DOMANDA 1: mettere una croce sulla affermazione esatta (90 89)

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1 PROVA D ESAME - 0 marzo 00 nome: cognome: SSIS-INDIRIZZO MATEMATICA E MATEMATICA APPLICATA secondo anno MATEMATICA APPLICATA B: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Per le domande a risposta aperta il punteggio varia da 0 a, mentre per le domande a risposta multipla il punteggio è: risposta esatta +; mancata risposta 0; risposta sbagliata -. ESERCIZIO A Al gioco del lotto scommettete puntando sull ambo, } e sul terno,, } entrambi sulla ruota di Napoli. Sia q Pvincere entrambe le scommesse} e sia p Pvincere almeno una delle due scommesse}, allora: DOMANDA : mettere una croce sulla affermazione esatta. q 4 / / q 8 / q 87 / / 90 [ q 4 / / / 90 ][ 87 / 90 La probabilità di ottenere sia l ambo, } che il terno,, }, giocati ENTRAMBI sulla ruota di Napoli è uguale alla probabilità che esca la cinquina,,,, }. Si noti che se E è l evento ottenere l ambo, } sulla ruota di Napoli ed F è l evento ottenere il terno,, } sulla ruota di Napoli, allora E ed F NON sono indipendenti. DOMANDA : mettere una croce sulla affermazione esatta. p 4 / / p 4 / / / / p 87 / / 90 8 / p 87 / / 90 Posti E e F come sopra, la probabilità di ottenere l ambo, } sulla ruota di Napoli o di ottenere il terno,, } sulla ruota di Napoli si può calcolare con P re F P re + P rf P re F, tenendo presente che in questo caso P re F q come in domanda. punto che P re 87 / 90, e che P rf 87 / 90. ]

2 Si noti che in questo caso non conviene procedere utilizzando la formula P ra B P ra c B c in quanto non risulta particolarmente agevole calcolare P re c F c. ESERCIZIO B Si danno carte da un mazzo ben mescolato di carte cuori, quadri, fiori, picche. La probabilità p di un full servito, cioè di avere un tris e una coppia è:. p /. p 44. p 44 / / 4. p 4 48 / / La probabilità di un tris di Assi e di una coppia di Re è 44 / 0 in quanto corrisponde all estrazione SENZA REINSERIMENTO di palline tra di cui 4 bianche i 4 Assi, 4 rosse i 4 Re e 44 verdi le rimanenti; lo stesso vale per ogni altro tipo di full. I tipi di full sono in quanto posso scegliere in modi il valore comune delle tre carte del tris e in modi il valore comune delle due carte della coppia, e quindi in questo caso l ordine ha importanza. ESERCIZIO C Una prima urna contiene 6 palline rosse e bianche. Una seconda urna contiene palline rosse e bianche. Si lancia un dado e si sceglie l urna se escono o 6 e la seconda altrimenti. Successivamente, dall urna scelta SEMPRE LA STESSA vengono estratte le palline ad una ad una CON REINSERIMENTO. U l evento viene scelta l urna } V l evento viene scelta l urna }. Rn gli eventi all estrazione n-sima viene estratta una pallina rossa} B n gli eventi all estrazione n-sima viene estratta una pallina bianca}. Sia X m il numero di palline rosse estratte nelle prime m estrazioni. Sia T il numero di estrazioni necessarie per ottenere per la prima volta una pallina rossa. DOMANDA : mettere una croce sulla affermazione esatta. P rb P rb P rb P rb P rb + P rb +

3 4. P rb 8 P rb 8 P rb P rup rb U + P rv P rb V +, inoltre P rb 8 8 P rb P rb in quanto P rup rb U + P rv P rb V P rb U P rb U e P rb V P rb V DOMANDA : vvero ffalso mettere una croce sulla colonna relativa alle risposte giuste a P rr R U P rr UP rr U v v f f b P rr R P rr P rr v f v f a Condizionatamente ad U, cioè a conoscere la composizione dell urna, si tratta di estrazioni CON REINSERIMENTO e quindi P rr R U P rr UP rr U. b P rr R P rup rr R U + P rv P rr R V e quindi per il punto precedente che è diverso da P rr P rr P rr R P rup rr UP rr U + P rv P rr V P rr V P rup rr U+P rv P rr V P rup rr U+P rv P rr V DOMANDA : Sapendo che la prima pallina estratta è rossa, la probabilità che sia stata scelta l urna è: La soluzione è immediata con la formula di Bayes: P ru R P rup rr U P rup rr U + P rv P rr V DOMANDA 4 : vvero ffalso mettere una croce sulla colonna relativa alle risposte giuste a gli eventi X 0} e T } sono indipendenti v v f f b gli eventi X 0} e T} sono incompatibili v f v f

4 Gli eventi X 0} B B e T } R sono disgiunti ovvero incompatibili e hanno probabilità positiva: quindi non possono essere indipendenti, in quanto in generale se P ra > 0, P rb > 0 e A B allora 0 P ra B P rap rb > 0. ************************************* ATTENZIONE QUESTA DOMANDA NON ERA PRESENTE NELLA FORMULAZIONE ORIGINARIA DELLA PROVA ************************************** DOMANDA 4bis: Calcolare, sapendo che X 0, la probabilità che sia stata scelta l urna. indicare i passaggi effettuati, semplificare i calcoli effettuati Si osservi che X 0} B B, quindi P ru X 0 P ru B B P rup rb B U P rup rb B U + P rv P rb B V. Condizionatamente all evento U si ha P rb B U : essendo nota la 8 8 composizione dell urna palline bianche e 6 rosse, si tratta della probabilità di ottenere due palline bianche da estrazioni CON REINSERIMENTO. Analogamente se si condiziona all evento V si ha P rb B V 8 8 : essendo la composizione dell urna nota palline bianche e rosse e le estrazioni CON REINSERIMENTO. Quindi P ru X

5 ESERCIZIO D Una prima urna contiene 6 palline rosse e bianche. Una seconda urna contiene palline rosse e bianche. Si lancia un dado e si sceglie l urna se escono o 6 e la seconda altrimenti. Successivamente, si estrae una pallina dall urna scelta, se ne osserva il colore e poi NON VIENE REINSERITA nell urna. Si ripete l operazione una seconda volta, cioè si lancia di nuovo il dado e si sceglie un urna etc., poi l operazione viene ripetuta una terza volta e così via. U n gli eventi viene scelta l urna per l estrazione n-sima} V n gli eventi viene scelta l urna per l estrazione n-sima}. Rn gli eventi all estrazione n-sima viene estratta una pallina rossa} B n gli eventi all estrazione n-sima viene estratta una pallina bianca}. Sia X m il numero di palline rosse estratte nelle prime m estrazioni. DOMANDA : Disegnare il grafo associato al problema. ******************************************** da sistemare *************************************** DOMANDA Utilizzando il grafo, indicare come calcolare la probabilità che X non si richiedono i calcoli espliciti, ma solo l indicazione dello svolgimento L evento X } coincide con l evento R R. Quindi P rx P rr R. Tenendo conto di tutte e quattro le possibilità relative alle scelte delle urne, cioè U U, U V, V U, V V, si ottiene che P rx P ru R U R + P ru R V R +P rv R U R + P rv R V R P ru P rr U P ru U R P rr U R U +P ru P rr U P rv U R P rr U R V +P rv P rr V P ru V R P rr V R U +P rv P rr V P rv V R P rr V R V P ru P rr U P ru P rr U +P ru P rr U P rv P rr V +P rv P rr V P ru P rr U +P rv P rr V P rv P rr V. Quindi P rx