Forza ed energia potenziale calcolate per una distribuzione sferica di massa

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1 GAVITAZIONE oza ed eneia potenziale calcolate pe una distibuzione sfeica di massa La elazione di Newton GM M = [] si ifeisce a masse puntifomi. Analoamente l espessione dell eneia potenziale GMM = [] Calcoliamo la foza aente su una massa puntifome m nel campo avitazionale eneato da una massa di foma sfeica e di densità unifome e l eneia potenziale di tale massa m. La sfea ha massa M e aio ; la massa puntifome m che viene attiata dalla massa sfeica M si tova alla distanza dal cento della sfea. Pe il calcolo immainiamo che la sfea sia composta di n usci concentici di aio e di spessoe e di Massa M e che ciascun uscio sia composto di infiniti anelli di lahezza infinitesima, tutti col cento in un punto del diameto del uscio. La iua e la iua mostano uno dei usci di aio ; la massa m è posta all esteno della sfea (i. ) o all inteno (i.). (Nelle fiue li anelli sono disenati di lahezza finita). Pe aioni di simmetia, la foza esecitata da ciascun anello sulla massa m è dietta veso il cento dell anello; eualmente la foza esecitata da tutto il uscio è dietta vesi il cento del uscio sfeico. Calcoleemo l eneia potenziale della massa m eneata dal uscio sfeico alla distanza dal cento della sfea, cioè nel punto in cui si tova la massa. Oni anello pota un contibuto d all eneia potenziale dovuta a tutto il uscio. Il calcolo dell eneia potenziale è più semplice di quello della foza peché l eneia potenziale è uno scalae. In oni caso, tovata l eneia potenziale, è facile calcolae la foza. L eneia potenziale d dovuta al sinolo anello è la somma delle eneie potenziali dovute a tutte le masse puntifomi che lo costituiscono, tutte poste alla distanza dalla massa m. Pe questa aione pe il sinolo anello è possibile utilizzae la [], ponendo al posto di M la massa dm dell anello, composta dalle masse puntifomi dell anello, tutte alla stessa distanza da m. dm d = Gm [] Pe il calcolo di dm, icodiamo che dm = ρdv con ρ densità e dv volume dell anello. L anello ha: spessoe lunhezza L = πsinα lahezza dl= dα

2 i. i. peciò dm= ρ πsinα dα= πρ sinα dα Quindi si ha d πρ Gm sinαdα = [] Pe ottenee l eneia potenziale della massa m nel campo di foze del uscio occoe inteae:

3 α = π α = α = π sinαdα sinαdα = Gmπρ = Gmπρ [5] α = Oni anello è caatteizzato da un diveso α e un diveso, che sono le vaiabili di inteazione; peò queste vaiabili sono dipendenti, pe cui possono essee idotte a una sola; Infatti, applicando il teoema di Canot al tianolo OAP, si ha: = + cosα [6] Diffeenziamo la [6] pe fa compaie la quantità dα d = sinαdα d sinαdα = [7] Sostituiamo la [7] nella [5], icodando che li estemi di inteazione vanno così tasfomati: a) Se la massa m si tova all esteno della uscio sfeico (i ) si ha pe α= = - pe α=π = + b) se invece la massa m si tova all inteno del uscio sfeico (i. ) si ha pe α= = - pe α=π = + Quindi, pe la massa m all esteno del uscio sfeico si ha = Gmπρ + d = Gmπρ + d = Gmπρ [( + ) ( )] = Gmπρ [(] = Gmρ π [8]

4 La massa M del uscio sfeico è M = ρ π [9] pe cui la [8] diviene: m M = G [] La [] sinifica che l eneia potenziale della massa m è euale a quella che si avebbe se tutta la massa del uscio M fosse concentata nel cento della sfea (alla distanza da m). Pe la massa m all inteno del uscio sfeico (i. ) si ha: + = Gmπρ d = Gm πρ π = Gmρ π = Gmρ [( + ) ( )] = Gmπρ icodando la [9] si ottiene m M = G [] La [] sinifica che all inteno del uscio l eneia potenziale di m è costante e pai a quella che si ha sulla supeficie del uscio. Adesso calcoliamo la oza nella diezione, cioè nella diezione della coniunente il cento della sfea con la massa m. All esteno, dalla [] d m M d All inteno invece, poiché l eneia potenziale è costante al vaiae di, si ha = = G [] = Nella i. e nella i. viene ipotato l andamento dell eneia potenziale di m e della foza esecitata dal uscio su m al vaiae della distanza dal cento del uscio.

5 Guscio i. Eneia potenziale di una massa puntifome m alla distanza dal cento di un uscio vuoto i. oza esecitata su di una massa puntifome m da un uscio sfeico in funzione della distanza di m dal cento del uscio vuoto Pe calcolae la oza esecitata da una sfea piena sulla massa m e l eneia potenziale di m dovuta alla sfea piena, occoe sommae il contibuto dovuto a tutti i usci. Saà: m M i = G i La distanza della massa m dal cento dei usci è uuale pe tutti i usci ed è anche la distanza di m dal cento della sfea Se la massa m si tova all esteno dei usci o sulla supeficie della sfea, la somma dei M è la massa M di tutta la sfea di aio = G []

6 L eneia potenziale è la pimitiva della [] cambiata di seno: = G [5] nella quale si è posta euale a zeo la costante abitaia di inteazione, in modo da ottenee eneia potenziale nulla all infinito. In conclusione, pe una massa puntifome m posta all esteno di una sfea piena di massa M, tutto avviene come se tutta la massa M della sfea fosse posta al cento di essa. All inteno della sfea le cosa vanno divesamente. E utile icodae infatti che all inteno di un uscio la foza è nulla; peciò se la massa si tova all inteno della sfea, alla distanza dal cento <, su tale massa viene esecitata una foza soltanto dai usci di aio <, cioè soltanto dalla pate di sfea sottostante la massa m. Peciò la oza aente su m posta saà pai alla somma della foza esecitata da tutti i usci sottostanti m. Indichiamo con M i la massa del uscio eneico. m M i i = G [6] La distanza della massa m dal cento dei usci è uuale pe tutti i usci ed è anche la distanza di m dal cento della sfea. La somma dei M i non è la massa di tutta la sfea di aio, ma è la massa M s di una sfea di aio (distanza della massa m dal cento della sfea). Si ha quindi M M i i = s = ρ π Peciò si ha: mρπ = G = Gmρ π = k [7] con k = Gmρπ Cioè la oza di attazione all inteno della sfea piena diminuisce in valoe assoluto al diminuie della distanza dal cento e si compota di fatto come la foza di una molla. ifeendoci alla Tea e immainando che la densità della Tea sia costante al vaiae della pofondità, i calcoli fatti voliono die che se si peneta sotto tea, la foza di attazione diminuisce con l aumentae della pofondità e si iduce a zeo al cento della Tea.

7 L eneia potenziale sotto la supeficie della sfea è la pimitiva cambiata di seno della foza della fomula [7]. = k + C = Gmρ π + C [8] L andamento della è quello di un paabola con la concavità veso l alto e taslata di una costante C ispetto all asse La costante C non è abitaia peché, come isulta dalla [5], pe l eneia potenziale all esteno della sfea la costante è ià stata scelta in modo da endee nulla l eneia potenziale all infinito. Peciò nella [8] la costante va calcolata in modo che l eneia potenziale sulla supeficie della sfea isulti la stessa nelle due espessioni valide ispettivamente all esteno ed all inteno della sfea: ( Da cui: C = G ) = Gmρ π + C = G Gmρ π = G Gmρ π Poiché ρ π = M massa della sfea piena, C = G G = G Nella i. 5 e nella i. 6 sono ipotate ispettivamente l eneia potenziale e la foza pe una sfea piena. L eneia potenziale ha un minimo al cento della sfea.

8 i. 5 Sfea piena Eneia potenziale di una massa puntifome m alla distanza dal cento di una sfea piena i. 6 oza esecitata su di una massa puntifome m da una sfea piena in funzione della distanza di m dal cento della sfea