R 2 1 j /n j] 3(n+1)

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1 L ANALISI DELLA VARIANZA A RANGHI AD UNA VIA DI KRUSKAL-WALLIS Quando le assunzioni per l analisi della varianza parametrica non sono soddisfatte si può ricorrere ad una alternativa non parametrica per valutare i risultati di una sperimentazione o di uno studio osservazionale: L analisi della varianza a ranghi ad una via di Kruskal-Wallis. L analisi della varianza a ranghi ad una via di Kruskal-Wallis si applica quindi quando le popolazioni dalle quali sono stati estratti i campioni non sono normali, non hanno varianza uguale o quando i dati da analizzare non sono continui ma ordinali (vedi variabili qualitative scala di misurazione ordinale) e quindi l analisi della varianza parametrica non è applicabile. Questo test necessita l attribuzione di ranghi al set di dati, tiene conto della numerosità totale e delle unità sperimentali dei singoli trattamenti, e procede con il calcolo di una statistica H i cui valori si confrontano con un valore critico in rapporto ad una valore alfa di significatività. k H= 12/ n(n+1) [ J = R 2 1 j /n j] 3(n+1) Dove k = numero dei campioni; nj = numero di osservazioni dell j-esimo campione; n= numero totale delle osservazioni; R j = somma ranghi dell j-esimo campione Assunzioni: campioni indipendenti, livello di misurazione almeno ordinale Ipotesi H0= i valori centrali delle popolazioni (campioni-livelli di trattamento) sono uguali HA= almeno una delle popolazioni ha valori più elevati di un'altra popolazione

2 Esempio- 1 Utilizzo i dati dell esempio anova1.2 Daniel nella ipotesi che le assunzioni non siano soddisfatte (es. varianza non uguale) Variabile risposta= numero di batteri (Log cfu/ml di polmone omogeneizzato) nelle vie aeree Variabile trattamento= tipo di antibiotico utilizzato Unità sperimentale= singoli individui (topi femmina) trattati TRATTAMENTO 1 Controllo 2 Amoxicillina 50 3 Eritromicina 50 4 Temafloxacina 50 5 Ofloxacina Ciprofloxacina H0= i valori centrali delle popolazioni (campioni-livelli di trattamento) sono uguali HA= almeno una delle popolazioni ha valori più elevati di un'altra popolazione Procedura 1) Raggruppare i dati-unità sperimentali in due colonne rispettivamente 1 per i valori della la variabile risposta ed 1 per i valori-livelli della variabile trattamento, come nella preparazione dei dati per le analisi in con il programma R o STATA: var.risposta var trattamento A questo livello i dati sono analizzabili con il programmi R o STATA. Per esigenze didattiche e di esercizio procediamo con la procedura punto per punto.

3 2) Ordinare i dati secondo i valori crescenti della variabile risposta, aggiungere una colonna con valori numerici sequenziali da 1 ad n che aiuta per i passaggi successivi, e quindi stabilire il rango dei singoli valori della var trattamento riportandolo in una ulteriore colonna (vedi criterio di attribuzione dei ranghi) n var.risposta var trattamento rank In questo caso le prime nove osservazioni della variabile risposta hanno valori uguali quindi il rango è uguale per tutte e nove e pari alla media degli n valori ( )/9 =5; le ultime 2 osservazioni della variabile risposta hanno valori uguali quindi il rango è uguale per tutte e due e pari alla media degli n valori (19+20)/2 =19.5 3) Calcolare il totale somma dei ranghi R j per ogni livello della variabile trattamento (campione), annotando il rispettivo numero n j delle osservazioni; in questo esempio: Var trattamento n j numero di osservazioni R j somma dei ranghi

4 k 5) Applicare la formula H= 12/ n(n+1) [ J = R 2 1 j /n j] 3(n+1) dove k= numero dei campioni, nj= numero delle osservazioni del j-esimo campione, n= numero totale delle osservazioni, R j = la somma ranghi del j-esimo campione in questo caso H = 12/(20*21) * [(90) 2 /5 + (15) 2 /3 + (15) 2 /3 + (15) 2 /3 + (38) 2 /3 + (37) 2 /3] 3*(20+1) ) H = (0.028 * ) 63 = )Valutare il valore di H e quindi i risultati del test confrontandolo con un valore critico identificato dal un valore di significatività alfa e dalla numerosità dei dati e dei trattamenti: Se ci sono più di 3 campioni (livelli della variabile trattamento) come i questo caso o più di 5 osservazioni in uno più campioni si utilizza la tavola χ 2 chi quadro con k-1 gradi di libertà. Se ci sono 3 campioni (livelli della variabile trattamento) ed un massimo di 5 osservazioni in ogni campione si utilizza un apposita tavola della variabile H che riporta specifici valori per ogni combinazionedi n 1,n 2, n 3. Il nostro esempio ha più di 3 campioni (livelli della variabile trattamento) quindi si ricorre alla tavola χ 2 chi quadro per alfa = 0.05 e 5 ( k-1) gradi di libertà, valore critico = Il valore di H = è > di e quindi rifiuto H0 ed accetto Ha

5 Esempio 2 Kruskal-Wallis Utilizzo i dati dell esempio anova1.1 Daniel nella ipotesi che le assunzioni non siano soddisfatte (es. varianza non uguale) Variabile risposta= concentrazione sierica progesterone ng/dl Variabile trattamento= tipo di trattamento effettuato Unità sperimentale= singoli individui (cani) trattati TRATTAMENTO 1 Non trattati 2 Estrogeno 3 Progesterone 4 Estrogeno +Progesterone H0= i valori centrali delle popolazioni (campioni-livelli di trattamento) sono uguali HA= almeno una delle popolazioni ha valori più elevati di un'altra popolazione Alfa = 0.05, H critico per dati con 3 trattamenti e n > 5 osservazioni, vedo tavola χ 2 chi quadro per alfa = 0.05 e 4 ( k-1) gradi di libertà = 7.81 Dati ordinati in colonne ed assegnazione dei ranghi unità sper. var. risposta var trattamento rank

6 Somma ranghi e numero di osservazioni Var trattamento n j numero di osservazioni R j somma dei ranghi k H= 12/ n(n+1) [ J = 1 R 2 j /n j] 3(n+1) H = 12/(18*19) * [(15) 2 /5 + (31) 2 /4 + (45) 2 /4 + (80) 2 /5] 3*(18+1) ) H = (0.035 * ) 57 = Il valore di H = è > di 7.81 e quindi rifiuto H0 ed accetto Ha

7 Esempio 3 Kruskal-Wallis Utilizzo i dati dell esempio anova1.10 nella ipotesi che le assunzioni non siano soddisfatte (es. distribuzione non normale) Variabile risposta= contenuto nucleare di DNA in pg Variabile trattamento= area geografica diversa Unità sperimentale= singoli animali misurati TRATTAMENTO Area 1 Area 2 Area H0= i valori centrali delle popolazioni (campioni-livelli di trattamento) sono uguali HA= almeno una delle popolazioni ha valori più elevati di un'altra popolazione Alfa = 0.05, H critico per dati con 3 trattamenti e n > 5 osservazioni, vedo tavola χ 2 chi quadro per alfa = 0.05 e 2 ( k-1) gradi di libertà = 5.99 Dati ordinati in colonne ed assegnazione dei ranghi n var risposta var trattamento rank

8 Somma ranghi e numero di osservazioni Var trattamento n j numero di osservazioni R j somma dei ranghi k H= 12/ n(n+1) [ J = 1 R 2 j /n j] 3(n+1) H = 12/(17*18) * [(63) 2 /6 + (42) 2 /5 + (48) 2 /6] 3*(17+1) ) H = ( * ) 54 = Il valore di H = è < di 5.99 e quindi accetto H0 e rifiuto Ha

9 Esempio 4 Kruskal-Wallis Siano i seguenti dati di un esperimento generico con tre trattamenti per cinque soggetti a trattamento, totale quindici, e come variabile risposta una variabile misurata su scala ordinale, siano le assunzioni della anova non applicabili. Sia alfa = I trattamenti hanno effetti diversi? Variabile risposta = variabile scala ordinale, es indice punteggio Variabile trattamento = tre trattamenti-condizioni diverse Unità sperimentale= singoli individui misurati TA TB TC H0= i valori centrali delle popolazioni (campioni-livelli di trattamento) sono uguali HA= almeno una delle popolazioni ha valori più elevati di un'altra popolazione Alfa = 0.05, H critico per dati con 3 trattamenti e n = o < 5 osservazioni: vedo tavola specifica K-Wallis per alfa = 0.05 e n 1 =5, n 2 =5, n 3 =5. H = 5.70 Dati ordinati in colonne ed assegnazione dei ranghi Var Var n risposta trattamento rank Notare come gli uguali valori della variabile risposta hanno gli stessi ranghi, ottenuti dalla media dei rispettivi n.

10 Somma ranghi e numero di osservazioni Var trattamento n j numero di osservazioni R j somma dei ranghi k H= 12/ n(n+1) [ J = R 2 1 j /n j] 3(n+1) H = 12/(15*16) * [(42) 2 /5 + (36) 2 /5 + (42) 2 /5] 3*(15+1) ) H = (0.05 * 964.8) 48 = 0.24 Il valore di H = 0.24 è < di 5.70 valore critico e quindi accetto H0 e rifiuto Ha ovvero i trattamenti non hanno effetti diversi.