Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 31 maggio 2018 Tempo consentito: 120 minuti

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1 Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 31 maggio 2018 Tempo consentito: 120 minuti Professor Paolo Vitale Anno Accademico UdA, Scuola d Economia Domanda 1 [6 punti]. (a) La multi-collineartità si manifesta quando uno dei regressori nel modello di regressione lineare multipla è una combinazione lineare esatta degli altri. Nel caso di multi-collineartità imperfetta si verifica invece quando due o più regressori sono altamente correlati. (b) Nel caso di multi-collineartità lo stimatore dei minimi quadrati ˆβ non è ben definito. Infatti, ˆβ = (X X) 1 X y. Comunque, se uno dei regressori nel modello di regressione lineare multipla è una combinazione lineare esatta degli altri la matrice X X è singolare e quindi non invertibile. Nel caso di multi-collineartità imperfetta, lo stimatore dei minimi quadrati ˆβ è ben definito. Comunque, poiché la matrice X X è quasi singolare, il suo determinante è prossimo a zero e quindi i valori in (X X) 1 sono elevati. Ciò implica che gli errori standard dello stimatore dei minimi quadrati ˆβ sono elevati. Infatti Var( ˆβ) = σ 2 u(x X) 1. (c) Un modo per verificare se vi sia alta correlazione tra due regressori è quello di ricavare il grafico a dispersione (scatter plot) per un regressore sull altro. Se i dati sono prossimi, ma non esattamente su, ad una linea retta, i regressori sono altamente correlati. Se si collocano su una linea retta sono perfettamente linearmente dipendenti. Domanda 2 [6 punti]. a. La statistica t è pari a 0.118/0.176 = 0.67, un valore altamente inferiore al livello di significatività del 5% per il corrispondente test bilaterale. In particolare, si noti che se i termini di errore sono da considerarsi normalmente distribuiti la statistica t è distribuita come una t di Student con T 2 gradi di libertà. In questo contesto il numero di osservazioni è pari a 136 = ( ) 4. Per T = 136 possiamo approssimare la relativa distribuzione con quella della normale standardizzata. Pertanto al 5% di siginficatività un test bilaterale presenta un valore critico pari a Ciò consente di ottenere anche il relativo intervallo di confidenza ( , ) = ( 0.227, 0.463). Questo intervallo contiene zero, confermando il risultato del test di significatività. b. Secondo la teoria macroeconomica e i risultati empirici di Phillips il tasso di inflazione dovrebbe dipendere negativamente dal tasso di disoccupazione. Coerentemente con la teoria macroeconomica il coefficiente angolare dovrebbe quindi risultare negativo, diversamente da quanto ottenuto nalla regressione. c. Una variabile che incide sul tasso di inflazione è, secondo la curva di Phillips aumentata per le aspettative, il valore atteso del tasso di inflazione. Se questa variabile è correlata con il tasso di disoccupazione si è in presenza di una variabile omessa e della relativa distorsione nella stima del coefficiente angolare della variabile u, cioè del tasso di disoccupazione. Similmente, secondo la teoria macroeconomica, il tasso di inflazione dovrebbe aumentare (diminuire) quando il tasso di disoccupazione è superiore (inferiore) al suo tasso naturale, ū. Poiché il tasso naturale può variare e può essere correlato con il tasso di disoccupazione si ha una seconda potenziale variabile omessa. d. Il tasso di inflazione potenzialmente incide sul tasso di disoccupazione e quindi la causalità inversa che questo induce può generare la corrispondente distorsione.

2 Domanda 3 [6 punti]. Si veda la discussione dettagliata delle proprietà dello stimatore dei minimi quadrati di β nella sezione 5 degli appunti delle lezioni The Linear Regression Model: The One Regressor Case. Si veda inoltre la definizione della statistica z e la discussione delle sue proprietà nella sezione 1 degli appunti delle lezioni The Linear Regression Model: Statistical Inference with One Regressor. In particolare, si verifica quanto segue. (i) Se il termine di errore u t è omoschedastico e la variabile esplicativa è deterministica, Var[ ˆβ] = σu 2 1 t=1 T (x t x) 2 = σ2 u 1 ( T t=1 x2 t ) T x2. (ii) Poiché è possibile calcolare la varianza dello stimatore dei minimi quadrati di β, per verificare se questo coefficiente angolare è nullo si può impiegare la seguente statistica z = ˆβ. Var[ ˆβ] (iii) Sotto l ipotesi nulla che β = 0 si dimostra che la statistica test z è asintoticamente distribuita come una Normale standardizzata. Per cui per il numero delle osservazioni, T, grande si ha z app N (0, 1). (iv) In un test bilaterale si verifica l ipotesi nulla che H 0 : β = 0 contro l alternativa che H 1 : β = 0. L ipotesi nulla viene rigettata (accettata) se e solo se in valore assoluto la statistica test è maggiore (minore o uguale) di un valore critico, z > z α/2 ( z z α/2 ). Il valore critico è ottenuto imponendo la condizione che Prob{ z < z α/2 β = 0 } = 1 α 2. Poichè per β = 0 z ha asintoticamente distribuzione normale standardizzata, i valori critici si possono ottenere dalle tabelle relative a questa distribuzione. Pertanto, considerando che Φ z ( ) indica la funzione di distribuzione cumulata per una Normale standardizzata, occorre cercare quel valore z α/2 per cui Φ z (z α/2 ) = 1 α 2. Il test è valido solo per campioni di dimensioni elevate che consentano di sfruttare le proprietà asintotiche della statistica z. (v) Sotto questa ipotesi z ha una distribuzione Normale standardizzata per qualsiasi dimensione del campione. Ciò significa che il test è esatto e può essere condotto qualsiasi sia il numero di osservazioni. Domanda 4 [6 punti]. (a) Tutti i coefficienti risultano statisticamente significativi. In particolare si osservi che con 19 anni, dati trimestrali forniscono 76 osservazioni. Si ricordi che nel modello di regressione lineare, sotto la condizione di normalità degli errori, se vale l ipotesi nulla che β j = 0 la statistica t = ˆβ j /ˆσ j ha distribuzione t di Student con T k (dove T è il numero di osservazioni e k il numero complessivo di coefficienti stimati) gradi di libertà. Nel caso di specie si hanno 72 gradi di libertà. Il valore critico per un test bilaterale è rispettivamente pari (approssimativamente) a 1.99 e 2.37 per il livello di significatività del cinque e dell uno percento. Le quattro statistiche test per i quattro coefficienti sono 15.07, 12.12, 8,58 e I quattro coefficienti risultano ampiamente significativi. Si noti anche l elevato valore assunto dal coefficiente di correlazione multipla che indica la elevata capacità esplicativa del modello. Il modello è inoltre coerente con la condizione di equilibrio dei mercati finanziari prevista secondo il modello LM. Infatti la regressione indica che la domanda di moneta è crescente nel reddito (coerentemente con la componente della domanda di moneta a fini transattivi), e nel livello generale dei prezzi

3 e decrescente nel tasso di interesse (coerentemente con la componente della domanda di moneta a fini speculativi). Si noti inoltre, come peraltro specificato al punto (b), che il coefficiente del logaritmo dei livello generale dei prezzi non è significativamente diverso da uno. Pertanto il modello di regressione lineare è coerente con la seguente formulazione della funzione di domanda m d t p t = κ y t λ r t. Visto che m d t p t = ln( /), questa formulazione può essere riscritta nel modo seguente = exp(m d t p t ) = exp(κ ln Y t λ r t ) = exp(κ ln Y t ) exp( λ r t ) = Y k t exp ( λ r t ). In sintesi, = M d (Y t, r t ) con M d (Y t, r t ) Y k t exp ( λ r t ), dove si noti che, coerentemente con le prescrizioni del modello IS-LM, M d Y > 0 e Md r < 0. (b) Considerando che le variabili sono espresse in logaritmi è sufficiente verificare l ipotesi nulla che β p = 1 in quanto in questo caso il coefficiente angolare corrisponde ad un elasticità (una discussione approfondita di questo risultato illustrato in classe è fornita nell appendice a queste soluzioni). Sotto questa ipotesi la statistica t p ˆβ p 1 è distribuita come una t di Student con T k gradi di libertà, ˆσˆβp sotto la condizione di normalità degli errori. Nel caso di specie si hanno nuovamente 72 gradi di libertà e un valore critico per un test bilaterale rispettivamente pari a (approssimativamente) 1.99 e 2.37 per il livello di significatività del cinque e dell uno percento. Il valore della statistica t p è = Per cui l ipotesi nulla non è rifiutata né al livello di significatività del cinque percento né al livello di significatività dell uno percento. (c) In questo caso la statistica t y ˆβ y 1 ˆσˆβy è pari a = Anche in questo caso l ipotesi nulla non è rifiutata né al livello di significatività del cinque percento né al livello di significatività dell uno percento. (d) Si deve verificare la doppia restrizione che β p = 1 e β y = 1. La statistica da ricavare è la statistica F. Questa è in generale data da ( R 2 F = u R 2 ) ( ) r T k 1 R 2, u m dove R 2 u è il coefficiente di correlazione multipla per la regressione originale, mentre R 2 r è il valore corrispondente quando la regressione multipla è stimata sotto le restrizioni imposte dall ipotesi nulla. m indica il numero di restrizioni e k il numero dei coefficienti stimati nella regressioni senza restrizioni. La distribuzione di questa statistica sotto l ipotesi nulla è una distribuzione F con M e T k gradi di libertà. Nel caso di specie m = 2 e T k ancora una volta è pari a 72. I valori critici al livello di significatività del cinque e dell uno percento sono rispettivamente pari (approssimativamente) a 3.15 e Con i dati a disposizione non è possibile calcolare la statistica F poiché manca il valore di R 2 r. Inoltre, si noti che in linea teorica l esito di questo test potrebbe contraddire le conclusioni tratte ai punti (b) e (c).

4 Quiz 1 [1 punto] Risposta: B Quiz 2 [1 punto] Risposta: A Quiz 3 [1 punto] Risposta: C Quiz 4 [1 punto] Risposta: D Quiz 5 [1 punto] Risposta: C Quiz 6 [1 punto] Risposta: B

5 Appendice Si consideri che la formulazione di base del modello di regressione lineare prevede che la domanda di moneta assuma la seguente veste che possiamo anche scrivere come, Pertanto, ln(m t ) = α + κ ln Y t + γ ln( ) λ r t, = exp(α + κ ln Y t + γ ln( ) λ r t ) = exp(α) exp(κ ln Y t ) exp(γ ln( )) exp( λ r t ) = exp(α) Y k t P γ t exp ( λ r t ). dmt d = γ exp(α) Yt k P γ 1 t exp ( λ r t ) = γ 1 Mt d ; per cui d d dy t = k exp(α) Y k 1 t P γ t exp ( λ r t ) = k 1 Y t ; per cui d d = γ d, = k dy t Y t. L elasticità della domanda di moneta rispetto al livello generale dei prezzi e rispetto al reddito sono quindi Analogamente si verifica che ɛ P dmd t d = γ, ɛ Y dmd t Y t dy t = k. d dr t = λ exp(α) Y k t P γ t exp ( λ r t ) = λ ; per cui d = λ dr t r t. L elasticità della domanda di moneta rispetto al tasso di interesse è quindi ɛ r dmd t r t dr t = λ. In sintesi le stime dei coefficienti β 1, β 2 e β 3 nella regressione lineare m t = β 0 + β 1 y t + β 2 p t + β 3 r t + u t corrispondono alle stime delle elasticità della domanda di moneta rispetto rispettivamente al reddito, al livello generale dei prezzi e al tasso di interesse.