I DIAGRAMMI DI BODE. B.1 Diagramma del modulo B.2 Diagramma della fase

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1 B I DIAGRAMMI DI BODE B. Diagramma del modulo B. Diagramma della fase

2 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI La funzione di trasferimento di un circuito elettronico, in generale scrivibile nella forma ( T s g s - z s z )...( - h) ( ) ( s - p )...( s - p ) k s z -... h - s p -... s p - A s z, k riassume in forma analitica le caratteristiche elettriche del circuito stesso (guadagno, poli, zeri) e permette di calcolare la risposta del circuito ad un ualunue segnale forzante. Tuttavia molto spesso ci si limita a selezionare come segnale forzante, perché più intuitivo e sperimentalmente più conveniente, una semplice sinusoide. In uesto caso, il segnale forzante non è individuato da un punto ualsiasi s=+j sul piano complesso (piano di Gauss) ma dal sottoinsieme di punti s=j che stanno lungo l asse ad =0. Il valore della funzione di trasferimento corrispondente a uesti punti, che indicheremo con T(j), corrisponde effettivamente alla T(s) lungo l asse y=j : (j - z)...(j - zh) T(j ) g A (j - p)...(j - pk) j z -... j zh - j p -... j p - Essendo anch essa una funzione complessa, di essa sarà utile studiare il valore del modulo (portatore dell informazione del guadagno del circuito) e della fase (portatrice dell informazione dello sfasamento tra la sinusoide di uscita e uella di ingresso). La rappresentazione grafica di ueste due caratteristiche della funzione T(j) riportata in funzione della pulsazione della forzante è usatissima per la sua k T(s) T(j T(j) ) p* 3dB j Diagramma di Bode T(j) p * Fig. B. Rappresentazione grafica di una funzione di trasferimento T(s) e di T(j).

3 I diagrammi di Bode 3 efficacia e chiarezza ed è nota come Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento di T(s). Nel seguito uindi vediamo in dettaglio come operare per giungere a dei grafici precisi ed efficaci dell andamento in freuenza della risposta di un circuito elettronico. Supponiamo, per fissare le idee, che la T(s) abbia la costellazione di poli e zeri riportata in Fig. B.. Scelto un ualunue valore s =j, il modulo di T(j) è dato da T( j) T( s) g s - z.. s - z h s - p.. s - p k Questa espressione mette in evidenza come T(j) sia il rapporto delle lunghezze dei vettori riportati in Fig. B.. Riportando T(j) in diagramma bilogaritmico, si ha T( j) 0log g 0log j z... 0log j p... db Per uanto riguarda la fase 0log A 0log j z... 0log j p... (B.) arg( T( j)) arg( g) arg( j z)... arg( j p )... (B.) dove, a parte arg(g), gli altri termini sono gli angoli rispettivamente formati da ciascun vettore in Fig. B. con l'asse positivo delle ascisse. Sia la (B.) che la (B.) sono additive, nel senso che sia il modulo che l'argomento di T(j) sono pari alla somma algebrica dei contributi dovuti agli zeri ed ai poli. Quindi, se si è in grado di ricavare il contributo elementare dovuto ad uno zero e ad un polo, si riesce a tracciare i diagrammi sia del modulo che della p j z s p* Fig. B. Costellazione di poli e zeri nel piano di Gauss. () polo, (o) zero.

4 4 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI fase di T(j). Le singolarità di una rete (poli e zeri) possono essere o reali o complesse coniugate. Discutiamo separatamente il contributo di singolarità reali e di singolarità complesse coniugate prima al diagramma del modulo di T(j) e poi a uello della sua fase. B. DIAGRAMMA DEL MODULO a) Contributo di singolarità reali In corrispondenza di un polo o uno zero reale s=, nella (B.) compare un termine del tipo 0log j /. Il contributo di uesti temini al modulo ed alla fase è j 0log 0log. (B.3) Per, 0log j / tende asintoticamente a 0dB. Analogamente, per : 0log j 0log 0log (B.4) che in diagramma bilogaritmico è una retta con pendenza 0dB/decade ed intersecante l'asse a 0dB per =. Lo scostamento tra il diagramma asintotico ed il valore esatto di 0log j / è massimo per = dove 0log j / vale 0log =3dB. Il segno con cui il termine dato dalla (B.3) interviene nel T(j) è positivo log T(j ) log T (j ) 0dB -3dB log 0dB 0dB/ dec -0dB 3dB -0dB/dec 0dB log a) b) Fig. B. Contributi a T(j) dovuti a singolarità reali: a) polo; b) zero.

5 Diagramma del modulo 5 o negativo a seconda che si tratti di uno zero o di un polo. In definitiva, una singolarità reale contribuisce a T(j) con gli andamenti della Fig. B.. b) Contributo di singolarità complesse coniugate Si consideri ora una coppia di poli complessi coniugati, e. Risulta = =. Essi determinano in T(s) la presenza di un trinomio di secondo grado al denominatore (s- z )... T( s) g,...(s + s + )... dove =Re( ). Il fattore di forma della coppia di poli è =Re( )/. Per rappresentare graficamente T(j) non conviene sviluppare i trinomi corrispondenti a singolarità complesse coniugate, ma porre invece il trinomio nella forma s z... T( s) A.... s + s +... Quindi j T( j)... log 0... db Studiamo uindi il contributo di termini del tipo 0 log j 0 log (B.5) Per, la (B.5) è ancora asintotica al valore 0dB. Invece, per nella (B.5) prevale il termine con 4 sotto il radicale. Quindi si ha: 0 log 40 log

6 6 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI log T(j) log T(j) +40dB/dec log -40dB/dec a) b) log Fig. B.3 Contributi a T(j) dovuti a singolarità complesse coniugate: a) polo; b) zero. che, in diagramma bilogaritmico, è una retta con pendenza 40dB/decade ed intersecante l'asse a 0dB per =. Il maggior scostamento tra il diagramma asintotico e il diagramma reale si ha ancora per =, dove la (B.5) vale 0log(). Per cui, se il fattore di forma della coppia è =, ovvero le singolarità sono reali e coincidenti, 0log() vale 0log=6dB. Si ha esattamente il doppio dello scostamento dovuto ad una sola singolarità reale. Se invece =/, le singolarità sono sulle bisettrici dei uadranti del piano di Gauss, 0log() vale 0, e uindi anche il diagramma reale passa per il punto =. Se =0, le singolarità sono immaginarie coniugate e uindi 0log(). Il contributo al diagramma di T(j) dato da singolarità complesse coniugate è riportato nella Fig. B.3. In definitiva il termine (B.5) contribuisce a T(j) preceduto da un segno positivo o negativo a seconda che esso sia dovuto a zeri o a poli complessi coniugati. Sovrapponendo gli andamenti riportati nelle figure B. e B.3, è possibile tracciare il diagramma di T(j) di una ualsiasi rete. In genere, il diagramma costruito sovrapponendo solo gli andamenti asintotici dei contributi a T(j) è detto diagramma di Bode. Esso è uindi caratterizzato da andamenti a spezzata. Invece, il diagramma accurato dell'andamento di T(j) è generalmente indicato come diagramma della risposta in freuenza della rete elettrica.

7 Diagramma del modulo 7 E B. Tracciare il diagramma di T(j) della rete dell'esercizio E A.0 al variare del valore della resistenza R. La funzione di trasferimento della rete è data dalla (A.) e uindi T( j) g pp j p - j p - dove g=/c e p p =/LC. Ovvero g j j T( j) 0log 0log 0log 0log. db p p p p E' facile verificare che il termine 0log(), dovuto allo zero in s=0, è un caso particolare della retta (B.) per =0. Il diagramma asintotico di T(j) nel caso di poli reali distinti è riportato nella figura successiva. log T(j) 3dB 0dB/dec p p -0dB/dec log Lo zero nell'origine determina un contributo iniziale crescente con 0dB/decade. Per = p uesta pendenza è compensata dalla pendenza di 0dB/decade dovuta al primo polo. Quindi, per = p interviene l'ulteriore contributo dovuto al secondo polo che porta la pendenza asintotica del diagramma a 0db/decade. Il vero diagramma di T(j) è 3dB più basso del diagramma asintotico per = p ed = p. Si ricavi il diagramma di Bode della rete nel caso di poli reali coincidenti. Tracciamo ora il diagramma di Bode nel caso in cui i poli siano complessi coniugati. La funzione di trasferimento della rete può essere scritta come: g T( s) s, s + s dove 0 =p p =/LC e è il fattore di forma della coppia di poli. Il diagramma di T(j) è riportato nella figura successiva. Lo zero reale nell'origine determina sempre, in base alla (B.4), un contributo iniziale crescente con 0dB/decade. Per 0, la pendenza del diagramma asintotico diventa 0dB/decade a causa del 0

8 8 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI contributo 40dB/decade della coppia di poli complessi coniugati. Per 0, il valore di T(j) dipende dal fattore di forma dei poli. I diagrammi riportati mettono in evidenza come la rete risonante in esame privilegi il trasferimento delle componenti armoniche limitate in una banda (come nel caso di poli reali) o risonanti con = 0. La rete ha, uindi, le caratteristiche di un filtro passa banda, tanto più selettivo uanto più è piccolo il fattore di forma dei poli. Per esprimere la selettività del filtro è comodo introdurre il fattore Q=/(), detto fattore di ualità della coppia di poli. Giacché Q è inversamente proporzionale a, esso aumenta all'aumentare della parte immaginaria dei poli e uindi all'aumentare della selettività del filtro attorno alla freuenza centrale 0. log T(j) +0dB/dec 0-0dB/dec log In generale una rete risonante con un alto valore di Q è una rete estremamente selettiva. La selettività in freuenza manifestata dalla rete risonante analizzata può essere compresa intuitivamente se si considera che un segnale sinusoidale può persistere nella rete solo se esso è risonante con lo scambio di energia tra il condensatore e l'induttore. Questo scambio è caratterizzato dalla pulsazione 0. La selettività per le freuenze prossime ad 0 è uindi la traduzione nel dominio delle freuenze di uesta caratteristica energetica della rete LC.

9 Diagramma delle fasi 9 B. DIAGRAMMA DELLE FASI a) Contributo di singolarità reali Consideriamo ora il diagramma dello sfasamento. Il contributo di una singolarità reale all'argomento di T(j) è pari a: j arg( ) arctg( ). (B.6) Graficamente, la (B.6) è l'angolo formato dal vettore (j-) con l'asse positivo delle ascisse (cfr. Fig. B.4). Quindi, se la singolarità è nel semipiano sinistro, la (B.6) vale 0 per, 4 per =, e / per. Se la singolarità è reale positiva, allora la (.45) vale per, 3/4 per = e / per. La transizione tra i valori asintotici avviene nell'intervallo /00. b) Contributo di singolarità complesse coniugate Nel caso di singolarità complesse coniugate con fattore di forma e modulo, si ha: j a) b) 0 /0 0 log c) /0 0 log Fig. B.4 Contributo allo sfasamento dovuto ad una singolarità reale: a) rappresentazione grafica nel piano di Gauss; b) sfasamento dovuto ad una singolarità reale negativa; c) sfasamento dovuto ad una singolarità reale positiva.

10 0 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI j j p p p * ' p * ' Fig. B.5 Rappresentazione grafica nel piano di Gauss dello sfasamento dovuto a singolarità complesse coniugate. arg j arctg. (B.7) Graficamente la (B.7) è la somma degli angoli indicati in Fig. B.4. Se le singolarità hanno parte reale negativa, la (B.7) vale 0 per, per =, e per. Se la singolarità sono con parte reale positiva, allora la (B.7) vale per, 3/ per = e per. La transizione tra i valori 0 /0 0 log /0 0 log a) b) Fig. B.6 Sfasamento dovuto ad una coppia di singolarità complesse coniugate: a) singolarità con parte reale negativa; b) singolarità con parte reale positiva.

11 Diagramma delle fasi asintotici dipende dal fattore di forma. Gli andamenti sono riportati in Fig.B.5. Sulla base degli andamenti in Fig. B.4 e B.5 ed applicando la (B.), si possono ricavare i diagrammi degli sfasamenti delle reti. E B. Ricavare il diagramma dello sfasamento per la rete dell'esercizio E A.0 al variare del valore della resistenza R. Nella figura successiva è riportato l'andamento dello sfasamento nel caso di poli reali distinti con parte reale negativa. Se i due poli distano più di una decade, lo sfasamento per p è essenzialmente dovuto allo zero nell'origine ed è uindi pari a /. Per p /0, l'effetto del primo polo incomincia a farsi sentire. In base alla (B.), lo sfasamento dei termini legati ai poli della rete va a sottrarsi al contributo dato dagli zeri. Quindi la fase diminuisce e per = p essa è pari a /4. Per = p lo sfasamento totale è pari alla somma di / dovuto allo zero, - / dovuto al primo polo e -/4 dovuto al secondo polo. Quindi, in totale, =-/4. Asintoticamente, lo sfasamento dovuto al secondo polo raggiunge -/ e uindi =-/ per 0 p. p /0 p 0 p p /0 p 0 p log Se i poli sono complessi coniugati, lo sfasamento per 0 = p è dovuto allo zero nell'origine e uindi è pari a /. Per 0 /0 si comincia a sentire l'effetto della coppia di poli. Per 0 lo sfasamento totale è pari alla somma di / dovuto allo zero, -/ dovuto alla coppia di poli; la fase è uindi nulla. A seconda del fattore di forma della coppia di poli la variazione della fase sarà più o meno graduale. Asintoticamente lo sfasamento dovuto alla coppia di poli vale - e uindi =-/ per 0.

12 Appunti del corso Elettronica Analogica Prof. Marco Sampietro - POLIMI 0 0 /0 0 0 log E B.3 Sia data la rete della figura. Tracciare i diagrammi del modulo e della fase della sua funzione di trasferimento. + v in - k 0nF v u k 0nF Si noti che la rete ha un diagramma di T(j) piatto a seguito della coincidenza del valore assoluto del polo nel semipiano sinistro con uello dello zero nel semipiano destro. Reti elettriche con zeri nel semipiano destro sono dette a sfasamento non minimo, perché il loro contributo allo sfasamento totale è tale da sommarsi a uelli già presenti per effetto dei poli e zeri del semipiano sinistro. Come mai la rete ha un solo polo? E B.4 Sia dato il circuito della figura seguente. Discutere come cambia la sua funzione di trasferimento al variare di R ed R. Tracciare i corrispondenti diagrammi del modulo e della fase. Riportare in un grafico uotato l'andamento delle risposte al segnale a gradino E. (t).

13 Diagramma delle fasi 3 + v in - R R v u R C L E B.5 Sia data la rete nella figura. Tracciare i diagrammi del modulo e della fase della sua funzione di trasferimento e disegnare la risposta al segnale a gradino E. (t). 0nF v in + k k - 0nF v u