Metodi statistici per la ricerca sociale Capitolo 13. Combinare regressione e ANOVA: predittori categoriali e quantitativi

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1 Metodi statistici per la ricerca sociale Capitolo 13. Combinare regressione e ANOVA: predittori categoriali e quantitativi Alessandra Mattei Dipartimento di Statistica, Informatica, Applicazioni (DiSIA) Università degli Studi di Firenze mattei@disia.unifi.it LM 88 SOCIOLOGIA E RICERCA SOCIALE A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 1 / 20

2 Analisi della covarianza (ANCOVA) Variabile risposta continua Variabili esplicative continue e categoriche Esempio: Variabile risposta continua che dipende da una variabile esplicativa continua X e un fattore A con g livelli Esempio: Y = Punteggio a un test finalizzato a valutare le capacità cognitive di bambini tra 3 e 4 anni X = Quoziente intellettivo della madre A = Livello di istruzione della madre (Inferiore al diploma = 0; Almeno il diploma = 1) A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 2 / 20

3 Esempio: Punteggio al test Quoziente intellettivo della madre Punteggio al test Diploma Non Diploma A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 3 / 20

4 Esempio: Punteggio al test Ignorando il livello di instruzione della madre Punteggio al test Assenza di interazione Quoziente intellettivo della madre Con interazione Punteggio al test Diploma Non Diploma Punteggio al test Diploma Non Diploma Quoziente intellettivo della madre Quoziente intellettivo della madre A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 4 / 20

5 Il modello di analisi della covarianza senza interazione: Modello additivo Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + + β A g A ig + ɛ i con ɛ i N(0, σ 2 ) indipendenti β 0 = Valore atteso di Y per x = 0 nella categoria di riferimento β 1 = Per unità appartenenti allo stesso gruppo (ossia fissato il valore del fattore), un incremento unitario di X comporta una variazione attesa in Y di β 1 βl A = Differenza attesa nelle medie di Y per unità appartenenti al gruppo l e unità appartenenti al gruppo di riferimento (gruppo 1) fissato il valore di X Valori attesi β 0 + β 1 x i se A i1 = 1 β E(Y i X i = x i, A il = 1) = 0 + β 1 x i + β2 A se A i2 = 1 β 0 + β 1 x i + βg A se A ig = 1 A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 5 / 20

6 Modello additivo Esempio: Punteggio al test Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + ɛ i ɛ i N(0, σ 2 ) indipendenti A i2 = { 1 se la madre del bambino i ha almeno il diploma 0 Altrimeni β 0 = Punteggio medio al test per bambini la cui madre non ha il diploma e ha un quoziente intellettivo nullo β 1 = Per bambini la cui madre ha almeno il diploma (non ha il diploma), un incremento unitario nel quoziente intellettivo della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a β 1 β2 A = A parità di quoziente intellettivo delle madri, la differenza tra la media del punteggio dei bambini con madri almeno diplomate e la media del punteggio dei bambini con madri che non hanno il diploma è pari a β2 A Valori attesi E(Y i X i = x i, A i2 = 0) = β 0 + β 1 x i E(Y i X i = x i, A i2 = 1) = β 0 + β A 2 + β 1 x i A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 6 / 20

7 Modello additivo: Stime dei coefficienti β 0 = y 1 β 1 x 1 β A l = (y l y 1 ) β 1 (x l x 1 ) l = 2,..., g β 1 = g l=1 n l i=1 (y il y l ) (x il x l ) g l=1 n l i=1 (x il x l ) 2 A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 7 / 20

8 Modello additivo: Stime dei coefficienti Esempio: Punteggio al test Gruppo Madre senza diploma Madre con diploma n l x l y l n l i=1 (x il x l ) n l i=1 (y il y l ) (x il x l ) β 0 = y 1 β 1 x 1 = = β 2 A = (y 2 y 1 ) β 1 (x 2 x 1 ) = ( ) ( ) = β 1 = = g l=1 n l i=1 (y il y l ) (x il x l ) g l=1 n l i=1 (x = il x l ) = A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 8 / 20

9 Modello additivo Esempio: Punteggio al test Stima Errore standard t value p value Costante QI madre Istruzione madre è il punteggio medio al test per bambini la cui madre non ha il diploma e ha un quoziente intellettivo nullo Per bambini la cui madre ha almeno il diploma (non ha il diploma), un incremento unitario nel quoziente intellettivo della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a punti La media del punteggio dei bambini con madri almeno diplomate è maggiore della media del punteggio dei bambini con madri che non hanno il diploma di punti, controllando per il quoziente intellettivo delle madri (per ogni valore fissato quoziente intellettivo delle madri) A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 9 / 20

10 Il modello di analisi della covarianza con interazione Y i = β 0 + β 1 x i + β2 A A i2 + + βg A A ig + β2 AX A i2 x i + + βg AX A ig x i + ɛ i con ɛ i N(0, σ 2 ) indipendenti β 0 = Valore atteso di Y per x = 0 nel gruppo di riferimento β 1 = variazione attesa in Y per un incremento unitario di X per unità appartenenti al gruppo di riferimento (gruppo 1) βl A = differenza tra intercette: differenza attesa nelle medie di Y per unità appartenenti al gruppo l e unità appartenenti al gruppo di riferimento (gruppo 1) fissato il valore di X uguale a zero βl AX = differenza nelle pendenze: differenza tra l effetto di X nel gruppo l e l effetto di X nel gruppo di riferimento (gruppo 1) Valori attesi β 0 + β 1 x i se A i1 = 1 β E(Y i X i = x i, A il = 1) = 0 + β2 A + (β 1 + β2 AX ) x i se A i2 = 1 β 0 + βg A + (β 1 + βg AX ) x i se A ig = 1 A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 10 / 20

11 Modello con interazione Esempio: Punteggio al test Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + β AX 2 A i2 x i + ɛ i con ɛ N(0, σ 2 ) indipendenti Stima Errore standard t value p value Costante QI madre Istruzione madre Interazione = punteggio medio al test per bambini la cui madre non ha il diploma e ha un QI nullo (non ha molto senso) Per bambini la cui madre non ha il diploma, un incremento unitario nel QI della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a punti Per bambini la cui madre ha un quoziente intellettivo pari a zero, la media del punteggio dei bambini con madri almeno diplomate è maggiore della media del punteggio dei bambini con madri che non hanno il diploma di punti Il coefficiente di interazione indica la differenza nelle pendenze tra bambini con madre diplomata e bambini con madre non diplomata Per bambini la cui madre ha almeno il diploma, un incremento unitario nel QI della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a = punti A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 11 / 20

12 Modello con interazione Esempio: Punteggio al test Y i = β 0 + β 1 (x i x) + β A 2 A i2 + β AX 2 A i2 (x i x) + ɛ i ɛ i N(0, σ 2 ) indipendenti Stima Errore standard t value p value Costante QI madre QI Istruzione madre Interazione = punteggio medio al test per bambini la cui madre non ha il diploma e ha un QI uguale alla media (QI = 100) Per bambini la cui madre non ha il diploma, un incremento unitario nel QI della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a punti Per bambini la cui madre ha un quoziente intellettivo pari alla media del QI nel campione, la media del punteggio dei bambini con madri almeno diplomate è maggiore della media del punteggio dei bambini con madri che non hanno il diploma di punti Il coefficiente di interazione indica la differenza nelle pendenze tra bambini con madre diplomata e bambini con madre non diplomata Per bambini la cui madre ha almeno il diploma, un incremento unitario nel QI della madre implica una variazione attesa nel punteggio al test pari a = punti A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 12 / 20

13 Valutare la significatività dell interazione Modello esteso: Y i = β 0 + β 1 x i + β2 A A i2 + + βg A A ig + β2 AX A i2 x i + + βg AX A ig x i + ɛ i Modello ridotto: con ɛ i N(0, σ 2 ) indipendenti versus Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + + β A g A ig + ɛ i H 0 β AX 2 = = β AX g = 0 versus H a Almeno un uguaglianza in H 0 è falsa A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 13 / 20

14 Valutare la significatività dell interazione Valori teorici ŷ ie = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + + β A g A ig + ŷ ir = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + + β A g A ig Somma dei quadrati degli errori β AX 2 A i2 x i + + AX β g A ig x i Modello Esteso Modello Ridotto SSE e = n (y i ŷ ie ) 2 i=1 gdl e = n 1 1 (g 1) (g 1) = n g g SSE r = n (y i ŷ ir ) 2 i=1 gdl r = n 1 1 (g 1) = n 1 g A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 14 / 20

15 Valutare la significatività dell interazione Statistica Test F = (SSE r SSE e )/(gdl r gdl e ) SSE e /gdl e = (R2 e R 2 r )/(gdl r gdl e ) (1 R 2 e )/gdl e = (SSE r SSE e )/(g 1) SSE e /(n 2 g) = (R2 e R 2 r )/(g 1) (1 R 2 e )/(n 2 g) dove gdl r gdl e = g 1 numero di termini aggiuntivi presenti nel modello esteso Sotto l ipotesi nulla F F g 1,n 2 g Regione di rifiuto al livello di significatività α: RC α F f g 1,n 2 g (α) p value = Pr(F g 1,n 2 g F oss ) A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 15 / 20

16 Valutare la significatività dell interazione Esempio: Punteggio al test H 0 β AX 2 = 0 versus H a β AX 2 0 Tavola ANOVA modello esteso (modello con interazione) Fonte di Somma dei Media dei Statistica Variabilità quadrati GdL quadrati F p value Regressione Residua Totale R 2 = Tavola ANOVA modello ridotto (modello senza interazione) Fonte di Somma dei Media dei Statistica Variabilità quadrati GdL quadrati F p value Regressione Residua Totale R 2 = A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 16 / 20

17 Valutare la significatività dell interazione Esempio: Punteggio al test Statistica test F oss = = ( ) = / = ( )/430 = /430 = 8.91 Si noti che F oss = (T oss (β AX 2 )) 2 = ( 2.99) 2 dato che l interazione è caratterizzata da un unico parametro (essendo la variabile categorica binaria) Regione critica di livello di significatività α = 0.05 p value Evidenza contro l ipotesi nulla RC 0.05 F f 1,430 (0.05) = p value = Pr(F 1, ) = A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 17 / 20

18 Modelli Esempio: Punteggio al test Modello con interazione: Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + β AX 2 A i2 x i + ɛ i SQ GdL MQ F value p value Regressione Residua R 2 = Modello additivo: Y i = β 0 + β 1 x i + β A 2 A i2 + ɛ i SQ GdL MQ F value p value Regressione Residua R 2 = Modello con solo il predittore continuo: Y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i SQ GdL MQ F value p value Regressione Residua R 2 = Modello con solo il predittore categorico: Y i = β 0 + β A 2 A i2 + ɛ i SQ GdL MQ F value p value Regressione Residua R 2 = Modello nullo: Y i = β 0 + ɛ i (SSE = TSS = con 433 gdl (TMS = 416.6)) A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 18 / 20

19 Modelli a confronto - Esempio: Punteggio al test Modello SSE GdL F value p value Modello con interazione (Modello esteso) Modello additivo: H 0 β2 AX = Solo X = QI madre: H 0 β2 A = 0 e βax 2 = Solo A = Istruzione madre: H 0 β 1 = 0 e β2 AX = Modello nullo: H 0 β 1 = β2 A = βax 2 = A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 19 / 20

20 Modelli a confronto - Esempio: Punteggio al test Modello SSE GdL F value p value Modello senza interazione (Modello esteso) Solo X = QI madre: H 0 β2 A = Solo A = Istruzione madre: H 0 β 1 = Modello nullo: H 0 β 1 = β2 A = A. Mattei (Università di Firenze) Metodi statistici per la ricerca sociale 20 / 20