I Meccanica Orbitale 1

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1 Indice I Meccanica Orbitale 1 1 Meccanica kepleriana Il moto dei pianeti e le leggi di Keplero Il problema degli n-corpi Potenziale gravitazionale di un corpo sferico Il problema dei due corpi (moto kepleriano) Conservazione dell energia meccanica Conservazione del momento della quantità di moto L equazione della traiettoria Dimostrazione della 2 a e 3 a legge di Keplero Velocità circolare, di fuga e di eccesso iperbolico Classificazione delle orbite Unità canoniche Note e riferimenti bibliografici Sistemi di riferimento e misura del tempo La sfera celeste Il Sistema di riferimento Eliocentrico-Eclittico Moto del sistema di riferimento Eliocentrico-Eclittico Il sistema di riferimento Geocentrico-Equatoriale Conversione (α, δ, r) (x, y, z) e viceversa Conversione (λ, φ, h) (x, y, z) e viceversa Il sistema di riferimento Topocentrico-Orizzontale Il sistema di riferimento Perifocale La misura del tempo Introduzione Tempo siderale Tempo solare Tempo solare medio e tempo universale Tempo delle effemeridi L anno

2 vi INDICE La Data Giuliana Conversioni temporali Note e riferimenti bibliografici Elementi orbitali e trasformazioni di coordinate I sei elementi orbitali classici Trasformazioni di coordinate Rotazioni elementari Trasformazione T G T T e viceversa Trasformazione di coordinate T G T P e viceversa Calcolo degli elementi orbitali sulla base di r e v Calcolo di r e v sulla base degli elementi orbitali Note e riferimenti bibliografici Calcolo della posizione del satellite in funzione del tempo Ellisse e iperbole: proprietà analitiche Legame tra anomalia vera ed anomalia eccentrica L equazione di Keplero L equazione di Keplero in forma analitica Tempo di volo su orbita parabolica Tempo di volo su orbita iperbolica Interpretazione geometrica di F Soluzione del problema inverso di Keplero Soluzione per orbita ellittica Soluzione per orbita parabolica Soluzione per orbita iperbolica Formule universali per le orbite coniche Gli invarianti fondamentali di Lagrange Effemeridi dei pianeti Effemeridi di bassa precisione Note e riferimenti bibliografici Problemi di meccanica orbitale Mutua visibilità di due satelliti Studio delle condizioni di eclissi di un satellite Calcolo della posizione del Sole Eclissi con modello d ombra cilindrico Eclissi con modello d ombra conico Orizzonte del satellite Arco spazzato Campo di vista Determinazione orbitale con misure di posizione

3 INDICE vii 5.5 Determinazione orbitale con misure angolari Vincoli orbitali imposti dalla stazione di lancio Note e riferimenti bibliografici Il problema di Lambert Introduzione L equazione di Lambert Considerazioni geometriche del problema Posizione del fuoco vacante Ellisse di minima energia Soluzione del problema di Lambert Orbite ellittiche Orbite iperboliche Orbite paraboliche Procedura per la soluzione del problema Eccentricità dell orbita di trasferimento Calcolo del vettore velocità iniziale Il problema di Lambert con variabili universali Note e riferimenti bibliografici Manovre orbitali Equazione di Tsiolkovsky Introduzione alle manovre orbitali Manovre ad un impulso Introduzione Cambiamento della quota di apocentro (o di pericentro) Cambiamento dei valori di e ed a Cambiamento di ω con a ed e invariati Cambiamento di piano orbitale Manovre a più impulsi Manovra di Hohmann Ottimalità della manovra di Hohmann Trasferimento biellittico Cambiamento di piano con manovra a tre impulsi Manovra di Hohmann con cambiamento di piano orbitale Manovre a N impulsi Trasferimenti orbitali con v prefissati Utilizzo di una manovra di Hohmann Utilizzo di una manovra generica Finestra di lancio Note e riferimenti bibliografici

4 viii INDICE 8 Rifasamento orbitale e rendez-vous Introduzione Rifasamento per il rendez-vous Rifasamento con manovra di Hohmann Rifasamento con manovra biellittica Rifasamento mediante manovra di Lambert Rifasamento di orbite geostazionarie Manovre di rendez-vous terminale Modello matematico per il moto relativo Le equazioni di Hill Soluzione del sistema linearizzato Manovra terminale a due impulsi Note e riferimenti bibliografici Moto di un satellite in condizioni di spinta continua Introduzione Livello di spinta Equazioni del moto in presenza di spinta continua Variazione di velocità ottenibile Variazioni impulsive di massa Introduzione ai trasferimenti a spinta continua Equazioni del moto in forma polare Caso di spinta circonferenziale Calcolo delle condizioni di fuga Caso di spinta radiale Calcolo delle condizioni di fuga Il pozzo di potenziale Partenza da orbita ellittica Note e riferimenti bibliografici Moto del satellite in presenza di effetti perturbativi Introduzione Accelerazioni di perturbazione Sistema di riferimento RTN Resistenza aerodinamica Asimmetrie del campo gravitazionale Presenza di un terzo corpo Il metodo di Cowell Il metodo di Encke Procedura di calcolo Rettifica dell orbita Equazioni di perturbazione

5 INDICE ix Calcolo di da/dt e de/dt Calcolo di di/dt Calcolo di dω/dt Calcolo di dω/dt Calcolo di dm/dt Calcolo di dν/dt Utilizzo delle equazioni di perturbazione Formulazione attraverso parametri equinoziali Variazioni secolari e di corto periodo Effetti legati alla resistenza aerodinamica Variazione istantanea dei parametri orbitali Variazione secolare dei parametri orbitali Variazione della forma dell orbita Effetti legati allo schiacciamento dei poli terrestri Variazione secolare di Ω e ω Inclinazioni critiche Orbite eliosincrone Variazione secolare dei rimanenti parametri orbitali Note e riferimenti bibliografici Missioni Interplanetarie Il metodo delle coniche raccordate Perturbazioni introdotte da un terzo corpo Sfera d influenza Approssimazione di a 1d Approssimazione di a 2d Approssimazione di a 1S e a 2S Incontro iperbolico Prestazioni nell incontro iperbolico Analisi di missione con manovre impulsive Fase eliocentrica Fase di fuga Fase di cattura Differenti strategie di trasferimento Note e riferimenti bibliografici II Dinamica e Controllo dei Satelliti Equazioni del moto e sistemi di riferimento Velocità ed accelerazione di un punto Centro di massa

6 x INDICE 12.3 Quantità di moto Diadici Momento della quantità di moto Equazioni cardinali Caso di polo non coincidente con il centro di massa Energia cinetica Terne di riferimento Angoli di Eulero Velocità angolari Proiezione di ω O su T B Proiezione di ω BO su T B Note e riferimenti bibliografici Moto di satelliti con stabilizzazione passiva Introduzione Equazioni di Eulero Satelliti stabilizzati a singolo spin Cono mobile e cono fisso Moto di un satellite stabilizzato a singolo spin Precessione diretta e retrograda Stabilità delle rotazioni Dinamica perturbata del satellite Controllo della velocità angolare di rotazione Il meccanismo a a yo-yo Dimensionamento del meccanismo Dissipazione di energia su satelliti a singolo spin Satelliti con stabilizzazione a doppio spin Studio della stabilità del sistema Coppie di disturbo agenti sui satelliti Coppie dovute al gradiente di gravità Coppie dovute al campo magnetico terrestre Coppie dovute alla pressione di radiazione solare Equazioni linearizzate per un orbita circolare Satelliti stabilizzati a gradiente di gravità Stabilità del moto Ampiezza dell oscillazione in assetto Smorzamento delle oscillazioni d assetto con smorzatori passivi Note e riferimenti bibliografici

7 INDICE xi 14 Controllo attivo dei satelliti Dispositivi utilizzati per il controllo attivo Equazioni del moto di un satellite con rotori interni Controllo in beccheggio di un satellite Risposta del sistema in ciclo aperto Definizione della legge di controllo Risposta in ciclo chiuso ad un ingresso impulsivo Calcolo del massimo valore di angolo di assetto Dimensionamento del controllore Dimensionamento della ruota di momento angolare Controllo in rollio-imbardata Dinamica del satellite in rollio-imbardata Calcolo della risposta in rollio ad un disturbo costante Sistema di controllo attivo basato su propulsori Implementazione del controllore Note e riferimenti bibliografici III Appendici 701 A Formule universali per le orbite coniche 703 A.1 Equazioni del moto con variabili universali A.2 Risoluzione delle equazioni differenziali del moto A.3 Risoluzione numerica dell equazione di Keplero A.4 Calcolo di r e v con i coefficienti di Lagrange A.4.1 Espressione dei coefficienti di Lagrange A.5 Interpretazione fisica di χ A.6 Espressioni alternative dei coefficienti di Lagrange A.6.1 Coefficienti di Lagrange in termini di ν A.6.2 Coefficienti di Lagrange in termini di E, F o D B Trigonometria sferica 723 C Modello dell atmosfera 725 C.1 Dati di riferimento D Caratteristiche dei principali corpi del Sistema Solare 731 D.1 Alcune note sulla lettura delle tabelle D.2 Sole D.3 Mercurio D.4 Venere D.5 Terra D.6 Luna

8 xii INDICE D.7 Marte D.8 Giove D.9 Saturno D.10 Urano D.11 Nettuno D.12 Plutone Bibliografia 762 Indice Analitico 763