Università di Pavia Econometria Esercizi 4 Soluzioni

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1 Università di Pavia Econometria Esercizi 4 Soluzioni Maggio, 2009 Istruzioni: I commenti devono essere concisi! 1. Dato il modello di regressione lineare, con K regressori con E(ɛ) = 0 e E(ɛɛ ) = σ 2 I y = Xβ + ɛ (a) Mostrate che l R 2 c si può scrivere come: (b) Mostrate che dove ( x ti x i ) 2 (x ti x i ) 2 V ar( β i X) = Rc 2 = M ιx β 2 M ι y 2 = P XM ι y 2 M ι y 2 σ 2 ( (x ) ti x i ) 2 1 ( x ti x i ) 2 (x ti x i ) 2 è l R2 c di una regressione del generico regressore x i sugli altri K 1 inclusa la costante. (Suggerimento: Per ottenere V ar( β i X) partite dall espressione dello stimatore OLS di β i ottenuto applicando il teorema di FWL). (a) Dato che M ι X β = M ι P X y = P X y P ι P X y ma P ι P X = P ι = P X P ι, perchè ι = Xe 1

2 dove e 1 = (1, 0,..., 0). P ι = Xe 1 (e 1X Xe 1 ) 1 e 1X quindi (b) Lo stimatore OLS dell i-esimo β: P ι P X = Xe 1 (e 1X Xe 1 ) 1 e 1X P X = P ι P X P ι = P X Xe 1 (e 1X Xe 1 ) 1 e 1X = P ι M ι X β = P X M ι y β i = (x im K i x i ) 1 x im K i y dove K i rappresenta tutte le colonne di X ad eccezione dell i-esima. La varianza di β i è: V ar( β i X) = σ 2 (x im K i x i ) 1 x im K i x i = x ix i x ip K i x i + x 2 i x 2 i ( ) = x 2 ti x 2 i x ip K i x i + x 2 i = x i = P K i x i si ottiene quindi x im K i x i = (x ti x i ) 2 ( x i x i x 2 i ) ] (x ti x i ) [1 2 ( x ti x i ) 2 (x ti x i ) 2 2. Considerate un modello di regressione con solo due variabili esplicative x 1 and x 2 entrambe centrate: y = β 1 x 1 + β 2 x 2 + ɛ. dove x 1 and x 2 sono non stocastici e ɛ (0, σ 2 I ). Con ρ indichiamo il coefficiente di correlazione campionario tra x 1 e x 2. Poichè entrambi sono centrati, la correlazione campionaria è ρ x 1tx 2t ( ( ) 1/2 T x2 1t )( T x2 2t ) (a) Mostrate che la correlazione tra le stime OLS β 1 e β 2 è uguale a ρ. (b) Quali, se ve ne sono, delle assunzioni di questo modello possono essere abbandonate senza cambiare il risultato? (a) La correlazione campionaria può essere scritta come: La correlazione fra β 1 e β 2 è ρ = x 1 x 2 (x 1 x 1) 1/2 (x 2 x 2) 1/2 Cov( β 1, β 2 ) (V ar( β 1 ) 1/2 )(V ar( β 2 ) 1/2 ) 2

3 V ar( β 1 ) = σ 2 (x 1M X2 x 1 ) 1 V ar( β 2 ) = σ 2 (x 2M X1 x 2 ) 1 x 1M X2 x 1 = x 1(I x 2 (x 2x 2 ) 1 x 2)x 1 = x 1x 1 x 1x 2 (x 2x 2 ) 1 x 2x 1 = (1 (x 1 x 2) 2 ) (x 1 x 1)(x 2 x x 1x 1 2) = (1 ρ 2 )x 1x 1 Per lo stesso argomento con i pedici invertiti troviamo che Possiamo concludere che x 2M X1 x 2 = (1 ρ 2 )x 2x 2 V ar( β 1 ) = σ 2 (1 ρ 2 )x 1x 1 V ar( β 2 ) = σ 2 (1 ρ 2 )x 2x 2 Ora la covarianza covarianza di β 1 con β 2. Sappiamo che ma β 1 β 1 = (x 1M X2 x 1 ) 1 x 1M X2 ɛ β 2 β 2 = (x 2M X1 x 2 ) 1 x 2M X1 ɛ Cov( β 1, β [ ] 2 ) = E ( β 1 β 1 )( β 2 β 2 ) = E [ (x 1M X2 x 1 ) 1 x 1M X2 ɛɛ M X1 x 2 (x 2M X1 x 2 ) 1] = σ 2 (x 1M X2 x 1 ) 1 x 1M X2 M X1 x 2 (x 2M X1 x 2 ) 1 x 1M X2 M X1 x 2 = x 1(I x 2 (x 2x 2 ) 1 x 2)(I x 1 (x 1x 1 ) 1 x 1)x 2 = x 1x 2 (x 2x 2 ) 1 x 2x 1 (x 1x 1 ) 1 x 1x 2 x 1x 2 ( (x = 1 x 2 ) 2 ) x 1 x 1x 2 x x 1x 2 x 1x 2 2 = ρ 2 x 1x 2 x 1x 2 = ( ρ 2 1)x 1x 2 Cov( β 1, β 2 ) = σ2 ( ρ 2 1)x 1 x 2 σ 4 x 1 x 1x 2 x 2 = ( ρ2 1)x 1 x 2 σ 2 x 1 x 1x 2 x 2 da Cov( β 1, β 2 ), V ar( β 1 ) e V ar( β 2 ) otteniamo il coefficiente di correlazione ρ: ( ρ 2 1)x 1 x 2 (1 ρ 2 )(x 1 x 1) 1/2 (x 2 x = ρ. 1/2 2) (b) L assunzione che i termini di errore siano normalmente distribuiti può essere abbandonata senza cambiare il risultato al punto precedente poichè non usiamo mai questa ipotesi. Tuttavia l assunzione E(ɛɛ ) = σ 2 I è essenziale per ottenere Cov( β 1, β 2 ), V ar( β 1 ) e V ar( β 2 ). 3. el file advertising.csv trovate tre variabili S, le vendite di un certo prodotto, P, il prezzo e A le spese in pubblicità, per ciascuna avete un totale di = 75 osservazioni. Stimate il seguente modello: S t = β 1 + β 2 P t + β 3 A t + ɛ t t = 1,..., 3

4 assumendo che ɛ t sia i.i.d.(0, σ 2 ). (a) La regressione è significativa (significa testare per β 2 = β 3 = 0)? Statistica F (2, 72) = 29, 2479 (p-value < 0, 00001). (b) Testate l ipotesi nulla che il prezzo non abbia alcun effetto sulle vendite. Commentate il risultato del test. H 0 : β 2 = 0, H 1 β 2 0, t ratio = 7, 215 p-value = 4, 42E 010, rifiutiamo H 0. (c) Includete tra i regressori A 2 t che permette di investigare l esistenza di rendimenti decrescenti nelle spese pubblicitarie. Stimate il nuovo modello e commentate i risultati. Il nuovo modello è: S t = β 1 + β 2 P t + β 3 A t + β 4 A 2 t + ɛ t t = 1,..., Coefficiente Errore Std. rapporto t p-value const 109, 719 6,799 16, 137 0,000 P 7, 640 1,046 7, 304 0,000 A 12, 151 3,556 3, 417 0,001 A 2 2, 768 0,941 2, 943 0,004 Media della variabile dipendente 77,3747 D.S. della variabile dipendente 6,48854 Somma dei quadrati dei residui 1532,08 Errore standard della regressione (ˆσ) 4,64528 R 2 0, R 2 corretto 0, F (3, 71) 24,4593 Adesso la variazione delle vendite a seguito di un incremento delle spese pubblictarie dipende dal livello di queste. Questo è dovuto alla presenza di A 2 t,l effetto di quest ultimo è negativo (rendimenti decrescenti). (d) Come misurate l effetto marginale della pubblicità sulle vendite attese? E[S t P t, A t ] A t = β 3 + β 4 A t la stima di E[S t P t,a t ] A t è 12, 151 2, 768A t. (e) Testate l ipotesi nulla che la pubblicità non abbia effetti sulle vendite. H 0 = β 3 = β 4 = 0. Statistica test: F (2, 71) = 8, 441 con p-value = 0, (f) Trovate il livello ottimo di pubblicità tale che l ultimo euro speso in pubblicità risulti in un euro di vendite addizionali, sotto l ipotesi che il costo marginale di produrre e vendere un altra unità di prodotto sia zero. Il livello ottimo di pubblicità è la soluzione del seguente problema: β 3 + 2β 4 A t = 1 da cui si ottiene A t = 1 β 3 2β 4 4

5 (g) Testate l ipotesi che il livello ottimo sia 1900 euro (A è misurato in migliaia di euro). Per testare l ipotesi che il livello ottimo odipubblictà sia 1900 definiamo l ipotesi nulla e alternativa: H 0 : β 3 + 2β 4 1, 9 = 1 H 1 : β 3 + 2β 4 1, 9 1 La statistica test: F (1, 71) = 0, 936, con p-value = 0, Scrivi una funzione in GRETL che permetta di determinare le osservazioni influenti in un modello di regressione lineare classico. In particolare, tale funzione dovrà restituire i seguenti output: I residui, ˆɛ i, per ciascuna osservazione; Gli elementi sulla diagonale principale della matrice di proiezione P X ; Il vettore delle differenze tra le stime OLS di β ottenute utlizzando l intero campione e quelle ottenute omettendo, di volta in volta, ciascuna osservazione; Utilizzando i dati in ESERCIZIO4.gdt e la funzione appena creata, individua l osservazione più influente nella seguente relazione lineare producgr t = β 1 + β 2 invgdp t + ɛ t dove producgr è la crescita del PIL per lavoratore, mentre invgdp è il rapporto tra il livello degli investimenti in capitale fisso e il PIL. 5