Metodi Statistici per il Marketing. #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni

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1 Corso di Metodi Statistici per il Marketing LUISS A.A #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 15 Marzo 2018 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 1 / 67

2 Introduzione La società moderna richiede continunamente informazioni statistiche accurate disponibili in tempi rapidi (tempestive) Esempi - tasso di disoccupazione - reddito medio familiare - fatturato delle aziende - intenzioni di acquisto di clienti - soddisfazione dei clienti - etc. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 2 / 67

3 Elementi essenziali di una rilevazione statistica 1 riguarda un insieme finito di elementi individuali (detti anche unità di osservazione, o unità elementari) che costituiscono una popolazione finita 2 sulle unità elementari della popolazione sono definiti uno o più caratteri oggetto di interesse 3 si dispone di una lista che contiene le unità di rilevazione Le unità di rilevazioni possono non coincidere dalle unità di popolazione 4 dalla lista vengono selezionate le unità di rilevazione, campione (*) alle unità di rilevazione selezionate corrispondono effettivamente delle unità di osservazione 5 sulle unità di osservazione vengono rilevati i caratteri oggetto di interesse, tramite uno strumento di rilevazione (ad esempio un questionario) 6 i dati raccolti vengono utilizzati per produrre le stime dei parametri di interesse Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 3 / 67

4 Elementi essenziali di una rilevazione statistica (*) Una rilevazione censuaria può essere vista come caso particolare di rilevazione campionaria, in cui si selezionano (e osservano) tutte le unità elementari della popolazione. RILEVAZIONE CAMPIONARIA RILEVAZIONE CENSUARIA + riduce costi - maggiori costi + riduce tempo - maggiore durata + tempestività + domande più dettagliate - domande meno dettagliate + basso carico sui rispondenti - alto carico sui rispondenti Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 4 / 67

5 Indagine campionaria Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 5 / 67

6 Indagine campionaria Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 6 / 67

7 Indagine campionaria Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 7 / 67

8 Indagine campionaria Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 8 / 67

9 Popolazione finita Una popolazione finita (U N ) N unità di osservazione (unità elementari) ogni unità è identificabile tramite una etichetta univoca i = 1, 2,..., i,..., N U N = {1, 2,..., i,..., N} Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 9 / 67

10 Distribuzione di un carattere nella popolazione Su ciascuna unità della popolazione è definito un carattere (o variabile) Y, di qualsiasi natura. y i è la modalità del carattere Y rilevata sull unità i-ma (modalità etichettata) Y N = (y 1, y 2,..., y i,..., y N ) t è il vettore delle modalità etichettate e rappresenta la distribuzione del carattere Y nella popolazione. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 10 / 67

11 Parametro della popolazione Un parametro statistico θ (parametro di interesse) è una funzione delle modalità che costituiscono il vettore Y N θ = (Y N ) = θ (y 1,..., y N ) Esempi di parametri: totale del carattere Y media del carattere Y varianza del carattere Y Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 11 / 67

12 Totale, media e varianza della popolazione per un carattere quantitativo Per il carattere Y quantitativo Abbiamo Y N il vettore delle modalità etichettate del carattere osservate sulla popolazione U N totale t y = N i=1 y i media: µ y = 1 N N i=1 y i varianza: σy 2 = 1 N N i=1 (y i µ y ) 2 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 12 / 67

13 Totale, media e varianza della popolazione per un carattere dicotomico Per il carattere Y dicotomico, che assume solo i valori 1 o 0, ad indicare la presenza/assenza di una caratteristica di interesse. y i = { 1 l unità i-ma presenta la caratteristica Y 0 l unità i-ma non presenta la caratteristica Y totale: t y = N i=1 y i = N 1 media: µ y = 1 N N i=1 y i = N1 N = π dove π è la frazione della popolazione che possiede la caratteristica di interesse varianza: σ 2 y = π(1 π) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 13 / 67

14 Esempio Si vuole studiare la spesa settimanale o il possesso di una carta fedeltà per i clienti di un supermercato la popolazione U N è data da tutti i clienti del supermercato i caratteri (Y ) definiti sui clienti sono: - spesa settimanale (variabile quantitativa) - possesso della cartà fedeltà (carattere dicotomico) i parametri (θ) di interesse sono: - spesa media settimanale - percentuale di clienti in possesso della carta fedeltà Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 14 / 67

15 Campione Dalla popolazione U N si seleziona un campione s di n unità. Un campione s è un sottoinsieme di unità della popolazione U N. Il campione può essere selezionato: schema probabilistico campione probabilistico schema non probabilistico campione non probabilistico Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 15 / 67

16 Disegno campionario S Lo spazio dei campioni (o spazio campionario) S è l insieme di tutti i possibili campioni che possono essere estratti da U N p (s) La probabilità p (s) è la probalbilità di estrarre un campione s dallo spazio dei campioni S 0 p(s) 1 p(s) = 1 s S Se tutti i campioni hanno la stessa probabilità p(s) di essere estratti, allora il disegno campionario è definito semplice. Il disegno campionario (probabilistico) è formato dalla coppia (S, p(s)). * Il campione è una variabile aleatoria. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 16 / 67

17 Disegno campionario Un disegno campionario può essere: con ripetizione: se almeno in un campione s in S, una o più variabili compaiono più di una volta; ordinato: se vi sono almeno due campioni s 1 e s 2 in S(s 1 s 2 ), formati dalle stesse unità poste in ordine differente; Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 17 / 67

18 Disegno campionario Esempio: Si ha una popolazione di N = 5 unità, U 5 = {1, 2, 3, 4, 5}. Supponiamo che lo spazio dei campioni S sia formato da sei campioni: col le seguenti probabilità p(s): s 1 =(5,4,1); s 2 =(5,2) s 3 =(3,5,4) s 4 =(5,5); s 5 =(3,3,2,5) s 6 =(3,4,5) p(s 1 )=0.21; p(s 2 )=0.12 p(s 3 )=0.24 p(s 4 )=0.07; p(s 5 )=0.17 p(s 4 )=0.19 Il disegno campionario (S, p(s)) è un disegno campionario: ordinato: i due campioni s 3 e s 6 sono formati dalle stesse unità, poste in ordine diverso con ripetizione: nei campioni s 4 e s 5 la stessa unità compare due volte Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 18 / 67

19 Dati campionari Una volta estratto il campione s, le modalità del carattere Y osservate sulle unità del campione costituiscono il campione di modalità etichettate: y s = {y i ; i s} Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 19 / 67

20 Dati campionari Se si considera il precedente esempio con Y 5 = {5, 6, 11, 10, 15} se si estrae il campione S 1, che comprende le unità etichettate (5,4,1), il campione di modalità etichettate è y s = {15, 10, 5} Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 20 / 67

21 Disegno casuale semplice senza ripetizione (s.s.r) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 21 / 67

22 Disegno casuale semplice senza ripetizione (s.s.r) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 22 / 67

23 Disegno casuale semplice senza ripetizione (s.s.r) è il disegno campionario più semplice è la base per tutti gli altri disegni campionari tutti campioni hanno la stessa dimensione n (n < N) la dimensione dello spazio campionario S (numero di possibili campioni) è ( ) N N! = n n!(n n)! tutti i campioni hanno la stessa probabilità di estrazione 1 p(s) = ( N n ) s S è non ordinato e senza ripetizione ciascuna unità del campione ha un peso (peso campionario) pari a N/n, ovvero rappresenta N/n unità della popolazione Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 23 / 67

24 Stimatore Consideriamo: la popolazione U N il corrispondente vettore di modalità Y N θ = θ (Y N ) il parametro di interesse Uno stimatore di θ ˆθ = ˆθ (y(s)) è una funzione dei dati campionari che ad ogni campione associa un possibile valore del parametro incognito θ Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 24 / 67

25 Stimatore Poichè il campione è una variabile aleatoria, che assume i singoli valori s S con probabilità p(s), anche lo stimatore è una variabile aleatoria la distribuzione dello stimatore nello spazio dei campioni è detta distribuzione campionaria di ˆθ la stima è la realizzazione dello stimatore nel campione osservato Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 25 / 67

26 Riassumendo Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 26 / 67

27 Statistica inferenziale stima puntuale stima per intervalli verifica di ipotesi Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 27 / 67

28 Proprietà di uno stimatore Per studiare le proprietà dello stimatore ˆθ(y(s)) di θ che è una variabile aleatoria, definiamo prima il valore atteso ) E (ˆθ = ˆθ(y(s)) p(s) s S la varianza (ˆθ) V = (ˆθ)] 2 [ˆθ(y(s)) E p(s) s S Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 28 / 67

29 Stimatore corretto Definizione Uno stimatore si dice corretto se il suo valore atteso coincide con il parametro di interesse ) E (ˆθ = θ uno stimatore non corretto si dice distorto e la sua distorsione è data da: ) ) B (ˆθ = E (ˆθ θ uno stimatore può essere corretto per un dato disegno e distorto per un altro Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 29 / 67

30 Efficienza di uno stimatore Definizione Una misura dell efficienza di uno stimatore è data dal Mean Squared Error ) (ˆθ) ) 2 MSE (ˆθ = V + B (ˆθ ) se uno stimatore è corretto B (ˆθ = 0, quindi ) (ˆθ) MSE (ˆθ = V tra due stimatori corretti si preferisce quello di varianza minore Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 30 / 67

31 Efficienza di uno stimatore Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 31 / 67

32 Stimatore della media di una variabile quantitativa Sia µ y la media della variabile quantitativa Y N Nel caso di disegno s.s.r. ȳ s = 1 n i s y i è la media campionaria ed è uno stimatore corretto di µ y valore atteso di ȳ s E (ȳ s ) = s S ȳ s p(s) = µ y varianza di ȳ s V (ȳ s ) = ( 1 n 1 ) σy 2 = (1 f) σ2 y N n con f = n N Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 32 / 67

33 Il fattore di correzione per popolazioni finite V (ȳ s ) = (1 f) σ2 y con f = n n N (1 f) è il fattore di correzione per popolazioni finite se N è molto grande (N ) se N è molto più grande di n (N >> n) V (ȳ s ) = σ2 y n, cioè (1 f) diventa trascurabile, poiche f tende a 0. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 33 / 67

34 Esempio (1) Abbiamo una popolazione di 4 unità, I 4 = {1, 2, 3, 4} la distribuzione nella popolazione del carattere osservato, Y 4 = {3, 10, 1, 8} la media della popolazione µ y = 5.5 Consideriamo Consideriamo il disegno campionario s.s.r., con n=2: s 1 =(1,2); s 2 =(1,3) s 3 =(1,4) s 4 =(2,3); s 5 =(2,4) s 6 =(3,4) con probabilità di estrazione dei campioni p(s) = 1/6 per ciascun campione i corrispondenti campioni di modalità etichettate sono: y(s 1 )=(3,10); y(s 2 )=(3,1) y(s 3 )=(3,8) y(s 4 )=(10,1); y(s 5 )=(10,8) y(s 6 )=(1,8) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 34 / 67

35 Esempio (2) le medie campionarie sono ȳ s1 =6.5 ȳ s2 =2 ȳ s3 =5.5 ȳ s4 =5.5 ȳ s5 =9 ȳ s6 =4.5 quindi il valore atteso della media campionaria è E (ȳ s ) = s S ȳ s p(s) = ȳ s1 p(s 1 ) + + ȳ s6 p(s 6 ) = = 1 6 [ ] = 33 6 = 5.5 = µ y che, come previsto, è uguale alla media della popolazione. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 35 / 67

36 Distribuzione della media campionaria Se la distribuzione della variabile Y è Normale, anche la media campionaria ha una distribuzione Normale: ȳ s N (µ y, V (ȳ s ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 36 / 67

37 Teoremi limite Nel caso in cui la distribuzione di Y non sia Normale o, più in generale, non sia nota vale Legge (forte) dei grandi numeri Per n sufficientemente grande, la media campionaria è uguale al valore atteso di Y, quindi alla media di popolazione Teorema del limite centrale Qualunque sia la distribuzione di Y, per una numerosità di n sufficientemenete grande, la distribuzione della media campionaria ȳ è approssimativamente Normale ) Y N (µ, σ2 n Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 37 / 67

38 Stimatore di una proporzione Se Y è una variabile dicotomica e n 1 è il numero di unità nel campione s che presenta la caratteristica di interesse (Y = 1) Nel caso di disegno s.s.r. p s = 1 n i s y i = n 1 n è la media campionaria ed uno stimatore corretto della proporzione di individui della popolazione che presentano la caratteristica di interesse. valore atteso di p s E (p s ) = π varianza di p s V (p s ) = π (1 π) n (1 f) è omesso Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 38 / 67

39 Distribuzione della media campionaria per variabili dicotomiche La variabile dicotomica Y segue la distribuzione di Bernoulli { 1 con probabilità π Y = 0 con probabilità 1 π Lo stimatore (corretto) di π, p(s) si distrubuisce come una variabile ipergeometrica. Anche per le variabili dicotomiche vale il Teorema del limite centrale. Infatti, per n ufficientemenete grande, la distribuzione di p s è approssimativamente Normale p(s) N (π, V (p s )) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 39 / 67

40 Distribuzione della media campionaria per variabili dicotomiche Se p(s) si distribuisce come una Normale, allora p(s) N (π, V (p s )), Z = p(s) π N (0, 1), V (ps ) ovvero la sua trasformazione Z si distribuisce come una Normale standard. La distribuzione Normale standard ha: media 0 varianza 1 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 40 / 67

41 Limiti della stima puntuale La stima puntuale di un parametro della popolazione θ quasi certamente non uguaglierà il vero valore (non noto) di θ. In tutti i casi in cui lo stimatore ha una funzione di densità di probabilità, la probabilità che lo stimatore uguagli veramente il valore del parametro da stimare è 0. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 41 / 67

42 Limiti della stima puntuale Inoltre, a seconda del campione estratto lo stimatore finirà stime diverse in corrispondenza di campioni diversi, alcuni vicini al vero valore (non noto) di θ, altri lontani. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 42 / 67

43 Stima per intervallo Invece di considerare una stima puntuale, consideriamo un insieme di valori plausibili per il parametro di interesse, ossia la stima per intervallo. L insieme di valori è detto intervallo di confidenza, a cui è associata una probabilità prefissata, detta livello di confidenza. Il livello di confidenza è una misura della fiducia (confidenza) che l intervallo stimato contenga il vero valore del paramentro di interesse. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 43 / 67

44 Esempio Stima dell intenzione di acquisto Vogliamo valutare le intenzioni di acquisto per un nuovo modello di tablet. Sulla base di un indagine effettuata su un campione di 700 unità, estratte con disegno s.s.r. da una popolazione di (potenziali) clienti, 245 persone hanno affermato di voler comprare il nuovo prodotto, per una percentuale pari al 35%. É possibile affermare che la vera percentuale di clienti interessati all acquisto è compresa tra 31.5% e 38.5% (con un margine di errore pari a 3.5), ad un livello di confidenza del 95%. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 44 / 67

45 Calcolo dell intervallo di confidenza Consideriamo un livello di confidenza a c (c generalmente è uguale a 0.90, 0.95, 0.99). Quindi ricerchiamo quei valori che delimitano l area sottesa alla Normale standard in modo che il suo valore sia c. P r(l Z U) = c Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 45 / 67

46 Calcolo dell intervallo di confidenza Media campionaria (1) Con un po di algebra: P r ( ) L ȳs µ y V (ȳs ) U = c che diventa P r che vuol dire: ( µ y L V (ȳ s ) ȳ s µ y + U V ) (ȳ s ) = c il c% delle stime cadranno nell intervallo [ µ y L V (ȳ s ), µ y + U V ] (ȳ s ) lessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 46 / 67

47 Calcolo dell intervallo di confidenza Con alcuni pochi passaggi, riscriviamo l intervallo in questo modo: ( P r ȳ s L V (ȳ s ) µ y ȳ s + U V ) (ȳ s ) = c che equivale a dire che: il c% degli intervalli IC c% = conterranno il valore vero di µ y. [ ȳ s L V (ȳ s ), ȳ s U V ] (ȳ s ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 47 / 67

48 Calcolo dell intervallo di confidenza Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 48 / 67

49 Calcolo dell intervallo di confidenza Proporzione P r(p s L V (p s ) π p s U V (p s )) il c% degli intervalli IC c% = conterranno il valore vero di π. [ p s L V (p s ), p s U V ] (p s ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 49 / 67

50 Calcolo dell intervallo di confidenza Problema L intervallo di confidenza così ottenuto dipende dalla varianza di p s V (p s ) = π(1 π) n che a sua volta dipende da π che il parametro incognito da stimare. Soluzione Sostituiamo π con p s, ottenendo la stima della varianza di V (p S ): V (p s ) = p s(1 p s ) n Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 50 / 67

51 Calcolo dell intervallo di confidenza Osservazioni una volta estratto il campione è errato dire che l intervallo stimato contiene il vero valore del parametro con il c% di probabilità, poichè l intervallo stimato contiene il valore vero o non lo contiene possiamo solo esprimere una forte fiducia sul fatto che esso includa il valore vero del parametro in un ipotetico processo di estrazione ripetuta di un campione con la stessa dimensione campionaria (n) ci aspettiamo che il c% dei campione conterranno il valore vero Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 51 / 67

52 Esempio Stima dell intenzione di acquisto Ritornando a questo esempio, sappiamo che: n=700 p s =0.35 Per calcolare l intervallo di confidenza a livello c dobbiamo: 1 determinare la stima campionaria della proporzione p s (FATTO) 2 calcolare la varianza della proporzione V (p s ) V (p s ) = p s (1 p s ) = n = calcolare la deviazione standard SE(p s ) = (1 0.35) 700 = SE(p s ) = V (p s ) = = Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 52 / 67

53 Esempio 5 determinare l intervallo di confidenza a livello c a. estremo inferiore (lower bound) LB = p s L SE(p s) = 0.35 L b. estremo superiore (upper bound) UB = p s + U SE(p s) = U quindi: IC c% = [0.35 L 0.018, U 0.018] Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 53 / 67

54 Livello di confidenza I valori L e B che abbiamo visto in precendeza dipendono dal livello di confidenza c che vogliamo ottenere dai nostri intervalli di confidenza. L e B sono gli estremi dell intervallo tali per cui l aria sottesa Normale standardizzata è pari a c. Quindi: si sfrutta la simmetria della distribuzione Normale e si ndividua intervalli simmetrici, perchè si dimostra che sono quelli di ampiezza minore, a parità di livello di confidenza Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 54 / 67

55 Livello di confidenza si individua il percentile z della distribuzione Normale standard tale che l area compresa in ±z sia pari a 1 α(= c) P r ( z α/2 Z z α/2 ) = 1 α(= c) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 55 / 67

56 Livello di confidenza, il valore di z α/2 Il livello di confidenza che si vuole è c = 1 α = 0.95, quindi α = 0.05(= ). Si deve trovare il valore z α/2 tale che P r(z < z α/2 ) = P r(z < z 0.05/2 ) = P r(z < z ) = Cerchiamo il valore più vicino a nella tabella. Il valore corrisponde a 1.9 sulla prima colonna e 0.06 sulla prima riga. Quindi, z =1.96 Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 56 / 67

57 Livello di confidenza, il valore di z α/2 con R In R la funzione qnorm() permette di individuare il valore di z α/2 > alpha < # per l intervallo con c=0.95 > qnorm <- (1-alpha / 2) [1] > ###################### > alpha < # per l intervallo con c=0.90 > qnorm <- (1-alpha / 2) [1] > ###################### > alpha < # per l intervallo con c=0.99 > qnorm <- (1-alpha / 2) [1] Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 57 / 67

58 Valori tipici per la costruzione di un intervallo di confidenza Gli intervalli di confidenza richiesti più frequentemente sono 90%, 95%, 99%. Qui di seguito sono riportati i valori di α e dei relativi percentili della Normale standard utili per calcolare l intervallo di confidenza. (1-α) α α/ α/ z α/ Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 58 / 67

59 Intervallo di confidenza a livello 1 α Partendo dalla probabilità P r( z α/2 Z z α/2 ) = 1 α, l intervallo di confidenza a livello 1 α per la media è: [ IC 1 α = ȳ s z α/2 V (ȳ s ), ȳ s + z α/2 V ] (ȳ s ) l intervallo di confidenza a livello 1 α per la proporzione è: [ IC 1 α = p s z α/2 V (p s ), p s + z α/2 V ] (p s ) Margine d errore E = z α/2 V ( ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 59 / 67

60 Esempio Stima dell intenzione di acquisto Ritornando all esempio sull intenzione di acquisto, sappiamo che: n=700 p s =0.35 V (p s )= SE(p s ) = V (p s )=0.018 Calcoliamo l intervallo per diversi livelli di confidenza [ IC 1 α = p s z α/2 V (p s ), ȳ s + z α/2 V ] (p s ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 60 / 67

61 Esempio 90% 95% 99% IC 1 α = IC 1 α = IC 1 α = [ p s z α/2 V (p s ), p s + z α/2 V ] (p s ) = [ , ] = [ , ] [ p s z α/2 V (p s ), p s + z α/2 V ] (p s ) = [ , ] = [ , ] [ p s z α/2 V (p s ), p s + z α/2 V ] (p s ) = [ , ] = [ , ] Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 61 / 67

62 Precisione dell intervallo di confidenza Il margine di errore, E = z α/2 V (ps ), e quindi la lunghezza dell intervallo di confidenza dipendono da: livello di confidenza (+) variabilità del carattere σ 2 (+) dimensione del campione ( ) L = 2 z α/2 V (ps ) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 62 / 67

63 Aumentare la numerosità campionaria L area sotto la curva corrisponde sempre a 1 α, ma l intervallo di confidenza ottenuto con n grande è più preciso. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 63 / 67

64 Aumentare la numerosità campionaria Proporzione Supponendo che la deviazione standard sia nota, l ampiezza dell intervallo può essere scritta come ˆθ ± E, dove è il margine di errore. E = z α/2 π(1 π) Al crescere di n il margine di errore è più piccolo. Dall espressione di E ricaviamo il valore di n: n = ( zα/2 E ) 2 π (1 π) Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 64 / 67

65 Aumentare la numerosità campionaria Al posto di π (che non è noto) possiamo usare p s n = ( zα/2 E ) 2 ps (1 p s ) In alternativa, si potrebbe considerare π 0.5, che corrisponde al caso di massima variabilità della popolazione, ottenendo un valore cautelativo 1 di n n = ( zα/2 ) 2 ( zα/2 ) (1 0.5) = 0.25 E E 1 É detto valore cautelativo perchè dà il valore di n più grande possibile, dato il margine di errore fissato. lessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 65 / 67

66 Esempio Stima dell intenzione di acquisto Ritornando all esempio sull intenzione di acquisto, sappiamo che: n=700 p s=0.35 V (p s)= SE(p s) = V (p s)=0.018 E=0.035 Supponiamo di voler ottenere un intervallo con una confidenza del 95%, con un margine di errore dell 1%, per cui E=0.01. Calcoliamo la numerosità necessaria per garantire questo margine di errore: n = ( ) = A parità di livello di confidenza, per avere un margine di errore dell 1%, invece che del 3.5%, bisogna passare ad un campione di 700 unità ad uno con 8740 intervistati. Se il valore di n non è intero, va arrotondato all intero immediatamente superiore. Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 66 / 67

67 Esempio La numerosità cautelativa è: n = ( ) = Alessio Guandalini (Docente: P. D Urso) #05 Elementi di statistica inferenziale e di teoria dei campioni 67 / 67