Controllo Statistico della Qualità (alcune note) A cura della Prof.ssa Paola Vicard e della Prof.ssa Flaminia Musella

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1 Controllo Statistico della Qualità (alcune note) A cura della Prof.ssa Paola Vicard e della Prof.ssa Flaminia Musella

2 Syllabus del modulo (20 ore) Introduzione Alcuni richiami alle nozioni fondamentali Un po di terminologia e tipologie di carattere Distribuzione per unità e di frequenza Raggruppamento in classi Rappresentazioni grafiche (con particolare riferimento agli istogrammi, a Pareto e al boxplot) Elementi di base sul modello normale e binomiale Inferenza sulla qualità dei processi (test di ipotesi sulla media e sulla proporzione, sul confronto tra medie e sul confronto tra proporzioni) Controllo statistico di processo Introduzione: costruzione, uso e lettura Carte di controllo per variabili e analisi di capacità di processo Carte di controllo per attributi

3 Di fondamentale importanza nell analisi della qualità sono i modelli. I due principali modelli statistico-probabilistici di riferimento sono: binomiale e normale

4 Si noti che la probabilità è, per definizione, un numero compreso tra 0 e 1 (estremi inclusi): la probabilità di un evento è 0 se l evento è impossibile (tecnicamente parlando, sarebbe più corretto parlare di evento quasi impossibile ); la probabilità di un evento è 1 se l evento è certo (tecnicamente parlando, sarebbe più corretto parlare di evento quasi certo )

5 Una variabile viene detta aleatoria (o casuale) quando non è possibile conoscere a priori quale modalità della variabile osserveremo. Esempio: supponiamo di voler controllare la correttezza di documenti prodotti presso una segreteria. Prima di effettuare il controllo diretto di detti documenti non è possibile sapere se questi contengano errori oppure no. La variabile il documento contiene errori è casuale prima che si vada a ispezionare il documento in quanto può assumere valori diversi a causa di meccanismi casuali. Per caratterizzare una variabile casuale si introduce la distribuzione di probabilità.

6 Una distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore (stato) della variabile, la caratteristica di interesse (nel nostro esempio il fatto che il documento contenga errori), alla probabilità che tale valore si trovi (ossia possa essere osservato) all interno della popolazione di riferimento. Le distribuzioni di probabilità si distinguono tra: Distribuzioni discrete quando la variabile può assumere solo determinati valori (ad es.: presenza/assenza di errori in un documento, numero di errori in un documento, conformità/non conformità in un lotto di prodotti, oppure soddisfazione/insoddisfazione, etc...) Nel seguito tra le variabili discrete concentreremo l attenzione sulla distribuzione binomiale. Distribuzioni continue quando la variabile da misurarsi è espressa su scala continua (ad es. il tempo di attesa prima di essere serviti, misura di caratteristiche fisiche di beni prodotti, etc...) Nel seguito, tra le variabili continue concentreremo l attenzione sulla distribuzione normale.

7 Esempio manageriale Ad esempio, la variabile tempo di attesa prima di essere serviti è casuale continua: casuale poiché questa assume valori diversi nella popolazione (quella dei correntisti della banca) in conseguenza di meccanismi casuali; continua perché la variabile tempo assume valori sul semiasse reale positivo (ovvero nel continuo). Il fatto che noi la rappresentiamo in minuti è dovuto ai limiti umani nella misurazione.

8 Due parametri molto importanti di una generica distribuzione di probabilità di una variabile casuale X (continua e discreta) sono: la media (o valore atteso) e la varianza 2.

9 La distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta è rappresentata dall elenco di tutte e sole le modalità che la variabile può assumere a ciascuna delle quali è associata la relativa probabilità. Indichiamo con x i (i = 1,,k) la generica modalità i della variabile casuale X e con p(x i ) la sua probabilità. La distribuzione di probabilità può essere schematizzata come segue: Modalità x i di X Probabilità x 1 p(x 1 ) x 2 p(x 2 ) x i p(x i ) x k k p(x k ) Somma delle p x = 1 probabilità i= 1 ( ) i

10 La media di una distribuzione di probabilità è una misura della tendenza centrale della distribuzione: K = E( X ) = i= 1 + x i K = Var( X ) = p ( x i ) 2 xi i= 1 2 p ( xi ) se la variabile è discreta = E( X ) = xf ( x )dx se la variabile è continua La varianza di una distribuzione è un parametro che misura la variabilità della distribuzione: 2 Var( X ) x = = f ( x )dx + 2 se la variabile è discreta se la variabile è continua dove f(x) è la funzione di densità della variabile continua X e svolge ruolo analogo a p(x).

11 La distribuzione BINOMIALE Il modello binomiale si applica a processi che consistono in una serie di prove (n prove) indipendenti l una dall altra e che si assume vengano effettuate tutte nelle medesime condizioni. Cosa significa indipendenti? Significa che si assume che. Il risultato di ogni prova è classificato come successo insuccesso Si assume che la probabilità p di successo sia la stessa in ogni prova

12 n x La distribuzione BINOMIALE La distribuzione binomiale, indicata sinteticamente con Bin(n, p) è così definita: p( x) n = P 1 x x n x ( X = x) = p ( p) è il coefficiente binomiale e conta il numero delle combinazioni che contengono x successi e n x insuccessi n x = n! x!( n x)! ( n 1) ( n 2) 2 1 n! = n è detto n fattoriale e, per convenzione, si ha 0!=1. La media e la varianza sono: = np 2 = np 1 ( p)

13 La distribuzione BINOMIALE La probabilità può essere calcolata manualmente o usando i pacchetti statistici (per esempio Minitab mediante la finestra calc, scegliendo probability distributions e nel quadro che si apre cliccando su binomial. Nel quadro che si apre si chiede in output: probability se, come in questo caso, si desidera la probabilità di un singolo stato, ossia P(X=x); cumulative probability se si desidera una probabilità cumulata ovvero di osservare un numero di ordini scorretti fino a un massimo di x, ossia P(X x)

14 La distribuzione BINOMIALE esempio manageriale Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare, immagazzinare e distribuire informazione per facilitare i processi di pianificazione, decisione e controllo. Tra l altro il sistema informativo revisiona gli ordini di vendita per individuare eventuali errori nella forma o nel contenuto. Gli ordini giudicati scorretti vengono segnalati alla società mediante un rapporto dettagliato. Presso una casa farmaceutica, si stima pari a 0.1 la probabilità che un singolo ordine venga giudicato scorretto. Se in un giorno vengono realizzati 5 ordini di vendita, qual è la probabilità che nessuno di questi sia giudicato scorretto?

15 La distribuzione BINOMIALE esempio manageriale Nel nostro esempio: X: n di ordine di vendita corretti le prove sono 5 (n=5) si assume che le stesure degli ordini di vendita siano indipendenti l una dall altra perchè gli ordini vengano redatti in modo del tutto indipendente. Il fatto che uno sia scritto in modo corretto/errato non implica o rende più probabile che anche un altro ordine sia scritto in modo corretto/errato e che la probabilità di fallire in ciascuna prova sia sempre la stessa Quindi X~Bin(5;0,1)

16 La distribuzione BINOMIALE esempio manageriale Nel nostro esempio la variabile n di successi (ossia n documenti errati) può assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5 perché l interesse si riferisce a n=5 documenti. la probabilità che su 5 ordini di vendita 0 siano giudicati errati (ossia x=0) è: 5 0 ( ) 5 0 5! 5 5 p(0) = P( X = 0) = = = = 0! ( 5 0 )!

17 La distribuzione BINOMIALE esempio manageriale Nel nostro esempio la variabile n di successi (ossia n documenti errati) può assumere i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5 perché l interesse si riferisce a n=5 documenti. la probabilità che su 5 ordini di vendita 0 siano giudicati errati (ossia x=0) è: 5 0 ( ) 5 0 5! 5 5 p(0) = P( X = 0) = = = = 0! ( 5 0 )! - la probabilità che su 5 ordini di vendita 2 siano giudicati errati (ossia x=2) è: p( 2) = P( X = = ( 3 2 1) 5 2) = ( 1 0.1) = = ! 5! ( 5 ) ! = = è pari a 10 il numero delle combinazioni di 2 successi (documenti errati) e tre insuccessi Tecniche statistiche per l analisi della (documenti qualità corretti) e della soddisfazione

18 probabilità La distribuzione BINOMIALE esempio manageriale Il grafico della distribuzione binomiale per n=5 e p=0.1 è Chart of probabilità vs n successi Nel nostro esempio il numero medio di ordini errati è 0.4 = np = = La varianza è ( 1 ) = ( 1 0.1) = = np p n successi 4 5

19 Una variabile che si trova frequentemente, sotto forma di indicatori, nell analisi statistica della qualità è la proporzione (o frazione) di successi sul numero totale di prove effettuate. Questa quantità viene indicata con parametri n e p. dove X ha distribuzione binomiale con Nell ambito del controllo di qualità ˆp è detto frazione campionaria di elementi difettosi (o frazione campionaria di difettosità) in quanto è la frazione dei pezzi risultati non conformi in un campione sul numero totale dei pezzi del campione. Il cappello ^ sulla lettera p indica che si tratta di frazione stimata (a partire da un campione) e non reale (ossia relativa alla popolazione di riferimento) La media e la varianza di ˆp sono: p ˆ = 2 pˆ p ˆ = = p p X n ( 1 p) n

20 Frazione campionaria di difettosità esempio manageriale Si consideri una produzione di succo di arancia concentrato, confezionato in contenitori di cartone prodotti mediante un apposito macchinario. Nell ispezionare le confezioni finali si verifica che queste non perdano liquido dalle giunture laterali della confezione o in corrispondenza del fondo di essa, a testimoniare un adeguata chiusura a tenuta delle parti. Viene estratto un campione di 48 confezioni di cui 36 risultano difettose. Calcolare la frazione di non conformi. X: n di confezioni difettose (popolazione) n: 48 confezioni esaminate (campione casuale) ˆ = = p = n X 0.75

21 Frazione campionaria di difettosità esempio manageriale Si consideri una produzione di succo di arancia concentrato, confezionato in contenitori di cartone prodotti mediante un apposito macchinario. Nell ispezionare le confezioni finali si verifica che queste non perdano liquido dalle giunture laterali della confezione o in corrispondenza del fondo di essa, a testimoniare un adeguata chiusura a tenuta delle parti. Viene estratto un campione di 48 confezioni di cui 36 risultano difettose. Calcolare la frazione di non conformi. X: n di confezioni difettose (popolazione) n: 48 confezioni esaminate (campione casuale) ˆ = = p = n X 0.75 X~Bin(n;p) Proporzione campionaria che ha una distribuzione normale con media p e varianza p( 1 p) n