1. In uno studio viene misurata la pressione arteriosa sistolica a 36 soggetti, con i seguenti risultati. Media = 172,8 Deviazione standard= 24,25

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1 1. In uno studio viene misurata la pressione arteriosa sistolica a 36 soggetti, con i seguenti risultati. Media = 172,8 Deviazione standard= 24,25 Commento generale: in questo esercizio l unica stima della deviazione standard è fornita dal campione. La statistica Z non è appropriata. Si sottolinea inoltre che il calcolo dell'intervallo di confidenza (es. 1.1) ed il calcolo del valore di probabilità (es. 1.2) debbono essere svolti in modo coerente, applicando quindi la distribuzione t in entrambi i casi. 1.1 Calcolate, scrivendo le formule che utilizzate: a. Il coefficiente di variazione 100*(dev.std /media) = 100 * 24,25 / 172,8 = 14,033 b. l errore standard dev.std / n 1/2 = 24,25 / 36 1/2 = 24,25 / 6 = 4,04 e Glantz (pp e cap 4) c. l intervallo di confidenza al 95% media +- t(35 gl, 0,05 a 2 code) * errore standard = 172,8 +- 2,030 * 4,04 = 172,8 +- 8,20 = 164,60 e 181, Volete calcolare la probabilità che i soggetti studiati siano un campione casuale estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica pari a 165. d. Quale test statistico scegliete di usare? t Student e Glantz (cap 4) e. Perché? in questo esercizio l unica stima della deviazione standard è fornita dal campione. e Glantz (cap 4) f. Scegliete di calcolare un test a una o due code?: due code g. Perché? Siamo interessati a valutare la probabilità che il campione provenga da una popolazione con media data (pressione = 165). Pertanto siamo interessati agli scostamenti in entrambe le direzioni (sia valore medio del campione inferiore al valore ipotizzato per la popolazione sia valore medio del campione superiore al valore ipotizzato per la popolazione). Se avessimo scelto un test a una coda avremmo dichiarato in anticipo di essere interessati a valutare solo lo scostamento in uno dei due sensi e quindi l'ipotesi nulla avrebbe dovuto essere formulata in modo congruo, ad esempio 'estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica inferiore a 165' oppure 'estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica superiore a 165'.

2 1.3 Calcolate il test scelto, indicando le formule. t = Media campione media popolazione / Errore standard (ottenuto con la Dev. std. del campione) = 172,8 165 / 4,04 = 7,8 / 4,04 = 1, Interpretate il risultato ottenuto, anche con l uso delle tavole allegate. (Avete fissato l errore di 1 tipo al 5%. ) La probabilità che il campione sia stato estratto da una popolazione con media pari a 165 mmhg è compresa tra 0,05 e 0,10. Non rifiuto pertanto l ipotesi nulla (che il campione sia stato estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica pari a 165 mmhg). Non è appropriato dire 'Accetto l'ipotesi nulla'. 2. In uno studio osservate che tra i pazienti affetti da tumore del colon operati in modo radicale la probabilità di sopravvivere a 3 anni dall intervento chirurgico è del 84,3 %. Quale sarà la probabilità di morire prima che siano trascorsi 3 anni dall intervento? I due eventi sono mutuamente esclusivi, pertanto p = 1-84,3 = 15,7 3. Entrate in una sala da gioco con un amico. Il vostro amico scommette che al lancio di un dado esca un numero pari. Voi puntate scommettendo che da un mazzo (con 40 carte divise in 4 semi) esca una carta di quadri. Qual è la probabilità che nessuno dei due perda la sua scommessa? Indicate sia la formula sia il risultato. I due eventi sono indipendenti, pertanto p(a e B) = p(a) * p(b) = 3/6 * 10/40 = 1/8 = 0, Viene condotto uno studio sulla relazione tra FEV1 (Volume espiratorio nel 1 secondo di espirazione forzata, un indice di funzionalità delle vie aeree) ed altezza. Lo studio è stato condotto in un campione di 20 studenti maschi, di età compresa tra 20 e 26 anni. L altezza media del campione studiato era 175,38 cm (Dev.Std. 5,51 cm, Range ). La stima della retta di regressione ottenuta con il metodo dei minimi quadrati è la seguente: FEV1 = - 9,19 + 0,0744 x altezza [FEV1 è misurato in litri; Altezza è misurata in centimetri] Rif. Glantz (cap 8) a. Qual è il valore di FEV1 predetto per uno studente alto 172 cm? FEV1 = - 9,19 + 0,0744 x 172 = 3,6068 b. La formula ottenuta può essere applicata alle studentesse? No. c. Spiegate la vostra risposta

3 Il campione le escludeva. Non abbiamo stimato la retta di regressione per le femmine. E' verosimile che la retta di regressione stimata da un campione di maschi non sia applicabile alle femmine poiché le caratteristiche antropometriche ed i valori di funzionalità respiratoria sono diversi nei due sessi. d. Immaginate di predire FEV1 per studenti di altezza diversa. Indicate per quale dei due la previsione avrà un errore statistico inferiore (intervallo di confidenza al 95% del valore predetto più ristretto). Altezza 175, 2 cm Questo Altezza 182 cm e. Spiegate la vostra risposta La precisione della stima è massima per xi = x medio. La precisione quindi diminuisce allontanandosi dal valore x medio. Ref. Glantz p e materiale distribuito a lezione. 5. Conducete uno studio clinico per valutare la diversa risposta al trattamento con 5-FU in due gruppi di pazienti affetti da neoplasia del colon. Il primo gruppo è costituito dai pazienti con un livello elevato dell enzima Timidilato Sintetasi (TS), i secondo gruppo è invece composto dai pazienti con un basso livello di TS. TS è un enzima attivo nella replicazione cellulare. Il meccanismo di azione di 5-FU è costituito dall inattivazione di TS. Considerazione generale. Lo studio clinico randomizzato è uno studio di coorte. Non deve trarre in inganno a questo proposito il fatto che i risultati siano presentati in una tabella di contingenza analoga a quella che si potrebbe usare anche per uno studio caso-controllo. Pertanto possono essere applicati sia il Rischio Relativo (in questo caso è il rapporto tra due prevalenze) sia l'odds Ratio. In questo caso Odds Ratio non è una stima del Rischio Relativo ma un semplice indicatore di associazione tra le due variabili. a. Come definite l ipotesi nulla? (indicate la/e risposta/e che considerate esatta/e) Lo studio è descrittivo e quindi non ho interesse nell ipotesi nulla Il 5-FU deve essere somministrato tra i pazienti con TS basso, che è un fattore prognostico favorevole Le due variabili (livello di TS e risposta al trattamento) sono indipendenti X Il livello elevato di TS è un fattore prognostico negativo (la dose di 5-FU somministrata può non essere sufficiente per inattivare l enzima) I risultati dello studio sono riassunti nella seguente tabella: Riduzione della massa neoplastica Lesione invariata o peggiorata Totale

4 TS alto TS basso Totale b. Calcolate quelli che ritenete appropriati tra i seguenti indicatori di associazione, scrivendo le formule. Indicate anche quali NON sono appropriati, spiegando il motivo. Odds Ratio Rischio Relativo Indice di Correlazione Valore predittivo Appropriato (è un indicatore di associazione sempre applicabile) OR = (86 * 158) / (120 * 36) = 3,15 Appropriato (il disegno dello studio prevede il confronto tra due coorti TS alto vs. TS basso, con calcolo della prevalenza di soggetti con miglioramento, misurata dopo un tempo di osservazione costante per tutti i soggetti). In questo caso RR rappresenta il rapporto tra due prevalenze. RR = (86 / 206) / (36 / 194) = 2,25 rif Glants pp No, privo di senso in questo caso No, privo di senso in questo caso c. Calcolate la statistica Chi Quadrato, scrivendo le formule. Chi Quadrato = Sommatoria [ (Oss-Att)2 / att] = = [(86-62,8 ) 2 / 62,8] + [( ) 2 /143.17] + [( ) 2 /59.17] + [( ) 2 /134.83] = = 25,33 Rif. Glantz p e materiale distribuito a lezione. d. Quale informazione viene fornita dalla statistica Chi Quadrato? Chi Quadrato fornisce la probabilità che un campione estratto casualmente da una popolazione per cui è vera l'ipotesi nulla fornisca una tabella come quella data oppure ancora più lontana rispetto a quanto atteso secondo l'ipotesi nulla. Ref. Glantz p 132 e segg e materiale distribuito a lezione. e. Come interpretate il valore di Chi Quadrato che avete ottenuto?. (Avete fissato l errore di 1 tipo al 5%. ). Usate in proposito le tavole allegate La tabella dell'esercizio prevede il calcolo di Chi Quadrato con 1 grado di libertà. Si osserva dalla tavola che il valore di Chi Quadrato con 1 g.l corrispondente ad una probabilità inferiore al 5% (p<0,05) è 3,84. Si ricorda che la distribuzione Chi Quadrato viene di regola applicata ad una coda. Pertanto posso concludere rifiutando l'ipotesi nulla. Osservo anche dalla medesima tabella che avrei rifiutato l'ipotesi nulla anche se avessi fissato l'errore di 1 tipo a 0,001

5 6. Come definite l errore di 1 tipo (anche detto errore alfa) E' la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando essa è vera. Ref. Glantz p e materiale distribuito a lezione. 7. Spiegate in base a quali criteri scegliete un test a 1 coda e quando un test a 2 code. Se siamo interessati a valutare soltanto la probabilità che il campione provenga da una popolazione con media data (pressione = 165), e quindi siamo interessati agli scostamenti in entrambe le direzioni (sia valore medio del campione inferiore al valore ipotizzato per la popolazione sia valore medio del campione superiore al valore ipotizzato per la popolazione) scegliamo il test a due code. Questa è la situazione più comune. Se avessimo scelto un test a una coda avremmo dichiarato in anticipo di essere interessati a valutare solo lo scostamento in uno dei due sensi e quindi l'ipotesi nulla avrebbe dovuto essere formulata in modo congruo, ad esempio 'estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica inferiore a 165' oppure 'estratto da una popolazione con media della pressione arteriosa sistolica superiore a 165'.