Corso di Statistica Industriale

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1 Corso di Statistica Industriale Corsi di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale e Ingegneria Meccanica Docente: Ilia Negri

2 Orario del corso: Martedì: dalle alle Venerdì: dalle alle Ricevimento: Dopo la Lezione 2

3 Programma del corso: L1 E1 L2 E2 L3 E3 L4 E4 L5 E5 L6 E6 L7 E7 L8 E8 L9 E9 L10 E10 L11 L12 L13 E11 Presentazione del corso - Il modello lineare semplice Presentazione dell ambiente R Il modello lineare - verifica d ipotesi e intervalli di confidenza I dati in R - prime funzioni statistica Il modello lineare con più variabili. Selezione del modello Applicazioni. Procedure stepwise forward e backward in R Analisi della varianza. Esperimenti ad un fattore. Applicazioni Modelli lineari generalizzati Applicazioni: modelli logit. Controllo della qualità - generalità. Carte di controllo per variabili Presentazione libreria qcc in R ARL e curva operativa caratteristica. Applicazioni ed esempi. Carte di controllo per attributi Applicazioni ed esempi Carte di controllo CUSUM ed EWMA Applicazioni ed esempi Controllo statistico multivariato Carta Chi quadrato e T quadrato Disegno degli esperimenti: piani fattoriali completi a due livelli. Modello della risposta sperimentale e analisi dell esperimento. Sperimentazione sotto il vincolo di budget Applicazioni ed esempi 3

4 Esame e altro... L esame consiste in una prova scritta con 3 esercizi. Durante il corso verranno date delle esercitazioni e dei temi da discutere. Per chi ha avuto a che fare con un processo di produzione. (Tirocinio, tesi, o altri motivi) recuperare i dati delle variabili con cui ha lavorato. Tutte le informazioni e il materiale del corso lo trovate alla pagina L esame può essere diviso in due parti. La prima parte si svolge sulla prima parte del corso ed è valida fino a settembre

5 Libri di Testo: Montgomery-Runger-Faris Hubele: Statistica per ingegneria, Egea. Montgomery: Controllo statistico della qualità, McGraw Hill. Altre letture: Draper-Smith: Applied Regression Analisysis, Wiley. Mason-Young: Multivariate Statistical Process Control with Industrial Applications, ASA SIAM. Venables-Ripley: Modern Applied Statistics with S-Plus, Springer. Iacus-Masarotto: Laboratorio di Statistica con R, McGraw Hill. 5

6 Il modello lineare - Richiami La più semplice relazione tra due variabili è quella lineare y = β 0 + β 1 x Se il legame tra le variabili non è deterministico per un fissato valore di x ci saranno diversi valori di y. Esempio Stiamo investigando come il tempo di rottura y di un utensile, espresso in h, varia con la forza applicata x, misurata in kg/mm 2. Se applichiamo una forza x = 20 kg/mm 2 il tempo di rottura dell utensile è una variabile aleatoria, che denotiamo con Y. Se osserviamo il tempo di rottura pari a 45 h, allora diciamo che il valore osservato di Y associato a x = 20kg/mm 2 è y = 45 h. 6

7 I modelli probabilistici - Richiami Un modello probabilistico è una variabile casuale che descrive il fenomeno che si sta studiando Le variabili casuali si dividono in discrete e continue Sono caratterizzate dai valori che assumono e dalla distribuzione di probabilità Esempio Variabile casuale discreta. X v.c. di Poisson. Valori che assume: k = 0, 1, 2,..., Distribuzione: P (X = k) = e λ λ k k! Esempio Variabile casuale continua. X v.c. Esponenziale Valori che assume: x 0, Distribuzione: f(x) = λe λx, x 0. P (a X b) = b a λe λx dx. 7

8 Grafici della distribuzione di Poisson per diversi valori del parametro λ λ = 0.3 λ = 3 λ = 10 d d d k k k 8

9 Grafici della distribuzione Esponenziale per diversi valori del parametro λ λ = 0.5 λ = 1 λ = 5 f(x) f(x) f(x) x x x 9

10 Il modello lineare probabilistico Per il modello deterministico y = β 0 + β 1 x il valore di y dipende dal valore di x. La generalizzazione di questo modello al modello probabilistico assume che la variabile Y è aleatoria e il suo valore atteso è una funzione lineare di x. Per un fissato valore di x il valore di Y si discosta dal suo valore atteso per una quantità aleatoria. Il modello è: Y = β 0 + β 1 x + ε (1) La quantità ε nel modello è una v.c. distribuita normalmente con valore atteso E(ε) = 0 e varianza V ar(ε) = σ 2. È il termine d errore del modello Senza ε ogni coppia osservata (x, y) cadrebbe sulla retta y = β 0 + β 1 x che è detta retta di regressione vera. 10

11 Denotiamo con x 1, x 2,..., x n i valori della variabile indipendente, con Y i e y i la v.c e il valore osservato associato a x i. Le coppie (x 1, y 1 ),... (x n, y n ) sono il risultato di n osservazioni indipendenti, sono i dati a disposizione. Supponiamo di avere queste 11 osservazioni: x y La prima cosa da fare è rappresentarli in un grafico a dispersione: Osservazioni y x 11

12 Per ogni x fissato la variabile Y è Gaussiana. La sua media e la sua varianza si deducono dal modello lineare E(Y x) = E(β 0 + β 1 x + ε) = β 0 + β 1 x + E(ε) = β 0 + β 1 x V ar(y x) = V ar(β 0 + β 1 x + ε) = V ar(β 0 + β 1 x) + V ar(ε) = 0 + σ 2 = σ 2 Esempio.(Continua) Supponiamo che il legame tra la forza applicata e il tempo di rottura sia dato dalla (1). Nel modello scelto, la media del tempo di rottura varia linearmente con la forza applicata (come?). Per una forza applicata pari a x kg/mm 2 il tempo di rottura è una variabile Gaussiana la cui media è β 0 + β 1 x e la sua varianza è σ 2. Al variare di x la media di Y cambia mentre la varianza rimane costante. Si tratta di un modello omoschedastico. 12

13 Riportiamo la retta vera nel grafico a dispersione delle osservazioni Le osservazioni e la retta vera Le distribuzioni di Y y y = x La retta vera y x x 13

14 La densità Gaussiana per diversi valori dei parametri N(0, 1) N(0, 2) f(x) f(x) x x N(3, 1) N(3, 0.5) f(x) f(x) x x 14

15 Esempio. (Continua). Supponiamo che il legame tra la forza applicata x e il tempo di rottura y di un utensile sia descritto da una modello di regressione lineare semplice e che la vera retta di regressione sia y = x, σ = 8. Allora per ogni valore x della forza applicata il tempo di rottura è una v.c. gaussiana con valore atteso x e scarto quadratico medio σ = 8. a) Calcolare la probabilità che il tempo di rottura sia superiore a 50 ore quando x = 20 e quando x = 25. b) Denotate con Y 1 e Y 2 rispettivamente il tempo di rottura quando x 1 = 25 e x 2 = 24 calcolare la probabilità che Y 1 > Y 2. 15

16 La stima dei parametri del modello Supponiamo che il legame tra le variabili x e y sia il modello di Regressione Semplice dato da Y = β 0 + β 1 x + ε, E(ε) = 0, V ar(ε) = σ 2 I valori di β 0, β 1 e σ 2 sono i parametri del modello e non saranno mai noti all investigatore. Sono note invece le n osservazioni (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) sulle quali occorre basarsi per stimare i parametri e la vera retta di regressione. Ipotesi: ogni y i è un osservazione della v.c. Y i = β 0 + β 1 x i + ε i, e gli n errori ε 1,..., ε n sono n v.c. indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) Da questa ipotesi segue l indipendenza delle v.c. Y 1,..., Y n 16

17 Secondo il modello i punti osservati si distribuiscono attorno alla vera retta di regressione in modo aleatorio. Dobbiamo stimare la retta di regressione del modello. Nel grafico sono disegnati i punti e due possibili rette candidate a essere la stima della vera retta di regressione Due possibili rette per il modello y y = x y = x x La nostra stima per la retta y = β 0 + β 1 x sarà quella che meglio si adatta (fit) ai punti osservati. Secondo il principio dei minimi quadrati (Gauss, ) la retta che meglio si adatta ai datti è quella per la quale le distanze verticali dei punti dalla retta sono le più piccole possibili. 17

18 Il principio dei minimi quadrati Se denotiamo con y = b 0 + b 1 x la generica retta, la distanza verticale di un punto da questa generica retta è y i (b 0 + b 1 x i ). La somma delle distanze al quadrato è data da D(b 0, b 1 ) = n i=1 (y i (b 0 + b 1 x i )) 2 Dobbiamo trovare il minimo rispetto a b 0 e b 1. Derivando e ponendo le derivate uguali a zero otteniamo le equazioni normali nb 0 + ( x i )b 1 = y i ( x i )b 0 + ( x 2 i )b 1 = x i y i La soluzione di queste equazioni è data da b 1 = ˆβ 1 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 b 0 = ˆβ 0 = yi ˆβ 1 xi n = S xy S xx 18

19 Esempio 1 (Pavement Thickness Design for No-Fines Concrete Parking Lots, J. of Transportation Engr., 1995, ). Si studia come la percentuale di porosità (y) sia legata all unità di peso x. x y x 2 xy y Somme

20 Quelle calcolate sono le quantità che servono per trovare le stime dei parametri della retta. Infatti le formule date si possono riscrivere in questo modo ˆβ 1 = S xy S xx = xi y i ( x i )( y i )/n x 2 i ( x i ) 2, ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x /n Sostituendo i valori trovati nella tabella otteniamo ˆβ 1 = ( )(299.80)/ ( ) 2 /15 = ˆβ 0 = /15 ( ) /15 = Quindi per un aumento di 1 pcf di unità di peso ci si aspetta un cambiamento della porosità associato pari a 0.905% (cioè una diminuzione dello 0.905%). L equazione della retta di regressione stimata risulta y = x La retta stimata serve per stimare il valore medio di Y quando x = x ovvero la stima puntuale del valore di Y data una nuova osservazione x = x. Ad esempio per x = 110 il valore medio della porisità stimata è y = 19.4%. 20

21 porosita porosita peso peso 21

22 La stima di σ 2 Non dobbiamo dimenticare che tra i parametri del modello vi è anche la varianza dell errore ε. La stima di questa varianza si basa sui residui. I residui sono definiti come e i = y i ŷ i, dove ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i Si verifica che la somma dei residui è nulla. La stima della varianza dell errore la si ottiene come ˆσ 2 = s 2 (yi ŷ = i ) 2 = SSE n 2 n 2 Il denominatore n 2 è pari ai gradi di libertà associati alla stima degli errori e è dovuto al fatto che per ottenere s 2 due parametri devono essere stimati. Lo stimatore S 2 lo si ottiene sostituendo a y i le v.c. Y i. Si può dimostrare che E(S 2 ) = σ 2. Il calcolo di SSE può essere effettuato senza calcolare tutti i residui. Vale infatti la relazione SSE = y 2 i ˆβ 0 yi ˆβ 1 xi y i. 22

23 La stima di σ 2 per i dati dell esempio la otteniamo da x y ŷ e e Somme e SSE n 2 = (118.91)(299.80) ( 0.905)( ) 13 = =

24 Il coefficiente di determinazione Per valutare la bontà di adattamento del modello stimato ai dati si ricorre ad un indice che tiene conto della percentuale di variabilità di y che il modello riesce a spiegare. La variabilità totale di y è data dalla somma totale dei quadrati SST = (y i ȳ) 2 = y 2 i ( y i ) 2 /n SSE può essere interpretata come una misura di quanta variabilità di y il modello non riesce a spiegare. Poiché la retta dei minimi quadrati è quella ottenuta minimizzando la somma al quadrato degli errori si deduce che SSE SST e l uguaglianza vale solo se la retta di regressione è la retta y = ȳ. L indice r 2 = 1 SSE è detto coefficiente di determinazione SST si interpreta come la proporzione di variabilità delle y osservate che è spiegata dal modello. Esempio. (Continua) Abbiamo un r 2 molto alto. r 2 = 1 SSE SST = /15 = =

25 Esercizio: per i dati nella tabella a pagina 11, calcolare la stima col metodo dei minimi quadrati dei coefficienti della retta di regressione: Y = β 0 + β 1 x + ε. Calcolare quindi la stima della varianza degli errori ε e il valore del coefficiente di determinazione. Commentare i risultati ottenuti. 25