Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

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1 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 29 giugno 21 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Nel piano cartesiano si considerino i punti O = (, ), A = ( ) ( 3 2, 1 ) 3, B = 2 2, 1. 2 Sia D il settore circolare convesso delimitato dai segmenti OA, OB e dall arco AB della circonferenza con centro nell origine e passante per A. Calcolare l integrale I = x dxdy D Soluzione. Il settore circolare D è l insieme dei punti del piano le cui coordinate polari (r, ϑ) soddisfano r 1, π 6 ϑ 5 6 π Poiché il settore D è simmetrico rispetto all asse delle y e la funzione f(x, y) = x soddisfa la proprietà di simmetria f(x, y) = f( x, y), si ha x dxdy = 2 x dxdy dove D 1 D è la parte di D che sta nel primo quadrante, cioè l insieme dei punti che soddisfano: D r 1, D 1 1 D 1 π 6 ϑ π 2 Calcolando l integrale in coordinate polari, si ha: x dxdy = 2 x dxdy = 2 ( π/2 π/6 ) r 2 cos ϑ dϑ dr ( 1 )( π/2 = 2 r 2 dr [ 1 = 2 3 r3] 1 = = 1 3 [ sin ϑ π/6 ] π/2 π/6 ) cos ϑ dϑ

2 2. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) := xy sull insieme E := {(x, y) R 2 : x 2 + 2xy + 4y 2 = 12}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f(x, y) = xy e g(x, y) = x 2 +2xy +4y 2 12, si tratta di risolvere il seguente sistema: { f(x, y) = λ g(x, y) (1) g(x, y) = ossia y = λ(2x + 2y) x = λ(2x + 8y) x 2 + 2xy + 4y 2 12 = Risolvendo tale sistema si trovano (in corrispondenza di λ = 1/2 ) i punti (2) e (in corrispondenza di λ = 1/6 ) i punti P 1 = (2 3, 3), P 2 = ( 2 3, 3) Q 1 = (2, 1), Q 2 = ( 2, 1) Poiché la funzione f è continua e l insieme E è chiuso e limitato, la funzione f assume su E sia il valore massimo che il valore minimo (Teorema di Weierstrass). Del resto, per il teorema sui moltiplicatori di Lagrange, i punti di E in cui f assume il valore massimo o il valore minimo vanno cercati tra i punti P 1, P 2, Q 1, Q 2. Poiché f(p 1 ) = f(p 2 ) = 6, f(q 1 ) = f(q 2 ) = 2, possiamo concludere che il valore massimo di f su E è 2 e il valore minimo di f su E è 6.

3 3. Si consideri la famiglia di campi vettoriali in R 2 \ {(, )} per α, β R. F(x, y) := (a) Dare la definizione di campo vettoriale irrotazionale. ( x + αy 2x 2 + 2y 2, βx + y ) 2x 2 + 2y 2 (b) Per quali α, β il campo F è irrotazionale in R 2 \ {(, )}? (c) Per gli α, β di cui al punto (b) calcolare F dr, dove Γ è la circonferenza di centro nell origine e raggio Γ 1 orientata positivamente. (d) Esistono valori di α, β per cui F può essere conservativo in R 2 \ {(, )}? Per questi valori determinare, se possibile, un potenziale di F. Per questi valori F è conservativo R 2 \ {(, )}? Soluzione. (b) Dette P (x, y) e Q(x, y) le due componenti del campo vettoriale, il campo è irrotazionale in R 2 \ {(, )} se e solo se Q x = P y in R 2 \ {(, )}. Calcolando le derivate si vede che Q x = P y è equivalente a 2βx 2 + 2βy 2 4xy = 2αx 2 2αy 2 4xy Questa uguaglianza vale per ogni (x, y) (, ) se e solo se β = α. R 2 \ {(, )} se e solo se β = α. Quindi il campo è irrotazionale in (c) Si noti che l integrale di linea non si può calcolare col teorema di Gauss-Green perché il campo non è definito nell origine (in particolare, non è di classe C 1 in nessun aperto contenente il cerchio x 2 +y 2 1 ). Per calcolarlo utilizziamo la parametrizzazione della circonferenza (x(t), y(t)) = (cos(t), sin(t)) t 2π. Il vettore velocità è (x (t), y (t)) = ( sin(t), cos(t)) per cui Γ F dr = 2π ( ) cos(t) + α sin(t) α cos(t) + sin(t) 2 cos 2 (t) + 2 sin 2 ( sin(t)) + (t) 2 cos 2 (t) + 2 sin 2 (t) (cos(t)) dt = απ (d) Se il campo è conservativo nel piano meno l origine, il campo dev essere irrotazionale e il suo lavoro lungo la circonferenza Γ dev essere nullo. Quindi per i punti (b) e (c) il campo può essere conservativo in R 2 \ {(, )} solo se α = β =. Se α = β =, per verificare se il campo sia conservativo proviamo a calcolare il potenziale. Con metodi standard (questo è uno degli esempi del libro) si trova che U(x, y) = 1 4 ln(x2 + y 2 ) è un potenziale del campo in R 2 \ {(, )}, quindi per α = β = il campo è conservativo. potenziale è 1 4 ln(2x2 + 2y 2 ), che differisce dal precedente per una costante). (NB un altro

4 4. Nel piano cartesiano si considerino i punti O = (, ), A = ( ) ( ) 3 2, 1 3, B = 2 2, 1. 2 Sia D il settore circolare convesso delimitato dai segmenti OA, OB e dall arco AB della circonferenza con centro nell origine e passante per A. Calcolare l integrale I = y dxdy D Soluzione. Il settore circolare D è l insieme dei punti del piano le cui coordinate polari (r, ϑ) soddisfano r 1, π 6 ϑ π 6 Poiché il settore D è simmetrico rispetto all asse delle x e la funzione f(x, y) = y soddisfa la proprietà di simmetria f(x, y) = f(x, y), si ha y dxdy = 2 y dxdy dove D 1 D è la parte di D che sta nel primo quadrante, cioè l insieme dei punti che soddisfano: D 1 D r 1, ϑ π 6 Calcolando l integrale in coordinate polari, si ha: y dxdy = 2 y dxdy = 2 D 1 1 ( π/6 ) r 2 sin ϑ dϑ dr ( 1 )( π/6 = 2 r 2 dr [ 1 = 2 3 r3] 1 = (1 [ ) sin ϑ dϑ ] π/6 cos ϑ 3 2 ) = 2 3 3

5 5. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) := xy sull insieme E := {(x, y) R 2 : 4x 2 + 2xy + y 2 = 48}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f(x, y) = xy e g(x, y) = 4x 2 +2xy +y 2 48, si tratta di risolvere il seguente sistema: { f(x, y) = λ g(x, y) (3) g(x, y) = ossia y = λ(8x + 2y) x = λ(2x + 2y) 4x 2 + 2xy + y 2 48 = Risolvendo tale sistema si trovano (in corrispondenza di λ = 1/2 ) i punti (4) e (in corrispondenza di λ = 1/6 ) i punti P 1 = (2 3, 4 3), P 2 = ( 2 3, 4 3) Q 1 = (2, 4), Q 2 = ( 2, 4) Poiché la funzione f è continua e l insieme E è compatto, la funzione f assume su E sia il valore massimo che il valore minimo (Teorema di Weierstrass). Del resto, per il teorema sui moltiplicatori di Lagrange, i punti di E in cui f assume il valore massimo o il valore minimo vanno cercati tra i punti P 1, P 2, Q 1, Q 2. Poiché f(p 1 ) = f(p 2 ) = 24, f(q 1 ) = f(q 2 ) = 8, possiamo concludere che il valore massimo di f su E è 8 e il valore minimo di f su E è 24.

6 6. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) := xy sull insieme E := {(x, y) R 2 : x 2 + 2xy + 4y 2 = 48}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f(x, y) = xy e g(x, y) = x 2 +2xy +4y 2 48, si tratta di risolvere il seguente sistema: { f(x, y) = λ g(x, y) (5) g(x, y) = ossia y = λ(2x + 2y) x = λ(2x + 8y) x 2 + 2xy + 4y 2 48 = Risolvendo tale sistema si trovano (in corrispondenza di λ = 1/2 ) i punti (6) e (in corrispondenza di λ = 1/6 ) i punti P 1 = (4 3, 2 3), P 2 = ( 4 3, 2 3) Q 1 = (4, 2), Q 2 = ( 4, 2) Poiché la funzione f è continua e l insieme E è compatto, la funzione f assume su E sia il valore massimo che il valore minimo (Teorema di Weierstrass). Del resto, per il teorema sui moltiplicatori di Lagrange, i punti di E in cui f assume il valore massimo o il valore minimo vanno cercati tra i punti P 1, P 2, Q 1, Q 2. Poiché f(p 1 ) = f(p 2 ) = 24, f(q 1 ) = f(q 2 ) = 8, possiamo concludere che il valore massimo di f su E è 8 e il valore minimo di f su E è 24.

7 7. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) := xy sull insieme E := {(x, y) R 2 : 4x 2 + 2xy + y 2 = 12}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f(x, y) = xy e g(x, y) = 4x 2 +2xy +y 2 12, si tratta di risolvere il seguente sistema: { f(x, y) = λ g(x, y) (7) g(x, y) = ossia y = λ(8x + 2y) x = λ(2x + 2y) 4x 2 + 2xy + y 2 12 = Risolvendo tale sistema si trovano (in corrispondenza di λ = 1/2 ) i punti (8) e (in corrispondenza di λ = 1/6 ) i punti P 1 = ( 3, 2 3), P 2 = ( 3, 2 3) Q 1 = (1, 2), Q 2 = ( 1, 2) Poiché la funzione f è continua e l insieme E è compatto, la funzione f assume su E sia il valore massimo che il valore minimo (Teorema di Weierstrass). Del resto, per il teorema sui moltiplicatori di Lagrange, i punti di E in cui f assume il valore massimo o il valore minimo vanno cercati tra i punti P 1, P 2, Q 1, Q 2. Poiché f(p 1 ) = f(p 2 ) = 6, f(q 1 ) = f(q 2 ) = 2, possiamo concludere che il valore massimo di f su E è 2 e il valore minimo di f su E è 6.

8 1. Sia f(x,y) = (x+y)e x2 y 2. Determinaregliestremiassolutidi f neltriangolochiusodivertici (,),(a,a),(,2a) (a 1). Soluzione Poniamo O = (,), A = (a,a), B = (,2a). Il triangolo giace nel primo quadrante del piano cartesiano, e f(x, y) > per ogni (x, y) del primo quadrante, con l eccezione dell origine: nell origine la funzione vale, per cui l origine è l unico punto di minimo assoluto di f(x,y) nel triangolo, e è il minimo assoluto della funzione nel triangolo. Per determinare il massimo assoluto, cerchiamo i punti di massimo della funzione sulla frontiera del triangolo e all interno del triangolo Il lato OA del triangolo giace sulla bisettrice del primo quadrante y = x, e i suoi punti hanno coordinate (x,x) al variare di x tra e a. La funzione f ristretta al segmento OA è g(x) = f(x,x) = 2xe 2x2, la cui derivata è g (x) = 2e 2x2 (1 4x 2 ) Nell intervallo [,a] la derivata g (x) è positiva se x < 1/2, nulla se x = 1/2, e negativa per x > 1/2. Quindi il punto P(1/2,1/2) è l unico punto di massimo vincolato di f(x,y) sul segmento OA. Il valore della funzione in P è f(1/2,1/2) = e 1/4 1/4 = e 1/2 Il lato OB del triangolo giace sull asse y, e i suoi punti hanno coordinate (,y) al variare di y tra e 2a. La funzione f ristretta al segmento OB è h((y) = f(,y) = ye y2, la cui derivata è h (y) = e y2 (1 2y 2 ) Da questo segue che sull asse y, la funzione ha un unico punto di massimo vincolato Q = (,1/ 2). Il valore della funzione in Q è f(q) = f(,1/ 2) = e 1/2 2 < e 1/2 = f(p). Il lato AB del triangolo giace sulla retta di equazione x+y = 2a, e i suoi punti hanno coordinate (x,2a x) al variare di x tra e a. La funzione f ristretta al segmento AB è la cui derivata è k(x) = f(x,2a x) = 2ae x2 (2a x) 2 = 2ae 2x2 +4ax 4a 2, k (x) = 2a( 4x+4a)e 2x2 +4ax 4a 2 Nell intervallo (,a) la derivata k (x) è positiva, quindi sul segmento AB la funzione k(x) ha il suo massimo nel vertice A = (a,a). Siccome A appartiene anche al segmento OA e P è l unico punto di massimo di f su OA, concludiamo che P è l unico punto di massimo di f sul bordo del triangolo. Cerchiamo eventuali punti critici all interno del triangolo: imponendo { = f x (x,y) = e x2 y 2 (1 2x(x+y)) = f y (x,y) = e x2 y 2 (1 2y(x+y)) troviamo { x(x+y) = y(x+y) 1 = 2x(x+y)) All interno del triangolo si ha x + y >, per cui dalla prima equazione si ricava x = y, e poi dalla seconda 1 = 4x 2, quindi x = 1/2 (perché x > all interno del triangolo) e y = 1/2: l unico punto critico di f(x,y) nel primo quadrante è il punto P = (1/2,1/2) che si trova sul bordo del triangolo. Quindi la funzione non ha punti critici all interno del triangolo, e assume il suo valore massimo assoluto sul bordo del triangolo, necessariamente nel punto P. Il massimo assoluto della funzione sul triangolo è perciò f(p) = e 1/2.

9 2. Nelpianosia γ ilbordo,orientatoinsensoantiorario,delparallelogrammadivertici (2/3,),(5/3,),(1,1),(2,1). Si calcoli il lavoro del campo vettoriale F(x,y) = y 3 i + j lungo γ. Suggerimento: utilizzare il teorema di x 2 x Gauss-Green per trasformare l integrale di linea in un integrale doppio. Soluzione Il parallelogramma D in questione è un dominio x-semplice (disegnarlo!), ed è delimitato dalle rette di equazione y =, y = 1, y = 3x 2 e y = 3x 5: { D = (x,y) R 2 y +2 : y 1, x y +5 } 3 3 Per il teorema di Gauss Green Ora Perciò D 1 x 2 dxdy = 1 γ γ ( y+5 3 F d r = y+2 3 D ) 1 x 2 dx dy = F d r = 4 D ( 3x 2 1x ) 2 dxdy. 1 ( 3 y +2 3 ) dy = 3 log(5/4) y +5 1 dxdy = 12 log(5/4) x2

10 3. Nelpianosia γ ilbordo,orientatoinsensoantiorario,delparallelogrammadivertici (1,1),(2,1),(1/2,2),(3/2,2). Si calcoli il lavoro del campo vettoriale F(x,y) = y 4 i + j lungo γ. Suggerimento: utilizzare il teorema di x 2 x Gauss-Green per trasformare l integrale di linea in un integrale doppio. Soluzione Il parallelogramma D in questione è un dominio x-semplice (disegnarlo!), ed è delimitato dalle rette di equazione y = 1, y = 2, y = 3 2x e y = 5 2x: { D = (x,y) R 2 3 y : 1 y 2, x 5 y } 2 2 Per il teorema di Gauss Green Ora Perciò D 1 x 2 dxdy = 2 1 γ γ ( 5 y 2 F d r = 3 y 2 D ) 1 x 2 dx dy = F d r = 5 D ( 4x 2 1x ) 2 dxdy. 2 1 ( 2 3 y 2 ) dy = 2 log(3/2) 5 y 1 dxdy = 1 log(3/2) x2

11 4. Nelpianosia γ ilbordo,orientatoinsensoantiorario,delparallelogrammadivertici (,2/3),(,5/3),(1,1),(1,2). Si calcoli il lavoro del campo vettoriale F(x,y) = 1 5x i + j lungo γ. Suggerimento: utilizzare il teorema di y y 2 Gauss-Green per trasformare l integrale di linea in un integrale doppio. Soluzione Il parallelogramma D in questione è un dominio y-semplice (disegnarlo!), ed è delimitato dalle rette di equazione x =, x = 1, y = x+2 e y = x : { D = (x,y) R 2 x+2 : x 1, y x+5 } 3 3 Per il teorema di Gauss Green Ora Perciò D 1 y 2 dxdy = 1 γ ( x+5 3 γ x+2 3 F d r = D ) 1 y 2 dy dx = F d r = 6 D ( 5 y ) y 2 dxdy. 1 ( 3 x+2 3 ) dx = 3 log(5/4) x+5 1 dxdy = 18 log(5/4) y2

12 5. Nelpianosia γ ilbordo,orientatoinsensoantiorario,delparallelogrammadivertici (1,1),(1,2),(2,1/2),(2,3/2). Si calcoli il lavoro del campo vettoriale F(x,y) = 1 2x i + j lungo γ. Suggerimento: utilizzare il teorema di y y 2 Gauss-Green per trasformare l integrale di linea in un integrale doppio. Soluzione Il parallelogramma D in questione è un dominio y-semplice (disegnarlo!), ed è delimitato dalle rette di equazione x = 1, x = 2, y = 3 x e y = 5 x : 2 2 { D = (x,y) R 2 3 x : 1 x 2, y 5 x } 2 2 Per il teorema di Gauss Green Ora Perciò D 1 y 2 dxdy = 2 1 γ ( 5 x 2 γ 3 x 2 F d r = D ) 1 y 2 dy dx = F d r = 3 D ( 2 y ) y 2 dydx. 2 1 ( 2 3 x 2 ) dx = 2 log(3/2) 5 x 1 dxdy = 6 log(3/2) y2

13 6. Si condideri campo vettoriale ( ) F(x,y) = 2x(1 ey ) e y j i + (1+x 2 ) 2 1+x 2 +1 a) Il campo vettoriale F(x,y) è conservativo in R 2? Motivare la risposta. Se lo è, se ne trovi un potenziale. b) Si calcoli il lavoro di F(x,y) lungo l arco di curva x 2 +9y 2 = 1 compreso nel secondo quadrante e percorso in verso antiorario. Soluzione a) Il campo è irrotazionale in R 2 che è semplicemente connesso, dunque ammette potenziale in R 2. Il potenziale é una funzione U(x,y) tale che U x = 2x(1 ey ) (1+x 2 ) 2, U y = ey + 1; si ha che: U(x,y) = 1+x2 ( e y )dy 1+x g(x) = ey 1+x 2 +y +g(x); derivando rispetto a x si trova che U x = 2xey (1+x 2 ) 2 +g (x) = 2x(1 e y ) 1 ey (1+x 2, da cui g(x) = ) 2 1+x2. Un potenziale è U(x,y) = 1+x 2 +y 1 1+x 2. ( b) L arco di curva è un ellisse con punto iniziale A =, 1 ) e punto finale B = ( 1,). Il lavoro è pari a 3 U(B) U(A) = e.

14 7. Si consideri il campo vettoriale F(x,y) = e x 1+y 2 i + 2y(1+e x ) (1+y 2 ) 2 j. a) Il campo vettoriale F(x,y) è conservativo in R 2? Motivare la risposta. Se lo è, se ne trovi un potenziale. b) Si calcoli il lavoro di F(x,y) lungo l arco di curva 9x 2 +y 2 = 1 compreso nel quarto quadrante e percorso in verso antiorario. Soluzione a) Il campo è irrotazionale in R 2 che è semplicemente connesso, dunque ammette potenziale in R 2. Il potenziale é una funzione U(x,y) tale che U x = e x 1+y 2, U y = 2y(1+e x ) (1+y 2 ) 2 ; si ha che: U(x,y) = e x e x 1+y2dx+g(y) = 1+y 2+g(y); derivandorispetto a y si trovache U y = 2ye x (1+y 2 ) 2+g (y) = 2y(1+e x ) (1+y 2 ) 2, da cui g(y) = 1 e x 1+y2. Un potenziale è U(x,y) = 1+y y 2. b) L arco di curva è un ellisse con punto iniziale A = (, 1) e punto finale B = U(B) U(A) = 1 3 e. ( ) 1 3,. Il lavoro è pari a

15 8. Si consideri il campo vettoriale F(x,y) = 2x(1+e y ) (1+x 2 ) 2 i + e y 1+x 2 j a) Il campo vettoriale F(x,y) è conservativo in R 2? Motivare la risposta. Se lo è, se ne trovi un potenziale. b) Si calcoli il lavoro di F(x,y) lungo l arco di curva x 2 +4y 2 = 4 compreso nel terzo quadrante e percorso in verso orario. Soluzione a) Il campo è irrotazionale in R 2 che è semplicemente connesso, dunque ammette potenziale in R 2. Il potenziale é una funzione U(x,y) tale che U x = 2x(1+e y ) (1+x 2 ) 2, U y = e y ; si ha che: U(x,y) = 1+x2 e y e y 1+x2dy +g(x) = 1+x 2 +g(x); derivando rispetto a x si trova che U x = 2xe y (1+x 2 ) 2 +g (x) = e y 1+x 2, da cui g(x) = 1 e y 1+x2. Un potenziale è U(x,y) = 1+x x 2. b) L arco di curva è un ellisse con punto iniziale A = (, 1) e punto finale B = ( 2,). Il lavoro è pari a U(B) U(A) = e+ 3 5.

16 9. Si consideri il campo vettoriale ( ) e x i F(x,y) = 1+y y(1 e x ) + j. (1+y 2 ) 2 a) Il campo vettoriale F(x,y) è conservativo in R 2? Motivare la risposta. Se lo è, se ne trovi un potenziale. b) Si calcoli il lavoro di F(x,y)lungo l arco di curva 4x 2 +y 2 = 4 compreso nel primo quadrante e percorso in verso orario. Soluzione a) Il campo è irrotazionale in R 2 che è semplicemente connesso, dunque ammette potenziale in R 2. ex 1+y 2 + 1, U y = 2y(1 ex ) (1+y 2 ) Il potenziale é una funzione U(x,y) tale che U x = ( e x )dx+g(y) 1+y 2 +1 = ex 2y(1 e x ) 1 ex (1+y 2, da cui g(y) = ) 2 1+y2. Un potenziale è U(x,y) = 1+y 2 +x 1 1+y 2. 2 ; si ha che: U(x,y) = 1+y 2 +x+g(y); derivando rispetto a y si trova che U y = 2yex (1+y 2 ) 2 +g (y) = b) L arco di curva è un ellisse con punto iniziale A = (,2) e punto finale B = (1,). Il lavoro è pari a U(B) U(A) = e.

17 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + b 2 b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L applicazione T è iniettiva? Soluzione (a) La matrice che rappresenta T rispetto alla base considerata è la matrice le cui colonne sono le componenti, rispetto alla base stessa, dei trasformati dei vettori della base, cioè A = (b) La dimensione dell immagine è il rango di A che vale 3 essendo det A. Per il teorema di nullità più rango la dimensione del nucleo è. (c) Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. L applicazione T è iniettiva poichè Ker (T ) = {}.

18 (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 1 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora gli autovalori della matrice u u T sono tutti reali. Giustificare la risposta. Soluzione [ ] [ ] (a) A = [1 1] =. A è simmetrica dunque è diagonalizzabile per il teorema spettrale. Gli autovalori di A sono le soluzioni [ dell equazione ] det (A λi) = (1 λ) 2 1 = e sono e 2. Una matrice diagonale simile ad A è. 2 ] [ ] =, cioè dell equazione [ ] [ ] x x + y =. Gli autovettori relativi all autovalore 2 sono le soluzioni del sistema (A 2I) =, y { } 1 1 cioè dell equazione x y =. Una base ortonormale formata da autovettori è: 2 (1, 1); (1, 1). 2 [ x (b) Gli autovettori relativi all autovalore sono le soluzioni del sistema A y (c) L affermazione è vera infatti la matrice u u T è simmetrica come si può vedere calcolandola esplicitamente: x 2 1 x 1 x 2... x 1 x n x 1 x 2 x x 2 x n se u = [x 1,..., x n ] T, si ha che u u T = Oppure, osservando che (AB) T = x 1 x n x 2 x n... x 2 n B T A T, si ha che (u u T ) T = u u T, il che dimostra che la matrice u u T è simmetrica.

19 (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) 1z (x) + 26z(x) =. y (x) 1y (x) + 26y(x) = 5e 5x + 26x. Soluzione λ 2 1λ + 26 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 5 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 5x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 5x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 5, b = 1, c = 5, da cui l integrale generale 13 y(x) = e 5x (C 1 cos x + C 2 sin x) 5e 5x + x

20 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + b 2 + b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione suriettiva. L applicazione T è suriettiva?

21 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 2 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora autovettori della matrice u u T relativi a autovalori distinti sono ortogonali. Giustificare la risposta.

22 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) 6z (x) + 1z(x) =. y (x) 6y (x) + 1y(x) = 3e 3x + 1x. Soluzione λ 2 6λ + 1 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 3 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 3x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 3x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 3, b = 1, c = 3, da cui l integrale generale 5 y(x) = e 3x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 3e 3x + x

23 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + 3b 2 + 3b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L applicazione T è iniettiva?

24 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 3 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora gli autovalori della matrice u u T sono tutti reali. Giustificare la risposta.

25 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) 8z (x) + 17z(x) =. y (x) 8y (x) + 17y(x) = 4e 4x + 17x. Soluzione λ 2 8λ + 17 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 4 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 4x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 4x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 4, b = 1, c = 8, da cui l integrale generale 17 y(x) = e 4x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 4e 4x + x

26 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + 3b 2 + 4b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione suriettiva. L applicazione T è suriettiva?

27 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 4 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora autovettori della matrice u u T relativi a autovalori distinti sono ortogonali.. Giustificare la risposta.

28 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) 4z (x) + 5z(x) =. y (x) 4y (x) + 5y(x) = 2e 2x + 5x. Soluzione λ 2 4λ + 5 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 2 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 2x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 2x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 2, b = 1, c = 4, da cui l integrale generale 5 y(x) = e 2x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 2e 2x + x

29 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + 2b 2 + b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L applicazione T è iniettiva?

30 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 5 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora la matrice u u T è diagonalizzabile. Giustificare la risposta.

31 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale di (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) + 8z (x) + 17z(x) =. y (x) + 8y (x) + 17y(x) = 4e 4x 17x. Soluzione λ 2 + 8λ + 17 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 4 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 4x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 4x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 4, b = 1, c = 8, da cui l integrale generale 17 y(x) = e 4x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 4e 4x x

32 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 + 2b 2 + 2b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione suriettiva. L applicazione T è suriettiva?

33 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 6 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora esiste una base di R n costituita da autovettori della matrice u u T. Giustificare la risposta.

34 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) + 6z (x) + 1z(x) =. y (x) + 6y (x) + 1y(x) = 3e 3x 5x. Soluzione λ 2 + 6λ + 1 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 3 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 3x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 3x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 3, b = 1 2, c = 3, da cui l integrale generale 1 y(x) = e 3x (C 1 cos x + C 2 sin x) 3e 3x 1 2 x

35 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 b 2 5b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L applicazione T è iniettiva?

36 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 7 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora la matrice u u T è diagonalizzabile. Giustificare la risposta.

37 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) + 4z (x) + 5z(x) =. y (x) + 4y (x) + 5y(x) = 2e 2x + 2x. Soluzione λ 2 + 4λ + 5 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 2 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 2x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 2x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 2, b = 1, c = 8, da cui l integrale generale 17 y(x) = e 2x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 4e 2x x

38 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 211 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b 1, b 2, b 3 } una base di R 3, e sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che T(b 1 ) = b 1 + 2b 2 + b 3, T(b 2 ) = 2b 1 + 3b 2, T(b 3 ) = 3b 1 b 2 + 2b 3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b 1, b 2, b 3 }. (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell immagine di T. (c) Si dia la definizione di funzione suriettiva. L applicazione T è suriettiva?

39 2. (Scrivere le risposte sotto ogni domanda. Riportare i conti sul retro del foglio). [ ] 1 Sia u = (matrice 2 1 ) e sia A = u u 8 T (prodotto di matrici). (a) Si dica se la matrice A è diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo è, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A. (b) Esistono basi ortonormali di R 2 formate da autovettori di A? Se esistono, se ne trovi una. (c) Si dica se la seguente affermazione è vera o falsa: Se u è una qualunque matrice reale n 1, allora esiste una base di R n costituita da autovettori della matrice u u T. Giustificare la risposta.

40 3. (a) Si enunci il teorema di struttura dell integrale generale di un equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. (b) Si determini l integrale generale dell equazione (c) Si determini l integrale generale dell equazione (a) Vedi libri di testo. (b) L equazione caratteristica associata è z (x) + 1z (x) + 26z(x) =. y (x) + 1y (x) + 26y(x) = 2e 5x + 13x. Soluzione λ 2 + 1λ + 26 = che ha le due soluzioni complesse coniugate λ 1,2 = 5 ± i. L integrale generale è quindi z(x) = e 5x (C 1 cos x + C 2 sin x) (c) Bisogna determinare una soluzione particolare dell equazione completa. soluzione deve avere la forma Dal metodo di somiglianza la y (x) = ae 5x + bx + c e sostituendo nell equazione si ricava a = 2, b = 1 2, c = 5, da cui l integrale generale 26 y(x) = e 5x (C 1 cos x + C 2 sin x) 2e 5x x 5 26.

41 Soluzioni degli esercizi di algebra lineare 1. Sia R 3 T R 3 l operatore lineare definito da Versione 1 T(x,y,z) = (x+3z, 2y, 3x+z) Denotiamo con A la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica di R 3. (a) (2 punti) Trovare la matrice A. (b) (2 punti) L operatore T è suriettivo? (c) (2 punti) Trovare una base per ogni autospazio di A, specificando il relativo autovalore. (d) (4 punti) Trovare una matrice ortogonale Q, se esiste, per la quale Q 1 AQ sia diagonale e scrivere la matrice Q 1 AQ. Soluzione. (a) La matrice che rappresenta T è A = (b) L operatore T è suriettivo. (Il rango di A è 3). (c) Il polinomio caratteristico è det(a λi) = ( 2 λ)(2 λ)(4 λ). Gli autovalori di A sono 2,2,4. Una base dell autospazio relativo all autovalore 2 è (1,, 1). Una base dell autospazio relativo all autovalore 2 è (, 1, ). Una base dell autospazio relativo all autovalore 4 è (1,, 1). (d) La matrice A è simmetrica. Quindi, per il teorema spettrale, esiste una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di T. Una matrice ortogonale Q che diagonalizza A è, ad esempio: 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 Si ha Q 1 AQ = 2 2 4

42 Versione 2 1. Sia R 3 T R 3 l operatore lineare definito da T(x,y,z) = (3x, y +3z, 3y+z) Denotiamo con A la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica di R 3. (a) (2 punti) Trovare la matrice A. (b) (2 punti) L operatore T è iniettivo? (c) (2 punti) Trovare una base per ogni autospazio di A, specificando il relativo autovalore. (d) (4 punti) Trovare una matrice ortogonale Q, se esiste, per la quale Q 1 AQ sia diagonale e scrivere la matrice Q 1 AQ. Soluzione. (a) La matrice che rappresenta T è A = (b) L operatore T è iniettivo. (c) Gli autovalori di A sono 2,3,4. Una base dell autospazio relativo all autovalore 2 è (, 1, 1). Una base dell autospazio relativo all autovalore 3 è (1,, ). Una base dell autospazio relativo all autovalore 4 è (, 1, 1). (d) La matrice A è simmetrica. Quindi, per il teorema spettrale, esiste una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di T. Una matrice ortogonale Q che diagonalizza A è, ad esempio: 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Si ha Q 1 AQ = 3 2 4

43 Versione 3 1. Sia R 3 T R 3 l operatore lineare definito da T(x,y,z) = (x+4z, 4y, 4x+z) Denotiamo con A la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica di R 3. (a) (2 punti) Trovare la matrice A. (b) (2 punti) L operatore T è invertibile? (c) (2 punti) Trovare una base per ogni autospazio di A, specificando il relativo autovalore. (d) (4 punti) Trovare una matrice ortogonale Q, se esiste, per la quale Q 1 AQ sia diagonale e scrivere la matrice Q 1 AQ. Soluzione. (a) La matrice che rappresenta T è A = (b) L operatore T è invertibile. (Il determinante di A è diverso da zero). (c) Gli autovalori di A sono 3,4,5. Una base dell autospazio relativo all autovalore 3 è (1,, 1). Una base dell autospazio relativo all autovalore 4 è (, 1, ). Una base dell autospazio relativo all autovalore 5 è (1,, 1). (d) La matrice A è simmetrica. Quindi, per il teorema spettrale, esiste una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di T. Una matrice ortogonale Q che diagonalizza A è, ad esempio: 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 Si ha Q 1 AQ = 3 4 5

44 Versione 4 1. Sia R 3 T R 3 l operatore lineare definito da T(x,y,z) = (x+4y, 4x+y, 7z) Denotiamo con A la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica di R 3. (a) (2 punti) Trovare la matrice A. (b) (2 punti) L operatore T è suriettivo? (c) (2 punti) Trovare una base per ogni autospazio di A, specificando il relativo autovalore. (d) (4 punti) Trovare una matrice ortogonale Q, se esiste, per la quale Q 1 AQ sia diagonale e scrivere la matrice Q 1 AQ. Soluzione. (a) La matrice che rappresenta T è A = (b) L operatore T è suriettivo. (Il rango di A è tre). (c) Gli autovalori di A sono 3,5,7. Una base dell autospazio relativo all autovalore 3 è (1, 1, ). Una base dell autospazio relativo all autovalore 5 è (1, 1, ). Una base dell autospazio relativo all autovalore 7 è (,, 1). (d) La matrice A è simmetrica. Quindi, per il teorema spettrale, esiste una base ortonormale di R 3 costituita da autovettori di T. Una matrice ortogonale Q che diagonalizza A è, ad esempio: 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 Si ha Q 1 AQ = 3 5 7

45 Soluzioni degli esercizi sul flusso e sul campo vettoriale 1. (Esercizio 2 sul flusso. Tutte e quattro le versioni). Il flusso vale. 2. Esercizio 3 sul campo vettoriale. Il campo F kα = ( x+kαy x 2 +y 2, x+y x 2 +y 2) è irrotazionale su R 2 \ (,) se e solo se kα = 1. Nelle quattro versioni (k = 1,2,3,4) i valori di α per i quali il campo è irrotazionale sono quindi, rispettivamente, α = 1, 1/2, 1/3, 1/4. Chiamiamo F il campo vettoriale F = ( x y x 2 +y 2, x+y x 2 +y 2) L integrale ΓF dr, (dove Γ è la circonferenza di centro nell origine e raggio 1 orientata in senso antiorario) vale 2π. Il campo F non è conservativo su R 2 \(,). Il campo F è conservativo sul semipiano y >. Un suo potenziale (sul semipiano y > ) è U(x,y) = 1 2 ln(x2 +y 2 ) arctan(x/y)

46 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Primo appello Docente: 13 luglio 21 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. SOLUZIONE DI UNO DEI COMPITI 1. a) Data la matrice 2 2 A = si trovino, se possibile, una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = Q T AQ. b) La funzione (forma quadratica) q(x, y, z) = 2x 2 4xy + 9y 2 + 4yz + 2z 2 ha nell origine (,, ) un punto di massimo assoluto, di minimo assoluto o di sella? Giustificare la risposta. Soluzione La matrice A è simmetrica, perciò per il teorema spettrale esistono una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = Q T AQ. La matrice D ha sulla diagonale principale gli autovalori di A, che sono le radici del polinomio caratteristico: 2 λ λ 2 = (2 λ) 9 λ λ 2 2 λ λ = = (2 λ)(λ 2 11λ ) + 2( 2)(2 λ) = (2 λ)(λ 1)(λ 1) Gli autovalori di A sono perciò λ 1 = 1, λ 2 = 2 e λ 3 = 1. L autospazio relativo a λ 1 = 1 è la retta di equazioni (A I)x =, cioè x 2y = 2y + z =. Un versore su questa retta è [2/3, 1/3, 2/3] T. L autospazio relativo a λ 2 = 2 è la retta di equazioni (A 2I)x =, cioè x z = y =. Un versore su questa retta è [ 2/2,, 2/2] T. L autospazio relativo a λ 3 = 1 è la retta di equazioni (A 1I)x =, cioè 4x + y = y 4z =. Un versore su questa retta è 2 6 [1, 4, 1]T. Le due matrici hanno le proprietà richieste. Q = D = Infine la forma quadratica in b) ha come matrice associata proprio la matrice A. Siccome gli autovalori di A sono positivi, q(x, y, z) > per ogni (x, y, z) (,, ), per cui l origine è un punto di minimo assoluto per q(x, y, z).

47 2. In R 3, si consideri il campo vettoriale Sia S la porzione della superficie di equazione la cui proiezione sul piano x, y è il disco F(x, y, z) = xy i + xy k S = {(x, y, z) R 3 z = 3 x 2 y 2 } D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} Si fissi su S una orientazione mediante un versore normale n, in modo tale che nel punto (,, 3) S il versore n sia diretto come k. a) Enunciare il teorema di Stokes nello spazio. b) Calcolare il flusso di rot F attraverso la superficie S, orientata con il versore normale n fissato. c) Trovare l area di S. Soluzione b) Facendo i conti, si trova: rot F = xi yj + xk Per il calcolo del flusso di rot F attraverso S, possiamo usare il teorema di Stokes. Per tale teorema, se C = S è il bordo orientato di S (con l orientazione indotta da quella di S ) e S è una qualunque superficie (orientata) con lo stesso bordo orientato C, si ha Φ S (rot F) = Φ S (rot F) Scegliamo come S il disco S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = 2} L orientazione giusta da fissare sul disco S (se vogliamo che S e C = S siano coerentemente orientati) è quella data dal vettore n = k = (,, 1) Allora Quindi (L ultimo integrale è nullo per motivi di simmetria). rot F, n = (x, y, x), (,, 1) = x Φ S (rot F) = Φ S (rot F) = rot F, n ds S = x ds S = Si può calcolare il flusso di rot F attraverso S anche usando direttamente la definizione di flusso. Una parametrizzazione di S è S : P(u, v) = ui + vj + (α u 2 v 2 )k, (u, v) D Inoltre si ha: Quindi nds = (P u P v )ds = (2ui + 2vj + k)dudv rotf, n ds = 2u 2 2v 2 + u. Φ S (rotf) := D (2u 2 2v 2 + u)dudv =. Un terzo modo per calcolare lo stesso flusso consiste nell usare il teorema di Stokes, calcolando l integrale di F lungo il bordo C = S : Φ S (rot F) = F, dp S

48 Una parametrizzazione del bordo è P(t) = (cos t)i + (sin t)j + 2k, t 2π e quindi P (t) = ( sin t)i + (cos t)j + k La restrizione di F al bordo è F(t) = ( cos t sin t)i + (cos t sin t)k Quindi, per il teorema di Stokes, il flusso Φ S (rot F) è uguale a F, dp = 2π F(t), P (t) dt = 2π S cos t sin 2 t dt =. c) L area di S è data dall integrale S D S ds Ricordiamo che l elemento d area ds per una superficie S grafico di una funzione z = f(x, y), (x, y) D R 2, è ( ) 2 ( ) 2 f f ds = dxdy x y Nel nostro caso, dove Conviene passare a coordinate polari: ds = 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy S D D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy = 2π r2 r drdϑ D = 2π 1 ( 1 + 4r 2 ) 3/2 12 = π 6 [5 5 1] 1

49 3. Sia data la funzione ( x 6 1 ) sin f(x, y) = x 2 + y 2, se (x, y) (, );, se (x, y) = (, ). a) Stabilire se f è continua nell origine; b) Stabilire se f ammette derivate parziali prime nell origine; c) Stabilire se f è differenziabile nell origine; d) Supponiamo che una funzione sia differenziabile in un punto. Ciò garantisce che le derivate parziali prime, in tale punto, siano continue? Giustificare la risposta. Soluzione Per il calcolo dei limiti che seguono si utiliza il teorema del limite del prodotto di una funzione limitata per una infinitesima. 1) f è continua: lim f(x, y) = lim (x,y) (,) ρ ρ6 cos 6 θ sin 1 = uniformemente risp. a θ ρ2 2) f ammette le derivate parziali prime nell origine: f(h, ) f x (, ) = lim = lim h 5 sin 1 h h h h 2 =, Analogamente f y (, ) = 2) f è differenziabile. Verifichiamo che f(h, k) f(, ) f x (, )h f y (, )k lim =. (h,k) (,) h2 + k 2 Infatti ρ 6 cos 6 θ sin lim ρ ρ lim (h,k) (,) ( ) 1 ρ 2 ( ) h 6 1 sin h 2 +k 2 = h2 + k 2 = uniformemente risp. a θ.

50 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 29 giugno 21 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Nel piano cartesiano si considerino i punti O = (, ), A = ( ) ( 3 2, 1 ) 3, B = 2 2, 1. 2 Sia D il settore circolare convesso delimitato dai segmenti OA, OB e dall arco AB della circonferenza con centro nell origine e passante per A. Calcolare l integrale I = x dxdy D Soluzione. Il settore circolare D è l insieme dei punti del piano le cui coordinate polari (r, ϑ) soddisfano r 1, π 6 ϑ 5 6 π Poiché il settore D è simmetrico rispetto all asse delle y e la funzione f(x, y) = x soddisfa la proprietà di simmetria f(x, y) = f( x, y), si ha x dxdy = 2 x dxdy dove D 1 D è la parte di D che sta nel primo quadrante, cioè l insieme dei punti che soddisfano: D r 1, D 1 1 D 1 π 6 ϑ π 2 Calcolando l integrale in coordinate polari, si ha: x dxdy = 2 x dxdy = 2 ( π/2 π/6 ) r 2 cos ϑ dϑ dr ( 1 )( π/2 = 2 r 2 dr [ 1 = 2 3 r3] 1 = = 1 3 [ sin ϑ π/6 ] π/2 π/6 ) cos ϑ dϑ

51 2. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x, y) := xy sull insieme E := {(x, y) R 2 : x 2 + 2xy + 4y 2 = 12}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f(x, y) = xy e g(x, y) = x 2 +2xy +4y 2 12, si tratta di risolvere il seguente sistema: { f(x, y) = λ g(x, y) (1) g(x, y) = ossia y = λ(2x + 2y) x = λ(2x + 8y) x 2 + 2xy + 4y 2 12 = Risolvendo tale sistema si trovano (in corrispondenza di λ = 1/2 ) i punti (2) e (in corrispondenza di λ = 1/6 ) i punti P 1 = (2 3, 3), P 2 = ( 2 3, 3) Q 1 = (2, 1), Q 2 = ( 2, 1) Poiché la funzione f è continua e l insieme E è chiuso e limitato, la funzione f assume su E sia il valore massimo che il valore minimo (Teorema di Weierstrass). Del resto, per il teorema sui moltiplicatori di Lagrange, i punti di E in cui f assume il valore massimo o il valore minimo vanno cercati tra i punti P 1, P 2, Q 1, Q 2. Poiché f(p 1 ) = f(p 2 ) = 6, f(q 1 ) = f(q 2 ) = 2, possiamo concludere che il valore massimo di f su E è 2 e il valore minimo di f su E è 6.

52 3. Si consideri la famiglia di campi vettoriali in R 2 \ {(, )} per α, β R. F(x, y) := (a) Dare la definizione di campo vettoriale irrotazionale. ( x + αy 2x 2 + 2y 2, βx + y ) 2x 2 + 2y 2 (b) Per quali α, β il campo F è irrotazionale in R 2 \ {(, )}? (c) Per gli α, β di cui al punto (b) calcolare F dr, dove Γ è la circonferenza di centro nell origine e raggio Γ 1 orientata positivamente. (d) Esistono valori di α, β per cui F può essere conservativo in R 2 \ {(, )}? Per questi valori determinare, se possibile, un potenziale di F. Per questi valori F è conservativo R 2 \ {(, )}? Soluzione. (b) Dette P (x, y) e Q(x, y) le due componenti del campo vettoriale, il campo è irrotazionale in R 2 \ {(, )} se e solo se Q x = P y in R 2 \ {(, )}. Calcolando le derivate si vede che Q x = P y è equivalente a 2βx 2 + 2βy 2 4xy = 2αx 2 2αy 2 4xy Questa uguaglianza vale per ogni (x, y) (, ) se e solo se β = α. R 2 \ {(, )} se e solo se β = α. Quindi il campo è irrotazionale in (c) Si noti che l integrale di linea non si può calcolare col teorema di Gauss-Green perché il campo non è definito nell origine (in particolare, non è di classe C 1 in nessun aperto contenente il cerchio x 2 +y 2 1 ). Per calcolarlo utilizziamo la parametrizzazione della circonferenza (x(t), y(t)) = (cos(t), sin(t)) t 2π. Il vettore velocità è (x (t), y (t)) = ( sin(t), cos(t)) per cui Γ F dr = 2π ( ) cos(t) + α sin(t) α cos(t) + sin(t) 2 cos 2 (t) + 2 sin 2 ( sin(t)) + (t) 2 cos 2 (t) + 2 sin 2 (t) (cos(t)) dt = απ (d) Se il campo è conservativo nel piano meno l origine, il campo dev essere irrotazionale e il suo lavoro lungo la circonferenza Γ dev essere nullo. Quindi per i punti (b) e (c) il campo può essere conservativo in R 2 \ {(, )} solo se α = β =. Se α = β =, per verificare se il campo sia conservativo proviamo a calcolare il potenziale. Con metodi standard (questo è uno degli esempi del libro) si trova che U(x, y) = 1 4 ln(x2 + y 2 ) è un potenziale del campo in R 2 \ {(, )}, quindi per α = β = il campo è conservativo. potenziale è 1 4 ln(2x2 + 2y 2 ), che differisce dal precedente per una costante). (NB un altro