Simulazione della seconda prova scritta

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1 Lico Sciniico "A. M. Rovggio" Cologna Vna (V) ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Anno sc. 8/9 CORSO SPERIMENTALE PNI - Piano Nazional Inomaica Simulazion dlla sconda pova scia Tma di: MATEMATICA Cognom Nom dl candidao class Poblma n Qusio n Qusio n Qusio n Qusio n Qusio Il candidao isolva uno di du poblmi 5 di qusii dl qusionaio. PROBLEMA Siano dai un cchio di aggio d una sua coda AB ugual al lao dl quadao in sso inscio.. Do P un gnico puno dlla ciconnza, giacn sull aco maggio di smi A B, si considi il appoo: lo si spima in unzion di g PAˆ B. PA PB AB. Si sudi la unzion () così onua si acci il suo gaico γ, indipndnmn dai limii posi dal poblma gomico.. Do C il puno d inszion dlla cuva γ con il suo asinoo oizzonal, si sciva l quazion dlla angn a γ in C.. Si calcoli l aa dlla pa inia di piano compsa a la cuva γ, la sudda angn la a di quazion k, ssndo k l ascissa dl puno di massimo laivo. Soluzion PA PB. dminiamo il appoo AB A B D P C Pag.

2 Poso an PAˆ B Considaa la angn alla ciconnza in A, poniamo l limiazion p l incognia, Inai acciaa la angn alla ciconnza in A si dduc dalla simmia dl quadao (vnualmn acciando al diagonal AC) ch l angolo può vaia la su ampizza a 5 gadi (la somma dll angolo compso a la angn alla ciconnza il lao AD dll angolo o compso a i lai dl quadao AD AB). P la simmia dl quadao, s congiungiamo l smo B con il vic D, l angolo P il oma dlla coda alloa si ha ch ˆ A DB AB sin Inol poiché l angolo Val anch AP ˆ B insis sulla coda AB sso è di. ABP ˆ PAB ˆ PAˆ B Oa conosciamo ui gli angoli dl iangolo APB il lao AB, possiamo applica il oma di sni. Dobbiamo icava pò in unzion dl sno il valo dgli angoli inni dl iangolo considao. Dall uguaglianza sin PAB ˆ ± ˆ sin APB an PAB ˆ an PAB ˆ ± ; cos PAB ˆ cos ± an PAB ˆ ± sin ABP ˆ sin PAB ˆ sin cos PAB ˆ cos sin PAB ˆ cos PAB ˆ sin PAˆ B ± ( ) ( ) ± ± ± Applicando il oma dlla coda ai lai AP BP si oin: sin ˆ AP ABP ± BP sin PAB ˆ ± ( ) PA PB Pano la lazion dl poblma AB divna Pag.

3 Pag. ± ±. sudiamo la unzion così onua ) Dominio smp viicao R Dom ) Inszion con gli assi ; impossibil ) Posiivià N: R D: > R Da cui sgu R ) Limii Poiché non vi sono puni di disconinuià non ci sono asinoi vicali. lim ± asinoo oizzonal Poiché c è l asinoo oizzonal non vi sono asinoi obliqui. 5) Divaa pima Dom Dom

4 ( ) ( ) N: ( ) D: ( ) > R La soluzioni sono Quindi Alloa è puno di minimo mn è puno di massimo. 6) Gaico P accia mglio il gaico calcoliamo i puni smani: ( ), 59 ( ),.Calcoliamo il puno C inszion dlla cuva γ con il suo asinoo oizzonal C Pag.

5 Pag. 5 ; C Sciviamo oa l quazion dlla angn a γ in C. Il coicin angola dlla angn è dao da Uilizzando la omula m sciviamo la a angn:. Calcoliamo l aa dlla pa inia di piano compsa a la cuva γ, la angn al puno la a di quazion (ssndo l ascissa dl puno di massimo laivo). Quindi Calcoliamo i puni di inszion a cuva a angn:,

6 Pag. 6 Poiché è ascissa dl puno di angnza il puno di inszion a a dv av cuva è. Quindi p calcola l aa si dv calcola: d d acan ln d d acan ln acan ln ln 5 PROBLEMA Sia dao l insim dll sguni amigli di unzioni c b a. Si dminino i coicini c b a,, dll quazion in modo ch la cuva da ssa appsnaa in un iimno casiano O abbia l ass dll odina com asinoo vical un smo laivo nl puno 9 ; A ;. Si disgni il gaico dlla cuva;. Si calcoli l aa dlla gion di piano dl pimo quadan compsa a la cuva, l ass dll asciss la a passan p l oigin gli assi angn alla cuva sssa;. Dmina il volum dl solido di oazion gnao da una oazion compla aono all ass dlla unzion compsa a il puno di angnza dminao al qusio pcdn il puno di inszion dlla unzion l ass dll asciss appann al pimo quadan. Soluzion

7 . Ainché la cuva a b c abbia l ass dll odina com asinoo, cioè la a, popio il puno dv ss un puno di disconinuià, quindi: c c ss ch c. Possiamo già sciv: c, ainché al condizion scluda popio il valo, dv a b S la unzion ha un smo laivo, cioè un puno di massimo o di minimo nl puno A ;, 9 ncssaiamn la sua divaa in dv annullasi. a ( ) ( a b) 6 a b 9 a a 6 b a b Quindi a b a b 9 a b 6 a b S la unzion passa p il puno unzion, pano possiamo sosiui: A ; l su coodina dvono soddisa la lazion dlla 9 a b 8 a b 9 9 a b a b a b a b a b b b a b b a b b a Quindi la unzion è: sudiamo la unzion così onua ) Dominio Dom ( ) R \ { } ) Inszion con gli assi Pag. 7

8 ± ) Posiivià N: D: > > Da cui sgu < ) Limii lim lim asinoo vical lim ± asinoo oizzonal. Poiché c è l asinoo oizzonal non vi sono asinoi obliqui. 5) Divaa pima Dom ( ) Dom( ) N: R \ { } D: > La soluzioni sono Quindi Alloa è puno di minimo mn è puno di massimo. 6) Gaico P accia mglio il gaico calcoliamo i puni smani: Pag. 8

9 ( ) 9 ( ) 9. P calcola l aa dlla gion di piano dl pimo quadan compsa a la cuva, l ass dll asciss la a passan p l oigin gli assi angn alla cuva sssa pocdiamo a calcola qus ulima. L quazion dll a angn si dmina a inini m ch passano p l oigin, mndol a sisma con l quazion dlla unzion imponndo la condizion. m m m m m m poniamo P dmina il puno di angnza miamo a sisma l quazion dlla unzion con la a angn appna ovaa Pag. 9

10 Pag. L cui soluzioni sono Poiché l aa da calcola è nl pimo quadan il valo da consida è. L aa da dmina è dlimiaa: supiomn dalla a angn iniomn dall ass p [ ] ; ; supiomn dalla a angn iniomn dalla unzion p [ ] ;. Alloa: d d d d d S d d d d ln ln ln

11 Pag.. P dmina il volum dl solido di oazion gnao da una oazion compla aono all ass dalla unzion p dobbiamo uilizza la omula: [ ] b a d V Quindi d V d d d V Qusionaio. Si dminino l cosani a b in modo al ch la unzion: > p p b a isuli coninua divabil nl puno. Soluzion Poiché è coninua in possiamo calcola b lim lim lim H P la dinizion di coninuià dv ss lim b Analogamn dv accad p la divabilià. Quindi > p p a a lim lim lim lim lim H P la dinizion di divabilià dv ss

12 lim a. Qual è la capacià massima di un cono di apoma dm? Si aa di dmina il volum massimo di un cono di apoma assgnao V Sia l alzza dl cono Quindi l limiazioni sono < < (l alzza dv ss mino dll apoma, alimni non si oma il cono). P il oma di Piagoa il aggio di bas val: Il volum dl cono si spim con la omula: Quindi: Calcoliamo la divaa dl volum: n sudiamo il sgno: V V h ( ) ( ) V ( ) ( ) Quindi: ± ± valoi inni Il volum massimo si oin p alzza Alloa il volum massimo val:. Pag.

13 V ma Si dmini il numo al posiivo λ in modo ch la cuva appsnaiva dlla unzion g λ divida in pai quiss la gion dlimiaa dalla cuva appsnaiva dlla λ unzion, dall ass dall. λ Il poblma ichid di dmina λ al ch l aa sosa λ unzion g, cioè: λ d λ d sia divisa in du pai dalla λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Pongo λ λ λ C. E. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ non accabil λ λ ln accabil. Si dmini la pobabilià ch, lanciando 8 vol una mona non uccaa, si onga vol sa. La pobabilià ch sca sa P ( T ) è ugual alla pobabilià ch sca coc P ( C) applicando la lgg binomial si oin:, alloa Pag.

14 8 P 8!!! Si dimosi ch l quazion ( ) valo appossimao con du ci dcimali sa. Scomponiamo l quazion ( ) p > ha un unica adic al s n calcoli un com sgu La sconda unzion è un ipbol. Tacciamo i gaici nl piano casiano. Vi è un inszion a p >. Applichiamo il modo di biszion alla unzion ( )., m [ ;], 9 Scgliamo l invallo 5 ; 5,9 Pag.

15 m, 9 5 ; Scgliamo l invallo ;,9 m, 78 ; 8 8 Scgliamo l invallo ; m, ; Scgliamo l invallo 5 ; m, ; 8 Scgliamo l invallo 5 9 ; m 5 9, 9 ; Scgliamo l invallo 5 8 ; m 5 9, 6 ; Si dimosi ch il volum dl cilindo quilao inscio in una sa di aggio è mdio popozional a il volum dl cono quilao inscio il volum dlla sa. Un cilindo quilao è un cilindo la cui alzza misua il doppio dl aggio di bas, quindi Pag. 5

16 V H P O G A K B F HP OH OK inol HK HP, il iangolo OHP è angolo isoscl, cioè è mà di un quadao, considando ch OP OP HP OP HP OP HP Un cono quilao è un cono il cui apoma misua il doppio dl aggio di bas. Pano OF OV il iangolo VFG è quilao, quindi O VF ˆ OFˆ V, quindi 6 VF OV cos 6 VF GF applicando il oma di Piagoa calcoliamo 9 VG VF GF La ichisa dl poblma è di dimosa ch il volum dl cilindo quilao inscio in una sa di aggio è mdio popozional a il volum dl cono quilao inscio il volum dlla sa, cioè: V : V V : V cono cil cil sa V cono h 9 V cil h Vsa Sosiundo nlla popozion V : V V : V cono cil cil sa Pag. 6

17 9 : : Viichiamo la popozion applicando la popià podoo di mdi ugual podoo dgli smi : Si calcoli il valo mdio dlla unzion accos nll invallo. Il oma dlla mdia ingal ama ch: Toma dlla mdia Sia R( [ a; b] ) alloa sis (p al limiazza di ) un valo µ al ch p cui isula µ in ;sup [ a ; b] [ a; b] b µ a ( b a) S è coninua su [ a; b] alloa sis c [ a; b] al ch ( c) µ l ingal si può spim b a ( c)( b a) La unzion accos soddisa l iposi dl oma, quindi calcoliamo il puno c: accos ( c)( ) accos accos ( c) ( c) Ingiamo p pai ( c) [ accos ] d accos d d d Pag. 7

18 [ ] 8. In un piano iio ad un sisma di assi casiani sono assgnai i puni A(,), B(,). Si dmini sul smiass posiivo dll asciss un puno C dal qual il sgmno AB è viso con un angolo di massima ampizza. B(,) A(,) O C (;) Disgniamo su un gaico casiano i puni A(,), B(,) il puno ( ;) C con >. Applicando il oma di Piagoa ai iangoli angoli AOC BOC si oin ch i lai dl iangolo ABC misuano: AC BC OC AO OC BO 6 Dobbiamo imposa una unzion p l angolo ACB ˆ α p cui α ;, icodando la omula dll aa di un iangolo A ab sin γ (dov γ è l angolo compso a a b) possiamo sciv: A ( ABC) AC BC sinα 6 sinα Snza la misua dll aa dl iangolo pò qusa unzion non è uilizzabil p dmina l angolo α, dobbiamo spim l aa anch in un alo modo, quindi dalla omula classica dll aa dl iangolo abbiamo: A ( ABC) bh AB CO Uguagliando l du spssioni dll aa abbiamo oniamo una lazion da cui è possibil icava sin α in unzion di : 6 sinα 6 sinα Pag. 8

19 sinα Oa p calcola il massimo valo p α diviamo: 7 6 D sinα [ ] 6 7 ( 7 6) Sudiamo il sgno dlla divaa: ( 6 ) ( 7 6) ( 7 6) 7 6 Poiché ui i mini ann il numao sono posiivi, sudiamo solo qus ulimo: 6 6 ± valoi inni Il valo massimo sin α lo si oin quindi p, il puno ccao è C (;). Uilizziamo al poblma p calcola α, sosiuiamo nll spssion di sin α : sinα sin α Da cui si icava α acsin Si sciva l quazion dlla angn al diagamma dlla unzion d nl puno P di ascissa. In coispondnz di si ha: 5 log Il puno P alloa ha coodina P ( ;). log d d Pag. 9

20 La a angn si oin dalla omula m( ) : m ( ) P icava il coicin angola dlla angn dobbiamo calcola la divaa dlla unzion nl puno, alloa: Poiché da d si oin ( ), considando gli smi posi dal poblma dl ao ch si aa di una unzion composa: D [ ] log D d log log log log log log Ossvazion L smo inio di ingazion è, quindi quando calcoliamo la pimiiva in poi la diviamo ci oviamo a diva una cosan ch com isulao di al opazion da zo. Alloa: m log log log La a angn ccaa è: ( ). Ta l pimiiv F() dlla unzion P ( ; log) Dminiamo una pimiiva gnica dlla unzion F(): A individua qulla ch passa p il puno d B ( ) ( ) P il pincipio di idnià di polinomi si ha: A B A A B A Possiamo sciv oa B A ( ) d A A B 8 B A ( A B) ( ) A Pag.

21 8 8 d d c ( ) ln ln 8 F ln ln c Poiché la unzion F() dv passa p il puno P ( ; log) nll spssion pcdn: sosiuiamo l coodina di P Pano la pimiiva ccaa è: F 8 ln ln ln c 8 ln ln c 8 c ln ln 8 c ln ln 8 c ln ln c ln 8 ln ln ln Duaa massima dlla pova: 5 o. È consnio solano l uso di calcolaici non pogammabili. Non è ammsso lascia l aula dgli sami pima ch siano ascos o dalla consgna dlla copia con l acc. Pag.