Si assuma di avere portato a termine le seguenti rilevazioni di produzione e di alimento somministrato

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1 Regressione Lineare Semplice Si assuma di avere portato a termine le seguenti rilevazioni di produzione e di alimento somministrato QUANTITA' DI ALIMENTO PRODUZIONE Se disponiamo su un grafico le produzioni, osserviamo che esiste variabilità, ossia che le produzioni sono differenti tra loro. Se ora disponiamo su un grafico le produzioni in base alla quantità di alimento ricevuta dagli individui, osserviamo che esiste un legame tra la quantità di alimento somministrata e la produzione effettuata dagli individui.

2 Possiamo ipotizzare che questo legame non sia casuale e vogliamo quindi verificare questa ipotesi con un test statistico. Le due variabili sono continue e ci permettono di utilizzare una regressione lineare per verificare l ipotesi nulla. Di seguito viene riportato quanto sviluppato in aula sulla regressione lineare semplice. IMPOSTAZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI: MATRICE X VETTORE b VETTORE y 1 2 * a = b X b y

3 PREMOLTIPLICAZIONE PER LA MATRICE X' SIA LA PARTE SINISTRA CHE DESTRA DEL SISTEMA DI EQUAZIONI a b 259 X'X * b = X'y CALCOLO DEL DETERMINANTE DI X'X DET(X'X) = (15*65.5) - (30*30) = 82.5 CALCOLO DI INV(X'X) * 1/82.5 = INV(X'X) INV(X'X) RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI * 116 = a b INV (X'X) X'y b

4 ANALISI DELLA VARIANZA FV G.L. SS MS F Modello r-1 b'x'y-ny2 SS/G.L. MS(Mod)/MS(err) Errore N-r y'y-b'x'y SS/G.L. Totale N-1 y'y-ny2 FORMULAZIONE DELL'H0: Il modello di regressione lineare semplice y=a+bx+e descrive una relazione tra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y dovuta al caso? In altri termini la variabilità osservata nelle produzioni corrisponde a variabilità presente nella quantità di alimento? Essendo difficile formulare una ipotesi non nulla viene formulata l'ipotesi nulla. Nel nostro caso: H0: modello = 0. Inoltre nel caso specifico della regressione lineare semplice questa corrisponde alla ipotesi zero: H0:b di regressione = 0 CALCOLO DELLA TABELLA DI ANALISI DELLA VARIANZA FV G.L. SS MS F P Modello Errore Totale CALCOLO DI R 2 R 2 = SS(Modello)/SS(Totale)= 132.5/162.9 = CALCOLI b'x'y Ny2 b'x'y-ny y'y-b'x'y y'y y'y-ny2 DISCUSSIONE DELL'IPOTESI H0 Il valore di F calcolato (56.7) è maggiore rispetto al valore di 4.67 che ricavo dalle tabelle di distribuzione dell'f per 1 grado di libertà a numeratore e 13 gradi di libertà a denominatore per a = Ciò significa che la probabilità di sbagliare nel rifiutare l'h0 è inferiore al 5%, (valore considerato sufficientemente ridotto per poter rifiutare un'ipotesi nulla, Rifiuto quindi l'ipotesi per la quale a dosi differenti di alimento non cambiava la produzione. Ne posso

5 quindi ricavare che al variare della quantità di alimento somministrato varia anche la produzione misurata. I limiti della mia inferenza sono determinati, ad esempio, dalla quantità di alimento somministrato o dal valore della variabile dipendente. Non è detto che a quantità di alimento maggiori o a produzioni maggiori il legame tra quantità di alimento e produzione sia ancora di questo tipo e con questi valori. CALCOLO DEI VALORI ATTESI Il valore atteso di y, E(y), viene calcolato in base alla equazione ricavata dal calcolo dei due parametri stimati (a e b), ossia: E(y) = *x In termini matriciali ci possiamo avvalere di un operatore che chiamiamo q' che ci permette di formulare l'equazione a cui siamo interessati e ricavarne il relativo valore atteso. Dall'equazione precedente ricaviamo: E(y) = 1 x q' b Sostituendo alla x il valore a cui siamo interessati si ricava il valore atteso di y E(y) = 1 3 * = q' b Formulando differenti vettori q' ottengo: E(y) = 1 1 * b = 2.8 E(y) = 1 2 * b = 7.7 E(y) = * b = 9.2 E(y) = * b = 11.7 E(y) = * b = 5.3 E(y) = * b = 3.1 E(y) = * b = 6.5 E(y) = * b = 10.2 q' CALCOLO DELL'ERRORE STANDARD DELLE STIME I valori dell'intercetta così come del coefficiente di regressione sono stime che noi ricaviamo in base ad una sperimentazione. Ad esse vi è legato un errore della stima. In generale quanto più è elevato il numero di osservazioni a disposizione per effetuare una stima, minore è l'errore della stessa, ad esempio si veda l'errore standard della media campionaria.

6 In termini di algebra delle matrici si può calcolare l'errore standard delle stime con un procedimento che è valido in generale. In particolare l'errore standard delle stime viene calcolato in base alla seguente formula: E.S. stima = SQRT( q'*inv(x'x)*q*mserrore) In questo caso q' deve essere costruito per ricavare l'errore della stima di nostro interesse. Nel caso fossimo interessati all'errore standard dell'intercetta il vettore q' che moltiplicato per b mi restituisce il valore dell'intercetta è: 1 0 * = q' b L'errore standard dell'intercetta risulta quindi: = = 0.79 =1.36 Volendo ricavare l'errore standard dei valori attesi ricavati in precedenza dovremo utilizzare i relativi vettori q' # "0.3636& [ 1 1] *% $ " ' (* # 1 & % $ 1 (*2.337 = ' q * X X * q * MS errore # "0.3636& [ 1 2] *% $ " ' (* # 1 & % $ 2 (*2.337 = ' # "0.3636& # [ 1 2.3] *% (* 1 & % (*2.337 = 0.44 $ " ' $ 2.3' # "0.3636& # [ 1 2.8] *% (* 1 & % (*2.337 = $ " ' $ 2.8'

7 [ 1 3] * # "0.3636& % $ " ' (* # 1 & % $ 3 (*2.337 = ' Riportando di seguito le stime e gli errori standard per l'intercetta, il coefficiente di regressione e i valori attesi delle y possiamo inoltre calcolare la quantità t e verificare H0:stima=0 per ciascuna di queste stime utilizzando il test t. Parametro Stima Err. Std t P a b x = x = x = x = x = x = x = x = x = Si noti che la probabilità per H0:b=0 corrisponde alla probabilità dell'h0:modello =0 ricavata nella tabella della ANOVA con il test F. CALCOLO DEGLI INTERVALLI DI CONFIDENZA Calcoliamo infine l'intervallo di confidenza al 95% per E(y) per valori di x di 1, 1.5, 2, 2.5, 3 Intervallo di confidenza = E(y) ± t tabella *E.S.(stima) x E(y) Sup. 95% Inf. 95 Sup 99% Inf 99% E.S. x = x = x = x = x =

8 In nero la retta di regressione, in rosso gli intervalli di confidenza 95% in blu gli intervalli di confidenza 99%

9 Modello a classi - un fattore Si assuma di aver registrato le seguenti produzioni in tre diversi allevamenti Produzione Allevamento Anche in questo caso esiste variabilità tra le produzioni e una causa può essere l allevamento di produzione. Tuttavia per verificare l ipotesi che l allevamento sia fonte di variabilità non possiamo utilizzare la regressione perché i tre allevamenti sono tre differenti classi (allevamento 1, allevamento 2, allevamento 3) dello stessa possibile fonte di variazione (allevamento) sulla produzione misurata. Dobbiamo quindi utilizzare un modello a classi. Di seguito la messa a punto del sistema di equazioni e la verifica dell ipotesi nulla, H0: Allevamento = 0, con l analisi della varianza come sviluppato in aula. Media Allev 1 Allev 2 Allev X y media * All-1 * All All-3 22 X'X b X'y

10 Risolvo * 16 = X'X GINV X'y b b'x'y Nym^ y'y 496 H0: All-1=All-2=All-3 FV Gl SS MS F P Modello (Allevamento) Errore Totale Essendo l F calcolato maggiore dell F in tabella per 2 gradi di libertà a numeratore e 7 a denominatore posso rifiutare l H0 e concludere che gli allevamenti hanno un effetto sulla produzione misurata. In altre parole l effetto gestionale dell allevamento influenza la produzione degli animali.