LA CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE

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1 LA CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE x conversione A/D La conversione analogico/digitale (A/D) realizza una trasformazione della grandezza analogica in ingresso x, solitamente una tensione, in un codice digitale (numero binario) Y in uscita. Il valore numerico in uscita è rappresentato con un numero finito di cifre (bit). La conversione è caratterizzata da una quantizzazione in ampiezza. Il processo di conversione richiede un intervallo di tempo finito per la sua esecuzione. Y 1

2 IL CONVERTITORE ANALOGICO-DIGITALE Il dispositivo elettronico che attua la conversione A/D prende il nome di convertitore analogicodigitale (ADC). Esso è essenzialmente caratterizzato da un ingresso analogico V in, da un ingresso per il segnale di clock per scandire gli istanti di conversione e da una uscita digitale C. V in ADC C clock 2

3 I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI Numero di bit: è il numero di cifre binarie su cui viene convertito in forma numerica il valore di tensione di ingresso. Il convertitore A/D può quindi avere in uscita solamente un numero finito di valori pari a 2 n. Tensione di fondo scala V fs : è il valore di tensione corrispondente al doppio della tensione in ingresso per cui ha valore 1 solo il bit più significativo (MSB). Esistono definizioni leggermente diverse ma equivalenti Esempio: n = 3 bit V fs = 10 V C = 100 V in = 5 V C x 2 = 1000 V fs = 10 V 3

4 I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI Risoluzione del convertitore R o passo di quantizzazione : è la più piccola variazione nella tensione di ingresso che può causare una variazione nel codice numerico di uscita: V fs n R = 2 Rappresenta anche la tensione associata al bit meno significativo (LSB) del codice in uscita : è la costante del convertitore V in = R C 4

5 Risoluzione 5

6 I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI Tempo di conversione t c : è il tempo impiegato dal convertitore ad eseguire la conversione del valore di tensione in ingresso nel corrispondente codice numerico. 6

7 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE Caratteristica ideale Un ADC è in grado di fornire in uscita un codice numerico pro- porzionale al valore della tensione in ingresso, a meno della sua risoluzione. codici transizione ideale 1 LSB banda di quantizzazione V in 7

8 codici 111 L errore di quantizzazione transizione ideale 1 LSB ε -1 LSB banda di quantizzazione V in V in L incertezza propria della quantizzazione è pari a 1 LSB 8

9 codici 111 L errore di quantizzazione transizione ideale 1 LSB ε +½ LSB -½ LSB banda di quantizzazione L incertezza propria della quantizzazione è sempre pari a 1 LSB, ma distribuita nella fascia -½LSB, +½LSB V in V in 9

10 Caratteristica ideale e Retta di trasferimento L incertezza propria della quantizzazione è sempre pari a 1 LSB, ma distribuita nella fascia -½LSB, +½LSB 10

11 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Errore di offset Provoca una traslazione della caratteristica di conversione parallelamente a se stessa Tutti i codici emessi sono modificati della stessa quantità E recuperabile mediante calibrazione fino a rientrare nella fascia: ± ½LSB codici Errore di offset caratt. ideale caratt. reale V in 11

12 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Errore di guadagno Provoca una rotazione della caratteristica di conversione con centro l origine degli assi Tutti i codici emessi sono moltiplicati della stessa quantità E recuperabile mediante calibrazione fino a rientrare nella fascia: ± ½LSB codici Errore di guadagno caratt. ideale caratt. reale V in 12

13 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Errore di non linearità Può accadere che l ampiezza delle singole bande di quantizzazione non sia costan- te e pari a 1 LSB. La linea che unisce i punti medi delle bande di quantizzazione non è più una retta. codici caratt. ideale caratt. reale V in 13

14 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Non linearità differenziale E la differenza, su ogni singola banda di quantizzazione, tra l ampiezza di banda effettiva e 1 LSB. codici 111 caratt. ideale caratt. reale V in 14

15 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Omissione di codice Se per una banda l errore di non linearità differenziale su- pera 1 LSB, si perde un codice. codici caratt. ideale Omissione di codice caratt. reale V in 15

16 Un esempio di omissione di codice Tratto da: Nicholas Nick Gray ABCs of ADCs Rev 2, August 2004, Copyright 2003, 2004 National Semiconductor Corporation. 16

17 LA CARATTERISTICA DI CONVERSIONE REALE Non linearità integrale Si ottiene integrando gli errori di non linearità differenzia- le sull intero campo di misura dell ADC. codici 111 caratt. ideale caratt. reale V in 17

18 L errore di non linearità integrale: differenti definizioni 1. La massima deviazione della linea caratteristica di trasferimento (la congiungente i punti centrali dei gradini reali di quantizzazione) dalla retta ideale; 2. Il massimo scostamento della migliore retta interpretativa (determinata per es. con i minimi quadrati) da quella ideale; 3. Deviazione della linea caratteristica di trasferimento dalla retta ideale al termine della caratteristica di trasferimento; Leggere sempre le specifiche per sapere quel definizione è stata usata!! 18

19 L errore di non linearità I due indici visti, quello di non linearità differenziale e quello di non linearità integrale, danno un idea del comportamento dell ADC. Un elevato valore di non linearità integrale indica che gli errori di non linearità deformano la caratteristica nella stessa direzione. Un basso valore di non linearità integrale, accompagnato da un elevato valore di non linearità differenziale, indica che gli errori di non linearità hanno valore elevato, e verso opposto nei differenti punti della caratteristica. 19

20 Il dithering Si può, in alcuni casi, ridurre l effetto delle non linearità e della quantizzazione sull incertezza di uscita, adottando una tecnica detta dithering. Le non linearità sono in genere misurati per mezzo delle non linearità differenziale (DNL) e integrale (INL). Per ridurre le non linearità differenziali si fa variare il segnale di ingresso su più codici attigui in modo da mediare l errore sovrapposto al segnale. Il dither è un segnale/rumore non correlato a valore medio nulla e a densità di probabilità costante nell intervallo (-½ LSB - +½LSB) che viene sommato al segnale in ingresso e sottratto in uscita. 20

21 Il dithering Lo scopo del dither è quello di delocalizzare e rendere casuali gli errori di non linearità differenziale dei singoli codici. Così facendo il DNL finale risulta più uniforme e non presenterà invece la tipica periodicità dei convertitori ADC reali. Detto V s il segnale da acquisire e n d il dither, il segnale in ingresso al convertitore è quindi: V in = V s + n d In questo modo il segnale in ingresso al convertitore copre l intera banda di quantizzazione. 21

22 Il dithering Si supponga di acquisire N campioni V inj tensione in ingresso, e di farne la media: V in = 1 N N j= 1 V in j = 1 N N ( ) V + n j= 1 s d j della Poiché l incertezza di quantizzazione ha valore medio nullo, si ha, per N : V in = V s Si è quindi ridotta l incertezza dovuta alla quantizzazione. 22

23 Dither: miglioramento della risoluzione Per ridurre gli effetti della quantizzazione si è inizialmente pensato di sommare rumore bianco al segnale di ingresso. Nel 1960 Widrow scopri che gli effetti della quantizzazione possono essere diminuiti se l errore di quantizzazione è indipendente dal segnale. Successivamente Schuchman determinò quale tipo di segnale di dither deve essere utilizzato onde avere un errore di quantizzazione indipendente dal segnale di ingresso da convertire. In particolare si dimostra che per un ADC ideale il segnale di dither ottimo è un rumore bianco con valore efficace pari a 1/3 LSB. Vanderkooy and Lipshitz dimostrarono poi che mediante un segnale di dither la risoluzione di un ADC può essere migliorata sino al di sotto di 1 LSB. 23

24 Esempio Tratto da: Leon Melkonian, Improving A/D Converter Performance Using Dither, National Semiconductor, Application Note 804, February 1992, 1995 National Semiconductor Corporation. Segnale di ingresso Segnale di uscita distorto 24

25 Esempio: segnale sinusodiale piccolo Esempio: segnale sinusoidale di ampiezza picco picco pari a 1 LSB. È rappresentato mediante due soli codici. Se il segnale sinusoidale è centrato sulla soglia di commutazione fra due codici il segnale di uscita (ricostruito) rappresenta una onda quadra. È una rappresentazione assai approssimativa di una sinusoide. Le informazioni al di sotto di 1 LSB non sono rappresentate e quindi non esistono o, meglio, non sono disponibili. 25

26 Esempio: segnale sinusodiale piccolo Aggiungendo allo stesso segnale un segnale di dither (rumore) l uscita commuta molto spesso fra un codice e l altro. In questo caso informazioni di valore inferiore ad 1 LSB possono essere ottenute considerando per quanto tempo l uscita si trova in uno dei due codici. L informazione non è più portata solo dai livelli ma anche dal tempo. Effettuando una media nel tempo la risoluzione può essere aumentata significativamente al di sotto di 1 LSB. 26

27 Esempio: segnale sinusodiale piccolo È stata linearizzata la caratteristica di trasferimento. Lo spettro della potenza del segnale di uscita dimostra come la distorsione armonica dovuta alla quantizzazione è stata ridotta. Vediamo una interpretazione alternativa. In assenza di segnale di dither ogni segnale di ingresso è assegnato ad uno e a solo un codice. Non c è differenza fra due segnali analogici con ampiezza riconducibile allo stesso gradino della caratteristica di trasferimento (errore di quantizzazione). In presenza di dither ad ogni livello del segnale di ingresso è assegnata una distribuzione di probabilità di appartenere ad un gradino della caratteristica di trasferimento dei molti codici possibili (per esempio un dither molto ampio porta il segnale ad invadere più gradini). Se ne deduce che differenti livelli del segnale di ingresso che però sono mappabili allo stesso gradino della caratteristica di trasferimento sono assegnati a differenti distribuzioni di probabilità 27

28 Esempio: segnale sinusodiale piccolo Se ne deduce che differenti livelli del segnale di ingresso che però sono mappabili allo stesso gradino della caratteristica di trasferimento sono assegnati a differenti distribuzioni di probabilità. Ecco perché è possibile affermare che la risoluzione di un ADC con dither può essere migliorata sino al di sotto di 1 LSB. Esempio: 1 V FS n = 10 bit, V FS = 5 V Vrmsdither = = 1.6 mv n 3 2 Si analizza un segnale da 1 khz Vpp = 1 LSB Senza dither con dither 28

29 Altro dithering Un segnale di dither di tipo bianco è adatto ai seguenti casi: Segnali AC con ampia banda; ADC con caratteristica di trasferimento simile a quella ideale. Se, invece, l ADC ha DNL significante il segnael di dither più adatto è a banda stretta centrata alla frequenza di Nyquist. Per quanto riguarda l ampiezza questa dovrebbe essere dell ordine di alcuni LSB (tipicamente 4 o 5 LSB). 29

30 Comportamento in presenza di segnali variabili Le incertezze trattate precedentemente sono relative ad una situazione di regime statico. In regime dinamico, è possibile supporre, in prima approssimazione, che le incertezze non si discostino da quelle valutate in regime statico, purché la variazione del segnale durante la conversione non esca dalla fascia ±½LSB. 30

31 Comportamento in presenza di segnali variabili Si supponga di avere un segnale in ingresso sinusoidale, di frequenza f e di ampiezza pari al fondo scala. La massima variazione del segnale in ingresso si ha in corrispondenza del passaggio per lo zero. La risoluzione dell ADC vale V fs /2 n e quindi deve essere: Esempio: n = 8; t c = 20 µs f 31 Hz sin 1 2 ( ωt ) ωt n 1 ω n t 2 f 1 2πt 2 c n 31

32 Il Sample & Hold Nel caso in cui la variazione del segnale in ingresso sia superiore a ±½LSB è necessario anteporre al convertitore A/D un dispositivo di campionamento e tenuta (o Sample & Hold). V usc V in C V contr 32

33 Il Sample & Hold Fase di campionamento (Sample) interruttore chiuso tensione sul condensatore pari alla tensione V in V usc V in C V contr 33

34 Il Sample & Hold Fase di mantenimento (Hold) interruttore aperto tensione V usc pari alla tensione sul condensatore. V usc V in C V contr 34

35 Errore di quantizzazione L errore di quantizzazione può essere schematizzato come rumore bianco a valor medio nullo, di ampiezza massima pari a 1 LSB (indicato con Q=quantizzazione), uniformemente distribuito nell intervallo ± 1/2 LSB con densità di probabilità costante pari a 1/LSB nello stesso intervallo. La varianza è data da: s 2 adc = Q 2 -Q 2 x 2 ( ) 1 Q 1 Q Q 2 Q f x dx = x dx = x dx = -Q 2 -Q 2 1 3Q x 3 Q 2 -Q 2 = 1 3Q x Q 8 Q Q 2 Q -Q 2 1 = 3Q + 1 = 3Q Q 4 = 12 35

36 Errore di quantizzazione e, essendo: Q=V fs /2 n, 2 V sadc = ( n ) 12 4 e il valore efficace del rumore di quantizzazione, pari alla radice quadrata della varianza risulta: 2 fs Q s adc = = 12 1 LSB 12 Fissato il numero di bit n del convertitore, è quindi fissato l errore quadratico medio di quantizzazione. 36

37 La quantità Rumore di quantizzazione s 2 adc = V ( n ) 12 4 può però essere vista anche come il valore quadratico medio di un rumore (rumore di quantizzazione) ) che, sovrapposto ad un segnale comunque variabile all interno di una banda di quantizzazione, provoca l emissione dello stesso codice (corrispondente alla banda). Ha quindi senso risolvere rispetto ad n ed ottenere: 2 V n = log 4 fs s adc 2 fs 37

38 Rumore complessivo Supposto un segnale in ingresso sinusoidale, con valore efficace: V = Vfs si ha: n = log V sadc dove il rapporto V 2 /s 2 adc rappresenta un rapporto segnale rumore. Il rumore di quantizzazione può non essere l unico rumore presente. Si consideri un rumore s a che si sovrappone al segnale, e lo si supponga scorrelato al rumore si quantizzazione. Si ha allora un rumore complessivo il cui valore quadratico medio è: 2 s s = s 2 a + s 2 adc 38

39 Bit effettivi Sostituendo il valore quadratico medio del rumore complessivo nella espressione del numero di bit si ottiene: 2 eff = log n V ss V/s s rappresenta il bit rapporto segnale bit 10 bit rumore (SNR) complessivo e n eff rap bit 10 6 bit 8 presenta la effettiva 6 risoluzione (numero 4 di bit effettivi) del 2 0 convertitore al variare di SNR SNR [db] Si ha allora: N. di bit eff

40 Bit effettivi bit 12 bit 10 bit 8 bit 6 bit N. di bit eff SNR [db] Quando s a è trascurabile rispetto a s adc, la risoluzione effettiva coincide con la risoluzione nominale. Quando s a aumenta, la risoluzione effettiva diminuisce e tende asintoticamente allo stesso valore E inutile avere convertitori con elevata risoluzione nominale in presenza di forti rumori (generati internamente o esternamente al convertitore)!