FISICA. CdS Scienze Biologiche. Stefania Spagnolo. Dip. di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi
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1 FISICA CdS Scienze Biologiche Stefania Spagnolo Dip. di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi stefania.spagnolo@le.infn.it (please, usate oggetto/subject: CdSBiologia) Diario del programma e delle lezioni svolte Stefania Spagnolo
2 INTRODUZIONE: fissiamo le idee Esercizi 2
3 INTRODUZIONE: fissiamo le idee 1 yard = m a) 45 x 10-5 m = 0.45mm b) (1.06/2.40) 3 x =0.86 x
4 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE Definizione di Velocità numerose definizioni. Definizione di Accelerazione. un paio di definizioni moto rettilineo uniforme moto rettilineo uniformemente accelerato 4
5 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE spostamento = A d = lunghezza del percorso (tratteggiato) A r(t) Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A O Conoscere la traiettoria del punto materiale significa conoscere il suo vettore di posizione ad ogni istante di tempo r(t) il vettore spostamento ci fornisce solo un informazione riassuntiva (globale) sul moto la posizione istantanea r(t), nota istante per istante, descrive completamente il moto 5
6 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE spostamento = A d = lunghezza del percorso (tratteggiato) A Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A Definizioni velocità scalare media vs,m = d / Δt quantità scalare che tiene conto dell intero percorso effettivo e ci da velocità media vm = A / Δt = Δr / Δt dove un indicazione Δr = rb - ra del valore medio del modulo della velocità istante per velocità istantanea v ( t ) = d r(t) / dt istante; ci fornisce un informazione accelerazione media am = Δv / dt riassuntiva (globale) sul moto accelerazione istantanea a ( t ) = d v(t )/ dt 6
7 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE spostamento = A d = lunghezza del percorso (tratteggiato) ra x z O y A rb Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A Definizioni velocità scalare media vs,m = d / Δt velocità media vm = A / Δt = Δr / Δt dove Δr = rb - ra velocità istantanea v ( t ) = d r(t) / dt quantità vettoriale; è un vettore parallelo al vettore spostamento; accelerazione media am = Δv / dt tiene conto solo del punto iniziale e accelerazione istantanea a ( t ) = d v(t )/ dt del punto finale del percorso; ci fornisce un informazione riassuntiva (globale) sul moto 7
8 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE spostamento = A d = lunghezza del percorso (tratteggiato) Definizioni velocità scalare media velocità media velocità istantanea accelerazione media vs,m = d / Δt vm = A / Δt = Δr / Δt dove Δr = rb - ra v ( t ) = d r(t) / dt am = Δv / dt accelerazione istantanea a ( t ) = d v(t )/ dt x z O y A r(t+dt) r(t) Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, dr(t)/dt impiega = v(t) il tempo Δt = tb - ta dr(t) percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A La velocità istantanea, dipende dal punto sulla traiettoria, cioè dipende dal tempo; quantità vettoriale; è un vettore tangente alla traiettoria in ogni suo punto (orientato concordemente con il verso del moto); rappresenta la variazione (in modulo direzione e verso) della posizione del punto materiale in un intervallo di tempo infinitesimo di tempo diviso per la durata dell intervallo (infinitesimo) stesso; ci fornisce un informazione istantanea (dipendente dal punto/tempo) sul moto 8
9 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE vb va x z O y A Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A Definizioni velocità scalare media vs,m = d / Δt L accelerazione media è una quantità vettoriale; tiene conto solo velocità media vm = A / Δt = Δr / Δt dove della velocità Δr = rb - iniziale ra e finale e rappresenta la variazione totale di velocità istantanea v ( t ) = d r(t) / dt velocità nel percorso (vb-va) divisa accelerazione media am = Δv / Δt per la durata complessiva del moto. Ci fornisce un informazione accelerazione istantanea a ( t ) = d v(t )/ dt riassuntiva (globale) sul moto 9
10 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE va x z O y A v(t+dt) a(t) v(t) Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre il percorso tratteggiato in figura, che ha lunghezza d lo spostamento del punto materiale è il vettore A Definizioni L accelerazione istantanea è una velocità scalare media vs,m = d / Δt quantità vettoriale; descrive la rapidità con cui cambia la velocità velocità media vm = A / Δt = Δr / Δt punto Δr = per rb - punto ra (cioè ad ogni istante velocità istantanea v ( t ) = dr(t) / dt di tempo). Ci fornisce accelerazione media am = Δv / Δt un informazione istantanea (dipendente dal punto/tempo) sul accelerazione istantanea a ( t ) = dv(t ) / dt moto 10
11 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE x ^ A Un punto materiale si sposta dal punto A al punto B parte al tempo ta e arriva al tempo tb, impiega il tempo Δt = tb - ta percorre un percorso rettilineo arbitrario tra A e B, che ha lunghezza d (può procedere andando avanti e poi tornando indietro e ancora avanti, per esempio) lo spostamento del punto materiale è il vettore A Definizioni velocità scalare media vs,m = d / Δt velocità media vm = A / Δt = (Δx / Δt) x ^ Δx = xb - xa vm = vm x= ^ Δx / Δt velocità istantanea v ( t ) = v(t) x ^ = ( dx(t) / dt ) x ^ accelerazione media am = Δv / Δt accelerazione istantanea a ( t ) = a(t) x ^ = ( dv(t ) / dt ) x^ 11
12 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE velocità istantanea v ( t ) = v(t) x ^ = ( dx(t) / dt ) x ^ componente x (nella direzione del moto) > v ( t ) = dx( t ) / dt v(t) è la pendenza della retta tangente alla curva (funzione) x(t) in funzione di t 12
13 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE velocità media in una dimensione 13
14 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE velocità istantanea in una dimensione 14
15 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE accelerazione media in una dimensione 15
16 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE accelerazione istantanea in una dimensione 16
17 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Consideriamo casi semplici: Velocità costante: v(t) = v0 per ogni istante di tempo t cioè la velocità istantanea non cambia mai ne modulo ne velocità ne verso la velocità scalare media = v0 la velocità media (componente sull asse del moto) è v0 in tempi uguali il punto materiale percorre distanze uguali x(t) = xa + v0 (t - ta) moto rettilineo uniforme NOTA: velocità costante SIGNIFICA accelerazione nulla 17
18 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Consideriamo casi semplici: Velocità costante: v(t) = v0 per ogni istante di tempo t x(t) = xa + v0 (t - ta) moto rettilineo uniforme 18
19 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Consideriamo casi semplici: Accelerazione costante: a(t) = a0 per ogni istante di tempo t cioè l accelerazione istantanea non cambia mai ne modulo ne velocità ne verso la velocità non è costante ma cresce in modo uniforme in tempi uguali la velocità del punto materiale cambia per quantità uguali v(t) = va + a0 (t - ta) x(t) = xa +va (t-ta) +(1/2) a0 (t - ta) 2 moto rettilineo uniformemente accelerato per ta =0 19
20 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE DIMOSTRAZIONE NOTA: questo non è un passaggio banale, vedi la dimostrazione nella prossima slide 20
21 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Consideriamo casi semplici: Accelerazione costante: a(t) = a0 per ogni istante di tempo t v f (v f +v 0) /2 v(t) = va + a0 (t - ta) NOTA: l area sotto la curva v(t), tra t0 e t è uguale allo spostamento totale lungo l asse x. Infatti, dividendo il tempo t-t0 in intervallini infinitesimi l area sotto la curva risulta uguale alla somma (integrale) delle aree di rettangolini di base (infinitesima) dt e altezza v. L area sotto la curva v(t) è la somma dei dx(area del rettangolino) = vdt per tutti i rettangolini; perciò risulta uguale a x totale L area sotto la curva v(t) [A], d altra parte, può essere calcolata come somma dell area di un rettangolo (di lati v0 e t-t0) e di un triangolo reattangolo con cateti vf-v0 e t-t0: A = v0 x (t-t0) x (vf -v0)x(t-t0) = = 0.5 x (v0 + vf) = media aritmetica del valore iniziale e finale della velocità per (t-t0). PERTANTO: x = (v0+vf)(t-t0)/2 => Abbiamo dimostrato che in un moto uniformemente accelerato vmedia = media aritmetica di velocità iniziale e finale. 21
22 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Accelerazione costante: a(t) = a0 per ogni istante di tempo t v(t) = va + a0 (t - ta) x(t) = xa +va (t-ta) +(1/2) a0 (t - ta) 2 moto rettilineo uniformemente accelerato 22
23 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Accelerazione costante: a(t) = a0 per ogni istante di tempo t 1) v(t) = va + a0 (t - ta) 2) x(t) = xa +va (t-ta) +(1/2) a0 (t - ta) 2 moto rettilineo uniformemente accelerato DIMOSTRAZIONE 1) 2) 23
24 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato: corpi in caduta libera ^ g=-gy asse y Le osservazioni di Galileo dimostrarono che tutti i corpi (indipendentemente dalla loro massa ) lasciati cadere sono soggetti alla stessa accelerazione COSTANTE diretta verso la terra g asse x 24
25 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato: corpi in caduta libera fissato il sistema di riferimento come in figura (asse y verticale che punta verso l alto) la traiettoria di un corpo in caduta libera è y(t) = y0 + v0 t - (1/2) g t 2 y0 è la posizione y iniziale del corpo v = v0 y ^ è la velocità iniziale del corpo asse y g asse x 25
26 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esercizi y0 = h; v0 = 0 y(t) = h - gt 2 /2 la mela raggiunte la terra ( y(tt)=0 ) at tempo tt 0 = h - gtt 2 /2 => tt = ( 2h/g ) velocità all impatto v(tt) = -g tt = - ( 2hg ) ^ y0 = h; v0 = -v0 y y(t) = h - v0t - gt 2 /2 la mela raggiunte la terra ( y(tt)=0 ) at tempo tt 0 = h - v0tt - gtt 2 /2 tt = [-v0 ± ( v0 2 +2hg )]/g velocità all impatto v(tt) = -v0 - g tt = - ( v0 2 +2hg) ^ y0 = h; v0 = v0 y y(t) = h + v0t - gt 2 /2 la mela raggiunte la terra ( y(tt)=0 ) at tempo tt 0 = h - v0tt - gtt 2 /2 tt = [+v0 ± ( v0 2 +2hg )]/g velocità all impatto v(tt) = v0 - g tt = - ( v0 2 +2hg) quota massima at tymax, in cui v(tymax)=0= v0 -g tymax tymax = v0/g ymax = y(tymax) = h + v0 2 /2g asse y h g v0 = 0 asse y h g v0 asse y h g v0 asse x asse x asse x 26
27 MOTO IN DUE DIMENSIONI: PROIETTILE proiettile: corpo lanciato con una velocità iniziale che ha una componente verticale e una orizzontale asse y v0x x0 asse x asse y h g v0y asse x 27
28 MOTO IN DUE DIMENSIONI: PROIETTILE proiettile: corpo lanciato con una velocità iniziale che ha una componente verticale e una orizzontale vx(t) = v0x x(t) = x0 + v0x t v0 = v0 cosθ ^ x +v0 sinθ ^ y v0 = ^ v0x x ^ +v0y y v0x vy(t) = v0y - g t y(t) = y0 + v0y t - (1/2) g t 2 tempo dell impatto tt = [+v0y + ( v0y 2 +2hg )]/g asse y h g v0 asse y = moto rett. x0 unif. in X θ x0 asse x moto rett. unif. acc. in Y modulo della velocità all impatto v(tt) = [ v0x 2 + ( v0y 2 +2hg) ] quota massima at tymax, in cui vy(tymax)=0= v0y -g tymax tymax = v0y / g ymax = y(tymax) = h + v0y 2 /2g asse x asse y h g v0y x all impatto (gittata del proiettile) x (tt)= x0 + v0x tt = x0 + v0x [v0y + ( v0y 2 +2hg )]/g asse x 28
29 MOTO IN DUE DIMENSIONI: PROIETTILE proiettile: corpo lanciato con una velocità iniziale che ha una componente verticale e una orizzontale x0 = 0 h=0 29
30 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esercizi 30
31 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esercizi Ricorda che [analisi] il valore della derivata prima di una funzione f(x) in un certo punto (x0) rappresenta la pendenza della retta del piano x,y che nel punto (x0,f(x0)) risulta tangente alla curva del piano i cui punti hanno coordinate (x,y=f(x)), cioè alla curva che rappresenta il grafico della funzione f(x) 31
32 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE IN UNA DIMENSIONE Esercizi 32
33 MOTO IN DUE DIMENSIONI: PROIETTILE Esercizi 33
34 Forze e Leggi della Dinamica M. Taiuti, M.T. Tuccio Appunti di Fisica per Biologia in (Università di Genova) 34
35 FORZE E LEGGI DELLA DINAMICA Le forze che agiscono su un corpo si sommano vettorialmente M (massa inerziale) è una proprietà intrinseca del corpo su cui agiscono le forze Unità di misura della forza è il N (Newton) = kg m s -2 Una forza che agisce su un corpo implica la presenza di un secondo corpo responsabile di applicare la forza 35
36 FORZE 36
37 FORZE 37
38 FORZE quiete finché F// < μs N μs coeff. di attrito statico μd coeff. di attrito dinamico 38
39 FORZE F= ^ -G M1M2 r / r 2 z M2 r^ y x M1 R T = 6.37 x 10 6 m 39
40 FORZE F= k ^ q1q2 r / r 2 z q2 ^ r x q1 y 40
41 FORZE Esercizi 41
42 FORZE Esercizi 42
43 MOTO CIRCOLARE UNIFORME un arco di lunghezza s è percorso nel tempo t il periodo T è il tempo necessario a percorrere l intera circonferenza 2 π R = v T frequenza: ν = 1/Τ pulsazione: 2 π ν = ω 43
44 MOTO CIRCOLARE UNIFORME vf è perpendicolare a rf DIMOSTRAZIONE il triangolo rosso è simile al triangolo nero (perché Δθ è uguale nei due triangoli e due lati sono in rapporti uguali: rf/vf = ri/vi ) allora Δr / r = Δv / v => vi è perpendicolare a ri quindi l angolo tra vf e vi è uguale all angolo tra rf e ri ac = (Δv / Δt) = ( Δv / v )(v / Δt) = ( Δr / r )(v / Δt) = ( Δr / Δt ) v/r = v 2 / r 44
45 MOTO CIRCOLARE UNIFORME s(t) = vt; ds = v dt un punto sulla circonferenza ha coordinate cartesiane x,y polari (ρ, θ) con ρ costante ΝΟΤΑ: ds = Rdθ => v = ds/dt = R dθ/dt => dθ/dt = ω quindi, velocità tangenziale v costante in modulo significa velocità angolare costante ω Le equazioni del moto sono quindi ρ(t) = R θ(t) = θ0+ω(t -t0) x(t) = R cos( ω (t-t0) + θ0 ) y(t) = R sin( ω (t-t0) + θ0 ) coordinate polari coordinate cartesiane ω = velocità angolare istantanea un arco di lunghezza s è percorso nel tempo t s(t) = vt il periodo T è il tempo necessario a percorrere l intera circonferenza 2 π R = v T frequenza: ν = 1/Τ pulsazione: 2 π ν = ω 45
46 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Esercizi 46
47 MOTO CIRCOLARE UNIFORME Esercizi 47
48 FORZE Forza d attrito viscoso: F = - b v pallina che cade in un fluido (liquido o gas) v parte dal valore iniziale 0 aumenta (a causa di g) vettore accelerazione il modulo diminuisce fino ad annullarsi quando v aumenta, diminuisce ay F = -mg - bv = mdvy/dt vettore velocità il modulo aumenta e raggiunge un valore limite 48
49 FORZE Forza d attrito viscoso: F = - b v pallina che cade in un fluido (liquido o gas) velocità limite = mg/b F = -mg - bv = mdvy/dt costante di tempo τ = m/b -mg - b v = m dv/dt => dv / (bv + mg) = -dt/m (1/b) ln ( bv + mg ) = -t/m ( bv + mg )/mg = exp( -tb/m ) v( t ) = (mg/b) ( exp (-bt/m) - 1 ) NOTA v( 0 ) = 0 v( inf ) -mg/b [rivolta verso il basso naturalmente] 49
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