Soluzione degli esercizi di riepilogo sul controllo statistico di qualità e sull ANOVA.

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1 Soluzione degli esercizi di riepilogo sul controllo statistico di qualità e sull ANOVA.. Si tratta di un ANOVA a due fattori senza repliche. Gli effetti sono fissi sia sulle righe che sulle colonne. Effettuiamo prima l analisi sulle righe. Si rigetta l ipotesi che le medie sulle righe sono uguali con un p-value di.36. La stima della variabilità dei dati è 3.33 ed i box plot sono 5 3 Values 9 3 Column Number Le medie dei livelli e non sono diverse al livello 5%, mentre sono diverse le medie dei livelli e 3, e ancora e 3. L analisi dei residui conferma che il modello gaussiano è ben posto. Difatti il normplot risulta essere.98 Normal Probability Plot Probability Data Il KS test non rigetta l ipotesi che i residui sono gaussiani con un p-value di L anova sulle colonne non rigetta l ipotesi che le medie sono uguali con un p-value di.77. Questa decisione è confermata dal multcompare, nel quale gli intervalli di confidenza per la differenza delle medie contengono sempre lo. I box-plot sono

2 5 3 Values Column Number L analisi dei residui conferma la validità del modello gaussiano:.98 Normal Probability Plot Probability Data Il Ks test non rigetta l ipotesi di gaussianità con un p-value di.88.. La tabella completata risulta essere A B C Repliche Somma () a - - b c - - ac ab bc abc 6 3 La stima degli effetti risulta essere: effa=3.37, effb=.6, effc=.87, effab=.375, effac=.5, effbc=-.65, effabc=.5. Per la stima numerica e grafica delle interazioni AB si ha

3 B A - - 9,7,,->9.5 9,,,8->9.5,,,8->,3,6,-> B=- B= da cui risulta interazione. Per la stima numerica e grafica delle interazioni AC si ha C A - - 9,7,9,->9,,,8->9.75,,,3->.75,3,6,-> C=- C= da cui risulta interazione. Per la stima numerica e grafica delle interazioni BC si ha: C B - - 9,7,,->9.5,,,3-> 9,,,3->.5,8,6,->

4 C=- C= la stima numerica e grafica delle interazioni ABC si ha: A B C Repliche Media () a - - b c ac ab bc abc Effettuiamo un anovan per completare l analisi: Le interazioni non sono statisticamente significative.

5 3. Bisogna verificare se il campione casuale ha legge gaussiana, nel qual caso si può effettuare un t-test. altrimenti bisogna effettuare un test sulla mediana. Il normplot è Normal Probability Plot Probability Data che non risulta mostrare un andamento lineare. Tuttavia il ks test dei dati standardizzati non rigetta l ipotesi di gaussianità con un p-value di.5. Pertanto si può effettuare un t-test, visto che non è nota la varianza della popolazione. L ipotesi che la media sia psi non si rigetta, con un p-value molto basso:.6. Questo significa che bisognerebbe fare ulteriori indagini per convalidare la decisione presa.. Effettuando un ANOVA in Matlab, il valore del p-value per le interazioni è.. Quindi siamo in presenza di interazioni dei due fattori e non possiamo proseguire l analisi. Per via grafica risulta: 8 7 b b b da cui si evince che c è interazione. Per l analisi dei residui, bisogna calcolare la media di ogni sottomatrice. Il normplot risulta essere Normal Probability Plot Probability Data

6 Il Ks test non rigetta l ipotesi di gaussianità con un p-value.. 5. Bisogna costruire una carta p-value, dove k=3 e ogni sottogruppo ha medesima taglia n=5. La linea centrale è sul valore.8333, il limite inferiore è sul valore. e quello superiore è.. Pertanto la carta risulta essere: Il processo è fuori controllo statistico. L indice di capacità del processo, in assenza di dati teorici, risulta p( p) p( p) essere /3, poiché vale / 6. n n 6. Il 5% di è 5. Pertanto abbiamo una popolazione di unità di cui 5 difettose. Da questa popolazione si estraggono unità senza reimmissione, e l esercizio chiede di calcolare la probabilità di trovare al più un pezzo difettoso. Può essere usato un modello stocastico ipergeometrico, con N=, K=5, n= e x=, ossia hygecdf(,,5,). 7. Siccome la prestazione obbiettivo è 5, si tratta di un modello NB, per il quale la funzione S/N risulta valere per la combinazione,.79 per la combinazione,.9 per la combinazione 3. Pertanto è da preferire la combinazione E possibile usare la carta c: carta c

7 Dall analisi della carta risulta che il processo è in controllo statistico. Pertanto questi stessi limiti possono essere usati per monitorare nel seguito il processo. 9. Il diagramma di Pareto in Matlab si costruisce al seguente modo: >> x=['lavast';'sale ';'Brill ';'Acqua ';'Guarni';'Filtri']; >> y=[5; 7; ; 5; 6; 3]; >> pareto(y,x) e il risultato è 6 95% 83% 7% 59% 8 7% 6 36% % % Guarni Lavast Filtri Acqua Sale % La funzione perdita ha la forma 3 L( x) ( ).5 = x. La probabilità richiesta risulta essere P( X >.5) = normcdf (.5,, 7). Il valore medio invece 3 3 E L( X ) = E ( X ) 7.5 =..5 risulta [ ]. L istogramma dei dati risulta essere 9 Istogramma dei dati

8 Dall istogramma, la popolazione da cui sono estratti i dati sembra essere gaussiana. Effettuiamo un ks test. Il p-value è.555, pertanto l ipotesi di legge gaussiana non si rigetta. Effettuiamo un ANOVA a fattore effetti fissi. Dal box-plot, non risulta che i tre turni influenzano la lunghezza della sbarretta: 8 6 Values 98 3 Column Number Il P-value dell ANOVA è infatti.9. La variabilità del processo risulta essere 8.6. Non è necessario effettuare un analisi dei residui poiché si è già provato che i dati seguono una legge gaussiana. Per la carta di controllo, si ha Xbar Chart 8 UCL 6 CL LCL Da cui si evince che la produzione è in controllo statistico, per quanto riguarda la media. Per le regole di zona, si ha

9 Xbar Chart 8 UCL UCL UCL CL 7 3 LCL LCL LCL da cui non emergono particolari criticità. La carta dell escursione scegliamo come limite inferiore il livello e per B il valore.57. Si ha Carta escursione E necessario costruire una carta p. Visto che le taglie dei sottocampioni sono diverse, useremo la taglia media, che risulta essere 98. La linea centrale si attesta su.955. La linea superiore si attesta su.86 e quella inferiore su.6. La carta di controllo risulta essere:.5 Carta np Il processo risulta fuori controllo statistico. L istogramma è

10 6 Istogramma del campione mentre il box-plot è Istogramma del campione 5 Values 5 Column Number Si tratta dunque di una binomiale asimmetrica (p=.955), con una pronunciata coda destra. Per effettuare un KS test, bisogna costruire il vettore della funzione di ripartizione. Ossia ccf(:,)=binocdf(sort(x(:,)),98,.955). Il risultato è >> [H,P,KSSTAT,CV] = KSTEST(x(:,),ccf,.5,) H =, P =.8357, KSSTAT =.7, CV =.6 pertanto l ipotesi di legge binomiale non si rigetta.. La matrice dei coefficienti di correlazione associata ai dati risulta essere: Pertanto la coppia povertà vittima è quella che può maggiormente essere modellata con una regressione lineare. Usando lo strumento polytool, la retta di regressione lineare risulta essere y =.5 +.x

11 Il normplot dei residui risulta essere Normal Probability Plot Probability Data Il Ks test non rigetta l ipotesi di gaussianità dei residui con un p-value di La media totale sarà data da X = x j = 33.9cl mentre la varianza campionaria è data j= da S = s j =.8Dai dati del problema si ha che USL = 33(+.5) = 3,65 mentre j= LSL = 33(.5) = 3,35. Pertanto si ha: C pk = min, = min{,759;,735} =,