo divesi simboli gafici pe appesentae isolanti e conduttoi: isolante conduttoe Ci si aspetteebbe che fosse molto più facile elettizzae un conduttoe poiché i suoi elettoni di conduzione sono molto meno legati al nucleo ispetto a quelli di un isolante. Veifichiamolo con il seguente espeimento: speimento 4: Pendiamo in mano una palla di ame e stofiniamola con una ceta enegia, poi avviciniamola ad una bacchetta di veto caica posta sul suo peno: si osseva che non si veifica né attazione né epulsione. embeebbe che il conduttoe non si sia affatto caicato. Come è possibile? uello che è successo è stato che il nosto copo, anch esso conduttoe, ha fomato assieme alla palla di ame un conduttoe unico attaveso il quale l eccesso di caica si è scaicato a tea. Pe evitae che questo avvenga possiamo isolae il conduttoe ponendolo su un sostegno di plastica o di legno. i osseva alloa che, una volta stofinato, il conduttoe si è elettizzato e che, contaiamente a quanto avveniva pe l isolante, è elettizzato anche nei punti in cui non è stato stofinato. La caica in eccesso sul conduttoe si è distibuita su tutto il conduttoe (o meglio, come vedemo più avanti, solo sulla sua supeficie), come accade all acqua contenuta nel lavandino se ne togliamo o aggiungiamo un bicchiee. L elettizzazione pe stofinio è un fenomeno che capita spesso di ossevae, ad esempio quando scocca una scintilla ta la nosta mano e la caozzeia della macchina, che si è caicata pe stofinio con l aia in una gionata secca, o quando ci togliamo una maglia contenente delle fibe atificiali. sistono anche alti modi di elettizzae un copo: vediamo se il modello che abbiamo costuito si può applicae anche a questi casi. 3

4 lettizzazione pe contatto Che cosa succede toccando con un copo caico un copo scaico? Abbiamo quatto possibilità: Copo caico Copo scaico isolante conduttoe isolante isolante 3 conduttoe isolante 4 conduttoe conduttoe 3 4 In base alle consideazioni svolte nel paagafo pecedente si pevede che l elettizzazione sia massima nel 4 caso e l espeimento lo confema: nei casi, e 3 il passaggio di caica è molto modesto mente nel 4 caso gli elettoni di conduzione, avendo a disposizione molto più spazio, lo occupano ipatendosi anche sul secondo conduttoe. Occoe inolte ossevae che, nel caso in cui nel contatto sia coinvolto un isolante, il fatto che le supefici nella ealtà siano fastagliate e i punti di contatto molto pochi limita moltissimo il passaggio di caiche. Il fatto speimentale che solo nel contatto conduttoe-conduttoe si veifichi un passaggio significativo di caiche confema il modello ipotizzato di isolante e conduttoe. lettizzazione pe induzione È possibile elettizzae un copo anche senza toccalo. Pendiamo due copi: il pimo è caico (inducente) e può essee indiffeentemente isolante o conduttoe. il secondo (indotto), che deve essee un conduttoe, è scaico inducente oppue indotto speimento. Avviciniamo un copo caico (inducente) ad una pallina metallica scaica.(indotto) appesa ad un filo isolante. i osseva che la pallina viene attiata. uesto semba contaddie quanto è stato detto in pecedenza a poposito del fatto che solo i copi caichi povano attazione o epulsione veso alti copi caichi. saminiamo la situazione dal punto di vista micoscopico sevendoci del modello della nuvola di elettoni. uando avviciniamo il copo caico (ad esempio positivamente) all indotto, gli elettoni di conduzione sono attiati e si dispongono sulla pate dell indotto più vicina all inducente. Di conseguenza la pate più lontana imane sguanita di elettoni e di conseguenza caica positivamente. Nel suo complesso la sfea è ancoa neuta, ma la caica non è più distibuita in maniea unifome. Non sappiamo ancoa nulla della foza che attia le caiche, ma ci aspettiamo, in base alla nosta conoscenza di alti tipi di inteazione, che diminuisca con la distanza. La foza epulsiva saà 4 att tot ep

5 quindi minoe in modulo della foza attattiva e la foza totale agente sulla pallina saà attattiva. (osseviamo che stiamo implicitamente applicando il pincipio di sovapposizione). Nella zona negativa del conduttoe si accumulano elettoni di conduzione fino a che il loo numeo non è tale da bloccae l accesso di ulteioi elettoni di conduzione. i stabilisce così una situazione di equilibio elettostatico. Ci aspettiamo che : se allontaniamo il copo inducente (causa) cessi l effetto, cioè che l indotto toni nella posizione iniziale se tocchiamo con il copo inducente l indotto, esso si caichi pe contatto e, divenuto impovvisamente caico con lo stesso segno del copo inducente, se ne allontani buscamente. L espeimento confema entambe queste pevisioni. speimento Costuiamo un conduttoe isolato costituito da due pati staccabili, ad esempio due semisfee oppue due sfee a contatto. e a tale conduttoe viene avvicinato un copo caico si ha nell indotto la sepaazione delle caiche descitta nel punto pecedente (figua ). e a questo punto le due metà dell indotto vengono sepaate mente l inducente è ancoa vicino (figua ) si osseva che una imane caica negativamente (quella inizialmente più vicina all inducente) e una positivamente (quella inizialmente più lontana). igua igua In questo modo abbiamo caicato un conduttoe senza stofinalo né toccalo con un alto conduttoe caico. Dopo ave allontanato la bacchetta inducente le due metà del conduttoe sono ancoa caiche: lo si può veificae avvicinandole ad una bacchetta mobile di veto o, se si tattava di due sfee appese a dei fili, si vede che avvicinandole esse si attiano. L elettoscopio a foglie. La ealizzazione degli espeimenti descitti evidenzia la necessità di uno stumento che mosti quando un copo è caico. L elettoscopio non misua la caica, ma ivela se un copo è caico. L elettoscopio a foglie è costituito da un asta metallica con una pallina metallica sull estemo supeioe e due leggeissime foglie metalliche collegate all estemo infeioe. L asta e le foglioline sono inchiuse in una bottiglia di veto che seve sia da sostegno che da potezione. uando l elettoscopio è neuto le foglioline penzolano sottoposte alla sola foza di gavità. uando l elettoscopio viene caicato (positivamente o negativamente) esse acquistano una caica dello stesso segno e si espingono, divaicandosi (figua a fianco). A confema del fenomeno dell induzione elettostatica eseguiamo il seguente espeimento: speimento 3: avviciniamo alla sfeetta dell elettoscopio un copo caico (ad esempio positivamente) senza toccala: vediamo che le foglioline si divaicano. È successo che la sfeetta (pate vicina) pesenta un accumulo di caiche negative e le foglioline (pate lontana) un accumulo di cai- 5

6 che positive. e allontaniamo la bacchetta caica le foglioline si chiudono: la nuvola elettonica si idispone su tutto il conduttoe speimento 4: Oa eseguiamo un alto espeimento toccando la pallina con una bacchetta isolante elettizzata: quando avviciniamo la bacchetta all elettoscopio le foglioline si divaicano pe induzione, ma quando, dopo ave toccato l elettoscopio, allontaniamo nuovamente la bacchetta, esse si iabbassano. L elettoscopio non si è caicato peché, come abbiamo visto pima, il passaggio di caica ta conduttoe e isolante è molto modesto. speimento 5: se eseguo lo stesso espeimento toccando la sfeetta dell elettoscopio con un conduttoe caico vedo che l elettoscopio imane caico anche quando allontano il conduttoe. uesto confema che nel contatto conduttoe-conduttoe si veifica un passaggio significativo di caiche. speimento 6: A questo punto l elettoscopio è imasto caico: come si può scaicalo pe iutilizzalo? Ovviamente toccandolo, così da scaicae a tea le caiche in eccesso. speimento 7: è possibile caicae in modo pemanente un elettoscopio pe induzione, cioè senza toccalo con un copo caico? Basta avvicinae il copo caico inducente alla sfeetta e toccae quest ultima con un dito: in questo modo la pate vicina si caica positivamente e la pate lontana negativamente: toccando la sfeetta faccio sì che la pate lontana sia costituita dal mio copo e da tutta la tea. e a questo punto allontano il copo inducente e il dito l elettoscopio esta caico negativamente speimento 8: un elettoscopio,elettizzato con una caica di segno noto, pemette anche di ivelae il segno dell elettizzazione di un dato copo che gli viene avvicinato: se il copo che viene avvicinato ha caica uguale a quella già pesente sull elettoscopio la divegenza aumenta peché alle caiche già pesenti sulle foglioline si aggiungono le caiche indotte. e il copo che viene avvicinato ha caica opposta la divegenza diminuisce

7 L elettofoo di Volta A questo punto si può spiegae il funzionamento dell elettofoo di Volta, uno stumento che lo scienziato A. Volta ideò nel 775 pe avee la possibilità di caicae gli oggetti: accade infatti che l aia non è un isolante pefetto, pe cui dopo un poco gli oggetti caichi si scaicano. L elettofoo di Volta è costituito da un disco conduttoe soetto da un manico isolante e da una lasta isolante (ad esempio di plexiglas) Poviamo a caicae il disco pe contatto: i caica pe stofinio la lasta di plexiglas Vi si appoggia il disco conduttoe i stacca il disco e si avvicina all elettoscopio: si veifica che non si è paticamente caicato. Peché? Come già sappiamo un conduttoe non si caica pe contatto con un isolante. videntemente dobbiamo caicalo pe induzione toccandolo con un dito. Una volta tolto dalla lasta l elettoscopio, come si veifica facilmente, è caico i può ipetee l espeimento senza icaicae la piasta pe stofinio, in quanto la lasta non ha peso il suo eccesso di caica. e il clima è abbastanza secco l elettofoo può funzionae pe oe. Contaiamente a quanto può sembae ad un ossevazione supeficiale l elettofoo di Volta non cea enegia dal nulla. Appaentemente semba infatti che l unico momento in cui lo speimentatoe fonisce enegia al sistema sia duante lo stofinio, pe poi podue caiche indefinitamente. In ealtà lo speimentatoe compie lavoo ogni volta che allontana il disco dalla piasta, poiché la piasta è caica positivamente e il disco caico negativamente. Dall intepetazione data dei fenomeni di elettizzazione segue un pincipio enunciato già da anklin nel 75: il pincipio di consevazione della caica elettica, in base al quale la caica elettica di un sistema isolato si mantiene costante. Distibuzione delle caiche su un conduttoe. Duante il pocesso di caica di un conduttoe c è un movimento di caiche elettiche: la caica si distibuisce ovunque. Tale movimento cessa dopo una fazione di secondo dall istante in cui ha avuto temine il pocesso di caica e il conduttoe aggiunge uno stato di equilibio (equilibio elettostatico). Una semplice espeienza mosta come le caiche si femino dopo ave aggiunto una paticolae distibuzione. Caichiamo una sfea conduttice isolata caica () e poniamola a contatto con due emisfei conduttoi inizialmente neuti (), in modo da fomae un unico conduttoe. Allontaniamo poi i due emisfei (3). i può veificae con un elettoscopio che: I due emisfei sono caichi La sfea è scaica Nel contatto la caica è passata sulla supeficie estena (gli emisfei). Più avanti spiegheemo il motivo pe cui l eccesso di caica, se può falo, si dispone sempe sulla supeficie estena del conduttoe. 7

8 La polaizzazione nei dielettici (isolanti) Un fenomeno elettostatico che tutti conoscono è quello dei copi leggei (pezzetti di cata,capelli, ecc.) attiati da un copo elettizzato. uesto sembeebbe un fenomeno analogo a quello dell induzione ma è diveso peché si veifica pe mateiali isolanti. Il fenomeno che avviene è detto polaizzazione ed è micoscopicamente molto diveso dall induzione. sso può avvenie in due modi: Pe oientazione La polaizzazione pe oientazione avviene nei mateiali in cui le molecole sono polai: una molecola polae è globalmente neuta, ma il baicento delle caiche positive non coincide con quello delle caiche negative. Un esempio è quello delle molecole di acqua. In condizioni nomali l oientazione delle molecole è casuale, ma quando ci avviciniamo con un copo caico le molecole si oientano. (osseviamo che tale effetto di oientamento è contastato dall aumento di tempeatua, che povoca agitazione temica) - O H H Pe defomazione La polaizzazione pe defomazione avviene nelle molecole non polai, come quelle dell anidide cabonica, in cui il baicento delle caiche positive coincide con quello delle caiche negative. uando ci avviciniamo con un copo caico, esso esecita sulle caiche negative e sulle caiche positive foze di veso opposto. Il baicento delle caiche Ogni caica positiva è vicina ad una negativa che ne compensa l effetto positive si sepaa leggemente da quello delle caiche negative e le molecole, che pima non eano dipoli (a), oa lo diventano (b). O - C - O a b uando l isolante si è polaizzato la pate più vicina al copo caico è caica di segno opposto, la pate più lontana di segno uguale. i veifica peciò un fenomeno simile a quello dell induzione: l isolante neuto è attatto dal copo caico. A diffeenza di quanto accade con un conduttoe neuto, quando l isolante tocca il copo caico vi imane attaccato. 8

9 La legge di Coulomb Coulomb deteminò, tamite una bilancia di tosione simile a quella usata da Cavendish, che la foza di inteazione ta due caiche puntifomi è popozionale al podotto delle caiche e invesamente popozionale al quadato della loo distanza. q k q q q - Tale foza agisce lungo la congiungente le due caiche ed è attattiva pe caiche di segno diveso, epulsiva pe caiche di segno uguale. Natualmente le caiche utilizzate da Coulomb non eano puntifomi, ma la legge tovata vale lo stesso: spiegheemo questo con il teoema di Gauss. Appae evidente come l espeienza della bilancia di tosione sia delicatissima: Coulomb deteminò infatti la dipendenza dal quadato della distanza con un appossimazione dell 8%; questo vuol die che l esponente al denominatoe potebbe non essee esattamente. In ealtà è possibile dimostae che la foza dipende esattamente dall inveso del quadato della distanza tamite un alta espeienza, che isulta a questo punto decisiva. speienza decisiva pe la dipendenza dall inveso del quadato. Innanzitutto enunciamo il pincipio di sovapposizione: quando sono pesenti più di due caiche, la foza di Coulomb agente su di una singola caica si ottiene sommando vettoialmente le foze ottenute consideando una caica alla volta Che cosa succede ponendo una caica al cento di una sfea conduttice unifomemente caica? sentià una foza? (figua a) a b La isposta immediata è niente e speimentalmente si tova che è popio così. Che cosa succede ponendo una caica in un punto inteno alla sfea diveso dal cento? La isposta che potebbe sembae coetta, e cioè viene espinta dalle caiche positive più vicine viene smentita dall espeimento seguente: 9

10 i collocano dento un conduttoe sfeico cavo due sfeette conduttici isolate a contatto ta loo (che fomano così un unico conduttoe); le sfeette vengono inseite attaveso un foo piccolo, così da non alteae la simmetia. uando le sfeette vengono estatte e staccate si veifica che non sono caiche. e nell inteno del conduttoe vi fosseo effetti elettici, gli elettoni di conduzione delle sfeette avebbeo sentito una foza e vi saebbe stata una sepaazione di caiche, fenomeno che si veifica immediatamente non appena poniamo le sfeette fuoi dalla sfea conduttice (figua a fianco). Dimostiamo oa che l assenza di effetti elettici dento la sfea conduttice è possibile solo se la foza elettica è popozionale all inveso del quadato della distanza. Definiamo la densità di caica supeficiale σ / A. u di una sfea, pe simmetia, la densità di caica è costante. B A V H K q h h igua A igua B upponiamo di poe una caica di pova positiva q in un punto qualsiasi inteno alla sfea caica. Pendiamo come nella figua A un cono e un contocono di vetice q che intecettano la sfea di due zone. L angolo di apetua del cono dovebbe essee infinitesimo. La caica esploatice q è soggetta alla foza dovuta alle caiche e contenute nelle zone di intesezione ta i coni e la sfea. La caica di pova viene espinta da entambe queste caiche con foze che chiameemo e. Che elazione c è ta e? Pe dimostae che sono esattamente uguali pendiamo in consideazione il disegno appesentato nella figua B: dalla similitudine dei tiangoli VAH e VBK discende la elazione:. e indichiamo con p il valoe del appoto possiamo scivee h h h h p. La elazione ta le aee delle basi dei due coni è A p A. e la distanza dal vetice aumenta di p volte l aea del cechio aumenta di p volte.

11 e espimiamo le caiche e in funzione dell aea delle zone intecettate e della densità supeficiale di caica otteniamo σa e σa. Pe la legge di Coulomb i moduli delle due foze e sono q q k e k. (*) ostituiamo in entambe le fomule l espessione tovata pe le caiche e e, nella seconda, e- spimiamo A e in funzione di A e : q k q q σa k q σa q σp q σa k k k k ( p ) p A Le due foze hanno lo stesso modulo, ma poichè hanno stessa diezione e veso opposto hanno come isultante zeo. L aea cesce come e così anche la caica, ma la foza decesce come : la caica p più gande esecita una foza p più piccola in modo che i due effetti si compensano esattamente. uesto discoso si può ipetee pe ogni cono e contocono esauendo l intea sfea: abbiamo così dimostato che sulla caica di pova non agiscono foze. Il fatto che non vi siano effetti elettici dento un conduttoe cavo è veo anche pe conduttoi di foma qualunque (ad esempio una ete) Restano da definie l unità di misua della caica e il valoe della costante pesente nella legge di Coulomb. L unità di misua della caica è detta Coulomb (simbolo C) ed è definita in temini di coente elettica, come vedemo più avanti. La costante k vale nel vuoto k 8,99 9 N m C ed è spesso scitta nella foma k con ε 8,85 4πε N m C che pemetteà di semplificae molti calcoli in futuo. La costante ε è detta costante dielettica nel vuoto. La legge di Coulomb pe due caiche poste nel vuoto si può scivee alloa come 4 πε q q

12 Costante dielettica elativa. e si misua la foza che si esecita ta due caiche poste nel vuoto e successivamente si ipete la misua ponendo le stesse caiche, alla stessa distanza, successivamente in mezzi dielettici vai, si osseva che la foza cambia al vaiae del dielettico e che la foza massima si ha quando le caiche sono poste nel vuoto: > i osseva anche che il appoto ta le due foze imane costante, nello stesso dielettico, vaiando le caiche e la loo distanza. Tale appoto è detto ε costante dielettica elativa del mezzo. Possiamo alloa scivee la legge di Coulomb, pe due caiche poste in un mezzo, nella foma 4 πε q q dove ε ε ε è detta costante dielettica assoluto del mezzo. Osseviamo che mente ε è una costante dipendente dal sistema di misua, ε (che abbiamo definito come il appoto di due foze) è un numeo puo. Poblema A quale distanza sono una caica puntifome q 7,µC e una caica puntifome q,9µc poste nel vuoto se la foza elettostatica ta loo ha un intensità pai a,77 N? Dalla legge di Coulomb icaviamo la distanza: qq 9 7,,9 k 9, m,77 Poblema uatto caiche sono fissate ai vetici di un quadato di lato a m. Il valoe assoluto della caica di ciascuna di esse è q µc. Calcola modulo e diezione della foza che agisce su una caica di q q pova di valoe q o µc posta q o nel cento del quadato pe ciascuna delle configuazioni appesentate nelle figue a lato q 3 q 4 q q q o q 3 q 4 q q q 3 q 4 A B C q o

13 q q A: La caica q o è espinta con quatto foze di modulo uguale dalle quatto foze poste ai vetici del quadato. Tali foze sono a due a due opposte. Pe il pincipio di sovapposizione la foza totale agente su q o è zeo. q o B: La caica q o è espinta da q e q e attiata da q 3 e q 4. Tutte queste foze hanno lo stesso modulo ma questa volta sono a due a due concodi: (osseviamo che a / / m,5m qoq k 9 3,6 N,5 da cui 4 3 3,6 N 7, N N che so- La foza isultante agente su q o è data dalla somma vettoiale delle due foze da 7, no poste a 9 ta loo: R 7,, N dietta veticalmente veso il basso. q 3 q 4 q q 3 q o 4 R q 3 q 4 q q C: Le caiche q e q 4 esecitano su q o foze uguali e opposte, mente q 3 e q esecitano due foze uguali che si sommano. La foza isultante ha modulo R 3,6 7, N e foma un angolo di 45 con l oizzontale. q o 3 q 3 q 4 Poblema 3 Ripetee il poblema pecedente (configuazione C) con i seguenti dati: q µ C q µ C q 3µ C q 4µ C q 5µ C 3 4 Calcoliamo i moduli delle quatto foze agenti su q o qq 9 5 k 9, 9N,5 qq 9 k 9, 8N,5 qq k 9, 7N,5 qq4 9 4 k 9, 36N,5 R q q 3 4 q o e sciviamole pe componenti: q 3 q 4 3

14 iˆ iˆ iˆ iˆ 3 4 ˆj,63ˆ i,63 ˆj ˆj,3ˆ i,3 ˆj ˆj,9ˆ i,9 ˆj ˆj,5ˆ i,5 ˆj ommiamo le componenti pe tovae la isultante: tot (,63,3,9,5)ˆ i (,63,3,9,5) ˆj,3ˆ i,5 ˆj Il modulo della isultante è tot (,3) (,5), 5N,5 e l angolo che foma con l asse delle x è ϑ actg 75, 4,3 Poblema 4 Le caiche e - sono poste ad una distanza d. Dove deve essee posta una teza caica q o affinché senta una foza nulla? x d Osseviamo intanto che la caica q o non può essee messa ta le due caiche e, peché veebbe attiata da una e espinta dall alta e le due foze avebbeo lo stesso veso non può essee messa a desta del punto B peché le foze questa volta avebbeo veso oopposto, ma la foza attattiva è necessaiamente più gande in modulo di quella epulsiva peché la caica opposta, più vicina, è anche più gande. deve essee posta in un punto a sinista del punto A in modo che vi sia compensazione ta la foza attattiva, esecitata da una caica più gande ma più lontana, e la foza epulsiva esecitata da una caica più piccola ma più vicina osseviamo inolte che un poblema analogo, affontato l anno scoso duante lo studio dell inteazione gavitazionale, non aveva ichiesto questa discussione peché la foza gavitazionale è solo attattiva. civiamo l espessione delle due foze: e uguagliamole: q O q q q k k k x ( d x) ( d x) q q k k d x x ( d x) x ( d x) ( ) questa equazione di secondo gado pota alle soluzioni: x d( ± ) : di queste accettiamo solo quella positiva peché quella negativa coispondeebbe a un punto posto fa A e B. A x B - 4

15 Poblema 5 Deteminae l espessione della foza di Coulomb che agisce su una caica q o posta sull asse di un segmento di lunghezza d sui cui estemi sono fissate due caiche uguali. ulla caica q o agiscono due foze uguali in modulo: q o A B k ( d y ) L angolo ϑ appesentato in figua è tale che ϑ actg e la foza totale e ha modulo tot cosϑ A appiamo che tot k d y tot qo k ( d y q o y è dietta veticalmente veso l alto A B cos ϑ : sostituendo nell espessione della foza totale otteniamo: tg ϑ 3 qo cosϑ k ) ( d y ) qo k tg ϑ ( d y ) d / y qo k ( d y ) ( d y ) e la distanza della caica q o diventa molto gande ispetto a d nell espessione tovata si può tascuae il temine d. i ottiene: qo y qo y qo lim k k k d 3 3 y y ( d y ) uesta foza è la stessa che sentiebbe la caica q o pe l effetto di una caica. A gandi distanze il dipolo si compota come un unica caica. A d A q O ϑ tot y B y B y d Confonto ta la foza di gavità e la foza di Coulomb: Consideiamo l atomo secondo il modello planetaio: l elettone gia intono al nucleo peché c è la foza centifuga. La foza che attae l elettone veso il nucleo è di due tipi: foza elettica e foza di gavità. g mem G e e k 9 p 6, (,6 ) ( 5,3 ) 9, 3 ( 5,3 ) 8,,8 8 N 7 3,89 47 N Vediamo che la foza di Coulomb è cica 4 volte più gande della foza di gavità. Gli atomi stanno quindi assieme pe le foze elettiche. Il nucleo, fomato da paticelle positive (i potoni) dovebbe esplodee: in ealtà a distanze così piccole si manifesta la foza nucleae (inteazione fote) che è una foza elevatissima a coto aggio ( -5 m) e va apidamente a zeo appena ci si allontana. 5

16 Peché il nucleo sia stabile sono necessai anche i neutoni, in quanto la foza nucleae (attattiva) si manifesta ta tutte le coppie di nucleoni (potone-potone, neutone-neutone, potone-neutone) mente la foza di Coulomb (epulsiva) agisce solo ta potone e potone. Un sufficiente numeo di neutoni gaantisce stabilità al nucleo, peché aumenta la foza a coto aggio che diventa pevalente ispetto alla foza di Coulomb. Il campo elettico Il concetto di campo Definiamo innanzitutto il campo scalae: è una funzione che associa ad ogni punto dello spazio un numeo (uno scalae). Dal punto di vista matematico è una funzione che, icevendo in ingesso una tena di numei, ne da in uscita uno solo. f : R 3 R ( x y, z), f t f ( x, y, z) Come si appesenta un campo scalae? Noi fino ad adesso abbiamo appesentato (mediante i gafici catesiani) delle funzioni da R a R, ma questa volta il dominio della funzione non è più un sottoinsieme della etta eale ma un sottoinsieme dello spazio tidimensionale. Pensiamo a un campo scalae che ha pe insieme di definizione la lavagna e pensiamo di scivee su ogni punto della lavagna il valoe ad esso associato: dopo un poco le scitte si sovappongono e non possiamo più leggee niente. Il campo scalae si appesenta mediante le supefici di livello, che sono il luogo geometico dei punti dello spazio ai quali è associato un medesimo numeo. Un campo scalae è l altitudine: ad ogni punto della supeficie teeste (latitudine e longitudine) viene associata la sua altitudine. Le isoipse sono le linee che congiungono i punti con la stessa altitudine. L ossevazione delle cuve di livello fonisce molte infomazioni sull andamento del campo. La figua a desta appesenta una valle: vediamo che l altezza decesce avvicinandoci al cento. 3 3 La figua a sinista appesenta invece un ilievo: osseviamo che sulla sinista le cuve di livello sono più avvicinate. uesto significa che lo stesso dislivello viene pecoso in meno spazio: la pendenza è maggioe. Un alto campo scalae è appesentato dalla pessione atmosfeica. Le cuve di livello sono dette isobae. e le isobae assumono una confomazione quasi concentica con un minimo di pessione nella pate centale siamo in pesenza di un ciclone o depessione; se, al contaio, le isobae assumono, sempe nella pate centale, il valoe massimo, avemo una stuttua che si chiama anticiclone uesto concetto ci sevià ta poco pe appesentae il potenziale elettostatico. 6

17 Definiamo oa il concetto di campo vettoiale. i dice campo vettoiale una funzione che associa ad ogni punto dello spazio non più un numeo ma un vettoe. Tecnicamente si potebbe die che è una funzione che va da R 3 a R 3. f : R 3 R ( x y, z), f v f ( x, y, z) Le te componenti del vettoe v sono funzione del punto a cui si sta associando il vettoe: v ( v ( x, y, z) ; v ( x, y, z) ; v ( x, y z) ) x y z, Come si appesenta un campo vettoiale? Anche in questo caso è evidente che non si può disegnae il vettoe su ogni punto. i intoduce alloa il concetto di linea di campo. Le v P linee di campo sono linee tali che, in ogni loo punto, sono tangenti al vettoe associato al punto stesso (sono le linee di flusso che abbiamo intodotto duante P lo studio della dinamica dei fluidi). uesta appesentazione fonisce un infomazione sulla diezione e sul veso dei vettoi ma non sul modulo. uesta infomazione in pate ecupeata infittendo le linee di campo: dove le linee di campo sono più fitte il campo vettoiale è più intenso; diemo che l intensità del campo è popozionale alla densità di linee di campo. Le linee di campo non possono intesecasi né fomae angoli, in quanto ad ogni punto deve essee associata una sola tangente. v v 3 P 3 P 4 v 4 Il campo elettico Un campo elettico è una popietà dello spazio geneata da una caica q, detta sogente, ilevabile mediante l utilizzo di una caica di pova q. Il campo elettico è un campo vettoiale (indicato con Ε) definito come: q Ossevazioni: Il campo elettico si misua in N/C La diezione e il veso del campo elettico sono quelli della foza e L utilità del campo elettico ispetto alla foza elettica è che il campo elettico è indipendente dalla caica di pova con cui lo si misua, mente la foza di Coulomb non lo è. Il campo elettico geneato da una caica q nello spazio cicostante si e- spime come: e o q. q -. e qq k q o o k q Modulo del campo elettico geneato da una caica puntifome q a distanza Vediamo che il modulo del campo elettico dipende solo dalla caica sogente e dalla posizione del punto ( ). 7

18 Anche pe il campo elettico vale il pincipio di sovapposizione. q tot tot e tot q Caatteistiche della caica di pova: ) deve essee positiva pe convenzione. Di conseguenza una caica negativa posta in un campo elettico sente una foza che ha veso opposto a quello delle linee di campo. ) deve essee piccola come estensione spaziale (al limite puntifome) pe pote associae ad ogni punto dello spazio un vettoe campo elettico. 3) deve essee piccola come valoe di caica pe non alteae la distibuzione di caica della sogente (sopattutto se questa è estesa) con fenomeni di tipo induttivo o di polaizzazione. Al limite la caica di pova dovebbe tendee a zeo. uesto non è paticamente ealizzabile peché esiste in natua il quanto indivisibile della caica: la caica dell elettone (e -,6-9 C) Campo elettico di alcune distibuzioni semplici di caica: Campo elettico geneato da una caica puntifome: è un campo adiale: le linee sono uscenti dalla caica sogente positiva e entanti nella caica sogente negativa - Notiamo che la densità di linee di foza decesce come il quadato della distanza: questo compotamento è coeente con il fatto che il modulo della foza di Coulomb (e quindi anche del campo elettico) decesce con il quadato della distanza. La supeficie intecetta un ceto numeo di linee: pe intecettae lo stesso numeo di linee a distanza p volte maggioe dobbiamo utilizzae una supeficie p volte più gande. Campo elettico geneato da un dipolo fomato da caiche opposte: Consideiamo un punto qualsiasi e poviamo a costuie il vettoe campo elettico: Il campo elettico associato ai punti dell asse del dipolo è oizzontale - - 8

19 i peviene ad uno schema come quello appesentato a fianco. Osseviamo che le linee di campo escono dalla caica positiva ed entano in quella negativa. Campo elettico geneato da un dipolo fomato da caiche uguali: Abbiamo già calcolato la foza elettica agente su una caica di pova positiva posta sull asse: dividendo l espessione tovata pe q o toviamo l equazione del campo elettico pe i punti dell asse. Cecando il campo elettico pe vai punti dello spazio si disegna uno schema come quello appesentato a fianco. Poblema (pe oa insolubile) Un elettone si avvicina ad un dipolo come appesentato nella figua a fianco. Di che tipo di moto si muoveà? È sempe sottoposto ad una foza, in ogni istante del suo moto, ma tale foza non è costante. i muove quindi di moto acceleato ma non acceleato unifome. uesto poblema non si iesce ad affontae (a livello di liceo) tamite l analisi delle foze: lo affonteemo più avanti con la consevazione dell enegia. uesto esempio è complesso ma pesenta un aspetto semplice: iusciamo a disegnae la taiettoia. L elettone infatti l istante successivo a quello appesentato dal disegno subià una foza di intensità divesa ma con la medesima diezione. È impotante fae distinzione ta linee di campo e taiettoia. Non sono assolutamente la stessa cosa: le linee di campo foniscono la foza istante pe istante. Ossevazioni sul concetto di campo Il campo elettico è ciò che funge da tamite all inteazione. La caica genea una ceta popietà dello spazio cicostante che chiamiamo campo elettico. uesto campo si popaga (vedemo poi ad una velocità finita) uando il campo aiva nel punto B fa sentie la sua azione anche sulla caica A sua volta anche la caica genea un campo elettico Il campo è ciò che media l inteazione. Un esempio in pate fuoviante: se lasciamo cadee un sasso nello stagno poco distante da una boa vediamo che la boa inizia ad oscillae dopo che è caduto il sasso. uesto esempio è fuoviante peché fa pensae che anche nel caso del campo elettico ci sia bisogno di un mezzo mateiale. piegheemo invece il meccanismo pe cui le onde si popagano nel vuoto. Il flusso di un campo vettoiale. Consideiamo innanzitutto un aea piana e ipotizziamo che il campo vettoiale (che indicheemo con V) sia costante su tutti i punti della supeficie e pependicolae ad essa. Il flusso è una gandezza legata alla quantità di campo che passa attaveso la supeficie. Dipende ovviamente: dall aea (se l aea è doppia il flusso è doppio, etc,) 9 e -

20 dall intensità del campo (quindi dal modulo del vettoe) Appae pe ciò natuale definie il flusso del campo V attaveso la supeficie A come il podotto di A pe V: ( V ) A V Osseviamo che se il campo vettoiale V fosse la velocità di un fluido, il flusso appesenteebbe la potata del condotto (da cui il nome di flusso). Oa cambiamo il campo vettoiale: è ancoa unifome (cioè costante in modulo, diezione e veso) ma foma un ceto angolo con la supeficie. Come cambia il flusso? e manteniamo il paallelo con l acqua, in questo caso il flusso diminuisce (passa meno fluido). Pe fonie questa infomazione in modo geometico si può die che quello che conta A eff ai fini del flusso non è l aea vea ma l aea efficace, cioè la poiezione dell aea totale nella diezione pependicolae alle linee di campo. In questo caso il flusso saà ( V ) A V Che elazione c è ta A e A eff? e sezioniamo un cilindo pependicolamente otteniamo un cechio, quindi l aea efficace è A eff πr e invece lo sezioniamo obliquamente otteniamo un ellisse, che ha semiassi lunghi R e R, dove R R R R ' cosϑ πr A eff A eff A L aea dell ellisse è A πrr' cosϑ cosϑ Abbiamo quindi tovato la elazione ta l aea efficace e la sezione pependicolae del cilindo: A eff Acosϑ A questo punto possiamo scivee il flusso come ( V ) Aeff V Acosϑ V AV cosϑ uesta espessione icoda il podotto scalae ta due vettoi, ma l aea non è un vettoe. Intoduciamo alloa un vettoe aea pependicolae all aea stessa (quindi con la diezione del flusso) che ha pe modulo l aea della supeficie. Con questa definizione l angolo ϑ viene ad essee popio l angolo compeso ta il vettoe A e il vettoe V. A questo punto si può definie il flusso attaveso una supeficie come il podotto scalae ta il vettoe aea e il campo vettoiale: eff R ϑ R ( V ) A V lusso di un campo vettoiale V attaveso una supeficie A La definizione di flusso attaveso una supeficie che abbiamo ottenuto è bel lontana dall essee una definizione geneale, peché non è una definizione di flusso attaveso una supeficie qualunque di un campo qualunque. Infatti: la supeficie che abbiamo peso in consideazione è piana (solo pe una supeficie piana ha senso palae di vettoe associato, in quanto una supeficie cuva non ha una pependicolae unica) il campo è costante su tutti i punti della supeficie

21 Nel caso più geneale la supeficie è qualunque e punto pe punto il campo vettoiale cambia. Come possiamo calcolae il flusso in una situazione del genee? i pocede alloa nel modo seguente: ) pezziamo la supeficie in tanti elementini ds così piccoli da pote essee consideati piani (allo stesso modo in cui localmente non si pecepisce la cuvatua della tea) che su di essi il campo vettoiale non cambi in modo appezzabile (e si possa peciò consideae costante) v v 4 v 3 v 5 v 6 ) Pendiamo il pimo di questi elementi ds e calcoliamo il flusso: ( V ds ) ds V uesto è evidentemente un isultato appossimato. 3) i posegue così pe tutti gli elementini ds. 4) Il flusso totale è la somma dei vai flussi: tot n i ds i V uesta sommatoia è sostanzialmente infattibile, e inolte è appossimata. i ds v 5) Il isultato diventa esatto quando gli elementini di supeficie sono il più piccolo possibile: tot lim dsi n n i ds i V i V ds ignificato fisico del segno del flusso di un campo vettoiale. Consideiamo una supeficie chiusa che contiene una caica positiva. Pe definizione il vettoe aea associato ad una supeficie chiusa ha veso uscente dalla supeficie stessa. Le linee di campo elettico (uscenti dalla supeficie) fomano un angolo acuto con il vettoe aea. tot. ds cos ϑ. ds cos ϑ 3. ds3 cos ϑ3... In questa somma ogni addendo è positivo (i moduli dei vettoi sono positivi e il coseno di un angolo acuto è positivo). tot > Il flusso positivo è associato alle linee uscenti dalla supeficie chiusa. e invece le linee sono entanti l angolo è ottuso, il coseno è negativo e tutti gli addendi sono negativi: tot < ϑ ds ϑ 8 ds ϑ ds ds ϑ ϑ ds3 ds3 ϑ 3 3

22 Il flusso negativo è associato alle linee uscenti dalla supeficie chiusa. Il teoema di Gauss Mostiamo innanzitutto che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa geneato da una caica estena alla supeficie è zeo La supeficie efficace è pependicolae alle linee di campo: pe calcolae il podotto scalae ta il vettoe campo elettico e il vettoe aea possiamo Pendee solo la componente di pependicolae alla supeficie Consideae come aea dolo la supeficie efficace e p è il appoto ta le distanze delle due supefici dalla caica che genea il campo sappiamo dalla definizione di campo elettico che p appiamo inolte che il appoto ta le supefici è Calcoliamo il flusso attaveso le due supefici: ( ) eff (il segno meno è dovuto al fatto che l angolo ta e eff è 8) ( ) eff p eff eff ( ) p Ripetendo il agionamento pe ogni cono che attavesa la supeficie chiusa aiviamo alla conclusione che il flusso totale vale zeo. I flusso attaveso una supeficie chiusa abitaia del campo elettico geneato da una caica estena alla supeficie stessa vale zeo. upponiamo oa di avee una caica intena alla supeficie ds p eff eff eff p eff ds Pe calcolae il flusso attaveso una supeficie chiusa e abitaia mostiamo che è lo stesso se calcolato attaveso una sfea centata nella caica. eff p p Ripetendo il agionamento pe ogni cono si aiva alla conclusione che il flusso attaveso la supeficie abitaia è lo stesso flusso che attavesa una qual-

23 siasi sfea centata in. Rimane da calcolae il flusso attaveso una sfea centata in. Immaginiamo di dividee la supeficie della sfea in tanti pezzettini di aea piccolissima d i. Il campo elettico, essendo adiale, è sempe pependicolae alla supeficie, di conseguenza l angolo ϑ vale zeo e il suo coseno vale. Tutte queste supefici sono alla stessa distanza dal cento della sfea: su ciascuna di esse il campo elettico vale: k ( ). Il flusso attaveso ogni supeficie infinitesima d vale: k i ( ) di d i e il flusso totale: ϑ ds k ( ) ( ) d ( ) d ( ) d3... ( )(. d d d3...) tot Ricodando che la supeficie della sfea è sfea 4π e che la costante elettostatica si può scivee come k possiamo espimee il flusso totale come ( ) 4π 4πε 4πε ε ( ) ε lusso del campo elettico geneato da una caica intena attaveso qualsiasi supeficie. 3 saminiamo il caso in cui sono pesenti più caiche. Gazie al pincipio di sovapposizione possiamo calcolae il flusso pe ogni singola caica e sommae algebicamente i flussi così ottenuti. ( ) ε ε ε ( ) ε ε - Riassumendo, il teoema di Gauss affema che: Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa ed abitaia è uguale alla somma algebica delle caiche intene alla supeficie diviso ε o. ( ) d ε int Teoema di Gauss 3

24 Il conduttoe isolato Il teoema di Gauss può essee impiegato pe dimostae che un eccesso di caica, posto su un conduttoe isolato, si distibuisce inteamente sulla supeficie estena. uando su un conduttoe isolato viene posto un eccesso di caica, questo cea all inteno del conduttoe un campo elettico che agisce sugli elettoni di conduzione facendoli muovee. uando gli elettoni hanno aggiunto una situazione di equilibio il campo elettico in tutti i punti inteni al conduttoe è zeo (se non lo fosse gli elettoni sentiebbeo una foza e non saebbeo all equilibio). Consideiamo una supeficie di Gauss contenuta all inteno del conduttoe e a piccola distanza dalla supeficie. All equilibio elettostatico il campo elettico è nullo in ogni punto inteno al conduttoe peciò anche su ogni punto della supeficie gaussiana scelta. Di conseguenza il flusso del campo elettico attaveso la supeficie è zeo. Pe il teoema di Gauss saà zeo anche il appoto /ε o e di conseguenza la caica contenuta nella supeficie scelta. Data l abitaietà della supeficie possiamo concludee che la caica non è intena al conduttoe: deve peciò tovasi sulla supeficie. Applicazioni del teoema di Gauss Il teoema di Gauss seve a calcolae il campo elettico geneato da sogenti che abbiano una distibuzione paticolamente simmetica. La tecnica dimostativa è sempe la stessa: a) si pate da consideazioni di simmetia pe capie la diezione del campo da calcolae b) guidati dalle consideazioni di simmetia si sceglie la supeficie gaussiana attaveso la quale calcolae il flusso. c) si calcola il flusso del campo elettico attaveso la supeficie scelta in due modi: con il Teoema di Gauss e pe via geometica d) eguagliando i due flussi si ottengono infomazioni sul campo elettico Campo elettico geneato da un conduttoe sfeico unifomemente caico. a) Consideazioni di simmetia. All inteno di un conduttoe il campo elettico è nullo e la caica si distibuisce sulla supeficie del conduttoe con densità di caica costante. Voglia- dq P P d d d dq 4

25 mo calcolae l intensità di campo elettico nel punto P esteno al conduttoe. Poiettiamo adialmente il punto P sulla ciconfeenza ottenendo il punto P. Consideiamo una coona cicolae di caica centata sulla supeficie. I campi elettici geneati da due elementini di supeficie dq e dq della coona simmetici ispetto a P hanno una isultante dietta lungo la congiungente PP. Ripetendo il agionamento pe tutte le coppie di caiche infinitesime ottengo che il campo elettico in P è adiale. e pendo un alto punto distante dalla supeficie sfeica tanto quanto P posso ipetee il agionamento senza alcuna diffeenza: il punto vede lo stesso sistema fisico (invaiante pe otazione): posso concludee che il campo elettico in ha lo stesso modulo che in P. Di conseguenza il campo elettico su tutti i punti di una sfea concentica con il conduttoe è adiale e costante in modulo. b) celta della supeficie gaussiana. La supeficie gaussiana oppotuna è una sfea con cento coincidente con il cento del conduttoe e passante pe P. c) Calcolo del flusso in due modi. tot ε cos cos cos... lusso del campo elettico con il teoema di Gauss: ( ) lusso pe via geometica: ( ) d ϑ d ϑ 3d3 ϑ3 Il campo è adiale quindi è paallelo al vettoe aea. Di conseguenza ϑ ϑ... cosϑ cos ϑ.... I moduli dei vettoi, etc. sono tutti uguali a () e la somma dei vai d i è uguale alla supeficie della sfea. i ottiene quindi: ( ) 4π ( ) d) Uguaglianza delle due espessioni del flusso. ( ) ( ) 4π ( ) ε tot Possiamo concludee che: ε tot ( ) 4π tot ( ) 4πε Una sfea conduttice unifomemente caica genea a distanza dal suo cento lo stesso campo elettico che geneeebbe la caica se fosse tutta concentata nel cento della sfea. Ovviamente questo ha senso pe >R, dove R è il aggio della sfea. Confontiamo nella figua seguente i gafici dei campi elettici a distanza geneati da una caica puntifome e da una sfea caica di aggio R: 5

26 R k tot R Caica puntifome k tot R fea conduttice R Campo elettico geneato da una sfea isolante piena unifomemente caica. a) Consideazioni di simmetia. spimiamo il dato che la sfea sia piena e unifomemente caica ponendo costante la densità di caica volumica ρ: ρ cost V Pe punti esteni alla sfea valgono le stesse consideazioni di simmetia che abbiamo ossevato pe la sfea conduttice (utilizzando dischi pieni anziché coone cicolai). Il campo è adiale e costante in modulo pe tutti i punti alla stessa distanza dal cento della sfea. (>R). Anche pe i punti inteni alla sfea valgono consideazioni di simmetia analoghe. b) celta della supeficie gaussiana. La supeficie gaussiana oppotuna è una sfea con cento coincidente con il cento della sfea. Punto esteno (>R): con le stesse consideazioni del punto pecedente si ottiene un campo elettico identico. Punto inteno (<R): consideiamo una supeficie gaussiana di aggio, quindi intena alla sfea, concentica con la sfea stessa. La caica contenuta 4 3 nella sfea è int ρv ρ π. 3 c) Calcolo del flusso in due modi. lusso del campo elettico con il teoema di Gauss: ( ) ε int ρ4π 3ε lusso pe via geometica: ( ) cosϑ cosϑ cos ϑ... ( ) 4π d) Uguaglianza delle due espessioni del flusso. d d 3d3 3 3 ρ4π ( ) 3ε 3 ( ) ( ) 4π 6