considerando quanto precisato nella Nota Finale. 2) Disegnare, oltre che il riferimento R già presente, anche i riferimenti R e R,

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1 Soluzione Esame di Modellistica e Simulazione dei Sistemi Meccatronici del // Si trattava di rispondere alle seguenti domande: ) Definire le due coordinate generalizzate q e q ed indicarle chiaramente su un nuovo disegno, considerando quanto precisato nella Nota Finale. ) Disegnare, oltre che il riferimento R già presente, anche i riferimenti R e R, considerando quanto precisato nella Nota Finale. 3) rovare la trasformazione omogenea tra il riferimento R e il riferimento R. 4) alcolare la velocità istantanea del baricentro del carrello. 5) alcolare la coenergia cinetica e l energia potenziale totali, assumendo che sulla retta orizzontale passante per l origine di R valga P =. 6) alcolare le forze generalizzate F e F derivanti dalla coppia motrice N. 7) Ricavare le due equazioni di Lagrange. 8) rasformare le equazioni di Lagrange in equazioni di stato. Risposta alle domande ) e ): il sistema viene ridisegnato come in Figura, per consentire una rapida individuazione delle variabili generalizzate (positive). Vengono anche disegnati i sistemi di riferimento. Figura : Il sistema ridisegnato in una posizione generica. Risposta alla domanda 3): per portare R in R occorre effettuare una rotazione e due traslazioni, come indicato: ossia, poiché le due traslazioni si sommano, Rot(, k q ) rasl(, j d) rasl(, i q ) q c s q c s cq sd d s c d s c sq cd R I R + = = = (.)

2 Risposta alla domanda 4): la posizione del carrello è rappresentata dalla quarta colonna della matrice in (.). Se calcoliamo la derivata, otteniamo cq sqq cqd p v = sq cqq sqd carrello + = trascurando la terza componente, sempre nulla sq cd c q = = cq sd s q Jq Risposta alla domanda 5): trattandosi di due masse, la coenergia cinetica è la somma delle coenergie delle singole masse, ossia: = { Mv v ω Γ ω } { mv v ω Γ ω } v = v ω ( cq sqq cqd ) ( sq cqq sqd ) = + = q avremo con semplici calcoli ω Γ ω = Mr q ω Γ ω = mh q mentre per calcolare v v procediamo nel modo seguente: v v q J Jq = J J sq cd cq sd sq cd c ( sq + cd ) + ( cq sd ) A = c s cq sd s = = A q + d A = indichiamo con ρ = q + d e A= d A a questo punto otteniamo

3 v v = q J Jq = ρ d q ρ q dq q q q q = = = d q dq + q = ρ q dqq + q = ( q + d ) q dqq + q = ( dq q ) + q q Mettendo insieme i risultati fin qui ottenuti, possiamo calcolare la coenergia cinetica totale = { Mv v + ω Γ ω + mv v + ω Γ ω } = = + Mr q + m ( ρ q dq q + q ) + mh q = = Mr + mρ + mh q mdq q + mq 4 4 che per brevità possiamo anche scrivere come segue (o altre forme analoghe): = { Mv v + ω Γ ω+ mv v + ω Γ ω } = { Γ q m ( ρ q dqq q ) Γ q } = = {( Γ Γ mq ( d) ) q mq mdqq } = = {( Γ Γ md ) q mq q mq mdq q } = = = { Xq + mq q + mq Yq q }, con X = Γ + Γ + md, Y = md (.) Vogliamo osservare che la matrice J J è definita positiva (come è giusto che sia), perché il suo determinante det( J J) = ρ A = q + d d = q > è sempre positivo, tranne che per q =. L energia potenziale è la somma delle energie gravitazionali delle due masse e dell energia potenziale elastica, ossia: da cui ( Mg p mg p ) P = P + P = + P gravitazionale elastica disco carrello elastica Mg p =, essendo p = disco disco cq sd mg p = m g sq + cd = mg sq + cd carrello 3

4 L energia potenziale elastica si calcola considerando che le due molle sono simmetriche e quando una si allunga di q l altra si comprime della stessa quantità, per cui risulta P = kq elastica ( + q ) = kq Occorre anche calcolare l energia di dissipazione che vale semplicemente D = βq Risposta alla domanda 6): le forze generalizzate si calcolano considerando che è presente una sola forza vettoriale (momento N ) agente lungo l asse di rotazione k ; se si procede con il calcolo dei lavori virtuali, si ha pertanto δw = N δq = τ = τδq δq F F = τ = Risposta alla domanda 7): riassumendo, abbiamo calcolato le seguenti energie = { Xq + mq q + mq Yq q }, X, Y = D = βq P = mg sq + cd + kq = mgcd+ mgsq + kq costanti Le due equazioni di Lagrange sono d D + = F q d D + = F q 4

5 d = Xq + mq q Yq = Xq + mq q + mq q q Yq t q d = mq Yq = mq Yq = mgs d mgc q = mq q mgs kq q q D D = = βq d (.3) Pertanto Xq + mq q + mq q q Yq mgs d + mgc q = τ e mq Yq mq q + mgs + kq + βq = Risposta alla domanda 8): se si definisco le quattro variabili di stato possiamo scrivere le equazioni di stato come: x = q, x = q, x = q, x = q 3 4 x x = x 3 = x 4 X + mx x + mx x x Yx mg sin( x ) d + mg cos( x ) x = τ sin + + β = mx Yx mx x mg x kx x (.4) 5