Giorno n. clienti di attesa

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1 Esercizio 1 Un aspetto cruciale per la qualità del servizio ai clienti in un supermercato è il cosiddetto checkout (ovvero il tempo che il cliente impiega dal momento in cui si mette in fila alla cassa fino a quando non viene emesso lo scontrino). Questo tempo di attesa potrebbe dipendere dal numero dei clienti presenti all interno della struttura. In un grande supermercato vengono raccolte le informazioni relative al numero di clienti presenti nel supermercato e il tempo di attesa in fila alle casse (in minuti). I dati sono riportati nella tabella seguente: Giorno n. clienti Tempo Tempo Tempo Giorno n. clienti Giorno n. clienti di attesa di attesa di attesa , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 a) stimare la retta di regressione; b) Stimare il tempo di attesa se il numero di clienti presenti è 50; c) determinare l intervallo di confidenza del coefficiente di regressione ß con un livello di confidenza pari al 95%; d) verificare l esistenza di dipendenza del tempo di attesa dal numero di clienti presenti ad un livello di significatività del 5%. Soluzione 1 a) La retta di regressione stimata è, dove. I calcoli per stimare i due coefficienti sono riportati nella tabella che segue ,3 64, ,16 285,76 0,1285 2,160, ,30, ,30 per cui la retta di regressione stimata è: 0,448550,1285 b) Il tempo di attesa quando il numero di clienti presenti è di 50 è: 0,448550, ,98!"# 1

2 giorni n. clienti Tempo di attesa ,50-5,30-0,66 3,498 28,09 1,48 0, ,20-2,30-0,96 2,208 5,29 1,86 0, ,80-11,30-1,36 15, ,69 0,71 0, ,50-13,30-1,66 22, ,89 0,45 0, ,00-1,30-0,16 0,208 1,69 1,99 0, ,50 9,70 0,34 3,298 94,09 3,41 0, ,00 6,70 0,84 5,628 44,89 3,02 0, ,00-7,30-0,16 1,168 53,29 1,22 0, ,70-9,30-0,46 4,278 86,49 0,97 0, ,50-11,30-1,66 18, ,69 0,71 0, ,00 0,70-0,16-0,112 0,49 2,25 0, ,20 14,70 3,04 44, ,09 4,05 1, ,30 4,70 0,14 0,658 22,09 2,76 0, ,20-12,30-1,96 24, ,29 0,58 0, ,70-4,30-1,46 6,278 18,49 1,61 0, ,50 0,70 0,34 0,238 0,49 2,25 0, ,00-3,30-1,16 3,828 10,89 1,74 0, ,80 1,70 1,64 2,788 2,89 2,38 2, ,50-4,30-0,66 2,838 18,49 1,61 0, ,80 3,70 0,64 2,368 13,69 2,64 0, ,00-6,30-1,16 7,308 39,69 1,35 0, ,70-5,30-0,46 2,438 28,09 1,48 0, ,00 0,70 0,84 0,588 0,49 2,25 0, ,80 6,70 0,64 4,288 44,89 3,02 0, ,00-3,30-1,16 3,828 10,89 1,74 0, ,50 0,70 0,34 0,238 0,49 2,25 0, ,90-0,30 0,74-0,222 0,09 2,12 0, ,40 10,70 1,24 13, ,49 3,53 0, ,00 17,70 1,84 32, ,29 4,43 0, ,80 21,70 2,64 57, ,89 4,95 0,02186 Tot ,80 9,91988 c) L intervallo di confidenza è: Pr&# ',)*. /0/# ',)*. 112 Pr&0,12852,0484 0,595. /0/0,12852,0484 0, , , ,30 Pr0,1027/0/0,15430,95 Con una confidenza del 95% il coefficiente di regressione è compreso tra 0,10 e 0,15. dove +, 4 5 *4 5 6 )* d) Il sistema d ipotesi è 7, ,354 +, -0,3540,595 2

3 Il test è? Esercitazione n.6 0 < +,. : ; <:00 ; 8 :0>0 0, ,185 47,162 I valori soglia della T di Student con n-2 g.d.l. e 20,05 sono 2,0484 e + 2,0484; per cui, essendo il risultato del test esterno a detti valori soglia, rifiutiamo l ipotesi nulla e possiamo affermare che il tempo d attesa dipende dal numero dei clienti presenti nel supermercato (p-value=0, ). 3

4 Esercizio 2 Una azienda che produce DVD ha condotto un indagine per stabilire quale sia la relazione tra le vendite dei DVD e la spesa in pubblicità effettuata per ognuno di essi. I dai riportati nella tabella seguente si riferiscono ad un campione di 30 DVD relativi a film da poco usciti nelle sale cinematografiche, su cui sono rilevate le vendite (in migliaia di unità) e il budget destinato alla pubblicità (milioni di euro): DVD Spesa pubblicità Vendite DVD Spesa pubblicità Vendite DVD Spesa pubblicità Vendite 1 51,10 57, ,42 115, ,91 162, ,13 26, ,34 87, ,25 109, ,18 92, ,70 128, ,13 280, ,25 61, ,43 126, ,62 229, ,44 46, ,59 107, ,09 277, ,53 85, ,36 190, ,73 226, ,53 103, ,89 121, ,55 365, ,69 30, ,66 183, ,62 218, ,74 49, ,35 204, ,70 286, ,77 24, ,55 112, ,51 254,58 a) Stimare la retta di regressione; b) Interpretare il significato del coefficiente di regressione stimato; c) Predire le vendite dei DVD quando il budget ammonta a 75 milioni di euro; d) Fissato 20,05verificare se vi è una significativa relazione tra le variabili; e) Costruire un intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente 0. Soluzione 2 a) La retta di regressione stimata è, dove. I calcoli per stimare i due coefficienti sono riportati nella tabella che segue. 1977,76 65, ,24 145, ,93 4,333 2,160, ,3140, ,07 per cui la retta di regressione stimata è: 140,12034,333 b) Per ogni ulteriore milione investiti in pubblicità le vendite medie stimate di DVD aumenteranno di 4333,1 unità. c) Il tempo di attesa quando il numero di clienti presenti è di 75 è: 140,12034, ,85 "!#à d) Il sistema d ipotesi è : ; <:00 ; 8 :0>0 Il test è 4

5 ? Esercitazione n.6 0 < +,. 4, ,65 95,57 I valori soglia della T di Student con n-2 g.d.l. e 20,05 sono 2,0484 e + 2,0484; per cui, essendo il risultato del test esterno a detti valori soglia, rifiutiamo l ipotesi nulla e possiamo affermare che le vendite dipendono dalla spesa per la pubblicità (p-value=0, ). e) L intervallo di confidenza è: Pr&# ',)*. /0/# ',)*. 112 PrC4,33312,0484 /0/4,33312,0484 D0, , ,07 Pr3,3070/0/5,35910,95 Con una confidenza del 95% il coefficiente di regressione è compreso tra 3,31 e 5,36. dove +, 4 5 *4 5 6 )* EF8GF ,23 +, 2291,2347,87 giorni n. clienti Tempo di attesa 1 51,10 57,18-14,83-88, ,99 219,79 81,30 581, ,13 26,17-14,80-119, ,14 218,90 81, , ,18 92,79-14,75-52,75 777,84 217,42 81,65 124, ,25 61,60-14,68-83, ,87 215,37 81,95 414, ,44 46,50-14,49-99, ,65 209,82 82, , ,53 85,06-14,40-60,48 870,65 207,23 83,16 3, ,53 103,52-14,40-42,02 604,91 207,23 83,16 414, ,69 30,88-14,24-114, ,24 202,64 83, , ,74 49,29-14,19-96, ,36 201,22 84, , ,77 24,14-14,16-121, ,48 200,37 84, , ,42 115,31-13,51-30,23 408,28 182,39 87,02 800, ,34 87,04-10,59-58,50 619,26 112,05 99,67 159, ,70 128,45-10,23-17,09 174,76 104,56 101,23 740, ,43 126,64-9,50-18,90 179,47 90,16 104,40 494, ,59 107,28-7,34-38,26 280,66 53,81 113,76 41, ,36 190,80-6,57 45,26-297,14 43,10 117, , ,89 121,57-6,04-23,97 144,67 36,43 119,39 4, ,66 183,30-3,27 37,76-123,29 10,66 131, , ,35 204,72-0,58 59,18-34,05 0,33 143, , ,55 112,47 1,62-33,07-53,73 2,64 152, , ,91 162,95 1,98 17,41 34,55 3,94 154,14 77, ,25 109,20 2,32-36,34-84,48 5,40 155, , ,13 280,79 7,20 135,25 974,42 51,91 176, , ,62 229,51 11,69 83,97 981,99 136,77 196, , ,09 277,68 21,16 132, ,67 447,94 237, , ,73 226,73 24,80 81, ,86 615,27 253,02 691, ,55 365,14 \29,62 219, ,54 877,62 273, , ,62 218,64 30,69 73, ,74 942,16 278, ,57 5

6 29 104,70 286,31 38,77 140, , ,47 313,56 742, ,51 254,58 42,58 109, , ,45 330, ,03 Tot. 1977, ,24 0,00 0, , , ,42 Esercizio 3 Supponete che un azienda produttrice di beni di largo consumo intenda valutare l efficacia di diversi tipi di pubblicità nella promozione dei suoi prodotti. A tale scopo si prendono in considerazione due tipi di pubblicità: la pubblicità per radio e televisione e la pubblicità sui giornali. Un campione di 12 città con approssimativamente la medesima popolazione viene sottoposto a un test per un mese: in ciascuna città viene allocato un dato livello di spesa per la pubblicità mediante radio e televisione e per quella sui giornali e si raccolgono i dati relativi alle vendite dei prodotti. Nella seguente tabella si riportano i dati raccolti per un mese in relazione all ammontare della spesa per la pubblicità mediante radio e televisione, di quella su giornali e alle vendite dei prodotti. Città Vendite Pubblicità per radio e Pubblicità su giornali ( *1000) televisione ( *1000) ( *1000) a) Costruire un intervallo di confidenza del 99% per l inclinazione delle vendite rispetto alle spese di pubblicità per radio e televisione; b) Per un livello di significatività del 5%, verificate se sussiste una relazione lineare tra il volume delle vendite e le spese per la pubblicità per radio e televisione; c) Costruire un intervallo di confidenza del 90% per l inclinazione delle vendite rispetto alle spese di pubblicità su giornali; d) Per un livello di significatività del 5%, verificate se sussiste una relazione lineare tra il volume delle vendite e le spese per la pubblicità su giornali. Soluzione 3 a) Preliminarmente bisogna stimare la retta di regressione delle vendite (Y) rispetto alle spese di pubblicità per radio e televisione (X): I calcoli sono riportati nella tabella seguente: 6

7 Pubblicità città per radio e vendite televisione ,83-293, , ,69 708, , ,83-391, ,19 434, , , ,83-356, ,86 250, , , ,83-89,83 973,19 117, , , ,83-384, ,86 34, , , ,83 361,17-300,97 0, , , ,17-222,83-928,47 17, , , ,17 62,17 569,86 84, , , ,17 138, ,36 200, , , ,17 254, ,53 367, ,17 434, ,17 474, ,86 850, , , ,17 450, ,03 584, , ,91 Tot ,00 0, , , ,23 Quindi: per cui la retta di regressione stimata è: , , , ,67 12,17 ; 1266,812,17 45,8708,87 L intervallo di confidenza è: 708,8712,71 PrI# ',)*. /0/# ',)*. J12 La varianza dei residui è: +, , , , ,123217,097 PrI12,713, ,097. /0/12,713, ,097. J0, , ,67 Pr3,0208/0/22,39920,99 Con una confidenza del 99% il coefficiente di regressione è compreso tra 3,02 e 22,4. b) Il sistema d ipotesi è 7

8 Il test è? Esercitazione n.6 0 < +,. : ; <:00 ; 8 :0>0 12,710 4,15 71,005 I valori soglia della T di Student con n-2 g.d.l. e 20,05 sono 2,228 e + 2,228; per cui, essendo il risultato del test esterno a detti valori soglia, rifiutiamo l ipotesi nulla e possiamo affermare che sussiste una relazione lineare tra il volume delle vendite e le spese per la pubblicità per radio e televisione (pvalue=0,0009). c) Preliminarmente bisogna stimare la retta di regressione delle vendite (Y) rispetto alle spese di pubblicità su giornali (X): I calcoli sono riportati nella tabella seguente: città Pubblicità su giornali vendite ,58-293, ,90 91, , , ,42-391, ,43 29, , , ,42-356,83 148,68 0, , , ,58-89,83-411,74 21, , , ,42-384, ,51 29, , , ,58 361, ,01 212, , , ,42-222, ,85 925,17 844, , ,42 62,17-336,74 29, , , ,42 138,17-57,57 0, , , ,58 254, ,93 21, , , ,58 474, ,26 21, , , ,58 450, ,10 91, , ,81 Tot ,00 0, , , ,49 Quindi: per cui la retta di regressione stimata è: , , , ,67 13,87 ; 1266,813,87 30,4844,92 L intervallo di confidenza è: 844,9213,87 8

9 PrI# ',)*. /0/# ',)*. J12 La varianza dei residui è: +, , , , ,749305,79 PrI13,871, ,80. /0/13,871, ,80. J0, , ,92 Pr0,56776/0/28,307760,90 Con una confidenza del 90% il coefficiente di regressione è compreso tra -0,57 e 28,31. d) Il sistema d ipotesi è Il test è? 0 < +,. : ; <:00 ; 8 :0>0 13,870 1,74 38,379 I valori soglia della T di Student con n-2 g.d.l. e 20,05 sono 2,228 e + 2,228; per cui, essendo il risultato del test interno a detti valori soglia, accettiamo l ipotesi nulla e possiamo affermare che non sussiste una relazione lineare tra il volume delle vendite e le spese per la pubblicità su gionali (pvalue=0,056242). Esercizio 4 Il manager di una catena di supermercati intende verificare se lo spazio destinato a una certa tipologia di prodotto influisce sulle vendite. A tale scopo su un campione casuale di 10 supermercati si ottengono i seguenti risultati: Supermercati Spazio sullo Vendite settimanali scaffale ( in metri) ( in euro) a) Stimare la retta di regressione; b) Interpretare il significato del coefficiente di regressione; c) Stimare quali potrebbero essere le vendite settimanali del prodotto nel caso in cui lo spazio sullo scaffale è pari a 12 metri, 18 metri e 24 metri; d) Costruire l intervallo di confidenza del coefficiente di regressione con un livello di confidenza pari al 98%; 9

10 e) Verificare al livello del 5% la relazione tra lo spazio e le vendite. Soluzione 4 a) La stima dei coefficienti retta di regressione delle vendite settimanali (Y) rispetto allo spazio sullo scaffale (X) : I calcoli sono riportati nella tabella seguente: superm ercato Spazio sullo scaffale vendite ,50-87,00 739,50 72,25 192, , ,50-27,00 229,50 72,25 192,07 780, ,50-57,00 199,50 12,25 224, , ,50 13,00-45,50 12,25 224, , ,50-17,00-25,50 2,25 256,69 712, ,50 23,00 34,50 2,25 256,69 177, ,50 33,00 49,50 2,25 256,69 543, ,50 13,00 84,50 42,25 289,01 841, ,50 43,00 279,50 42,25 289,01 0, ,50 63,00 409,50 42,25 289,01 440,65 Tot ,00 0, ,00 302, ,21 Quindi: per cui la retta di regressione stimata è: , ,5 6,46 ; 24713,5 6,46159,75 159,756,46 b) All aumentare di 1 metro lo spazio sullo scaffale, si stima che le vendite aumentino in media di 6,46 euro. c) Le stime delle vendite settimanali del prodotto, nel caso in cui lo spazio sullo scaffale sia pari a 12 metri, 18 metri e 24 metri, sono: 8 159,756, , ,756, ,03 159,756, ,79 L intervallo di confidenza è: F PrI# ',)*. /0/# ',)*. J12 10

11 La varianza dei residui è: +, 2 Esercitazione n , ,9 +, -871,929,5 PrI6,462,896 29,5. /0/6,462,896 29,5. J0,98-302,5-302,5 Pr1,54616/0/11,3790,98 Con una confidenza del 98% il coefficiente di regressione è compreso tra 1,5 e 11,4. d) Il sistema d ipotesi è Il test è? 0 < +,. : ; <:00 ; 8 :0>0 6,460 3, ,39 I valori soglia della T di Student con n-2 (8) g.d.l. e 20,05 sono 2,306 e + 2,306; per cui, essendo il risultato del test esterno a detti valori soglia, rifiutiamo l ipotesi nulla e possiamo affermare che sussiste una relazione lineare tra il volume delle vendite e spazio sullo scaffale (p-value=0,001734). 11