Statistica di base (Canale E-M) Istruzioni (da leggere bene prima dell esame):

Transcript

1 Statistica di base (Canale E-M) Nome e Cognome: Matricola: Istruzioni (da leggere bene prima dell esame): Scrivere nome, cognome e matricola in modo chiaro; Non è consentito l uso di alcun materiale; Il telefono cellulare deve essere spento e riposto nello zaino/borsa (non silenziato ma spento). In caso contrario, indipendentemente dall uso che si sta facendo del telefono, l esame viene annullato; L esame consta di 2 parti: Parte A (punteggio massimo 12 punti): 8 domande (6 a risposta chiusa e 2 a risposta aperta). Relativamente alle domande a risposta chiusa, una sola delle risposte è corretta. Ogni domanda a risposta chiusa se corretta viene valutata con un punteggio pari a 1 altrimenti 0. Per gli esercizi a risposta aperta, riportare il procedimento e/o la dimostrazione in breve avendo cura di restare negli spazi indicati. Ogni esercizio corretto vale 3 punti. La sufficienza nella parte A si ottiene se il punteggio è superiore a 7. Parte B (punteggio massimo 23 punti): 5 esercizi. Riportare il procedimento e i risultati con una grafia chiara nei presenti fogli. Potete scrivere anche nel retro dei fogli riportando chiaramente il numero (e il punto) dell esercizio che state risolvendo. La sufficienza nella parte B si ottiene se il punteggio è superiore a 13. La sufficienza si ottiene se si è sufficienti in entrambe le parti e il voto finale è pari media, riportata a 30, delle due parti. Importante: tutte le risposte devono essere riportate su questi fogli. I fogli protocollo consegnati servono come brutta copia e non vengono ritirati a fine prova. Risultati: entro il 23 gennaio sulla pagina web del docente. Verbalizzazione 24 gennaio ore 10 nell ufficio del docente. 1

2 Parte A L indagine sulle forze lavoro dell Istat ha l obiettivo di stabilire il numero degli occupati e dei disoccupati e, per gli occupati, i vari settori di occupazione. Il campionamento utilizzato è A casuale a due stadi B casuale C a valanga D Nessuna delle risposte precedenti. Un esame consiste in un lavoro di gruppo. Il docente divide un gruppo di studenti in due sottogruppi e il voto finale sarà la media ponderata rispetto alla numerosità del punteggio dei due gruppi. Il primo gruppo, che consta di 5 studenti, ha un punteggio pari a 18. Mentre il secondo gruppo, di 3 studenti, ha un punteggio pari a 10. Il punteggio totale sarà quindi pari a A 15; B 18; C 14; D 10 In una distribuzione statistica, la somma degli scarti dalla media aritmetica A è sempre pari a 0; B è sempre massima; C è sempre un minimo; D è un numero che può variare sull asse reale. Se A e B sono due eventi indipendenti, allora A P (A B) = P (A) + P (B) B P (A B) = P (A) + P (B) + 2P (A B) C P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) D Nessuna delle precedenti è corretta. Si considerino gli eventi A e B. Allora, A P (A B) = P (A) + P (B) B P (A B) = P (A) + P (B) + 2P (A B) C P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) D Nessuna delle precedenti è corretta. 2

3 Si consideri un intervallo di confidenza per la media di una popolazione Normale. Al crescere della numerosità campionaria A l ampiezza dell intervallo del confidenza diminuisce; B l ampiezza dell intervallo del confidenza aumenta; C l intervallo di confidenza non cambia; D nessuna delle precedenti risposte. 3

4 Una variabile casuale Normale X ha media pari a 3 e deviazione standard pari a 3. Si calcoli il primo quartile. 4

5 Si dimostri che la somma degli scarti dalla media aritmetica è pari a 0. 5

6 Part B Esercizio 1 (punti totali 5) Per un campione di 16 catene di supermercati è stato rilevato il numero di oggetti tecnologici (televisori, cellulari, tablet) venduti durante il periodo natalizio (1 dicembre - 10 gennaio 2018) al fine di valutare la diffusione di tali oggetti al grande pubblico. Si sono ottenuti i seguenti dati: N. oggetti tecnologici N. catene (0-20] 5 (20-50] 7 (50-150] 4 16 a. Fornire una opportuna rappresentazione grafica del carattere in esame (Punti 1); b. Calcolarne media, moda e mediana (Punti 2); c. Alcuni esperti del settore ritengono che la vendita di oggetti tecnologici nella grande distribuzione abbia subito un importante incremento negli ultimi anni. Infatti, il numero medio di oggetti tecnologici venduti nella grande distrubuzione negli ultimi 5 anni è pari a 30. Assumendo che il numero di vendite segua una distribuzione Normale, si valuti, mediante opportune metodologie statistiche, la veridicità dell affermazione (α = 0.95) (Punti 2) 6

7 Esercizio 2 (punti totali 5) Su un campione di n = 30 individui si vuole valutare se esiste una associazione tra l età e la propensione a fidarsi del prossimo. Tale propensione è stata misurata da alcuni psicologi mediante un test e i soggetti classificati in "ottimisti nei confronti del prossimo", "nella norma", "pessimisti". I dati rilevati sono riportati nella seguente tabella: Età/ottimismo Ottimisti Nella norma Pessimisti (18 30] (30 50] (50 70] a. Si definisca la distribuzione per età degli individui classificati come "ottimisti nei confronti del prossimo" e se ne calcoli l età media (Punti 2); b. L ottimismo è più diffuso tra i più giovani o tra i più vecchi? Si giustifichi la risposta calcolando opportune quantità (Punti 1); c. Si valuti l associazione tra i due caratteri in esame mediante l uso dell indice chi-quadrato e interpretare il risultato. (Punti 2) 7

8 Esercizio 3 (punti totali 4) Si vuole studiare se il profitto medio di un azienda dipenda dal numero di dipendenti. A tale fine si rilevano i profitti di 10 aziende e il corrispondente numero di dipendenti. Si sa che il profitto medio è pari (in milioni di euro) a 12 con deviazione standard pari a 5 e che il numero medio di dipendenti è pari a 25 con deviazione standard pari a 3. Sapendo inoltre che, la correlazione tra profitto e numero di dipendenti è pari a 0.65, a. si calcoli la retta di regressione (punti 2); b. si interpreti il significato del coefficiente angolare (punti 1); c. si predica il profitto medio di un azienda con 20 dipendenti (punti 1). 8

9 Esercizio 4 (punti totali 4) In una data popolazione, una malattia si presenta con una frequenza di 5 persone ogni 100 e la sua presenza può essere diagnosticata con un test diagnostico che con una probabilità pari a 0.98 fornisce una risposta positiva qualora la persona sia effettivamente malata, ma che con una probabilità pari a 0.15 fornisce una risposta positiva qualora la persona sia invece sana. Valutare la probabilità che una persona che è risultata positiva al test sia effettivamente malata. 9

10 Esercizio 5 (punti totali 5) Di una variabile casuale si sa che è distribuita Normalmente. Si sa inoltre che il primo decile è pari a 0.72 mentre il terzo quartile è pari a Si calcolino le seguenti probabilità: a. P(X>1.5) (punti 2); b. il quantile a livello 0.45 di tale variabile aleatoria (punti 2); b. Sia Y = 2 3 X una variable aleatoria. Se ne calcoli valore atteso e varianza (punti 1). 10