PROBLEMI PROBLEMI INTORNO A NOI RISOLUZIONE

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1 PRBLEMI INTRN NI PRBLEMI INTRN NI Un modello per la secrezione dell insulina Nel corpo umano la concenrazione di lucosio nel sanue, dea licemia, è normalmene compresa fra 60 m/dl e 0 m/dl quando si è a diiuno Il lucosio è assorbio dai essui più rapidamene quando la licemia è ala, più lenamene quando è bassa Queso processo di assorbimeno più o meno rapido è reolao dall insulina, un ormone secreo dal pancreas Se la licemia è ala, l insulina è prodoa più rapidamene per accelerare l assorbimeno del lucosio; se la licemia è bassa, la produzione è più lena, per un minore assorbimeno In un modello semplificao, la rapidià di secrezione dell insulina S in funzione della licemia è espressa dalla funzione: S () e 0, con $ 0 misuraa in m/dl e S misuraa in mu/min, cioè in milliunià al minuo a) Perché è saa posa la condizione $ 0 se la funzione maemaica S() può essere calcolaa per qualsiasi valore di? Riieni che dovrebbero essere pose alre condizioni sul valore di? Rappresena il rafico di S() per $ 0 b) Qual è, secondo il modello, la massima rapidià possibile di secrezione dell insulina da pare del pancreas? Per quale valore della licemia la rapidià di secrezione dell insulina è pari al 90% della poenzialià massima? c) Esise un valore della licemia in corrispondenza del quale è massimo l aumeno della rapidià di secrezione dell insulina in seuio a un aumeno, piccolo quano si vuole, della licemia sessa quale puno del rafico corrisponde? Deermina il valore d) In condizioni fisioloiche normali la licemia non scende soo i 60 m/dl Si vuole sudiare la rapidià di secrezione dell insulina per 60 # # 0, cioè i valori che si hanno a diiuno e dopo un paso non abbondane, uilizzando una rea anziché la funzione del modello S() Nello sesso riferimeno caresiano del rafico di S() disena dunque la rea s () che assume lo sesso valore di S() per 60 m/dl, e la pendenza in ale puno coincide con quella di S() Di quano differiscono percenualmene le previsioni sulla rapidià di secrezione dell insulina per 0 m/dl da pare di S() e di s? () RISLUZINE a) bbiamo poso la condizione $ 0 perché rappresena una concenrazione (in queso caso del lucosio nel sanue) e quindi non può assumere valori neaivi Sebbene il problema richieda di sudiare la funzione per $ 0, dal puno di visa medico la licemia non può crescere all infinio: ià per un valore 00 m/dl si è in presenza di diabee; valori più ali porano a ravi conseuenze per l oranismo, fino al coma iperlicemico e alla more In modo analoo, anche valori roppo bassi della licemia porano a ravi disurbi; quando scende al valore 0 m/dl, può porare al coma ipolicemico e alla more Sudiamo dunque la funzione S() nell inervallo richieso [ 0; + [ li esremi dell inervallo la funzione assume i valori: S( 0) 5, lim S () 00, " + quindi la funzione ammee l asinoo orizzonale di equazione S 00 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

2 PRBLEMI INTRN NI La derivaa prima Sl() 90 e $ _ + 9e 0 0 i è posiiva per oni valore di, quindi la funzione S() è sreamene crescene La derivaa seconda è Sm() e 0 0 i 9e $ _ + 9e e e il suo seno è deerminao dal seno di ln 9 9e S () + 0 S() fl La funzione S() vole quindi la concavià verso l alo in ] 00 ; ln 9, [ con 0 ln 9 80,, e verso il basso per 0 ln 9 Il flesso in 0 ln 9 ha coordinae (0 ln 9; 50) Infai, se calcoliamo il valore di S in 0 ln 9: S( 0 ln 9) 0ln e 0 + 9$ 9 Diseniamo il rafico della funzione S [mv/min] ln 9 S() [m/dl] b) Poiché la funzione S() è sreamene crescene la rapidià massima di secrezione dell insulina è individuaa dall asinoo orizzonale, cioè 00 mu/min, ma si raa in realà di un esremo superiore e non di un massimo, che non esise (nel modello considerao) La rapidià di secrezione dell insulina raiune il 90% della poenzialià massima quando S() 90, quindi: e 0 90 " e 0 " 0 ln c) Il valore 0 richieso per la licemia, in corrispondenza del quale è massimo l aumeno della rapidià di secrezione dell insulina in seuio a un aumeno della licemia sessa, coincide con il valore 0 per il quale è massima la derivaa prima Sl () e corrisponde perciò al puno di flesso ià calcolao: 0 ln9 88, 0 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

3 PRBLEMI INTRN NI d) La rea da disenare è la anene al rafico di S() nel puno di ascissa 60 m/dl Tale rea ha equazione: s () S( 60) Sl ( 60) $ ( 60) Calcoliamo i valori: S( 60) e 8 ; Sl 90 e ( 60) $ 067, ( + 9e ) L equazione della rea è: s () 8 0, 67 $ ( 60) " s () 0, 67, S [mv/min] s() S() [m/dl] Per valuare la differenza percenuale fra le due previsioni, calcoliamo: s( 0) 0, 67 $ 0, 74, 9; S( 0) e 0 0 differenza percenuale 80; 80 74, , Un elao conveniene lbero lavora in una dia che produce elai, nel reparo che si occupa di realizzare li incari i deve proeare un involucro di forma conica, ricavao aliando un seore circolare da un disco di raio R assenao, in modo che R sia l apoema del cono R a) Posa la misura in radiani dell anolo a al cenro del seore circolare che rappresena lo sviluppo del cono, spiea dealiaamene come lbero può ricavare il volume del cono in funzione di Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

4 PRBLEMI INTRN NI lbero ha oenuo la seuene espressione per il volume del cono: V ( ) R r, con 0 # # r r b) Dopo aver verificao la correezza dell espressione precedene, in base a considerazioni enerali e senza ricorrere a calcoli spiea perché lbero può essere cero che vi sia un paricolare valore di, nell inervallo [0; r], in corrispondenza del quale il volume del cono è massimo c) Poso R r dm, sudia e rappresena la corrispondene funzione V() Deermina il valore di che realizza l incaro con la capienza massima, esprimendone la misura sia in radiani sia in radi e primi Calcola anche il valore della capienza massima, approssimando il dao ai cm ra lbero deve affronare un secondo problema: realizzare la base circolare di ciascun coneniore conico Poiché la realizzazione di ciascun involucro lascia come scaro un secondo seore circolare, lbero si chiede se sia possibile uilizzare ale scaro, ricavandone il cerchio di maior raio possibile, cioè quello inscrio nel seore sesso d) Spiea ad lbero, uilizzando semplici considerazioni eomeriche qualiaive, perché non sia possibile realizzare la sua idea nel caso dell involucro di capienza massima e) Dimosra che il raio s della circonferenza inscria nel seore circolare scarao è dao, sempre in funzione di, dall espressione: Rsin s ( ) + sin RISLUZINE a) Consideriamo il cono C che ha per sviluppo il seore circolare della circonferenza di raio R con anolo al cenro a Indichiamo con h la sua alezza e con r il raio della circonferenza di base h R r La lunhezza della circonferenza di base del cono è pari alla lunhezza dell arco corrispondene ad a nella circonferenza di raio R; dea la misura in radiani dell anolo a, con 0 # # r, deve allora essere: R R r r " r r Ricaviamo h con il eorema di Piaora: R h R r r r Possiamo allora ricavare il volume del cono in funzione di : R V ( ) r h $ r $ r, con 0 # # r r 4 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

5 PRBLEMI INTRN NI b) La funzione V() rovaa è definia e coninua in [0; r] ed è non neaiva In base al eorema di Weiersrass per le funzioni coninue definie su un inervallo chiuso e limiao, la funzione assume in ale inervallo un valore minimo e un valore massimo Poiché la funzione si annulla in 0 e in r, essendo per il reso non cosane e posiiva, concludiamo che il valore minimo è sicuramene 0, menre il massimo viene a cadere in almeno un valore di inerno all inervallo [0; r] Inolre, essendo la funzione derivabile in oni puno inerno all inervallo, ale massimo deve corrispondere a un puno in cui la derivaa prima è nulla, la cui esisenza è assicuraa dal eorema di Rolle c) Poso R r dm, la funzione che esprime il volume (in dm ) in funzione di (espresso in radiani) divena: V ( ) r, con 0 # # r bbiamo ià osservao che la funzione è limiaa e non neaiva, di valore nullo ali esremi dell inervallo, e ovunque coninua, perano non ci sono da calcolare limii ali esremi del dominio Calcoliamo la derivaa prima e sudiamo il suo seno: ( r ) Vl ( ) r, con 0 # r r r 0 V () V() ma La funzione V() presena dunque un massimo relaivo per r ; ale massimo è anche assoluo per quano deo al puno precedene Esprimiamo il valore di in radiani e in radi sessaesimali: r 565, rad; $ 80 r $ 80 : r : 80 " 46, 969 " 46 r r 58 l La capienza massima corrispondene vale: Vma Var r " Vma, 978 dm 978 cm k 7 Sempre con riferimeno alla derivaa prima, noiamo l andameno ali esremi del dominio: Vl ( 0) 0; lim V l ( ) " r Calcoliamo la derivaa seconda: Vm r + r ( ), con 0 # r ( r ) Il denominaore è sempre posiivo; sudiamo il seno del numeraore che coincide con il seno della derivaa seconda: 6 4 9r + r 4 0 disequazione biquadraica Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona 5

6 PRBLEMI INTRN NI Poniamo e risolviamo l equazione associaa: r! 8r 48r 6 9r + r 0 " " 9 9 r 68, 0 + r, 6 La disequazione in ha quindi soluzioni: r + r 0 " r 0 r Sosiuiamo : r 0 r " r 64, 0 r 55, Poiché deve essere 0 # r, la soluzione della disequazione biquadraica, e quindi l inervallo in cui Vm ( ) risula posiiva, è: 9 0 # r 64, 9 La funzione V() vole dunque la concavià verso l alo per 0 # r, verso il basso per 9 r r Diseniamo il rafico di V() 4 V V() 9 d) Per realizzare il disco di base occorre poer inscrivere nel seore circolare residuo una circonferenza la cui lunhezza sia almeno pari a quella della base del cono: poiché l anolo al cenro del seore residuo è acuo, il raio della circonferenza inscria in esso è sreamene minore della meà del raio R e quindi la circonferenza corrispondene è sreamene minore di r R, menre la lunhezza della circonferenza 6 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

7 PRBLEMI INTRN NI di base del cono, che corrisponde alla lunhezza dell arco soeso dal seore uilizzao, è chiaramene superiore a r R, essendo a r C H R s C B e) Consideriamo il rianolo reanolo CC H in cui C è il cenro del disco di raio R, C è il cenro della circonferenza inscria nel seore scarao, avene anolo al cenro ( r ), e H è la proiezione di C su un lao CB del seore Poiché C H se CC R s, la semplice relazione rionomerica r CCcos` CH j implica la relazione da dimosrare: r Rsin ( Rs) cos` s " Rsin ssin s " s( ) j + sin Un esperimeno di microbioloia nna è ricercarice in un laboraorio di microbioloia e sa eseuendo un analisi comparaa su due ceppi di una paricolare specie baerica In un esperimeno recene ha osservao l evoluzione della popolazione baerica in una colura in cui convivevano enrambi i ceppi e B Dopo aver immesso nella colura un cero numero iniziale di baeri dei due ipi, ha moniorao oni ora il numero medio di baeri n () e n B () ancora vivi Il rafico soosane ripora il risulao delle sue osservazioni n [00] ipo ipo B [ore] Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona 7

8 PRBLEMI INTRN NI Dalle osservazioni condoe, nna riiene di poer esrapolare due possibili modelli maemaici per esprimere n () e n B () in funzione del empo: n () e ; n () C^ e h + B B a) Spiea perché le funzioni propose da nna sono plausibili e sabilisci quali valori siano da aribuire alle cosani, B e C affinché ali funzioni riproducano al melio le osservazioni sperimenali b) Dopo aver verificao che i valori suddei sono 600, B 00 e C 00, sudia e rappresena in uno sesso diaramma le funzioni corrispondeni a ali valori, nell inervallo! [ 0; + [ Deermina in paricolare l isane 0 in cui le popolazioni dei due ipi di baeri sono uualmene numerose In una variane dell esperimeno, a parire dalle sesse condizioni iniziali, iuni all isane 0 in cui le due popolazioni baeriche si rovano in equilibrio, nna immee nella colura un composo oranico che ha l effeo di sabilizzare i assi isananei di variazione n( l 0 ) e nb( l 0 ) delle due popolazioni, e da quel momeno i assi di variazione resano cosani c) Dopo quano empo, a parire da 0, non ci saranno più baeri vivi del ceppo? Qual è il numero di baeri del ceppo B ancora vivi nell isane in cui la popolazione si esinue? d) Ripora in un unico diaramma i rafici dei modelli funzionali di queso secondo esperimeno nell inervallo [0; ] In un erzo esperimeno, relaivo al solo ceppo baerico di ipo, nna modifica il enoma della popolazione baerica e ora il modello che ne descrive la crescia è il seuene: N() $ n() + 00, dove n () è la funzione deerminaa al precedene puno a e) Dimosra che ora la popolazione baerica del ceppo non rischia più l esinzione e che esise un isane in cui la sua numerosià è massima: ricava ale isane e il corrispondene valore massimo RISLUZINE a) Indichiamo con n () i valori ricavabili dal rafico per la popolazione del ceppo, in modo da disinuerli dai valori eorici predei dal modello n() e pereremo in modo analoo per la popolazione del ceppo B Per quano riuarda il ceppo di baeri di ipo, osservando il rafico possiamo approssimaivamene esrapolare la seuene successione di valori (in ceninaia): n ( 0) 6; n ( ), 65; n ( ), 5; n ( ), 5 ; n ( 4) 0, 8; n ( 5) 0, 5; n ( 6) 0, ; n ( 7) 0, ; da cui ricaviamo la seuene successione di rappori ra un ermine e il suo anecedene: n( ), n ( 0) 06 ; n( ) n ( ) 06, ; n( ) 06, ; n ( ) n( 4) n ( ) 0, 59; n( 5) n( 6) n 06, ; ( 7) 06, ; 067, n( 4) n( 5) n( 6) La successione n () così ricavaa, con 0,,,, è quindi approssimaivamene una proressione eomerica di raione circa uuale a 0,6 8 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

9 PRBLEMI INTRN NI Il modello proposo per la funzione n () è quindi plausibile, in quano: + n( + ) e e 06, n() e Poiché inolre dal rafico risula n ( 0) 600, deve essere: 0 n ( 0) e 600 " 600 Il modello per l evoluzione della popolazione del ceppo è quindi: n() 600e Esaminiamo ora il modello proposo per la popolazione del ceppo B: nb() C^ e h + B C Ce + B La funzione ha andameno asinoico, infai lim n () C+ B, " + B e dal rafico possiamo ipoizzare che lim n () 400 " + B, quindi possiamo affermare che: C+ B 400 Inolre: nb( 0) 00 " nb( 0) B 00 " C Quindi, sulla base del primo valore nb ( 0) e sull andameno asinoico di nb () possiamo supporre che sia: nb() e Valuiamo se i valori eorici di n B () approssimano bene anche li alri valori sperimenali nb () osservabili nel rafico nb() (in ceninaia),00,80,5,50,60,75,85,90 n B () (in ceninaia),00,79,6,55,7,84,90,94 nb() n (),00,00,00 0,98 0,97 0,98 0,99,00 B n () B Tui i rappori sono molo vicini a, quindi la funzione rovaa nb() e approssima molo bene i dai nb() sperimenali b) Le funzioni rovae, n() 600e, nb() e, sono enrambe definie, coninue, derivabili e posiive in uo l inervallo! [ 0; + [ li esremi del dominio abbiamo: n ( 0) 600; lim n() 0; " + nb ( 0) 00; lim nb () 400 " + Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona 9

10 PRBLEMI INTRN NI Le derivae prime sono rispeivamene sempre neaiva e sempre posiiva, in accordo con la monoonia delle due funzioni: nl () 00e 0 per oni $ 0, n () è sreamene decrescene; B nl () 00e 0 per oni $ 0, n B () è sreamene crescene Le derivae seconde sono rispeivamene sempre posiiva e sempre neaiva, in accordo con la concavià delle due funzioni: nm () 50e 0 per oni $ 0, n () vole la concavià verso l alo; B nm () 50e 0 per oni $ 0, n B () vole la concavià verso il basso Diseniamo i rafici delle due funzioni in un unico riferimeno caresiano n [00] n () n B () [ore] Per rovare il puno di inersezione delle due curve risolviamo l equazione: 600e e " e " ln Le due popolazioni baeriche sono dunque in equilibrio numerico nell isane: ln, 8 h min 0 " c) Come abbiamo appena calcolao, le due popolazioni sono in equilibrio numerico per 0 ln ; da queso isane in poi, a causa dell aiuna al composo dello sabilizzaore, i assi di variazione valono rispeivamene: ln ln nl ( 0) 00e 50; nbl ( 0) 00e 50 La numerosià della popolazione del ceppo, per 0, è descria dalla nuova funzione: m() n( 0) + nl ( 0)( 0) 00( + ln) 50 Quesa popolazione si esinue nell isane ale che m( ) 0: 00( + ln) 50 0 " ( + ln), 9 " h min La numerosià della popolazione del ceppo B, per 0, è descria invece dalla funzione: m () n ( ) + nl ( )( ) 00( ln) + 50 B B 0 B 0 0 Nell isane, la popolazione di baeri del ceppo B ha dunque la seuene numerosià: mb( ) 00( ln) + 50( + ln) Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

11 PRBLEMI INTRN NI d) Nell inervallo [ 0; ] [ 0; + ln ] le funzioni che descrivono l evoluzione delle due popolazioni baeriche sono dunque le seueni: 600e se 0 # # ln m() * ; 00( + ln) 50 se ln # + ln e se 0 # # ln mb() * 00( ln ) + 50 se ln # + ln Possiamo allora disenare subio i rafici delle due funzioni in un unico riferimeno caresiano, osservando che nell inervallo [0; 0 ] le due curve coincidono con i rafici di n () e di n B () disenai prima, menre nell inervallo [ 0 ; ] sono cosiuie da due semeni n [00] m () m B () 0 4 ln + ln [ore] e) La funzione di crescia della popolazione baerica del nuovo ceppo modificao è la seuene: N() n () ^ e + h La funzione è definia, coninua, derivabile e posiiva in uo l inervallo [ 0; + [ Poiché lim N() lim 00^e + h lim " + " + " + c m, e la popolazione baerica del ceppo modificao ende a sabilizzarsi al valore 00 e non si esinuerà Inolre Nl () 00e 50e 50e ( ), Nl () 0 " 50e ( ) 0 ", N( l ) 0 per 0 # e N( l ) 0 per, quindi per ore si ha un massimo relaivo nella numerosià della popolazione, con: N ( ) 00 a + 5 e k Tale massimo è assoluo, poiché N ( 0) 0 e 00 è asinoo orizzonale per la funzione N Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

12 PRBLEMI INTRN NI 4 Un unnel impenaivo Un ruppo di ineneri civili è al lavoro per realizzare una condoa idraulica Per queso scopo si rende necessario lo scavo di un unnel soo a un errapieno, la cui sezione rasversale è rappresenaa dal rafico soosane; l asse rappresena il piano orizzonale, l asse y la direzione vericale e l unià di misura su enrambi li assi è il mero y [m] [m] a) Quale fra quesi due ipi di funzione riieni che sia sao scelo dal ruppo di ineneri per melio rappresenare il profilo del errapieno? Moiva la ua risposa + y( ), y ( ) + + b) ppurao che la scela è ricadua su una funzione del secondo ipo, dimosra che deve essere affinché i puni di massima pendenza (in valore assoluo) del profilo del errapieno si rovino a un alezza di,5 m dal livello del suolo Sudia e rappresena la funzione così deerminaa Per quano riuarda la realizzazione del unnel della condoa, nel ruppo di ineneri emerono due proei alernaivi Il primo prevede un unnel a sezione semicircolare, e per massimizzare l area della sezione si deve deerminare il puno P del profilo del errapieno che si rova alla minima disanza dal cenro della sezione Il secondo proeo prevede un unnel a sezione reanolare, deerminao dal puno P del profilo che definisce il reanolo inscrio di area massima y [m] P P [m] c) Ricava P e P e dimosra che il secondo proeo è comunque da scarare se si vuole oimizzare la poraa della condoa d) Ricava la poraa massima, in liri/secondo, delle due possibili condoe, supponendo che la sezione della ubaura coincida con quella del unnel e che l acqua vi scorra a una velocià uniforme e cosane di m/s e) Dimosra che sarebbe possibile realizzare una condoa compleamene inerraa di poraa ancora maiore se la sezione fosse un rianolo isoscele reanolo con l ipoenusa sull asse delle ascisse Calcola anche in queso caso la poraa massima, nelle sesse condizioni precedeni Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

13 PRBLEMI INTRN NI RISLUZINE a) Enrambe le funzioni propose sono simmeriche rispeo all asse y e sempre posiive se 0, ma + lim y ( ) lim, lim y ( ) lim 0 " + " + + +, " + " + per cui solo la seconda può adaarsi al rafico che rappresena il profilo del errapieno Per essere ceri che la seconda funzione rappreseni bene il profilo del errapieno, sudiamo la derivaa prima e la derivaa seconda di y La derivaa prima yl ( ) ( + ) si annulla in 0, è posiiva per 0 ed è neaiva per 0 Quindi 0 è puno di massimo relaivo ed è anche puno di massimo assoluo di coordinae M(0; ) Calcoliamo la derivaa seconda e sudiamo il suo seno ym( ) ( ) ( + ) + y y ma min La derivaa seconda si annulla in! e yc! m 4 + c! m Quindi F, c! ; m sono puni di flesso di y 4 a anene obliqua Effeivamene y ben rappresena il profilo del errapieno b) I puni di massima pendenza del rafico della funzione y( ) sono i puni in cui la derivaa prima ha massimo valore assoluo + La derivaa prima raiune il massimo (in valore assoluo) nei puni dove la derivaa seconda si annulla, cambiando di seno in un loro inorno I puni di massima pendenza del rafico di y () hanno ascissa! e corrispondono ai puni di flesso F, ià rovai In ali puni i puni del rafico devono rovarsi a un alezza di,5 m, quindi: y c! m 5, " " 4 La funzione che descrive il profilo del errapieno è dunque: y ( ) + Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

14 PRBLEMI INTRN NI Il rafico della funzione è simile a quello dao nel eso dell esercizio, ma ora precisiamo le coordinae dei suoi puni noevoli: M( 0; y( 0)) M( 0; ) ; F, c! ; yc! mm F, c! ; m y [m] M F,5 F 4 4 [m] + Di quesa funzione abbiamo ià rilevao la simmeria, la posiivià e il fao che sia infiniesima per che ende a infinio, così come abbiamo ià calcolao la derivaa prima e seconda, nonché il valore di massimo, relaivo e assoluo, in corrispondenza dell oriine e i due puni di flesso obliquo: M( 0 ; ), Fc ; m, Fc ; m c) Per ricavare P a; k dobbiamo minimizzare la disanza P, cioè la funzione + 4 d ( ) +, con! 0; ( + ) dal momeno che si raa di una quanià posiiva, è equivalene minimizzare il suo quadrao: 4 D ( ) d ( ) + ( + ) Calcoliamo la derivaa prima e sudiamo il suo seno (per la simmeria di y possiamo considerare 0): 6 [( + ) 8] ( + )[( + ) + ( + ) + 4] Dl( ) ( + ) ( + ) ( + ) Il seno di Dl ( ) è individuao dal seno del faore ( + ), quindi è posiivo per e neaivo per 0 Per la simmeria di y i puni esremani di D(), e quindi di d(), sono!, in corrispondenza dei quali: 4 d(! ) + ( + ) Il puno P cercao ha coordinae P ( ; y( )) ( ; ) ed è P ale disanza minima corrisponde la massima sezione semicircolare possibile, la cui area è S r m Per ricavare P a; k dobbiamo invece massimizzare il prodoo + p ( ), + che rappresena la semiarea del reanolo inscrio ra la curva e l asse Procedendo come prima, oeniamo: ( ) pl ( ), ( + ) 4 Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona

15 PRBLEMI INTRN NI da cui deduciamo che pl ( ) 0 per e pl ( ) 0 per Il puno cercao è P (; ) e in corrispondenza di ale puno si realizza la massima sezione reanolare possibile, a cui corrisponde una sezione di area S m Poiché S S, per massimizzare l area della sezione del unnel occorrerà realizzare il primo proeo d) Le porae massime delle due condoe, espresse in liri/secondo e supposo che l acqua abbia una velocià uniforme e cosane di m/s, sono: p v$ S r " p 6, 8 m/s 68 L/s; p v$ S 4 " p 4 m/s 4000 L/s e) Diseniamo il rianolo isoscele reanolo avene come verice il puno di massimo M(0; ), ipoenusa sull asse e lai obliqui passani per i puni di minima disanza da, cioè P (; ) e P l ( ; ) y [m] M P P C D B [m] I lai obliqui M e MB del rianolo, rispeivamene di pendenza yl () e yl ( ), risulano aneni alla curva in Pl ( ; ) e P (; ); in ali puni la funzione vole la concavià verso l alo e perciò rimane localmene ua al di sopra delle aneni M e MB Per quano deo sulla pendenza dei semeni, è anche M MB e quindi il rianolo BM è reanolo I verici e B hanno coordinae ( 0 ; ) e B(; 0), quindi il rianolo BM ha area S 4 m, per una poraa massima che risula così superiore alle precedeni: p v$ S 8 " p 8 m/s 8000 L/s sserviamo che li alri rianoli BN, con e B sull asse delle ascisse, N sull asse delle ordinae e N e BN aneni al rafico di y(), non sono reanoli, in quano non risulerebbe N BN Copyrih 05 Zanichelli ediore Sp, Bolona 5