Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico giugno 2013

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1 Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico giugno 201 L uso di calcolatrici o testi non è consentito. Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti. Rispondere ai quesiti facendo i calcoli: si accettano come soluzione finale numeri frazionari del tipo a/b, con a, b interi, e numeri decimali; salva indicazione contraria. Tempo a disposizione: 2 ore. Nell ultimo foglio sono riportate formule e una tabella ESERCIZIO 1. Una ditta produce tubi di acciaio ad uso industriale. La ditta produce in particolare tubi di lunghezza indicativamente di 5 metri. A causa di variazioni nella produzione, la lunghezza in millimetri del tubo può essere modellizzata come 00+X, dove X è una variabile aleatoria continua di densità { C(10 + x)(10 x) se x [ 10, 10] f(x) = 0 altrimenti con un opportuna costante C. (a) Determinare media e varianza della lunghezza del tubo. La ditta stipula un contratto con la Regione Lazio per la fornitura di tubi al prezzo di euro l uno. Si supponga che i tubi vengano prodotti indipendentemente l uno dall altro. Il contratto prevede che la Regione Lazio testi tubi scelti a caso tra quelli consegnati e che la ditta sia tenuta a pagare una penale pari a 100 euro per ogni tubo testato la cui lunghezza si discosti dal valore medio per almeno 5 millimetri, e a ricevere un premio pari a 10 euro per ogni tubo testato la cui lunghezza si discosti dal valore medio per al più millimetri. (b) Determinare valore atteso del guadagno della ditta. (c) Determinare, in modo approssimato, la probabilità che vi siano almeno 5100 tubi tra consegnati alla Regione Lazio la cui lunghezza sia almeno 5 metri. Soluzione a) Abbiamo f(x) = C(100 x 2 ). Quindi F (x) = f(x) con x [ 10, 10], dove F (x) = C(100x x /). Ne deriva che C è tale che F (10) F ( 10) = 1, quindi C = /. Inoltre E(X) = xf(x)dx = 0 dato che f è funzione pari. Mentre R 10 ( 100x V ar(x) = E(X 2 ) = C x 2 (100 x 2 )dx = C 10 ) x5 10 = Chiamata L la lunghezza del tubo, L = 0 + X. Quindi E(L) = 00 + E(X) = 00 e V ar(l) = V ar(00 + X) = V ar(x) = 20. 1

2 b) Chiamo p la probabilità che la lunghezza di un tubo si discosti dal valore medio per almeno 5 millimetri. Chiamo p la probabilità che la lunghezza di un tubo si discosti dal valore medio per massimo mm. p = 5 10 f(x)dx f(x)dx = 2(F (10) F (5)) = 2( ) = p = f(x)dx = F () F ( ) = 2F () = Nota: non c e nulla di estremamente calcoloso!! Infatti: F (10) = ( /) = 1 ( ) = 1 2 F (5) = ( /) = 1 (10 5 ) = 175 F () = (100 /) = 87 (00 9) = 291 = Chiamo Y il numero di tubi tra quelli testati la cui lunghezza si discosta dal valore medio per almeno 5 millimetri, chiamo Z il numero di tubi tra quelli testati la cui lunghezza si discosta dal valore medio massimo millimetri. La ditta guadagna Y + 10Z. Notiamo che Y = Bin(2000, p), Z = Bin(2000, p ). Quindi il guadagno atteso è pari a E( Y + 70Z) = E(Y ) E(Z) = = c) usiamo il teorema di De Moivre Laplace. Sia W il numero di tubi di lunghezza almeno 5 metri. W = Bin(10.000, 1/2) (siccome f è pari, 1/2 si ottiene per simmetria). La deviazione standard è (1/2)(1/2) =. Quindi P (W > 5100) = P ( W 00 > P ( W ) = > 2) 1 Φ(2) = = 0, 0228 ESERCIZIO 2. La famiglia Visciglia e la famiglia Ghiggini sono entrambe composte da 2 genitori e da 2 figli. Si conoscono e si recano insieme al luna park. In uno stand vi è una lotteria: in un urna vi sono 100 palline, di cui 10 rosse e 90 blu. Ogni componente della famiglia Visciglia e della famiglia Ghiggini estrae a caso una pallina (non c e rimpiazzo) e chi estrae una pallina rossa ha diritto ad un peluche. Chiamiamo X il numero di peluche vinti dai Visciglia e Y il numero di peluche vinti dai Ghiggini. (a) Determinare media e varianza di X e di Y. (b) Determinare Cov(X, Y ). (c) Dire se le variabili aleatorie X, Y sono indipendenti giustificando la risposta. In un altro stand vi è un altra urna con palline 100 palline numerate da 1 a 100. Ai numeri 1,2,..10 sono associati dei premi distinti, le palline con gli altri numeri non danno diritto ad alcun premio. Ad ogni estrazione si estrae una pallina che poi viene reinserita. La famiglia Visciglia decidere di giocare alla lotteria e continua a giocare finchè non accumula 2 premi distinti (ad esempio, se dopo 10 estrazioni la famiglia vince complessivamente 5 trenini uguali la famiglia continua comunque a giocare fino a quando non vince un premio diverso dai trenini). 2

3 (d) Determinare il valore medio e varianza del numero di estrazioni effettuate. (e) Dare una formula per la densità discreta del numero di estrazioni effettuate. Soluzione (a) possiamo immaginare che i Visciglia siano i primi ad estrarre le 4 palline. Allora X è ipergeometrica di parametri N = 100, m = 10, n = 4. Quindi E(X) = 40/100, V ar(x) = N n N 1 np(1 p) dove p = m/n = 1/10, quindi V ar(x) = Per simmetria E(X) = E(Y ), V ar(x) = V ar(y ) = (b) Numero i componenti di ciascuna famiglia come 1, 2,, 4 per i Visciglia e 5, 6, 7, 8 per i Ghiggini. Definisco { 1 se la persona i estrae una pallina rossa Z i := 0 altrimenti Allora X = 4 i=1 Z i, Y = 8 i=5 Z i. Per bilinearità Cov(X, Y ) = 4 8 i=1 j=5 Cov(Z i, Z j ). Abbiamo E(Z i ) = E(Z j ) = 10/100. Mentre E(Z i Z j ) = P (F i,j ) dove F i,j è l evento che le persone i e j estraggono entrambe una pallina rossa. possiamo pensare che queste due persone siano le prime ad estrarre le palline. Allora per la legge del prodotto P (F i,j ) = = Quindi Cov(Z i, Z j ) = = = Concludiamo che 4 8 Cov(X, Y ) = Cov(Z i, Z j ) = i=1 j=5 (c) X, Y non sono indipendenti avendo covarianza non nulla. (d) Chiamo T il numero di estrazioni effettuate. Allora T = T 1 + T 2 dove T 1 rappresenta il numero di estrazioni per ottenere il primo premio e T 2 il numero di estrazioni aggiuntive per ottenere un premio diverso dal primo premio ottenuto. T 1 `v.a. geometrica di parametro p 1 = 10/100 = 1/10. A partire dall estrazione T il gioco è dato da una successione di estrazioni operativamente indipendenti, non influenzate dalle prime T 1 estrazioni. Quindi T 1 e T 2 sono v.a. indipendenti. Inoltre, T 2 è v.a. geometrica di parametro p 2 = 9/100 (sono felice quando esce un numero tra 1 e 10 diverso da quello che corrisponde al primo premio ricevuto). Concludiamo che E(T ) = E(T 1 ) + E(T 2 ) = 1/p 1 + 1/p 2 = /9 = 190/9 e (grazie all indipendenza di T 1, T 2 ) Var(T ) = Var(T 1 )+Var(T 2 ) = 1 p 1 p p 2 1 p 2 = 9/10 2 1/ /100 81/10000 = = (e) T assume valori 2,,.... Dato k possibile valore di T ho P (T = k) = P (T 1 + T 2 = k) = P (T 1 = j, T 2 = k j) = P (T 1 = j)p (T 2 = k j) = (1 p 1 ) j 1 p 1 (1 p 2 ) k j 1 p 2

4 In realtà si può esibire anche una formula più compatta (era facoltativo). continuando i calcoli suddetti infatti si ottiene. ( ) j 1 1 P (T = k) = p 1 p 2 (1 p 2 ) k 2 p1 = 1 p 2 k 2 ( 1 p 1 p 2 (1 p 2 ) k 2 p1 1 p 2 i=0 ) i = p 1 p 2 (1 p 2 ) k 2 ( 1 p1 1 p 2 ) 1 1 p 1 1 p 2 1 = p 1 p 2 (1 p 1 ) (1 p 2 ) p 2 p 1 4

5 FORMULARIO Se X è v.a. binomiale di parametri n, p, allora E(X) = np, V ar(x) = np(1 p). Se X è v.a. geometrica di parametro p, allora E(X) = 1/p, V ar(x) = (1 p)/p 2. Se X è v.a. di Poisson con parametro l, allora E(X) = l, V ar(x) = l. Se X è v.a. ipergeometrica di parametri n, N, m (tipo: estraggo senza rimpiazzo n palline da un urna con m palline bianche e N m palline nere e X è il numero di palline bianche estratte) allora E(X) = nm/n e V ar(x) = N n N 1 np(1 p) dove p = m/n. 5