Capitolo II. Il calcolo delle probabilità

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1 Capitolo II Il calcolo delle probabilità Un affermazione del tipo: tutti gli orsi polari sono bianchi dà già per scontato un fatto senza nessuna incertezza. Se si pone invece la domanda: è vero che tutti gli orsi polari sono bianchi? la risposta può essere negativa o positiva. Nel caso del sì ritorniamo alla prima affermazione; nel caso del no, si ammette che qualche orso polare possa non essere bianco. La prima affermazione va, quindi, modificata nel senso che probabilmente tutti gli orsi polari sono bianchi. Inserendo così la probabilità, s introduce nelle affermazioni un margine, più o meno ampio, d incertezza. È molto importante riuscire a stabilire una unità di misura che vada a definire il concetto di ogni grandezza, come ad esempio per quelle del peso, della lunghezza, della velocità ecc. L unità di misura del peso è il kilogrammo, quella della lunghezza il metro e, come per tutte le misure, anche quella della probabilità deve essere data da una grandezza e quindi da un numero che indichi quante probabilità ha un caso di verificarsi. Quindi, come si può misurare in pratica la probabilità? In campo scientifico, per indicare la non possibilità del verificarsi di un caso, si usa il numero zero. Alla domanda: quante probabilità ci sono che domani non sorga il sole? La risposta è: zero. Il numero zero caratterizza per il calcolo delle probabilità un caso impossibile o ritenuto scientificamente tale. Per indicare invece la certezza del verificarsi di un caso si usa il numero uno. Si può, quindi, affermare di un caso certo che la sua probabilità di verificarsi è pari ad uno. Ad esempio il grado di probabilità che domani sorga il sole è uno. Il concetto di probabilità di cui si è parlato nel capitolo precedente è stato definito come rapporto tra casi verificatisi e casi possibili e si può misurare con un numero che varia tra zero e uno. 13

2 Per chiarire meglio diremo: 1) probabilità dell evento non possibile = zero; 2) probabilità dell evento certo = uno. Ne consegue che la probabilità o il grado di probabilità di un evento quasi impossibile è molto vicino allo zero (esempio = 0,01), mentre la probabilità o il grado di probabilità di un evento quasi sicuro è molto vicino ad uno (esempio = 0,99). La misura della probabilità è perciò rappresentabile con una scala di questo tipo: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 caso probabilità caso non possibile 50% certo Il grafico sopra indicato è la bussola che deve guidare ogni giocatore. Facciamo alcuni esempi per chiarire il concetto: esempio 1: lanciando in aria una moneta qual è la probabilità che esca una delle due facce piuttosto che l altra (problema del testa o croce)? Ovviamente in questo esempio i casi possibili sono soltanto due: o testa o croce, cioè o l una o l altra faccia della moneta. La probabilità sarà perciò: probabilità = 1(caso favorevole) =1/2 = 0,5 = 50 pari al 50%. 2(casi possibili) 100 esempio 2: avendo un mazzo di carte (40 carte), qual è la probabilità di estrarre un asso al primo colpo (ci sono 4 assi su 40 carte)? probabilità = 4(casi favorevoli) = 4 = 0,1 = 10 pari al 10%. 40(casi possibili)

3 Riferendoci alla scala proposta precedentemente avremo: esempio 1: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 caso probabilità caso non possibile esempio 1 certo esempio 2: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 caso probabilità caso non possibile esempio 2 certo esempio 3: avendo due dadi (ovviamente a 6 facce), che probabilità avremo di realizzare un punteggio pari a 9 con un unico lancio? Si potrebbe tentare di rispondere effettuando il calcolo a mente, ma certamente ciò non è semplice per una persona poco allenata al calcolo delle probabilità. Si può comunque utilizzare una tabellina o un grafico. Per imparare potremo usare una tabella così costruita: a sinistra della tabella avremo il punteggio realizzabile con il lancio di due dadi; a destra il numero dei casi favorevoli per realizzare tale punteggio. In questo caso le combinazioni possibili dei due dadi sono 36, che rappresentano il nostro spazio campionario. 15

4 Punteggio realizzabile con un lancio dei due dadi Combinazioni possibili Numero di casi favorevoli (con un lancio) su trentasei 2 (1,1) 3 (1,2) (2,1) 4 (1,3) (3,1) (2,2) 5 (1,4) (4,1) (2,3) (3,2) 6 (1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3) 7 (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3) 8 (2,6) (6,2) (3,5) (5,3) (4,4) 9 (3,6) (6,3) (4,5) (5,4) 10 (4,6) (6,4) (5,5) 11 (5,6) (6,5) 12 (6,6) Usando la tabella è più facile rispondere alla domanda formulata nell esempio precedente: quale probabilità avremo di realizzare con un unico lancio dei due dadi un punteggio pari a 9? Se cerchiamo nella colonna a sinistra il punteggio 9, ci accorgeremo che in quella di destra tale punteggio è realizzabile con le seguenti combinazioni: (3-6); (6-3); (4-5); (5-4) avremo quindi la seguente probabilità: probabilità = (casi favorevoli) 4 = 0,11 = 11%. (casi possibili) 36 Il numero 7 è quello che ha la massima probabilità di uscire (16%); quelli che hanno, invece, minore probabilità sono il 2 e il 12 (2%). Sperando di aver chiarito il concetto di calcolo delle probabilità, possiamo ora analizzare in modo chiaro e semplice le probabilità di una vincita nei due giochi di cui ci vogliamo occupare: Lotto e SuperEnalotto. Per non rendere difficile la spiegazione del gioco, riferiamoci in questo caso all estrazione su una sola ruota. Come è noto, nel gioco del Lotto vengono estratti due volte a settimana cinque numeri compresi tra 1 e 90. Si può giocare pun- 16

5 tando su un numero solo (estratto), due numeri (ambo) e così via fino a un massimo di dieci numeri. Le combinazioni vincenti si chiamano: estratto, ambo, terno, quaterna, cinquina. Tali combinazioni possono essere secche o meno. Si intendono secche le combinazioni esatte di numeri, per esempio un ambo secco si ottiene giocando due soli numeri, un terno secco si ottiene giocandone tre ecc. Nel caso s indovini un terno avendo invece puntato su cinque numeri, l eventuale vincita viene divisa per il numero di terni presenti nella combinazione dei cinque numeri giocati. Per semplicità prendiamo come esempio la probabilità di vincere puntando su un solo numero. In questo caso avremo: 5 (numero dei casi favorevoli) Probabilità = = 0,055 = 5,5% 90 (numero dei casi possibili) Vediamo ora la probabilità di indovinare un terno secco, puntando, cioè, su tre numeri. In questo caso i casi possibili sono tanti quante sono le combinazioni dei 90 numeri a 5 a 5. Questo numero di combinazioni, usando il metodo del calcolo 90 combinatorio sarà pari al coefficiente binomiale 5, che è pari a: ( 90 1) ( 90 2) ( 90 3) ( 90 4) = cioè: 90 = = Quindi il numero dei casi possibili è di Il numero dei casi favorevoli è invece dato dal numero di cinquine che contengono i tre numeri giocati, qualunque siano gli altri due 17

6 numeri tra gli 87 rimanenti. I casi favorevoli sono perciò pari alle combinazioni degli 87 numeri a 2 a 2, cioè sono pari al valore del 87 coefficiente binomiale 2. Sapendo che: 87 = = i casi favorevoli saranno Ne consegue, secondo il calcolo delle probabilità, che la probabilità d indovinare un terno giocando tre numeri sarà pari a : = = = 0, 00851% Nella scala della probabilità che va da 0 a 1, o da 0% al 100%, questa probabilità è molto vicina allo zero, cioè al limite del caso non possibile. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Probabilità di ottenere un terno secco La probabilità di ottenere una cinquina giocando cinque numeri è, come si è visto nello sviluppo del precedente calcolo, di: 1 (caso favorevole) (casi possibili) cioè volte minore rispetto alla probabilità di ottenere un terno. 18

7 Questo di certo non scoraggia i tantissimi giocatori del Lotto che due volte la settimana vivono in trepidante attesa il sogno di una vincita milionaria. Per quel che riguarda il SuperEnalotto, senza soffermarci troppo sulle modalità matematiche del calcolo, la probabilità di ottenere una sestina vincente, giocando una sola colonna, è di 1 su 622 milioni e rotti ( per la precisione). Anche se non strettamente d argomento, per questo libro indichiamo anche le probabilità di vincita per il Totocalcio e per il Totip. Per il Totocalcio la probabilità di fare un tredici è: 1 (caso favorevole) (casi possibili) Mentre per il Totip, la probabilità di ottenere un dodici è: 1 (caso favorevole) (casi possibili) Riferendoci, ancora una volta, alla scala delle probabilità, è quindi chiaro che siamo sempre a ridosso dello 0, e cioè nei margini dell impossibilità di vincere. Perché allora questi giochi hanno tanto successo? La risposta è da ricercare nei meccanismi della mente umana; spesso infatti l uomo, sfuggendo alla razionalità, diventa un sognatore e, purtroppo sempre in più casi, facile preda di cosiddetti veggenti venditori di speranze. Come resistere, dunque, alla seduzione di arricchirsi, di cambiare di colpo la propria vita? Da qui il proliferare del fenomeno gioco e quindi il fiorire di cabale, strani abbecedari che, abbinando ad ogni oggetto o figura un numero, permettono così di trasformare un sogno in giocate. Poiché questi strani abbinamenti (cabale), del tutto arbitrari a livello razionale, sono entrati nel nostro costume, nel Capitolo VIII ne offriamo un esempio tratto da testi del passato. Più avanti saranno trattati anche quei sistemi che cercano e, quando sono bene realizzati, riescono ad aumentare la probabilità in base a ragionamenti razionali. 19

8 Per un buon uso dei sistemi vengono anche pubblicati, nell appendice B, i risultati delle estrazioni che si sono svolte nel corso degli anni (dal 1997 al 2000); questo permetterà una corretta elaborazione dei sistemi. Su tutto il mondo dei giochi aleggia, infine, l ombra del Grande Fratello, unico detentore del monopolio dei giochi e cioè lo Stato. Certo il monopolio statale evita il proliferare di gestori pronti ad arricchirsi alle spalle dei giocatori, ma questo non avviene certo per puro spirito caritatevole. Lo Stato incassa molto e distribuisce poco. Infatti, un giocatore che riesca ad ottenere, giocando al Lotto, una cinquina secca, puntando un euro, è premiato dallo Stato con un due milioni di euro. Questa cifra è molto modesta se si osserva che il gestore offre un milione di volte la posta, contro un unica possibilità di vincita su di perdere la posta stessa. Si nota quindi da quest esempio l enorme vantaggio che si realizza, al di là di ogni corretto rapporto, a favore del detentore del banco. Una delle novità più interessanti offerta in questi ultimi tempi dall avvento delle nuove tecnologie, è rappresentata, sicuramente, dal diffondersi dei software che aiutano il giocatore nel calcolo dei sistemi. Anche se questi programmi in alcuni casi non sono proprio intuitivi da utilizzare, è possibile, con una corretta impostazione delle cosiddette condizioni, riuscire a ridurre sistemi da svariati milioni a sistemi da poche decine di euro e aumentare così le probabilità di vincita. Si può aggiungere a questo proposito che su Internet si moltiplicano i siti che mettono a disposizione informazioni di vario genere, dalle estrazioni, ai numeri ritardatari, alla legislazione vigente, e che proprio di recente è stata introdotta la possibilità di giocare al Lotto direttamente da casa tramite un numero di telefono. Più avanti si daranno alcune indicazioni al riguardo, ma procediamo con ordine e vediamo innanzitutto come si gioca al Lotto e al SuperEnalotto, partendo però da una breve cronistoria dei giochi. 20