, conservaz del mom della quant di moto, in cui abbiamo 3 cost scalari.

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1 Il probl degli N corpi consiste nello studio del moto di un sistema di n punti di massa, soggetti alle mutue interazioni gravitaz descritte dalla legge newtoniana. L obiettivo è quello di identificare la traiettoria e la legge oraria di ciascun corpo celeste, sotto l influenza delle forze gravitazionali. Legge di gravitazione universale di Newton: Le eq card x un sist di corpi: Dati corpi e g.d.l. corpo dobbiamo det cost del moto per avere una soluz in forma chiusa. Riscriviamo l eq card:, xché sn tt F interne di un sist isolat,. Dividendo per otteniamo:, da cui ricavo che il centro di massa si muove con moto rett unif in cui compaiono 2 cost vett e quindi 6 cost del moto. Restano da det cost del moto. Dalla 2 eq card: e integrando una volta:, conservaz del mom della quant di moto, in cui abbiamo 3 cost scalari. Dobbiamo quindi det cost del moto. Sapendo che le forze gravitaz sono conserv:, è il potenziale. Moltiplichiamo scalarmente la 1 eq card per cost che però non siamo in grado di det. Quindi il problema degli, conserv dell en mecc, per cui mancano corpi non ha una soluzione in forma chiusa. Problema dei 2 corpi: Descrizione del moto di due corpi ptiformi sotto l azione delle sole forze di interazione dei due corpi stessi. Il modello kepleriano è valido se le masse dei due corpi sono piccole e le distanze dei corpi grandi:. Dalla 1 eq card otteniamo: (il centro di massa si muove di moto rett unif). Cambiamo il sist di rif, ponendo ora l origine nel centro di massa: Dalla 1 eq card per il corpo 1: e sapendo che. Poniamo, se, sotto tale hp, l equazione vale per ogni che orbita intorno a. Per cui ricaviamo:. Moltiplichiamo vett per :. Sapendo che la derivata del momento della quantità di moto:, per cui la quant di moto si conserva Il mom della quant di moto: ci garantisce che i vettori e giacciono su un piano (moto confinato su un piano fisso) e sono vincolati a passare per. Dobbiamo det altre cost del moto: e sapendo che: (cost) è il vett eccentricità (cost). Abbiamo ottenuto 3 nuove costanti del moto ( è perpendicolare al piano del moto ed

2 giace sul piano del moto). Per det l ultima cost del moto, consideriamo l energia:. In totale, quindi, abbiamo: - Costanti del moto assoluto: centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme (6 scalari) - Costanti del moto relativo: 6 costanti del moto SOLUZIONE DEL PROBLEMA DEI 2 CORPI Moltiplichiamo il vett eccentricità per : eq di una conica in coordi polari: Geom delle coniche (La forma delle sez coniche dip da e) Considerazioni energetiche Sapendo che ed e sapendo che: otteniamo: Possiamo scrivere: circonferenza, 2 soluzioni coincidenti per ellisse, 2 soluzioni distinte per parabola, 1 sola soluzione per iperbole, 1 sola soluzione per Definizione delle velocità lungo l orbita Velocità trasversa: Velocità radiale:, essendo - Orbita circolare ( ): - Orbita parabolica ( ): - Orbita iperbolica ( ):

3 LEGGI DI KEPLERO 1 : Le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissi con il Sole in uno dei fuochi. 2 : Il raggio vettore congiungente il pianeta con il Sole spazza aree uguali in tempi uguali: Area tracciata:, ma la vel areolare risulta cost e sapendo che. 3 : :. Legge oraria: equazione di Keplero Vogliamo det la legge oraria. Questo integrale è risolvibile in forma chiusa solo per oppure : - (circ):, con (legge oraria per un orbita circolare) ci stiamo muovendo su una circonferenza con legge oraria - (parab):, con (legge oraria per un orbita parabolica). Negli altri casi bisogna applicare una trasformazione geometrica. - (ellisse): è l anomalia eccentrica, mentre:. Otteniamo quindi che: Per vale (ci troviamo sulla circonferenza): è una vel angolare media. Definiamo l anomalia media:. Dalla legge delle aree: Quindi: Anomalia media: relazione di Keplero: equazione non lineare per la legge oraria (metodi di Newton, noto e ), quindi legge oraria che lega a. - (iperb): è l anomalia eccentrica iperbolica.

4 PARAMETRI ORBITALI Definendo sono in grado di def univoc la traiett del nostro corpo attorno all attrattore; oppure per def univoc la traiett posso usare:. Per passare dagli elem cartesiani agli elementi orbitali e viceversa: o Semiasse maggiore: o Eccentricità: o Anomalia vera: o Inclinazione:,, o o Anomalia del nodo ascendente: o Anomalia del pericentro: : : Effetto delle manovre

5 Manovre a un impulso - Manovra tangente o Punto absidale: cambio di forma e dimensione (Se cambio il semiasse maggiore, a, cambia anche l eccentricità, e. Per mantenere costante e cambiare solo devo fare 2 manovre tangenti) - Manovra tangente (rotazione del semiasse maggiore) o Qualunque posizione: cambio di forma, dimensione e orientamento. (Applicato per variare le posizioni apsidali e ruotare l asse maggiore) o Rotazione del semiasse maggiore e variazione dell anomalia vera senza variazione di forma e dimensione (varia mantenendo e ). mi consente di individuare il punto in cui fare la manovra. Ho due possibilità: : oppure Ottimalità del trasferimento alla Hohmann Possiamo ragionare su derivando: Il pto a minore è il pto con minore. Convenienza tra Hohmann e bi ellittico: se

6 Cambi di piano Cambio simultaneo di e : (manovra molto costosa, infatti a ) Dal triangolo sferico: Variando sia che, otteniamo una variazione non desiderata di. Utilizzando le relazioni tra gli angolo dei triangoli sferici: ho due soluzioni: Sapendo che: Cambio di ma non di Cambio di ma non di Manovra effettuata all equatore in corrisp del nodo ascendente: Strategia biellittica per il cambio di piano Trasf biellittico a 3 impulsi: Per un trasf con solo cambio di :, se Passaggio iperbolico: Manovra di assistenza gravitazionale: Il passaggio iperbolico ravvicinato ad un pianeta può essere sfruttato per controllare la velocità del satellite, ottenendo di fatto una manovra gratuita: - Passaggio davanti al pianeta diminuisce la velocità del satellite consente di ridurre la velocità della sonda - Passaggio dietro al pianeta aumenta la velocità del satellite consente di aumentare la velocità della sonda