Errore nella misura sperimentale

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1 Introduzione al concetto errore di misura Introduzione concetto errore di misura Esempio di misura sperimentale Dispersione dei dati: Frequenza relative ed assolute vettoriale Errori sistematici ed errori casuali Errore nella misura sperimentale Il concetto di errore nella misura sperimentale non deve essere interpretato come sbaglio Nessuna misura sperimentale, per quanto precisa possa essere, è priva completamente di incertezze. Sorgenti di errore : Lo strumento di misura che si adotta lavora sempre con una precisione finita Errori umani di misura Altro Nessuna grandezza fisica può essere misurata con assoluta certezza 1

2 Errore nella misura sperimentale Esperimento replicabile. Definizione: Un esperimento si dice replicabile se è possibile ripeterlo più volte nelle stesse identiche condizioni. In presenza di esperimenti replicabili, le misure ottenute non sono generalmente uguali, per effetto dell errore nella misura. L errore nella misura è una deviazione dal valore vero (che può essere sia negativa che positiva) e che non può essere assolutamente controllata Esempio di misura sperimentale Viscosimetro di Hoppler per la misura della Viscosità (fatto in casa) Il tubo è riempito con il liquido da misurare (di densità L nota) Il tubo può essere immerso in un bagno termostatato Vi si introduce una sfera di densità e raggio noto Si cronometra la discesa della sfera lungo la distanza L

3 Esempio di misura sperimentale Dal tempo di caduta t della sfera si può ricavare la viscosità dinamica dalla formula r r' K t r r t K densità della sfera densità del liquido tempo di caduta Costante strumentale Si effettua una misura di viscosità di un combustibile (kerosene). Si ottiene: = 1.45 cp Possiamo affermare che questo è il valore della viscosità del kerosene? Errore nella misura sperimentale Una prova successiva, sullo stesso liquido, nelle stesse condizioni sperimentali riporta un altro valore di : = 1.4 cp Questo, è legato a fenomeni che intervengono nella misura e che non possono essere controllati. Ad esempio: Tempi di riflesso dell operatore Fluttuazioni del liquido all interno del tubo Pareti del tubo non perfette Fluttuazioni di temperatura (e quindi densità) del liquido Altro Due esperienze replicabili portano a risultati differenti. 3

4 Errore nella misura sperimentale Se ripetiamo l esperienza n=0 volte, nelle stesse condizioni, si possono, per esempio, ottenere i seguenti risultati: 1.60 Viscosità misurata del Kerosene Prove sperimentali Nessuno dei valori misurati è il valore vero della viscosità del kerosene! Errore nella misura sperimentale Se riportiamo tutti i punti sulla stessa ordinata: Esistono dei valori che sono più ricorrenti? È possibile intuire una tendenza centrale dei dati? La dispersione dei punti sperimentali ci può dare informazioni sulla precisione della misura? 4

5 Frequenze assolute È possibile contare quante volte una misura assuma valori compresi in un intervallo di valori (classe) Misura della viscosità Frequenze assolute È possibile rappresentare i risultati con un istogramma 8 Numero di prove Viscosità misurata In questo modo è possibile determinare il numero di volte che una prova assumi valore in un certa classe Tale numero prende il nome di frequenza assoluta del valore y 5

6 Frequenze relative Dividendo per il numero di prove sperimentali è possibile ottenere la frequenza relativa Essa rappresenta la frazione di dati sperimentali che assumono valore in un certo intervallo y 0.4 Frequenza relativa La frequenza relativa può assumere valori almeno uguali a zero e al più uguali a 1 La somma delle frequenze relative è sempre pari a 1 Frequenze relative È possibile anche rappresentare la distribuzione del campione con la densità di frequenza relativa, ovvero frequenza relativa fi densità di frequenza relativa pi = ampiezza della classe X densità di frequenza p i fi fi = x 0.05 Da sottolineare che adesso: pi x 1 Viscosità misurata 6

7 Frequenza cumulativa Ci si può porre il problema di determinare quale è la frazione dei dati sperimentali che assumono valori inferiori ad un certo valore Ad ogni y si associa la somma di tutte le frequenze relative corrispondenti ai valori del campione più piccoli o uguali ad y Frequenza cumulativa Si ottiene così la frequenza cumulativa per quel valore di y Viscosità misurata La frequenza cumulativa è una funzione a gradini crescente Parte da 0 e arriva a 1 7

8 Frequenza cumulativa La distribuzione cumulativa è molto importante: Si consideri per esempio di voler sapere la frazione degli esperimenti che hanno valore tra 1.5 e = - Scalari associati al campione: Percentili Il percentile m-esimo è il valore numerico tale che una percentuale di osservazioni sperimentali pari a m assuma valori minori di esso: Percentili importanti: Primo quartile: è il percentile 5, ovvero il 5% del campione assume valore inferiore Mediana: è il percentile 50, corrisponde al valore centrale che divide in dati in due parti uguali Terzo quartile: è il percentile 75, solo il 5% delle osservazioni assume un valore superiore 8

9 Scalari associati al campione: Percentili Per l esempio corrente: x=1.37 Primo quartile x=1.46 Terzo quartile Minimo valore del campione Misura della viscosità x=1.41 Mediana Massimo valore del campione Scalari associati al campione: Percentili Rappresentazione del campione tramite diagrammi a scatola (in inglese: box-plots ) Valore minimo Valore massimo 1 quartile mediana 3 quartile 9

10 Scalari associati al campione: Misure per la tendenza centrale Misure della tendenza centrale del campione di dati: Media aritmetica: n xi i x 1 n Mediana: Il 50 percentile Moda Il valore più frequente (riferito alla classe) nel campione di dati. Per il campione in esame: = =1.41 =1.35 ~ 1.40 Tali misure assumono valori differenti Misure della dispersione Misure della dispersione dei dati: Varianza campionaria: s 1 n 1 n x i x i 1 La somma dei quadrati è divisa per (n-1) anziché n Deviazione standard È la radice quadrata della varianza s 1 n 1 n x i x i 1 Utile perché ha le stesse dimensioni della variabile x presa in considerazione 10

11 Misure della dispersione Varianza: perché dividere per (n-1)? La dimostrazione matematica rigorosa è molto articolata e complessa. È possibile dare comunque un interpretazione intuitiva di tale necessità, ricorrendo a dei casi estremamente semplici. Si consideri, per esempio, un campione di dati costituito da n = 1 osservazione.la media fornisce un idea di quale sia il trend centrale della popolazione da cui proviene. Ma in tale campione, la dispersione è nulla e non si può concludere niente sulla dispersione della popolazione. In maniera empirica, si può affermare che, per un generico campione di dimensione N, si hanno (N-1) elementi di informazione che possono essere sfruttati per la varianza (detti anche gradi di libertà): Un grado di libertà è stato già sfruttato per il calcolo della media Proprietà asintotiche frequenze assolute Se avessimo l opportunità di eseguire un numero notevole di misure sperimentali gli istogrammi delle frequenze assolute possono tendere alla seguente forma: 80 Numero di esperienze Viscosità misurata 11

12 Proprietà asintotiche Frequenze relative Si può notare che, nel caso della densità delle frequenze relative l istogramma, dopo un certo numero di prove, non cambia più forma in modo significativo: Densità di frequenza relativa L istogramma tende asintoticamente verso una forma ben precisa Viscosità misurata Proprietà asintotiche frequenze cumulative Nel caso della frequenza cumulativa, le proprietà asintotiche incontrate per la frequenza relative sono analoghe Viscosità misurata ` La curva non cambia più forma in presenza di un numero elevato di prove sperimentali. 1

13 Proprietà asintotiche frequenze cumulative Da osservare che, se si riduce la larghezza degli intervalli in cui è stato suddiviso l insieme dei punti sperimentali (o, in modo equivalente, si aumenta il numero degli intervalli), la spezzata tende ad una curva continua Viscosità misurata Errore nella misura sperimentale Considerazioni 1/ La presenza dell errore sperimentale implica una deviazione dal valore vero Tale deviazione cambia di volta in volta con gli esperimenti Una analisi delle frequenze relative può aiutare a stabilire Stima della Valore vero? tendenza centrale Quali sono i risultati che ricorrono più frequentemente? Stima della dispersione dei dati Precisione della misura? Quale è la dispersione dei dati intorno alla tendenza centrale 13

14 Errore nella misura sperimentale Considerazioni / Se avessimo a disposizione un numero elevatissimo di prove sperimentali, potremmo ricavare le proprietà viste prima con una certa sicurezza. Questo non è mai possibile nella realtà. Nel corso si insegneranno le tecniche per stabilire quali sono i valori e la precisione della misura più probabili D Correlazione tra variabili Può essere di interesse, nell indagine statistica eseguire analisi di tipo comparativo, nel caso in cui si osservino più variabili su un medesimo gruppo Esempio: misure di viscosità i effettuate per diversi valori di temperatura T i In questo caso, la singola esperienza è caratterizzata da un vettore : Y={ i,t i } i=1,, n Possiamo porci il problema se esiste o meno una correlazione tra queste due osservazioni relative allo stesso esperimento 8 14

15 y y D Correlazione tra variabili Definizione: Date n osservazioni congiunte di due variabili x e y (x 1,y 1 ), (x,y ),, (x n,y n ) si definisce covarianza delle due variabili lo scalare: 1 n 1 Si può anche usare la formula: s XY n xi x yi y i 1 s XY 1 n 1 n i 1 xi yi n x y 9 D Correlazione tra variabili La covarianza, al contrario della varianza, può assumere anche valori negativi: x x S XY > 0 Le variabili sono correlate positivamente S XY < 0 Le variabili sono correlate negativamente 30 15

16 D Correlazione tra variabili Definizione: Si definisce correlazione delle due variabili lo scalare r XY s s X XY s Y essendo s X e s Y le varianze della componente x e y del campione vettoriale Si può facilmente verificare che la correlazione è un numero puro (ovvero non ha unità di misura) ed è tale che 1 r 1 XY 31 D Correlazione tra variabili Coefficiente di correlazione: Esempi Caso A Caso B 3 3 r XY =9.1e-3 (~0) r XY = Y s Y= X s X=0.97 Y s Y= X s X=

17 Errori sistematici ed errori casuali Una distinzione importante tra differenti tipi di errore: Errori casuali Deviazioni dal valore vero che sono ogni volta diverse e possono essere sia positive che negative Errori sistematici Deviazioni dal valore vero che hanno sempre lo stesso valore Errori sistematici ed errori casuali Esempio: tiro al bersaglio. Gli esiti dei tiri sono influenzati da eventi casuali (mano poco ferma del tiratore, vento etc.) oppure dalla sbagliata calibrazione del mirino (errore quindi sistematico, perché porta una deviazione del tiro sempre nello stesso verso) Errore casuale piccolo Errore sistematico piccolo Errore casuale piccolo Errore sistematico grande Errore casuale grande Errore sistematico piccolo Errore casuale grande Errore sistematico grande 17

18 Errori sistematici ed errori casuali Stesso esperimento di prima in cui è rimosso il segno del bersaglio. Questa situazione corrisponde alla maggior parte degli esperimenti in cui il centro non è a priori noto. E possibile individuare gli errori casuali, ma non gli errori sistematici Errore casuale piccolo Errore sistematico? Errore casuale piccolo Errore sistematico? Errore casuale grande Errore sistematico? Errore casuale grande Errore sistematico? Errori sistematici ed errori casuali Le analisi delle incertezze sistematiche e delle incertezze casuali sono effettuate con un differente approccio. Di seguito, l analisi degli errori sperimentali è riferita esclusivamente all analisi delle incertezze casuali. Domanda Nel caso del viscosimetro, siamo in grado di individuare le sorgenti di errori casuali e le sorgenti di errori sistematici? CASUALI SISTEMATICI Tempi di riflesso dell operatore Fluttuazioni del liquido nel tubo Variazioni di temperatura del liquido Altro Erronea stima delle densità Erronea stima della costante K TARATURA 18

19 Riepilogo lezione Sono stati introdotti i seguenti concetti: Errore sperimentale visto come processo casuale che presenta una certa struttura se l esperienza viene ripetuta più volte (pur nella imprevedibilità della singola osservazione) (da applicare per campioni di dimensione finita): Concetti di: Frequenza assoluta e relativa Misure tendenza centrale del campione (media etc.) Misure dispersione del campione (varianza etc.) vettoriale: Cenni Misure di dipendenza tra componenti misure vettoriali Errori sistematici ed errori casuali 19