Materiale didattico per il corso di Statistica I Terza esercitazione SOLUZIONI

Transcript

1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Terza esercitazione SOLUZIONI Claudia Furlan 1 Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 0.1 Probabilità Esercizio 1 a) {(Y, Y, Y ), (Y, Y, N), (Y, N, Y ), (N, Y, Y ), (Y, N, N), (N, Y, N), (N, N, Y ), (N, N, N)} b) E {(Y, Y, Y ), (Y, Y, N), (Y, N, Y ), (N, Y, Y )}. c) la seconda signora usa il prodotto. Esercizio 2 a) {(A, B), (Ā, B), (A, B), (Ā, B)} Gli eventi si possono rappresentare graficamente nel modo seguente (tra parentesi è indicata la probabilità dell evento): Ω A B A B (0.0).. A B (0.7) Ā B (0.1) Ā B (0.0) b) A B: passa almeno un esame Ā B: non passa almeno un esame A B: passa E 1 e non passa E 2 Ā B: non passa nessun esame A B: non passa nessun esame (A B Ā B). c) Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) 0.9 Pr(Ā B) 1 Pr(Ā B) 1 Pr(A B) 0.2 Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) 0.0 Pr(Ā B) Pr(A B) 1 Pr(A B) 0.0. Esercizio 3 Ponendo: M (musica), S (sport) e L (lingua), si ha: Pr(M) 0.10, Pr(S) 0.20, Pr(L) 0.0, Pr(M S) 0.0, Pr(M L) 0.03, Pr(L S) 0.02, Pr(L S M) Graficamente, si ha: 1

3 Ω M M S L (0.03). S M S L (0.04) M S L (0.02) L.. M S L (0.14) M S L (0.01) M S L (0.01) M S L (0.01) M S L (0.74) La probabilità che uno studente pratichi solo sport è Pr( M S L) ed è data da: Pr(S M L) Pr(S) Pr(S M L) Pr(S) Pr(S [M L]) Pr(S) Pr([S M] [S L]) Pr(S) [Pr(S M) + Pr(S L) Pr(S M L)] 0.20 [ ] La probabilità che uno studente studi musica e una lingua e non pratichi sport è data da: Pr( S M L) Pr(M L) Pr(M L S) Esercizio 4 Avendo Pr(Ā) 0.3, Pr(B) 0.4 e Pr(A B) 0., si ha: a) Pr(A) 1 Pr(Ā) 0.7; b) Pr(A B) Pr(A) Pr(A B) 0.2; c) Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) 0.9. Esercizio Ponendo N pallina nera, Rpallina rossa e Bpallina bianca, si ha che la prima urna è data da {N, N, R}, mentre la seconda è {R, R, B}. Quindi: a) Lo spazio campionario è dato dalle coppie di possibili palline (posso associare a ciascuna delle 3 palline della prima urna ciascuna delle 3 palline della seconda urna): {(N, R), (N, R), (N, B), (N, R), (N, R), (N, B), (R, R), (R, R), (R, B)}. b) L evento prima pallina nera è dato dalle coppie {(N, R), (N, R), (N, B), (N, R), (N, R), (N, B)}. c) La probabilità di due palline dello stesso colore è uguale a Pr[(R, R)] 2/9. 2

4 d) La probabilità di avere due palline di colori diversi è uguale ad 1 meno la probabilità di avere due palline dello stesso colore (vedi punto c)) e quindi pari a: Pr( palline di colori diversi ) 1 2/9 7/9. Esercizio 6 La probabilità di estrarre una figura di fiori è data dal rapporto dei casi favorevoli sui casi possibili; i casi possibili sono le 2 carte del mazzo, mentre i casi favorevoli all evento sono le 3 figure di fiori (ossia J, Q e K di fiori). Quindi la probabilità è pari a 3/2. La probabilità di estrarre una figura o una carta di fiori è data da: Pr(fiori figura) Pr(fiori) + Pr(figura) Pr(figura fiori) 13/2 + 12/2 3/2 22/2 dove le varie probabilità derivano dal fatto che nel mazzo ci sono 13 carte di fiori, 12 figure e 3 delle 12 figure sono di fiori. Esercizio 7 La probabilità che almeno due persone su 2 compiano gli anni nello stesso giorno è uguale a 1 meno la probabilità che tutti compiano gli anni in giorni diversi. Il numero di casi possibili per quest ultimo evento è 36 2, in quanto ciascuna delle 2 persone ha 36 giorni possibili in cui avere il compleanno, indipendentemente dai compleanni delle altre 24 persone. I casi favorevoli all evento nessuno compie gli anni nello stesso giorno si calcolano considerando in sequenza le 2 persone (è indifferente da quale si parte): la prima persona ha 36 giorni a disposizione; per ognuno dei 36 giorni della prima persona, la seconda persona ha a disposizione 364 giorni per il suo compleanno (visto che non può essere nato nello stesso giorno del precedente); a sua volta, la terza persona ha a disposizione 363 giorni, visto che non può essere nata nei due giorni delle due persone precedenti; procedendo in questo modo, si ottiene che il numero di casi favorevoli è: !/340!. Quindi il risultato finale è: Pr( almeno due persone su 2 con lo stesso compleanno ) 1 Pr( nessuno con lo stesso compleanno ) 1 36! 340! Esercizio 8 Il numero di casi possibili è dato dalle disposizioni semplici di n elementi di classe k: D n,k n (n 1.. (n k + 1). Il numero di casi favorevoli è dato dalle disposizioni semplici di n 1 elementi di classe k 1, in quanto la chiave che apre la serratura è fissata in posizione k-esima: D n 1,k 1 (n 1) (n 2.. [(n 1) (k 1) + 1]. Quindi la probabilità di aprire la porta al k-esimo tentativo è uguale a: D n 1,k 1 D n,k (n 1) (n 2.. (n k + 1) n (n 1.. (n k + 1) 1 n La stessa probabilità si poteva calcolare pensando in termini di probabilità condizionate. Si indichi con con A i l evento l i-esimo tantativo apre la serratura. Allora, 3

5 la probabilità di aprire la serratura in esattamente k tentativi è data da: Pr( k tentativi ) Pr(Ā1 Ā2... Āk 1 A k ) Pr(Ā1) Pr(Ā2 Ā1) Pr(Ā3 Ā1 Ā2.. Pr(A k Ā1... Āk 1) n 1 n 2 n n 1 n 3 n n k n. Infatti, la probabilità di non aprire la porta con la prima chiave provata è data dagli n 1 casi favorevoli (n 1 chiavi non aprono la porta), diviso per le n chiavi possibili. Al secondo tentativo, sapendo che la prima chiave non ha aperto al porta ed è stata messa da parte, restano n 1 chiavi a disposizione di cui n 2 non aprono la porta; quindi la probabilità di non aprire al secondo tentativo, sapendo che al primo tentativo non si è aperta la porta, è data da (n 2)/(n 1). Procedendo in questo modo si arriva al k-esimo tentativo in cui, avendo eliminato k 1 chiavi, restano a disposizione n k + 1 chiavi; di queste, solo 1 apre la porta, quindi la probabilità di aprire al k-esimo tentativo, sapendo che le precedenti k 1 chiavi erano sbagliate, è pari a 1/(n k + 1). Esercizio 9 Se sono necessari più di 3 lanci significa che nei primi 3 lanci non c e stato nessun 6. Il numero di casi possibili per i tre lanci sono , ossia le disposizioni con ripetizione di 6 elementi di classe 3. Il numero di casi favorevol è dat0 dalle disposizioni semplici di elementi di classe 3, ossia 3, poiché ad ogni lancio si hanno a disposizione risultati possibili (tutti i numeri tranne il 6). Quindi: Pr( più di 3 lanci ) Esercizio 10 a) Lo spazio degli eventi è dato dalle 2 coppie: {(i, j) : i, j 1, 2, 3, 4, }. L evento B 1 è costituito dalle 1 coppie: B 1 {(i, j) : i 1, 2, 3, j 1, 2, 3, 4, }. L evento B 2 è costituito dalle 1 coppie: B 2 {(i, j) : i 1, 2, 3, 4,, j 1, 2, 3}. L evento B 1 B 2 è dato dalle 9 coppie: B 1 B 2 {(i, j) : i 1, 2, 3, j 1, 2, 3}. b) Le probabilità degli eventi sono calcolate come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili (vedi punto a)): Pr(B 1 ) Pr(B 2 ) 1/2 3/, Pr(B 1 B 2 ) 9/2. c) Lo spazio degli eventi è dato dalle 4 20 coppie: {(i, j) : i, j 1, 2, 3, 4,, i j}. L evento B 1 è costituito dalle 12 coppie: B 1 {(i, j) : i 1, 2, 3, j 1, 2, 3, 4,, i j}. 4

6 L evento B 2 è costituito dalle 12 coppie: B 2 {(i, j) : i 1, 2, 3, 4,, j 1, 2, 3, i j}. L evento B 1 B 2 è dato dalle 6 coppie: B 1 B 2 {(i, j) : i 1, 2, 3, j 1, 2, 3, i j}. Le probabilità degli eventi sono date dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero di casi possibili: Pr(B 1 ) Pr(B 2 ) 12/20 3/, Pr(B 1 B 2 ) 6/20 3/10. Esercizio 11 Il numero di casi possibili è sempre dato dalle combinazioni di carte prese dalle 2 disponibili: C 2, ( ) 2. I casi favorevoli ad un poker d assi sono tutti gli insiemi di carte con 4 assi. Se i 4 assi sono fissati, resta una carta da scegliere nelle restanti 48 carte del mazzo che non sono assi: C 48,1 ( ) Quindi si ha: Pr( poker assi ) 48 ( 2 Notiamo che questa probabilità è la probabilità di un generico poker fissato (non necessariamente di assi). La probabilità di fare un poker è la somma delle probabilità dei singoli 13 poker possibili; avendo i singoli poker tutti la stessa probabilità, si ottiene: Pr( poker ) ( 2 Il numero di casi favorevoli ad avere carte di un seme fissato (ad esempio cuori) è pari alle combinazioni di carte prese dalle 13 carte del seme fissato: C 13, ( ) 13. Quindi la relativa probabilità è: ( 13 ) Pr( carte di cuori ) ( 2 La probabilità di avere carte dello stesso seme è la somma delle probabilità di avere carte di cuori, carte di quadri, carte di fiori e carte di picche. Queste 4 probabilità sono tutte uguali, quindi: Pr( carte dello stesso seme ) 4 ( ) 13 ( 2 Esercizio 12 Indicando con A la persona ha la pressione alta e con B la persona beve alcolici, il testo dell esercizio ci dice che: Pr(A) 0.0 ( Pr(Ā) 1 Pr(A) 0.9), Pr(B A) 0.7, Pr(B Ā) 0.0. Per calcolare Pr(A B) utilizziamo il Teorema di Bayes: Pr(A B) Pr(A B) Pr(B) Pr(B A) Pr(A) Pr(B A) Pr(A) + Pr(B Ā) Pr(Ā)

7 Esercizio 13 Indichiamo con b A estraggo una bianca dall urna A, n A estraggo una nera dall urna A, b B estraggo una bianca dall urna B, n B estraggo una nera dall urna B. Dobbiamo calcolare Pr(b A b B ) e lo facciamo utilizzando il Teorema di Bayes: Pr(b A b B ) Pr(b B b A ) Pr(b A ) Pr(b B b A ) Pr(b A ) + Pr(b B n A ) Pr(n A L urna A ha due palline nere e due bianche, quindi (numero di casi favorevoli su numero di casi possibili... ) Pr(b A ) Pr(n A ) 2/4 1/2. Invece, se ho pescato un bianca da A e l ho messa nell urna B, l urna B avrà 4 palline bianche e 2 nere; quindi Pr(b B b A ) 4/6 2/3. Viceversa, se ho pescato un nera da A e l ho messa nell urna B, l urna B avrà 3 palline bianche e 3 nere; quindi Pr(b B n A ) 3/6 1/2. A questo punto ho tutti gli ingredienti richiesti per calcolare Pr(b A b B ): Pr(b A b B ) Esercizio 14 Indichiamo con A lo studente è più alto di 18 cm, M maschio, F M femmina. Allora: Pr(M) 0.4 ( Pr( F ) 1 Pr(M) 0.6), Pr(A M) 0.04, Pr(A F ) Per calcolare Pr(F A) utilizziamo il Teorema di Bayes: Pr(F A) Pr(F A) Pr(A) Pr(A F ) Pr(F ) Pr(A F ) Pr(F ) + Pr(A M) Pr(M)