Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Totale

Transcript

1 Es. 1 Es. 2 Es. Es. 4 Es. 5 Totale Analisi e geometria 2 rimo Appello Docente: 17 luglio 29 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Scrivere la definizione di autovettore di una matrice quadrata. (b) Sia {e 1, e 2, e } la base canonica di R. Sia T : R R l applicazione lineare tale che T(e 1 ) e 1 + e, T(e 2 )e 2, T(e )e 1 +e. i. Trovare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica. ii. Esistono basi di R costituite da autovettori di A a due a due ortogonali tra loro? Se esistono, se ne trovi una. (Non si richiede che gli autovettori scelti siano di lunghezza 1). iii. Trovare, se esiste, una matrice ortogonale tale che 1 A sia diagonale. iv. Scrivere una matrice diagonale, se esiste, che sia simile alla matrice A. v. La matrice A 4 ha una base ortonormale di autovettori? erché? (i) A (ii) er trovare gli autovalori di A risolviamo λ 1 det (A λi) det 1 λ 1 λ (1 λ)[( λ)2 1] ottenendo λ 1 1, λ 2 2 e λ 4. La matrice è simmetrica quindi ammette una base ortogonale di autovettori. Autovettori relativi a λ 1, λ 2 e λ sono i vettori v 1 1, v e v 1 1 che sono chiaramente a due a due ortogonali. (iii) La matrice S è la matrice formata dagli autovettori 1 1 S (iv) La matrice diagonale simile alla matrice A è la matrice 1 Λ 2 4 (v) La matrice A 4 ha come autovalori gli autovalori di A elevati al quarta con gli stessi autovettori. Quindi anche A 4 ha una base ortonormale di autovettori, la stessa di A.

2 2. Dato il campo vettoriale F(x, y, z) x(e z + 1)i + 2(y + z 2 )j + (e z + z)k, calcolare il flusso Φ di F uscente dalla piramide avente i vertici in O(,, ), A(2,, ), B(, 4, ), C(,, 4). (Suggerimento: i punti A, B e C appartengono al piano 2x + y + z 4.) Usiamo il teorema della divergenza: Φ divf dy dz, poiché divf 2, Φ 2 dy dz 2 vol(). Osserviamo che, poiché i punti A, B e C si trovano sugli assi coordinati, quindi vol() 1 6 Φ In alternativa, la piramide può essere espressa come OA OB OC 16, 2 dy dz 2 2. {(x, y, z) R : x 2, y 4 2x, z 4 2x y}, e quindi vol() 1 dy dz y4 2x y [ z [(4 2x)y y2 2 [ 1 (4 2x) 12 ] 2 y4 2x y ] z4 2x y z ] y4 2x y 16. z4 2x y dy dy z 1 dz y4 2x y (4 2x) 2 2 (4 2x y) dy

3 . Trovare il massimo assoluto e il minimo assoluto di f(x, y) xy+4 sull ellisse C di equazione g(x, y) x 2 + y 2 xy 1. Il problema si può risolvere con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si consideri la Lagrangiana L(x, y, λ) xy +4 λ(x 2 + y 2 xy 1) e se ne trovino i punti stazioneri risolvendo il sistema L x (x, y, λ) y 2λx + λy L y (x, y, λ) x 2λy + λx. L λ (x, y, λ) x 2 + y 2 xy 1 Elimitando λ tra le prime due equazioni, ( si ottiene y ± x, e sostituendo nel vincolo si ottengono i ) ) quattro punti 1 (1, 1), 2 ( 1, 1),, e 4 (,. Essendo poi f( 1 )f( 2 ) 5 ed f( )f( 4 ) il massimo ed il minimo assoluti sono rispettivamente 5 e.

4 4. Si determini il carattere delle seguenti serie, enunciando con precisione il criterio utilizzato: a) + n1 4n +2n log n + n 5n 4 + n 2 e n + n + b) + n1 n! n (a) Il termine generale della prima serie è 4n2 5n 4 + 5n e poiché 1 n n1 confronto asintotico, la serie data diverge. (b) Applicando il criterio del rapporto diverge, per il criterio del a n+1 lim n a n quindi la serie diverge. (n + 1)! n+1 lim n (n + 1) n+1 n! n lim n (n + 1) n! n (n + 1)(n + 1) n ( ) ( lim lim 1+ 1 ) n n n +1 n n e > 1 n! n

5 5. Si consideri l equazione differenziale x (t)+k 2 x(t) cos(t), con k R. (a) Al variare di k si risolva l equazione. (b) Nel caso k 1 si dia un interpretazione fisica del risultato ottenuto. Consideriamo l equazione omogenea associata e associamo all equazione il polinomio caretteristico x (t)+k 2 x(t) (λ) λ 2 + k 2, le cui radici sono ±ik. Nel caso k, le soluzione dell equazione omogenea sono nel caso k, x (t) a cos(kt)+b sin(kt), x (t) a + bt, con a, b R. Determiniamo un soluzione particolare dell equazione non omogenea. Nel caso k 1, la si cerca del tipo x p (t) α cos(t)+β sin(t). Sostituendo nell equazione si trova α 1,β. Nel caso k 1, k 2 1 sostituendo nell equazione si ottiene α,β 1 2. In conclusione l integrale generale è: con a, b R. x p (t) t(α cos(t)+β sin(t)), x(t) a cos(kt)+bsin(kt)+ 1 cos(t) k 2 1 se k, 1 x(t) a cos(t)+bsin(t)+ 1 2t sin(t) se k 1 x(t) a + bt cos(t) se k,