ESERCIZI. Regressione lineare semplice CAPITOLO 12 Levine, Krehbiel, Berenson, Statistica II ed., 2006 Apogeo

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1 Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain ESERCIZI Regressione lineare semplice CAPITOLO 2 Levine, Krehbiel, Berenson, Statistica II ed., 2006 Apogeo Appello del 25/06/2007 Esercizio 3 Nel corso di uno studio sulle proprietà delle leghe metalliche, in un campione di 9 barre di metallo di una lega speciale è stata misurata la concentrazione di carbonio e la tensione di snervamento. Carbonio Snervam (a) costruire il diagramma di dispersione e calcolare le stime ai minimi quadrati della regressione lineare semplice tra la concentrazione di carbonio e la tensione di snervamento; disegnare la retta di regressione nel diagramma e commentare i risultati alla luce del problema in questione; (b) condurre un verifica di ipotesi per stabilire se sussiste una relazione lineare significativa tra la concentrazione di carbonio e la tensione di snervamento. SOLUZIONE a. Regression Plot Snervam. = Carbonio S = R-Sq = 9.7 % R-Sq(adj) = 90.5 % Snervam Carbonio 45

2 Y X Y^2 X^2 XY Somma Media b.39 SQE b SQR SQT Syx 3.7 R Sb 0.59 t oss = 6.34 t7; b-t*sb.08 b+t*sb.767 The regression equation is Snervam. = Carbonio Predictor Coef SE Coef T P Constant Carbonio S = 3.7 R-Sq = 9.7% R-Sq(adj) = 90.5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total

3 Appello del 09/0/2007 Esercizio 4 In un esperimento diretto allo studio della relazione tra il numero di pulsazioni sotto sforzo (per minuto) e l età (in anni) sono stati rilevati i seguenti dati su 0 soggetti di sesso maschile: Pulsazioni Età (a) si disegni e si commenti il diagramma di dispersione; (b) si calcoli (e si commenti) l indice di correlazione; (c) si stimi la retta di regressione del modello lineare che lega le pulsazioni all età dei soggetti e si interpreti i risultati ottenuti; (d) si calcoli il coefficiente di determinazione e si commenti il risultato ottenuto; (e) si verifichi l ipotesi H 0 : β = 0 contro l alternativa H: β 0 (si ponga α = 0.05). SOLUZIONE a) Regression Plot Pulsazioni = Età S = R-Sq = 86.3 % R-Sq(adj) = 84.6 % Pulsazioni Età Al crescere dell età tendono a diminuire le pulsazioni al minuto b) Pearson correlation of Pulsazioni and Età = Si evidenzia una forte correlazione negativa. 3

4 c) d) e) Pulsazioni Età Y X Y^2 X^ Somma OUTPUT RIEPILOGO Media Statistica della regressione R multiplo b SQE 83.6 R al quadrato b SQR 59.3 R al quadrato corretto SQT Errore standard 4.79 Osservazioni 0 R c) ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F p-value Regressione Residuo Totale Coefficienti Errore standard Stat t p-value Inf. 95% Sup. 95% Intercetta Età Si rifiuta l ipotesi nulla e quindi il coeff. angolare è significativamente diverso da zero. [va bene una delle 3 soluzioni: test F, test t o intervallo di confidenza di beta ] 4

5 Appello del 9/2/2006 Esercizio 5 Nella seguente sono riportati, per 0 autovetture di marche diverse, i dati relativi al numero di km percorribili in città con un litro di carburante e alla cilindrata del motore (in cc): Autovetture km per litro Cilindrata (cc) (a) Si disegni e si commenti il diagramma di dispersione; (b) Si stimi la retta di regressione del modello lineare che lega i Km percorribili per litro alla cilindrata delle autovetture e si interpreti i risultati ottenuti; (c) Si verifichi l ipotesi H 0 : β = 0 contro l alternativa H: β 0 (si ponga α = 0.05). SOLUZIONE a) e b) Regression Plot Km per litro = Cilindrata S = R-Sq = 90. % R-Sq(adj) = 88.8 % 3 2 Km per litro Cilindrata Al crescere della cilindrata diminuiscono i Km percorribili per litro. Per un incremento di cilindrata di 00 cc i Km percorribili con un litro diminuiscono di

6 Km per litro Cilindrata Y X Y^2 X^2 XY Somma OUTPUT RIEPILOGO Media Statistica della regressione R multiplo b SQE 4.5 R al quadrato 0.90 b SQR 40.5 R al quadrato corretto SQT 45.0 Errore standard 0.75 Osservazioni 0 R c) ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F p-value Regressione Residuo Totale CoefficientiErrore standard Stat t p-value Inf. 95% Sup. 95% Intercetta X Si rifiuta l ipotesi nulla e quindi il coeff. angolare è significativamente diverso da zero. [va bene una delle 3 soluzioni: test F, test t o intervallo di confidenza di beta ] 6

7 Seconda Prova parziale (Canale 2) del 07/2/2005 Esercizio 3 Una ditta che produce elettrodomestici vuole progettare un prototipo di lavatrice ed a questo scopo ha condotto un esperimento misurando il livello di rumorosità in funzione del peso del carico di lavaggio. Rumorosità Peso (a) costruire il diagramma di dispersione dei dati sperimentali; (b) calcolare le stime ai minimi quadrati della relazione lineare tra rumorosità e peso e disegnare la retta ottenuta nel diagramma di dispersione. (c) condurre una verifica di ipotesi per verificare se sussiste una relazione lineare significativa tra rumorosità e peso. (d) OPZIONALE (da svolgere nel retro): calcolare il coefficiente di determinazione R 2 e l intervallo di confidenza al 95% del coefficiente lineare. SOLUZIONE (a) Regression Plot Rumorosità = Peso S = R-Sq = 9.4 % R-Sq(adj) = 90.0 % Rumorosità Peso (b)-(c)-(d) Y X Y^2 X^2 XY Somma Media

8 b SQE 3.33 b SQR SQT Syx 0.75 R Sb 0.09 t oss = 8.00 t7; b-t*sb 0.5 b+t*sb

9 Appello del 2/05/05 Esercizio 3 Un impianto industriale produce a ciclo continuo, secondo un certo processo industriale, un volume di produzione che è legato ad alcuni parametri tra cui il tempo di ciclo del processo e la temperatura. Su un campione casuale di 0 cicli di produzione sono stati registrati i seguenti dati, per le tre variabili volume di produzione, tempo e temperatura: VOLUME PRODUZ. TEMPO TEMPERATURA a. costruire i diagrammi di dispersione tra coppie di variabili e calcolare i coefficienti di correlazione. Commentare i risultati; b. discutere analogie e differenze tra correlazione e regressione lineare semplice; c. calcolare le stime ai minimi quadrati della regressione lineare semplice tra volume di produzione e temperatura e calcolare il coefficiente di determinazione R 2 ; disegnare la retta di regressione nel diagramma di dispersione e commentare i risultati alla luce del problema in questione; d. condurre un verifica di ipotesi per stabilire se sussiste una relazione lineare significativa tra produzione e temperatura. SOLUZIONE a VOL_PROD TEMPO TEMPER VOL_PROD TEMPO TEMPO TEMPER Cell Contents: Pearson correlation P-Value 9

10 c. Regression Plot VOL_PROD = TEMPER S = R-Sq = 8.3 % R-Sq(adj) = 79.0 % 24 VOL_PROD TEMPER The regression equation is VOL_PROD = TEMPER Predictor Coef SE Coef T P Constant TEMPER S = R-Sq = 8.3% R-Sq(adj) = 79.0% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Dettaglio calcoli Y X Y^2 X^2 XY Somma Media b SQE 2.59 b SQR.24 SQT 3.82 Syx R Sb.498 t oss = t3; b-t*sb b+t*sb

11 Appello del 20/2/04 Esercizio 4 Un macchinario industriale porta a compimento il proprio ciclo di produzione in un tempo che dipendente dal livello di temperatura a cui il macchinario viene mantenuto durante il processo produttivo. Sono stati rilevati un insieme di valori di tempo e temperatura relativi ad un campione di 0 cicli produttivi. TEMPO TEMPER (a) costruire il diagramma di dispersione e calcolare le stime ai minimi quadrato della regressione lineare semplice tra il tempo di produzione e la temperatura del macchinario; disegnare la retta di regressione nel diagramma e commentare i risultati alla luce del problema in questione; (b) calcolare la previsione del tempo medio del ciclo produttivo per una temperatura di 3.55; (c) calcolare il coefficiente di determinazione R 2 ed interpretarne il significato; (d) condurre un verifica di ipotesi per stabilire se sussiste una relazione lineare significativa tra il tempo e la temperatura. SOLUZIONE (a) Regression Plot TEMPO = TEMPER S = R-Sq = 97.7 % R-Sq(adj) = 97.5 % TEMPO TEMPER 3.7 The regression equation is TEMPO = TEMPER Predictor Coef SE Coef T P Constant TEMPER S = R-Sq = 97.7% R-Sq(adj) = 97.5%

12 Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Dettaglio calcoli Y X Y^2 X^2 XY Somma Media b SQE 0.02 b0 5.9 SQR.0 Y(3.55) 3. SQT.03 Syx 0.05 r Sb 0.8 t3; b+t*sb b-t*sb (b) Predicted Values for New Observations New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI ( 3.059; 3.546) ( ; 3.240) Values of Predictors for New Observations New Obs TEMPER 3.55 (c)-(d) Regression Analysis: TEMPO versus TEMPER The regression equation is TEMPO = TEMPER S = R-Sq = 97.7 % R-Sq(adj) = 97.5 % Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Error Total

13 Esercizio 2.63 (pag. 460) Il manager di un azienda produttrice di bibite in bottiglia intende allocare i costi della consegna a domicilio ai clienti. Tra i diversi fattori che determinano tali costi, vi è, oltre al tempo necessario per raggiungere il luogo della consegna, anche il tempo che occorre per scaricare le scatole delle bibite. La tabella seguente riporta il numero delle casse consegnate e il tempo (in minuti) necessario per la loro consegna, per un campione di 20 clienti. (a) Create il diagramma di dispersione per i dati della tabella. Diagramma di dispersione: Numero di casse vs Tempo di consegna Tempo di consegna Numero di casse 3

14 (b) Stimate i coefficienti della retta di regressione b 0 e b con il metodo dei minimi quadrati. X: Numero Y: Tempo Casse consegna (X-µ x ) (Y-µ y ) (X-µ x ) (Y-µ y ) (X-µ x ) µ x µ y SQXY SQX b = SQXY / SQX = b 0 = µ Y - b µ X = P R I M O M E T O D O X Y X somma X somma Y somma X Y somma X 2 SQXY = somma X Y - (somma X) (somma Y) / n = SQX = somma X 2 - (somma X) 2 / n = S E C O N D O M E T O D O 4

15 (c) Specificate l espressione della retta di regressione. Y = b 0 + b X, Tempo consegna = b 0 + b Numero Casse, Tempo consegna = Numero Casse, (d) Interpretate il significato di b 0 e b con riferimento al problema in questione. b 0 = Tempo consegna per un numero di casse pari a zero; corrisponde all intercetta della retta di regressione; b = variazione del tempo di consegna corrispondete ad un aumento unitario del Numero Casse; corrisponde al coefficiente angolare della retta di regressione. (e) Prevedete il tempo di consegna per un cliente che ordina 50 casse di bibite. Tempo consegna (50) = b 0 + b 500 = = , (f ) Si può ricorrere al modello stimato per prevedere il tempo di consegna di 500 casse di bibite? Commentate. Poiché l intervallo in cui abbiamo osservato la variabile X è (52, 298), la previsione (estrapolazione, in questo caso) di Y corrispondente a 500, essendo questo valore escluso da l intervallo (52, 298), può essere fatta soltanto sotto l ipotesi che la relazione stimata tra le due variabili rimanga la stessa anche al di fuori dell intervallo. (g) Calcolate il coefficiente di determinazione r 2 e spiegatene il significato con riferimento al problema in questione. n SQT = ( Y i Y ) i= n SQT = ( Y i Y ) i= 2 = ˆ = r 2 = SQR / SQT = Il coefficiente di determinazione misura la parte di variabilità di Y spiegata dalla variabile indipendente X nel modello di regressione. In questo caso, il 97.2% della variabilità del tempo di consegna è spiegata dal numero di casse. Osserviamo che esiste quindi una relazione lineare forte tra le due variabili considerate, perché solo il 2.8% della variabilità del tempo di consegna si deve ascrivere a fattori diversi dal numero di casse. 5

16 (k) Per un livello di significatività uguale a 0.05, verificate se sussiste una relazione lineare tra il tempo di consegna e il numero delle casse consegnate. Metodo : test t n SQE = ( Y i Y i ) i= 2 ˆ = SQT SQR = 7.03 S YX = SQE =.987 n 2 NB: L errore standard misura (nello stesso senso dello scarto quadratico medio) la variabilità delle osservazioni attorno alla retta di regressione. H H 0 : β = 0 : β 0 b t =, S b n SYX Sb =, SQX = ( ) X i X SQX i= t = = p-value = [ t ] P = t 0.05;8 Poichè p-value<0.05, si rigetta l ipotesi nulla che il parametro β sia uguale a zero a livello di significatività 0.05 e quindi si può concludere che esiste evidenza a favore dell esistenza di una relazione lineare tra il tempo di consegna e il numero di casse. Metodo 2: test F MQR SQR / F = = = = 69.2 MQE SQE /( n 2) p-value = [ F ] P = F 0.05;,8 6

17 (l) Costruite un intervallo di confidenza del 95% per il tempo medio di consegna per tutti i clienti che ordinano 50 casse di bibite. Tempo consegna (50) = b 0 + b 50 = = , t n-2 = 2.0 S YX = SQE =.987 n 2 2 ( 50 X ) = ( ) 2 n = 396.0; SQX = ( X i X ) i= h = + = = Intervallo di confidenza = ± = ± = [44.876, 46.80] (m) Costruite un intervallo di confidenza del 95% per il tempo di consegna per un cliente che ordina 50 casse di bibite h = + = Intervallo di confidenza = ± = ± 4.80 = [4.658, 50.09] 7